一、学习目标 1.掌握解一元一次方程中“去分母”的方法,并能解这种类型的方程;2.了解一元一次方程解法的一般步骤.
二、知识回顾 1.等式性质2的内容是什么? 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.用式子表示:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么. 2.当方程中含有括号时,如何解一元一次方程?
三、新知讲解 1.去分母目的:使方程中的各项均不含分母(或分母为1).方法:在方程两边都乘各分母的最小公倍数.依据:等式的性质2.注意事项:(1)去分母时容易漏乘不含分母的项.如将方程去分母时,错化为.(2)去分母后,对于原来含有加减运算的分子漏加括号.如将方程去分母时,错化为.2.解一元一次方程的一般步骤: ( http: / / www.21cnjy.com )
四、典例探究 扫一扫,有惊喜哦!1.对方程进行去分母变 ( http: / / www.21cnjy.com )形【例1】(2014秋 博兴县期末)解方程时,去分母正确的是( )A.2x+1﹣(10x+1)=1 B.4x+1﹣10x+1=6C.4x+2﹣10x﹣1=6 D.2(2x+1)﹣(10x+1)=1总结:方程中含有分母时,一般先去分母,再做其他变形.去分母时,方程的两边同乘以各分母的最小公倍数就可以把分母去掉.去分母时应注意:(1)所选的乘数是方程中所有分母的最小公倍数;(2)用各分母的最小公倍数乘方程的两边时,不要漏乘方程中不含分母的项;(3)去掉分母后,分数线也同时去掉,分子上的多项式要用括号括起来.练1.(2014秋 大同期末)下列解方程去分母正确的是( )A.由 ,得2x﹣1=3﹣3xB.由,得2(x﹣2)﹣3x﹣2=﹣4C.由,得3y+3=2y﹣3y+1﹣6yD.由,得12y﹣1=5y+20练2.(2012秋 茌平县校级期末)解方程时,去分母得( )A.4(x+1)=x﹣3(5x﹣1) B.x+1=12x﹣(5x﹣1)C.3(x+1)=12x﹣4(5x﹣1) D.3(x+1)=x﹣4(5x﹣1)2.解含分母的一元一次方程【例2】解方程:(1).(2) (3) .总结:解含分母的一元一次方程时,除了常规去分母的方法外,也有技巧.具体的方法如下:利用移项凑整去分母,如第(1)题;逆用分数加减法则去分母,如第(2)题;利用分数的基本性质去分母,如第(3)题,分母含有小数,可以令分子分母同乘以一个适当的因数,利用分数的基本性质使小数化为整数,再去分母;分组通分去分母,例如,观察方程中各式子的分母,可知4和2,9和3分别成倍数关系,移项后分组通分,可简化解题过程.练3.方程的解是( )A. B. C. D. 练4.下列方程的解答过程是否有错误?若有错误,简要说明产生错误的原因,并改正.解方程: 解:原方程可化为:﹣=﹣25去分母,得5(10x+30)﹣2(4x﹣10)=﹣250去括号、移项、合并同类项,得42x=﹣420∴x=10.3.一元一次方程的应用——去分母【例3】有首诗说的是《西游记》中孙悟空的故事:悟空顺风探妖踪,千里只用四分钟;归时四分行六百,风速多少才算准.根据以上内容求出风速是每分多少里?总结:古诗词类问题,一般文字简短、描述简练,读题时要多读几遍,才能更好地理解题意.解决顺风行程问题,先要弄清楚关系式:路程 ( http: / / www.21cnjy.com )=速度×时间,顺风速度=飞行速度+风速,逆风速度=飞行速度-风速. 进一步可得等量关系:顺风速度-风速=逆风速度+风速.练5.x取什么值时,代数式的值比代数式的值大1?练6.收割一块小麦,第一组需要5小时收割完,第二组需要7小时收割完.第一组收割1小时后再增加第二组一起收割,两组共同收割多少小时能完成任务?
五、课后小测 一、选择题1.(2014春 让胡路区校级期中)解方程 ,去分母正确的是( )A.3(x﹣1)﹣2(2+3x)=1 B.3(x﹣1)﹣2(2x+3)=6C.3x﹣1﹣4x+3=1 D.3x﹣1﹣4x+3=62.(2014秋 巩留县校级期中)方程去分母后可得( )A.3x﹣3=1+2x B.3x﹣9=1+2x C.3x﹣3=2+2x D.3x﹣12=2+4x3.(2013 相城区模拟)解方程 ,去分母,得( )A.1﹣x﹣3=3x B.6﹣x﹣3=3x C.6﹣x+3=3x D.1﹣x+3=3x4.(2008 十堰)把方程3x+去分母正确的是( )A.18x+2(2x﹣1)=18﹣3(x+1) B.3x+(2x﹣1)=3﹣(x+1)C.18x+(2x﹣1)=18﹣(x+1) D.3x+2(2x﹣1)=3﹣3(x+1)5.(2014秋 攸县期末)解方程时,去分母、去括号后,正确结果是( )A.4x+1﹣10x+1=1 B.4x+2﹣10x﹣1=1 C.4x+2﹣10x﹣1=6 D.4x+2﹣10x+1=66.方程的解是( )A.x=﹣32 B.x=32 C.x=﹣23 D.x=23二、填空题7.当x= 时,等式成立:x﹣=7﹣.8.某数x的43%比它的一半还少7,则x等于_______.三、解答题9.(2014秋 宁城县期末)解方程:.10.(2014秋 蚌埠期中)解下列一元一次方程:(1)(x﹣1)﹣1=1(2).11.解方程: 分析:观察左右两边常数项,左边的常数项之和为,右边的常数项也是,故可将左右两边的分数项拆开后化简.解:原方程可化为: 移项,合并同类项得 解得x=0.仿照上例解方程:. 12.某班同学分组参加迎新年活动,原来每组8人,后来重新编组,每组6人,这样比原来增加2组.这个班共有多少人?13.七年级学生去春游,如果减少一辆客车,每辆车正好坐60人,如果增加一辆客车,每辆车正好坐45人.问七年级共有多少学生?14.有资料表明:某地区高 ( http: / / www.21cnjy.com )度每增加100米,气温降低0.8℃,小明和小红想出一个测量山峰高度的办法,小红在山脚,小明在山顶,他们同时在上午9时测得山脚温度是2.6℃,山顶温度是-2.2℃.你知道山峰的高度吗?
例题详解:
【例1】(2014秋 博兴县期末)解方程时,去分母正确的是( )
A.2x+1﹣(10x+1)=1 B.4x+1﹣10x+1=6
C.4x+2﹣10x﹣1=6 D.2(2x+1)﹣(10x+1)=1
分析:去分母的方法是方程两边同时乘以各分母的最小公倍数,在去分母的过程中注意分数线有括号的作用,以及去分母时不能漏乘没有分母的项.
解答:解:方程两边同时乘以6得:4x+2﹣(10x+1)=6,
去括号得:4x+2﹣10x﹣1=6.
故选C.
点评:在去分母的过程中注意分数线起到括号的作用,并注意不能漏乘没有分母的项.
【例2】解方程:
(1).
(2)
(3).
分析:(1)根据移项、合并同类项,可得一元一次方程的解.
(2)方程去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解;
(3)方程整理后,去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解.
解答:解:(1)移项,得﹣x+x=﹣2﹣1.
合并同类项,得﹣x=﹣3,
系数化为1,得x=9.
(2)去分母得:3x+3﹣4+6x=6,
移项合并得:9x=7,
解得:x=;
(3)方程整理得: ,
去分母得:400x+75﹣30x=1,
移项合并得:370x=﹣74,
解得:x=﹣0.2.
点评:此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解.
【例3】有首诗说的是《西游记》中孙悟空的故事:
悟空顺风探妖踪,千里只用四分钟;归时四分行六百,风速多少才算准.
根据以上内容求出风速是每分多少里?
分析:设风速为x里/分,根据路程=速度×时间,求出顺风时的速度和逆风时的速度,根据顺风速度-风速=逆风速度+风速列方程即可求解.
解答:解:设风速为x里/分,
由题意得:,
解得:x=50,
答:风速是每分50里.
点评:此题考查的是一元一次方程的实际应 ( http: / / www.21cnjy.com )用,解决顺风行程问题的关键是弄清楚关系式:顺风速度-风速=逆风速度+风速,再根据路程=速度×时间,找出等量关系式.
练习答案:
练1.(2014秋 大同期末)下列解方程去分母正确的是( )
A.由 ,得2x﹣1=3﹣3x
B.由,得2(x﹣2)﹣3x﹣2=﹣4
C.由,得3y+3=2y﹣3y+1﹣6y
D.由,得12y﹣1=5y+20
分析:将各选项分别乘以分母的最小公倍数去分母,可得出答案.
解答:解:A、不含分母的项漏乘以各分母的最小公倍数6,错误;
B、的分子作为一个整体没有加上括号,错误;
C、正确;
D、不含分母的项漏乘以各分母的最小公倍数15,错误.
故选C.
点评:去分母时,方程两端同乘各分母的最小公倍数时,不要漏乘没有分母的项,同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个整体加上括号.
练2.(2012秋 茌平县校级期末)解方程时,去分母得( )
A.4(x+1)=x﹣3(5x﹣1) B.x+1=12x﹣(5x﹣1)
C.3(x+1)=12x﹣4(5x﹣1) D.3(x+1)=x﹣4(5x﹣1)
分析:方程去分母,去括号,移项合并,将x系数化为1,即可求出解.
解答:解:去分母得:3(x+1)=12x﹣4(5x﹣1),
故选C.
点评:此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,求出解.
练3.方程的解是( )
A. B. C. D.
分析:方程左边利用拆项法变形后,计算即可求出解.
解答:解:方程变形得:x(1﹣+﹣+…+﹣)=1,即x(1﹣)=1,
去分母得:x=2,
解得:x=.
故选C
点评:此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,将未知数系数化为1,即可求出解.
练4.下列方程的解答过程是否有错误?若有错误,简要说明产生错误的原因,并改正.
解方程:
解:原方程可化为:
去分母,得5(10x+30)﹣2(4x﹣10)=﹣250
去括号、移项、合并同类项,得42x=﹣420
∴x=10.
分析:有误,第一步方程变形有误,写出正确的解法即可.
解答:解:有误,
正确解法为:方程化为,
去分母得:5(10x+30)﹣2(4x﹣10)=﹣25,
去括号得:50x+150﹣8x+20=﹣25,
移项合并得:42x=﹣195,
解得:x=﹣.
点评:此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
练5.x取什么值时,代数式的值比代数式的值大1?
分析:根据题意列出方程,求解即可.
解答:解:由题意得,,
解得x=1.
练6.收割一块小麦,第一组需要5小 ( http: / / www.21cnjy.com )时收割完,第二组需要7小时收割完.第一组收割1小时后再增加第二组一起收割,两组共同收割多少小时能完成任务.
解:设两组共同收割完用了x小时,
由题意得,.
解得.
小时=3小时20分钟.
答:两组共同收割3个小时20分钟能完成任务.
课后小测答案:
1.(2014春 让胡路区校级期中)解方程,去分母正确的是( )
A.3(x﹣1)﹣2(2+3x)=1 B.3(x﹣1)﹣2(2x+3)=6
C.3x﹣1﹣4x+3=1 D.3x﹣1﹣4x+3=6
解:去分母得:3(x﹣1)﹣2(2x+3)=6,
故选B.
2.(2014秋 巩留县校级期中)方程去分母后可得( )
A.3x﹣3=1+2x B.3x﹣9=1+2x C.3x﹣3=2+2x D.3x﹣12=2+4x
解:方程去分母得:3x﹣9=1+2x,
故选B
3.(2013 相城区模拟)解方程,去分母,得( )
A.1﹣x﹣3=3x B.6﹣x﹣3=3x C.6﹣x+3=3x D.1﹣x+3=3x
解:方程两边同时乘以6得6﹣x﹣3=3x.
故选B.
4.(2008 十堰)把方程3x+去分母正确的是( )
A.18x+2(2x﹣1)=18﹣3(x+1) B.3x+(2x﹣1)=3﹣(x+1)
C.18x+(2x﹣1)=18﹣(x+1) D.3x+2(2x﹣1)=3﹣3(x+1)
解:去分母得:18x+2(2x﹣1)=18﹣3(x+1).
故选:A.
5.(2014秋 攸县期末)解方程时,去分母、去括号后,正确结果是( )
A.4x+1﹣10x+1=1 B.4x+2﹣10x﹣1=1 C.4x+2﹣10x﹣1=6 D.4x+2﹣10x+1=6
解:方程去分母得:2(2x+1)﹣(10x+1)=6,
去括号得:4x+2﹣10x﹣1=6,
故选C.
6.方程的解是( )
A.x=﹣32 B.x=32 C.x=﹣23 D.x=23
解:方程变形得: ,
整理得:,
合并得 ,
解得:x=23.
故选D.
7.当x= 7 时,等式成立:x﹣=7﹣.
解:x﹣=7﹣,
去分母得:15x﹣5(x﹣1)=7×15﹣3(x+3),
去括号得:15x﹣5x+5=105﹣3x﹣9,
移项、合并同类项得:13x=91,
解得:x=7.
故答案为7.
8.某数x的43%比它的一半还少7,则x等于.
解:根据题意列出,
解得x=100.
9.(2014秋 宁城县期末)解方程:.
解:去分母5x﹣5+4(4+5x)=24﹣3(x﹣1),
去括号5x﹣5+16+20x=24﹣3x+3,
移项合并得:28x=16,
解得:x=.
10.(2014秋 蚌埠期中)解下列一元一次方程:
(1) (x﹣1)﹣1=1
(2)﹣1=x﹣.
解:(1)去括号得:x﹣﹣1=1,
去分母得:x﹣2﹣4=4,
解得:x=10;
(2)去分母得:6x+3﹣12=12x﹣10x﹣1,
移项合并得:4x=8,
解得:x=2.
11.解方程:
分析:观察左右两边常数项,左边的常数项之和为,右边的常数项也是,故可将左右两边的分数项拆开后化简.
解:原方程可化为:
移项,合并同类项得
解得x=0.
仿照上例解方程: .
解:
移项,合并同类项得:
系数化为1得:x=0.
12.某班同学分组参加迎新年活动,原来每组8人,后来重新编组,每组6人,这样比原来增加2组.这个班共有多少人?
解:设这个班学生共有x人,根据题意得:=-2,解得:x=48,
答:这个班学生共有48人.
13.七年级学生去春游,如果减少一辆客车,每辆车正好坐60人,如果增加一辆客车,每辆车正好坐45人.问七年级共有多少学生?
解:设七年级共有x名学生,则根据题意有:,解得x=360,
答:七年级共有360名学生.
14.有资料表明:某地区高度每增加100米, ( http: / / www.21cnjy.com )气温降低0.8℃,小明和小红想出一个测量山峰高度的办法,小红在山脚,小明在山顶,他们同时在上午9时测得山脚温度是2.6℃,山顶温度是-2.2℃.你知道山峰的高度吗?
解:设山峰的高度为x米.则有:,解得:x=600.
答:山峰的高度为600米.