初中数学人教版八年级下册 18.2.1.1　矩形的性质 同步训练 含答案

第十八章　平行四边形
18.2.1　矩形
第1课时 矩形的性质
一、选择题
1．(2023·株洲)一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝( )
A．3.5 cm B．3 cm C．4.5 cm D．6 cm
2．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( )
A．α－90° B．α－45° C．180°－α D．270°－α
3．(2022·永州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为( )
A． B．2 C．2 D．4
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8.则EF的长度为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为( )
A. B. C.2 D.2
二、填空题
6．(2023·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝________．
7．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为_____________．
8．(2022·青海)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为___________
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD.若CE＝AE＝1，则CD＝__________．
10．(2023·内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝___________．
三、解答题
11．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
12．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
(1)求证：DF＝CF；
(2)若∠CDF＝60°，DF＝6，则矩形ABCD的面积为___________．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
15．如图，四边形ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
(1)求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
16．在矩形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
(1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC交EF于点O连接OP.求证：OP⊥EF.
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参考答案
一、选择题
1．(2023·株洲)一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝( B )
A．3.5 cm B．3 cm C．4.5 cm D．6 cm
2．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( C )
A．α－90° B．α－45° C．180°－α D．270°－α
3．(2022·永州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为( C )
A． B．2 C．2 D．4
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8.则EF的长度为( A )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长度为( D )
A. B. C.2 D.2
二、填空题
6．(2023·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝________．
【答案】3
7．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为_____________．
【答案】20
8．(2022·青海)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为___________
【答案】6
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD.若CE＝AE＝1，则CD＝__________．
【答案】
10．(2023·内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝___________．
【答案】
三、解答题
11．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，∠DBC＝30°，求AC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AC＝BD，∠BCD＝90°，又∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝2×6＝12，∴AC＝12
12．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点．求证：△ECD是等腰三角形．
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.又∵E为AB的中点，∴CE＝AB，DE＝AB，∴CE＝DE，∴△ECD是等腰三角形
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
(1)求证：DF＝CF；
(2)若∠CDF＝60°，DF＝6，则矩形ABCD的面积为___________．
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF
(2)36
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
解：(1)∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM　
(2)∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∴∠CFE＝90°.在Rt△CEF中，∵∠FCE＝30°，∴EF＝CE＝1.∴CF＝＝＝
15．如图，四边形ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
(1)求证：四边形AECG是平行四边形；
(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．
(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．由题意，得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠BCA，∴∠GAH＝∠ECF，∴AG∥CE.又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形；
(2)解：在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5.∵CF＝CB＝3，∴AF＝2.在Rt△AEF中，设EF＝x，则AE＝(4－x)．根据勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2，即(4－x)2＝22＋x2，解得x＝，即线段EF的长为cm.
16．在矩形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
(1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC交EF于点O连接OP.求证：OP⊥EF.
证明：(1)四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折的性质得：∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF
(2)四边形ABCD是矩形，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DEF＝∠EFB，由翻折的性质得：∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF，∴OP⊥EF