初中数学人教版八年级下册 18.2.1.2 矩形的判定 同步训练 含答案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册 18.2.1.2 矩形的判定 同步训练 含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 266.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 21:55:28 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝∠BAD D．∠1＝∠2
2．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
3．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
4．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足( )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
5．(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少( )
A． B． C．5 D．7
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________________．
7．如图，已知∠AOB＝90°，且∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______________.
8．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，能使 ABCD是矩形的条件的序号是___________．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为____________．
10．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当______________________时，四边形ACBD为矩形．
11．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的长是___________．
三、解答题
12．如图，点E是 ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD是矩形
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
14．如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
15．(2023·岳阳)如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是______________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．、
16．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
17．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
1
参考答案
一、选择题
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( C )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝∠BAD D．∠1＝∠2
2．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( C )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
3．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( A )
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
4．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足( C )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
5．(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少( B )
A． B． C．5 D．7
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________________．
【答案】∠A＝90°(答案不唯一)
7．如图，已知∠AOB＝90°，且∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______________.
【答案】12
8．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，能使 ABCD是矩形的条件的序号是___________．
【答案】①③④
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为____________．
【答案】
10．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当______________________时，四边形ACBD为矩形．
【答案】O是AB的中点
11．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的长是___________．
【答案】5
三、解答题
12．如图，点E是 ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，又∵ED＝EC，∴△AED≌△BEC(SSS)，∴∠A＝∠B，又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵E是OA的中点，G是OC的中点，∴OE＝OA，OG＝OC，∵在矩形ABCD中，OA＝OC，∴OE＝OG，同理OF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵OE＝OA，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC，同理FH＝BD，又在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形
14．如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∴∠FAD＋∠ADF＝∠DAB＋∠ADC＝(∠DAB＋∠ADC)＝90°，∴∠AFD＝90°，同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形
15．(2023·岳阳)如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是______________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．、
解：(1)①当∠1＝∠2时， ABCD为矩形；②当AM＝DM时， ABCD为矩形，故答案为：①(或②)
(2)选择①∠1＝∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠A＋∠D＝180°，在△ABM和DCM中，∴△ABM≌DCM(SAS)，∴∠A＝∠D＝90°，∴ ABCD为矩形
16．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形
17．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：由(1)知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∵AE＝EG，∠AEB＝∠FEG，∴EG＝CF，∠FEG＝∠DFC，∴EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
一、选择题
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝∠BAD D．∠1＝∠2
2．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
3．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
4．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足( )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
5．(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少( )
A． B． C．5 D．7
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________________．
7．如图，已知∠AOB＝90°，且∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______________.
8．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，能使 ABCD是矩形的条件的序号是___________．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为____________．
10．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当______________________时，四边形ACBD为矩形．
11．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的长是___________．
三、解答题
12．如图，点E是 ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD是矩形
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
14．如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
15．(2023·岳阳)如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是______________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．、
16．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
17．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
1
参考答案
一、选择题
1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( C )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝∠BAD D．∠1＝∠2
2．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( C )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
3．如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( A )
A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
4．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，若得到的四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD一定满足( C )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
5．(2023·台湾)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少( B )
A． B． C．5 D．7
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________________．
【答案】∠A＝90°(答案不唯一)
7．如图，已知∠AOB＝90°，且∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为______________.
【答案】12
8．已知 ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，能使 ABCD是矩形的条件的序号是___________．
【答案】①③④
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为____________．
【答案】
10．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD.添加一个适当的条件：当______________________时，四边形ACBD为矩形．
【答案】O是AB的中点
11．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，则边AD的长是___________．
【答案】5
三、解答题
12．如图，点E是 ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，又∵ED＝EC，∴△AED≌△BEC(SSS)，∴∠A＝∠B，又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形
13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵E是OA的中点，G是OC的中点，∴OE＝OA，OG＝OC，∵在矩形ABCD中，OA＝OC，∴OE＝OG，同理OF＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵OE＝OA，OG＝OC，∴EG＝OE＋OG＝AC，同理FH＝BD，又在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形
14．如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∴∠FAD＋∠ADF＝∠DAB＋∠ADC＝(∠DAB＋∠ADC)＝90°，∴∠AFD＝90°，同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形
15．(2023·岳阳)如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是______________(填序号)；
(2)添加条件后，请证明 ABCD为矩形．、
解：(1)①当∠1＝∠2时， ABCD为矩形；②当AM＝DM时， ABCD为矩形，故答案为：①(或②)
(2)选择①∠1＝∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠A＋∠D＝180°，在△ABM和DCM中，∴△ABM≌DCM(SAS)，∴∠A＝∠D＝90°，∴ ABCD为矩形
16．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形
17．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．理由如下：由(1)知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∵AE＝EG，∠AEB＝∠FEG，∴EG＝CF，∠FEG＝∠DFC，∴EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形