2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十九中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数为( )
A. B. C. D.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组名同学每周做家务的天数依次为，，，，，单位：天，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
6.函数的图象经过点，则的值( )
A. B. C. D.
7.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，设乙队单独完成总工程共需个月，列方程正确的是( )
A. B. C. D.
8.综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形是其作图过程．
作的垂直平分线交于点；
连接，在的延长线上截取；
连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是( )
A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等
9.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点若，，则( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点设点运动的路程为，图是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，用科学记数法表示为______兆瓦．
12.计算的结果是______．
13.分解因式： ______．
14.如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则 ______
15.清初数学家梅文鼎在著作平三角举要中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则当，，时， ______．
16.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______．
17.矩形中，为对角线的中点，点在边上，且当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
18.如图，在边长为的正方形中，，分别是，上的动点，，分别是，的中点，则的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中有一个，的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
在图中画线段使点在小正方形的顶点上；
在图中画以为底，面积为的等腰点在小正方形的顶点上，连接，请直接写出的长______．
21.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当时，用配方法解方程．
22.本小题分
中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图根据图中信息回答下列问题：
接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中的值为______，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
若该校共有学生人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为______人；
若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的名男生和名女生中随机抽取人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名女生的概率．
23.本小题分
已知四边形内接于，对角线是的直径．
如图，连接，，若，求证：平分；
如图，为内一点，满足，若，，求弦的长．
24.本小题分
捷报电脑公司生产一批电脑，每台电脑的出厂价比成本价多元；若每台电脑的出厂价不变，成本价提高了，此时每台电脑仍可获利元．
求该品牌电脑的成本价和出厂价分别是多少元？
频传公司在捷报电脑公司以出厂价购进一批电脑，第一个月以比出厂价提高的价格销售台电脑；第二个月以第一个月销售价九折的价格，将剩余的电脑全部售完，若两个月售出电脑所获得的总利润不低于元，求频传公司至少购进了多少台电脑？
25.本小题分
【问题呈现】
和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．
【问题探究】
如图，当时，直接写出，的位置关系：______．
如图，当时，中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．
26.本小题分
已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
如图，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数为．
故选：．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由几何体的三视图可得该几何体是选项，
故选：．
根据几何体的三视图分析解答即可．
此题考查由三视图判断几何体，关键是熟悉几何体的三视图．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】
解：、，无法计算，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
在数轴上表示为，
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：将数据重新排列为，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为．
故选：．
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】
【解析】解：函数的图象经过点，
，
解得：，
的值为．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设乙队单独施个月能完成总工程的，根据题意得：，即．
故选：．
设乙队单独施个月能完成总工程的，根据甲队完成的任务量乙队完成的任务量总工程量单位，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明即可．
本题考查了作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【解答】
解：由作图得：，，
四边形为平行四边形，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，，，
，，，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故选：．
根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得∽，求得，根据相似三角形的性质求得，，证得∽，根据相似三角形的性质得到，证得≌，求出，根据勾股定理即可求出．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点，
结合图象可知，当点在上运动时，，
，，
又为等边三角形，
，，
在和中
≌，
，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
，即，
，
过点作，垂足为，
，则，
，
即等边三角形的边长为．
故选：．
如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点，结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而得出等边三角形的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】
【解析】解：数字用科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为．
先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式相加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提公因式，再运用完全平方公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
15.【答案】
【解析】解：，，，，
，
，
故答案为：．
根据和，，，可以计算出的长，再根据的长，即可计算出的长．
本题考查新定义、直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
16.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
，，
．
故答案为：．
直接利用根于系数的关系，，再代入计算即可求解．
本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，．
17.【答案】或
【解析】解：以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
如图，当时，
则，
四边形是矩形，
，
，
为对角线的中点，
，
，
；
如图，当时，
则，
为对角线的中点，
，
垂直平分，
，
，，
，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图，当时，如图，当时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
四边形是正方形，，
，
当最大时，最大，此时最大，
点是上的动点，
当点和点重合时，最大，即的长度，
此时，
，
的最大值为．
故答案为：．
首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先利用分式混合运算化简，再由特殊角的三角函数值求出，代值求解即可得到答案．
本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、通分、分式混合运算及约分等知识，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，线段即为所求．
如图即为所求．．
故答案为．
利用数形结合的思想解决问题即可．
构造高为，底为的等腰三角形即可．
本题考查作图应用与设计，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且；
当时，
原方程为，
即，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：
解得：，．
【解析】结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得的取值范围；
将代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，中需特别注意二次项的系数不为．
22.【答案】解：，，；
；
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中恰好抽到名女生的结果有种，
恰好抽到名女生．
【解析】解：基本了解的有人，占，
接受问卷调查的学生共有人，
条形统计图中的值为：，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：，，；
可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：人，
故答案为：；
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中恰好抽到名女生的结果有种，
恰好抽到名女生．
将基本了解的人数除以其所占百分比即可得到接受调查的学生总数；将接受调查的学生总数减去另外三项人数即可求出的值；将“非常了解”占比乘以即可求出扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
将该校学生总数乘以样本中该校学生中对心理健康知识“不了解”的占比即可；
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到名女生的可能结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，
，
即平分；
延长交于，延长交于，
，，
，
是的直径，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
【解析】由垂径定理证出，则可得出结论；
延长交于，延长交于，证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
24.【答案】解：设该品牌电脑的成本价是元，则出厂价是元，
依题意得：，
解得：，
．
答：该品牌电脑的成本价是元，出厂价是元．
设频传公司购进了台电脑，则第二个月销售了台电脑，
依题意得：，
解得：．
答：频传公司至少购进了台电脑．
【解析】设该品牌电脑的成本价是元，则出厂价是元，利用利润出厂价成本价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出该品牌电脑的成本价，再将其代入中，即可求出该品牌电脑的出厂价；
设频传公司购进了台电脑，则第二个月销售了台电脑，利用利润销售单价销售数量出厂价购进数量，结合两个月售出电脑所获得的总利润不低于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：
中的结论成立，理由如下：
如图，延长交于点，交于，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
如图，当点在线段上时，连接，
∽，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
当点在线段上时，连接，
∽，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
综上所述：或．
【解析】解：如图，延长交于点，交于，
当时，，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
由“”可证≌，可得，由余角的性质可证；
通过证明∽，可得，由余角的性质可证；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：抛物线与轴相交于点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
在，当时，，
，
抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
的周长等于，为定长，
当的值最小时，的周长最小，
，关于对称轴对称，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，，
；
为的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
，
当点在点下方时：
过点作，交抛物线于点，则：，此时点纵坐标为，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
或；
当点在点上方时：设与轴交于点，
，
设，
，，
，
解得：，
，
同理可得的解析式为，
联立，
解得：或，
或；
综上：或或或．
【解析】待定系数法求函数解析式即可；
根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到，关于对称轴对称，则：，得到当，，三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
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