2023-2024学年云南省昆明一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年云南省昆明一中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.函数的单调减区间( )
A. B. C. D.
3.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.设椭圆：，：的离心率分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙等人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有人，则不同排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数为偶函数
B. 曲线的对称轴为，
C. 在区间单调递增
D. 的最小值为
10.已知椭圆上有一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 面积的最大值为
D. 若 为钝角三角形，则
11.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，表示可买到优质品，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是，则展开式中各项系数的和为______．
13.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现反面”为事件，则______．
14.各棱长均为且底面为正方形的平行六面体，满足，则 ______；此平行六面体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
今年月日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一个盘子，装有个粽子，其中红豆粽个，肉粽个，蛋黄粽个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取个．
求选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
设表示取到的红豆粽个数，求的分布列．并求“所选个粽子中红豆粽不少于个”的概率．
16.本小题分
若数列的前项和满足．
证明：数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点，分别是棱，的中点．
Ⅰ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅱ在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．
18.本小题分
已知函数，且．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ设函数存在实数，，使得不等式成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，直线过的右焦点，且与交于，两点，直线：与轴的交点为，，点在直线上，且．
求椭圆的标准方程；
设，的面积分别为，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
由已知求得与的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，
由，得或，
又函数定义域为，
函数的单调减区间为．
故选：．
求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于求得的范围得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】
解：若是等差数列，设数列的首项为，公差为，
则，
即，
故为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若为等差数列，则可设，
则，即，
当时，有，
上两式相减得：，
当时，上式成立，所以，
则常数，
所以数列为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：由椭圆：可得，，
，
椭圆的离心率为，
，
，
，
，舍去．
故选：．
利用椭圆：的方程可求其离心率，进而可求，可求．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，
则．
故选：．
由已知结合和差角公式先求出，再求出，然后结合二倍角公式可求．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
的通项公式为，
令，则，则，
令，则，则，
所以展开式中 的系数为．
故选：．
求出的通项公式，分别令或，代入求解即可得出答案．
本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：令，
，
因为对任意的满足，
所以，
所以在上单调递减，
又，
所以，
不等式等价于，即，
所以．
故选：．
令，求导分析单调性，不等式等价于，即，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位，
当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法．
故选：．
分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果．
本题考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：
，
即，
对于，，易知为偶函数，所以A正确；
对于，由的对称轴方程，故B错误；
对于，，单调递减，则单调递增，故C正确；
对于，，则，所以，故D错误．
故选：．
利用两角和的正弦公式、余弦公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性、对称性及最值的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，，
则，由此可得，
所以的面积，
对于选项A：若，则，故A正确；
对于选项B：由知，
当且仅当即点是短轴端点时取等号，
所以，因此不可能是，故B错误；
对于选项C：当为短轴的端点时，
面积的最大值为，故C正确．
对于选项D：由以上分析可知，不可能是钝角，由对称性不妨设是钝角．
先考虑临界情况，当时，易得，
此时，结合图形可知：
当是钝角时，，故D正确．
故选：．
用椭圆的焦点三角形的性质分别对四个选项判断即可．
本题考查椭圆的几何性质，焦点三角形问题，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查条件概率公式，全概率公式，属于中档题．
根据已知条件，结合条件概率公式，以及全概率公式即可求解．
【解答】
解：由题中表格可得，，，，故A正确，
，，，故B正确，
，故C错误，
，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
所有二项式系数的和是，可得，解得在中，令，可得展开式中各项系数的和．
本题考查了二项式定理及其性质，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：所有二项式系数的和是，
，解得．
在中，令，可得展开式中各项系数的和．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：法一：；
法二：包括的基本事件为正，正，正，反，包括的基本事件为正，反，
．
根据条件概率计算公式即可计算．
本题考查了条件概率的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
连接，交于点，连接，
底面是边长是的正方体，
，，
，连接，，则，
在中，，，
，，
，平面，
平行六面体的体积为．
故答案为：；．
由空间向量基本定理可得，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出；连接，，交于点，连接，先证明平面，再由柱体的体积公式即可得到此平行六面体的体积．
本题考查向量坐标运算法则、向量数量积公式、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】；
分布列见解析；．
【解析】【分析】
本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
基本事件总数，选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数，由此能求出选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列，“所选个粽子中红豆粽不少于个”的概率，由此能求出结果．
【解答】
解：有一个盘子，装有个粽子，其中红豆粽个，肉粽个，蛋黄粽个，
假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取个．
基本事件总数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


“所选个粽子中红豆粽不少于个”的概率为：
．
16.【答案】证明：由题意，当时，，解得，
当时，
，
化简整理，得，
两边同时减去，
可得，
，
数列是首项为，公比为的等比数列．
解：由可得，，
则，
，
，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，利用进行变形推导出递推公式，进一步推导出即可发现数列是首项为，公比为的等比数列，从而证得结论成立；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，分类讨论，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅱ在截面内不存在点，使平面，理由如下：
由Ⅰ知，，，，
假设在截面内存在点满足题意，设，，，，
所以，
因为平面，
所以，即，
解得，
这与，相矛盾，所以不存在点满足题意．
【解析】Ⅰ以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；
Ⅱ假设在截面内存在点满足题意，根据空间向量基本定理，可设，，，，利用，求出和的值，发现与，相矛盾，从而作出判断．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法求线面角，空间向量基本定理是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，．
当时，，时，，当时，，
的减区间为，增区间为；
当时，，在上恒成立，则的减区间为；
当时，，的减区间为；
当时，，时，，当时，，
的增区间为，减区间为．
综上，当时，的减区间为，增区间为；
当时，的减区间为；
当时，的增区间为，减区间为；
Ⅱ，
存在实数，，使得不等式成立，
，
，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，
，得，
又，
【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对分类讨论，利用导函数在不同区间内的符号，可得原函数的单调性；
Ⅱ求出的解析式，把问题转化为，再由导数求最值，可得关于的不等式求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查化归与转化、分类讨论的数学思想，考查运算求解能力，属难题．
19.【答案】解：由题意知，，，
解得，，
所以，
故椭圆的标准方程为．
证明：由知，，直线：，，
由题意知，直线的斜率不可能为，设直线的方程为，，，
不妨取，则，
联立，得，
所以，，
，
，
所以
，
故．
【解析】根据已知条件，求出和的值，即可得解；
设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，根据三角形的面积公式，运用韦达定理，证明即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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