2023-2024学年辽宁省高二（下）期初质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省高二（下）期初质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列，，，则的公差为( )
A. B. C. D.
2.二项式的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
3.将本不同的书分配给名同学，每名同学最多分到本书，那么不同的分配方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.某校高三学生的一次期中考试的数学成绩单位：分近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为附参考数据：，，( )
A. B. C. D.
5.中国古代著作张丘建算经有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为( )
A. B. C. D.
6.如图，电路中，，三个电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，则( )
A. B.
C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第项
8.斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，已知斐波那契数列满足，则以下结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和记为，若，，则( )
A. B.
C. 时，最大 D. 从第项开始，
10.随机变量，且，随机变量，，若，则( )
A. B.
C. D.
11.随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则下列结论正确的是( )
A. B. 时，有
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名男生和名女生中任选三人排成一排照相，其中男生、女生各至少选一人的方法共有______种
13.已知数列满足是正整数，，，若，则的值为______．
14.孔子曰：温故而知新，可以为师矣某同学预计在寒假前三天将本学期所学知识复习一遍，所复习的科目有语文、数学、英语、物理、化学、地理，要求语文与数学不在同一天复习，每天至少复习一门且不重复复习，则不同的复习方法共有______种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式；
证明：当时，．
16.本小题分
某单位为了解性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了名员工，得到的数据如表：
对工作满意 对工作不满意 总计
男
女
总计
能否有的把握认为对工作是否满意与性别有关？
将频率视为概率，从该公司所有男性员工中随机抽取人进行访谈，记这人中对工作满意的人数为，求的分布列与数学期望．
附：．
17.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
若点，点在椭圆上，轴，垂足为，直线交轴于点，线段的中点为坐标原点，试判断直线与椭圆的位置关系，并给出证明．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．
求证：平面；
在棱上是否存在点，使得二面角的平面角为？若存在，说明点的位置；若不存在，说明理由．
19.本小题分
数列的数列的首项，前项和为，若数列满足：对任意正整数，，当时，总成立，则称数列是“数列”
若是公比为的等比数列，试判断是否为“”为数列？
若是公差为的等差数列，且是“数列”，求实数的值；
若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
等差数列中，，，
．
故选B．
直接根据进行求解即可．
本题考查等差数列的通项公式，考查学生基本的数学运输运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得的系数是，
故选：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：将本不同的书分配给名同学，每名同学最多分到本书，
则不同的分配方法数为．
故选：．
由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，
则事件为“该同学的成绩为”，
而，因为，，
所以．
又，
所以．
故选：．
根据题意，由正态分布的性质求出、，结合条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及正态分布的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，
解得，
故该马第五天行走的里程数为．
故选：．
设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题知，该电路正常工作指的是元件正常工作且，中至少有一个能正常工作，
设，，元件能正常工作为事件，，，该电路正常工作为事件，
由题知，，，相互独立，
则．
故选：．
由相互独立事件的概率求法计算即可．
本题考查相互独立事件的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知，
选项A，令，
得，
故选项A错误；
令，
可得，
故选项B错误；
令，
可得，
联立可得，
故选项C正确；
由题意可知展开式有项，第项的二项式系数最大，
故选项D错误．
故选：．
由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式及赋值法求解．
本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，“斐波那契数列”中，，，，，，，故A、C正确；
由时，，则，
有，
则有，，上面几个式子相加可得．
又由，则，故B正确，D错误．
故选：．
写出斐波那契数列的前项，可判断、；由时，，有，由累加法计算可判断．
本题考查斐波那契数列的定义和应用，以及累加法的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为，
依次分析选项：
对于，由于，，则，同时，
则该数列为递减数列，A正确；
对于，，B正确；
对于，该数列为递减数列，且，，则时，最大，C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
根据题意可知是首项为正数的递减数列，从而即可对选项逐一判断．
本题主要考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，则，
，又，
，故A正确；
对于，，，，
，，故C正确；
对于，，，故B正确；
对于，，，故D错误．
故选：．
根据正态分布的性质即可得．
本题考查正态分布的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项，机器人第一次执行程序后，来到或点，故，第二次执行程序后，有的概率回到点，故错误；
选项，为执行第次程序后仍回到点的概率，要想执行次程序后仍回到点，
则执行第次程序后不在点，而是在或点，且下一次有的概率回到点，
故当大于等于时，有，即，B正确；
选项，由选项知，即，
于是，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，即，D正确，
选项，由选项可知，C正确．
故选：．
由已知结合数列的递推关系及等比数列的通项公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了数列递推关系的应用，还考查了等比数列的通项公式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：从名男生和名女生中任选三人排成一排照相，其中男生、女生各至少选一人，
男生选人，女生选人，
共有种；
男生选人，女生选人，
共有种．
所以共有种方法．
故答案为：．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
13.【答案】或
【解析】解：依题意，由数列满足是正整数，
可得当为奇数时，则为偶数，，
此时，
解得，这与是正整数矛盾，故舍去，
当为偶数时，，
若为奇数，，此时，
解得，，符合题意，
若为偶数，，此时，
解得，，符合题意，
综上，可得的值为或．
故答案为：或．
对分奇数与偶数进行讨论，结合已知条件进一步推导出、关于的表达式，代入即可推导出的值．
本题主要考查根据数列递推公式推导出某项的值．考查了分类讨论，方程思想，转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可分三种情况讨论：三天复习科目的数量为，，或，，或，，，
若三天复习数量为，，，所有的安排方法种数为，
语文与数学安排在同一天，有，
则三天复习数量为，，的安排方法种数为．
若三天复习数量为，，，
所有的安排方法数为种，
语文与数学安排在“”这一天，有种，
语文与数学安排在“”这一天，有种，
则三天复习数量为，，的安排方法数为．
若三天复习数量为，，，所有的安排方法数为，
语文与数学安排在同一天，有种，
则三天复习数量为，，的安排方法数为．
综上，不同的复习方法共有种．
故答案为：．
分三种情况讨论：三天复习科目的数量为，，或，，或，，，再求每种情况的安排方法种数可得答案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
15.【答案】解：，
，，
两式相减可得，
即，等式两边同时除以可得：
，
，，又，
，
；
证明：，
．
故原命题得证．
【解析】先将转化成得递推关系式，再由递推关系式两边同除以，可得常数列的定义，从而求出的通项公式；
利用裂项求和法即可证明．
本题考查化归转化思想，由递推关系式求通项公式，裂项求和法，属中档题．
16.【答案】解：根据列联表中数据可知，
所以有的把握认为对工作是否满意与性别有关；
由表中数据可知，从该公司所有男性员工中随机抽取人进行访谈，此人对工作满意的概率为，
将频率视为概率，从该公司所有男性员工中随机抽取人进行访谈，记这人中对工作满意的人数为，
由题意可知，的可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为：


故．
【解析】根据卡方的计算公式求解，即可与临界值比较求解；
根据二项分布的概率公式求解概率，即可得分布列．
本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望计算，属于中档题．
17.【答案】解：离心率为，则，即，
则，得，
点在椭圆上，则，
联立解得，，
所以椭圆的方程为：；
根据题意可得，，又直线，所以，
所以直线方程为，即，
令得，即，
又线段的中点为坐标原点，则，
所以直线方程为，即，
代入椭圆的方程得，
化简得，
又因为点在椭圆上，所以，
代入得，
即，
所以，
所以，
即，
则，
所以直线与椭圆相切．
【解析】由已知条件列出关于，的方程组，求解即可；
根据题意可得，可得直线方程，得，的坐标，进而得直线方程，代入椭圆的方程并化简，又因为点在椭圆上，从而得，利用判别式可得直线与椭圆相切．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
18.【答案】证明：取中点为，连接，，如下图所示：
因为，分别为，中点，则，，
即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面．
解：取中点为，因为，则，
又平面平面，平面平面，平面，则平面，
过点作的平行线，交于因为，平面，则，，
过点作的平行线，
则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
注意到，则，
故，则，，，
设，则，
设为平面的一个法向量，
则，令，则，，则，
设为平面的一个法向量，
则，令，则，则，
因为二面角的平面角为，
所以，
化简得到，又因为，所以，
为上靠近的三等分点．
【解析】取的中点为，可得四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理证明即可；
建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可．
本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
19.【答案】解：，，．
假设是数列，则当时，有成立．
但当时，，，所以假设不成立，
于是，不是数列．
若是公差为的等差数列，又，则，
若是“数列“，则，，
即，
所以，即．
数列既是“”，又是“”，
则，
由得，，，
把变为可得：
，
，
由得，，．
又得，，，
由得，，，
所以，，，成等差数列，设公差为；，，成等差数列，设公差为．
因此，，
所以，对恒成立．
即当时，成等差数列，设公差为，
由和中，分别取，得：，解得，，
又因为，
所以为等差数列，首项，公差为．
【解析】求出通项公式，把代入，然后举反例即可判断；
利用，可得一个递推公式，又是公差为的等差数列，从而求出；
反复利用之间的递推公式，求出关系，从而得到证明．
本题考查了数列新定义问题，其本质还是等差等比数列判断与性质应用，考查了学生的逻辑推理以及转化和运算能力，属于较难问题．
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