(共17张PPT)
第十章 三角形的有关证明
10.1
全等三角形
1
【2022·成都】如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加
一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．BC＝DE
B．AE＝DB
C．∠A＝∠DEF
D．∠ABC＝∠D
【答案】 B
【点拨】
∵AC∥DF，∴∠A＝∠D.
∵AC＝DF，∴当添加AE＝DB时，则AB＝DE，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF.
2
【2023·福建】如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．
3
如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝1，CD＝3，则BD的长是( )
A．1.5
B．2
C．4
D．6
【答案】 C
【点拨】
∵△ABC≌△DEC，CE＝1，CD＝3，
∴BC＝CE＝1.∴BD＝BC＋CD＝1＋3＝4.
4
【母题：教材P91习题T1】如图，已知△ABC≌△DCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论中正确的是( )
A．∠D＝60°
B．∠DBC＝50°
C．∠ACD＝60°
D．BE＝10
【答案】 A
【点拨】
∵∠A＝60°，∠ABC＝80°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝40°.
∵△ABC≌△DCB，AB＝10，
∴∠D＝∠A＝60°，∠DCB＝∠ABC＝80°，∠ACB＝∠DBC＝40°，CD＝AB＝10.
∴∠ACD＝∠DCB－∠ACB＝40°.
故A正确，B，C，D错误．
5
证明：∵△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，AB＝AE.
∴∠B＝∠AEB.
∴∠AED＝∠AEB.
∴EA平分∠BED.
【2023·聊城东昌府区开学】如图，点E在线段BC上，且△ABC≌△AED．求证：EA平分∠BED．
6
如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？请说明理由.
【错解】
【诊断】
误认为“SSA”可证两个三角形全等．
【正解】
7
【2023·威海乳山市一模】如图，在△ABC中，
∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在边AB上(AD＞BD)，点B关于直线CD的对称点为E，BE，AE与CD的延长线分别交于点G，F，连接CE，BF.
(1)求∠AFC的度数.
(2)若AD＝BC，求证：EF＝DF.
∴∠EFG＝∠BFG＝∠ABC.
又∵∠ADF＝∠CDB，∴∠FAD＝∠FCB.
又∵AD＝BC，∴△ADF≌△CBF(AAS)．
∴DF＝BF.
∵EF＝BF，∴EF＝DF.(共16张PPT)
等腰三角形的性质与判定
第十章 三角形的有关证明
10.2.1
等腰三角形
1
65
【2023·长沙】如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是 度.
【点拨】
根据题意可得BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED.
又∵∠ABC＋∠BDE＋∠BED＝180°，∠ABC＝50°，
∴∠BDE＝∠BED＝65°.
2
50°或80°
【2023·济南莱芜区期中】若等腰三角形ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于
.
【点拨】
①当130°的外角是底角处的外角时，底角为180°－130°＝50°，∴顶角度数是180°－50°－50°＝80°；②当130°的外角是顶角处的外角时，顶角为180°－130°＝50°.
综上所述，顶角为50°或80°.
3
如图所标数据，下面说法正确的是( )
A．①是等腰三角形
B．②是等腰三角形
C．①和②均是等腰三角形
D．①和②均不是等腰三角形
【答案】 B
【点拨】
题图①中，三角形的第三边的长不确定，故①不一定是等腰三角形；题图②中，三角形的第三个角是180°－50°－80°＝50°，三角形有两个角都是50°，故②是等腰三角形．
4
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：△AEF是等腰三角形.
证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠C＝90°.
∴∠BAD＝∠C.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF.
又∵∠AEF＝∠ABE＋∠BAD，∠AFE＝∠CBF＋∠C，
∴∠AEF＝∠AFE.∴△AEF是等腰三角形．
5
【学科素养·应用意识】 【2022·淄博】某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°.城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为( )
A．23° B．25°
C．27° D．30°
【答案】 B
【点拨】
6
如图，在△ABC中，AB＝AC，中线AD与角平分线CE相交于点F，已知∠ACB＝40°，则∠AFC的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【答案】 B
【点拨】
∵在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACB＝40°，∴∠DCF＝20°.
∴∠AFC＝∠ADC＋∠DCF＝90°＋20°＝110°.
7
【2023·聊城东昌府区期末】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为( )
A．50°
B．27°
C．64°或27°
D．63°或27°
【答案】 D
【点拨】
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
如图①，若△ABC是锐角三角形，则∠A＝90°－36°＝54°，此时底角＝(180°－54°)÷2＝63°；
如图②，若△ABC是钝角三角形，
则∠BAC＝36°＋90°＝126°，
此时底角＝(180°－126°)÷2＝27°.
综上所述，该等腰三角形底角的度数为63°或27°.
8
20°
【2023·滕州模拟】如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交AC于点D，连接BE，若∠A＝40°，则∠EBD＝ .(共21张PPT)
等边三角形的性质与判定
第十章 三角形的有关证明
10.2.2
等腰三角形
1
【2023·滨州邹平市期末】如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上的中点，以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AC边的交点为E，连接DE，则∠ADE的度数为( )
A．60°
B．105°
C．75°
D．15°
【答案】 C
【点拨】
2
下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A．∠A＝∠B＝∠C
B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60°
D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【点拨】
A.由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．B.由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．C.由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
【答案】 D
D.由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，而不能判定△ABC是等边三角形，故本选项符合题意．
3
【2023·青岛市北区期中】如图，在△ABC中，D为AC边上一点，DE⊥AB于点E，ED的延长线交BC的延长线于点F，且CD＝CF.
(1)求证：△ABC是等腰三角形.
证明：∵CD＝CF，∴∠F＝∠CDF.
∵∠ADE＝∠CDF，∴∠F＝∠ADE.
∵DE⊥AB，∴∠F＋∠B＝90°，∠ADE＋∠A＝90°.
∴∠B＝∠A.∴△ABC是等腰三角形．
(2)当∠F＝ 时，△ABC是等边三角形，请证明你的结论.
30°
证明：∵DE⊥AB，∴∠B＋∠F＝90°.
∴∠B＝90°－30°＝60°.
又由(1)知△ABC是等腰三角形，
∴△ABC是等边三角形．
3
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】 D
【点拨】
如图．∵P，P1关于直线OA对称，
P，P2关于直线OB对称，
∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，
∠BOP＝∠BOP2.
∵∠AOB＝30°，
∴∠P1OP2＝2∠AOP＋2∠BOP＝2(∠AOP＋∠BOP)＝2∠AOB＝60°.∴△P1OP2是等边三角形．
4
如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE.连接AE，BD交于点O，则图中的角等于60°的个数为( )
A．6
B．8
C．9
D．10
【点拨】
【答案】 B
又∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠CHD＝∠AHO，
∴∠AOH＝∠DCH＝60°.∴∠BOE＝∠AOH＝60°.
∵两个等边三角形共有6个60°角，
∴一共有8个60°角．
5
3
如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 .
【点拨】
【答案】 C
在等边三角形ABC中，∠B＝∠ACB＝60°.
∵∠BFE＝90°，∴∠D＝30°.
∴∠DEC＝60°－30°＝30°.∴∠DEC＝∠D.
∴CE＝CD.∴△CDE是等腰三角形．
∵CH⊥DE，∴DH＝EH＝1.
∴DF＝DH＋EH＋EF＝3.
6
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.求证：DB＝DE.
7
【2023·青岛莱西市期中】如图，已知△ABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1＝∠2，BD＝CE.
(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？
解：△ABD≌△ACE.
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC.
又∵∠1＝∠2，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)△ADE是等边三角形吗？请说明理由.
解：△ADE是等边三角形．
理由：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD.
∴△ADE是等腰三角形．
又∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝60°.
∴∠CAE＝60°.∴△ADE是等边三角形．(共18张PPT)
含30°角的直角三角形的性质及反证法
第十章 三角形的有关证明
10.2.3
等腰三角形
1
【2023·济南天桥区期末】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5
B．4.2
C．5.8
D．7.3
【答案】 A
【点拨】
2
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1，则AD的长为( )
A．1.5
B．2
C．3
D．4
【答案】 B
【点拨】
∵∠DBC＝60°，∠C＝90°，
∴∠BDC＝90°－60°＝30°.∴BD＝2BC＝2×1＝2.
∵∠ABD＝∠BDC－∠A＝30°－15°＝15°，
∴∠ABD＝∠A.∴AD＝BD＝2.
3
【2023·枣庄薛城区期中】用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中不能有两个角是钝角，假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是( )
A．已知
B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义
D．以上都不对
【答案】 B
【点拨】
假设∠A，∠B，∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A＋∠B＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾．
4
D
【母题：教材P109随堂练习T2】用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
5
【2023·滨州滨城区期末】如图，在△ABC中，
∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝6，则AD的长为( )
A．1
B．1.5
C．2
D．4.5
【答案】 D
【点拨】
6
【2023·淄博张店区期末】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4.求BC的长.
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.
∵AB⊥AD，
∴BD＝2AD＝2×4＝8，∠B＋∠ADB＝90°.
∴∠ADB＝60°.
∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，
∴∠DAC＝30°.∴∠DAC＝∠C.
∴DC＝AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝8＋4＝12.
7
【情境题】【2022·长沙】为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20 m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°.
(1)求该斜坡的高度BD．
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线)
解：∵C，A，D三点共线，∠BAD＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠ABC＝∠BAD－∠C＝15°.
∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝20m.
8
【学科素养 推理能力】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP＝
2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°.∵60÷2＝30(s)，
∴0≤t≤30.由题意知BP＝(60－2t)cm，BQ＝t cm.
当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，
即60－2t＝t，解得t＝20，符合题意．
∴当t＝20时，△PBQ为等边三角形．
(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
解：若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ，
即60－2t＝2t，解得t＝15，符合题意．
②当∠BPQ＝90°时，∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，
即t＝2(60－2t)，解得t＝24，符合题意．
综上所述，当t＝15或t＝24时，△PBQ为直角三角形．(共22张PPT)
勾股定理及其逆定理
第十章 三角形的有关证明
10.3.1
直角三角形
1
【2023·滨州滨城区期中】已知△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3
C．a2＝b2－c2
D．a2＝3，b2＝4，c2＝5
【点拨】
【答案】 D
C．∵a2＝b2－c2，∴a2＋c2＝b2.
∴△ABC为直角三角形．
D．∵a2＝3，b2＝4，c2＝5，
∴a2＋b2≠c2.∴△ABC不是直角三角形．
30
2
一个三角形的三边长是5，12，13，则这个三角形的面积是 .
【点拨】
3
下列定理，有逆定理的是( )
A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．矩形的对角线相等
D．直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方
【答案】 D
【点拨】
A.逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；B.逆命题是面积相等的三角形全等，是假命题；C.逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题．
4
下列命题中，逆命题是真命题的是( )
A．等腰三角形的两边长是3和7，则其周长为17
B．直角三角形的三条边的比是3∶4∶5
C．全等三角形的周长相等
D．若x＝1，则x2＝1
【答案】 B
【点拨】
A.逆命题是等腰三角形的周长为17，则其两边长是3和7，是假命题；
B．逆命题是若三角形三条边的比是3:4:5，则三角形是直角三角形，是真命题；
C．逆命题是周长相等的三角形是全等三角形，是假命题；
D．逆命题是若x2＝1，则x＝1，是假命题．
5
若一个直角三角形的三边分别为a，b，c，且a2＝9，b2＝16，则c2为( )
A．25
B．7
C．7或25
D．9或16
【答案】 C
【点拨】
此题易误认为c就是斜边，而实际上，c可以作为斜边，也可以作为直角边，故应分类讨论．
6
【点拨】
由题意可知MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C.
∵BD＝CD，DA＝DC，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD.
又∵∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2∠BAD＋2∠DAC＝180°.
【答案】 D
7
【2023·济宁】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于( )
A．180°－α B．180°－2α
C．90°＋α D．90°＋2α
【答案】 C
【点拨】
如图，过B点作BG∥CD，且BG＝CD，连接EG.
∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α.
∵BG2＝12＋42＝17，BE2＝12＋42＝17，EG2＝32＋52＝34，∴BG2＋BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE＋∠ABG＝90°＋α.
8
如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC＝90°，求这块地的面积.
9
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE.
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.
(2)求证：BD2－AD2＝2DE·AB．
证明：∵点E是AB的中点，∴BE＝AE.
∴BD2－AD2＝(BD＋AD)·(BD－AD)，
＝AB·(BE＋DE－AD)
＝AB·(AE＋DE－AD)
＝AB·(AD＋DE＋DE－AD)
＝2DE·AB.(共19张PPT)
直角三角形全等的判定
10.3.2
直角三角形
1
如图，点E，F在线段AC上，AE＝CF，AD⊥DF，CB⊥BE，要根据“HL”证明Rt△ADF≌Rt△CBE，则还需添加的一个条件是( )
A．AF＝CE B．∠A＝∠C
C．AD＝CB D．AD∥BC
【答案】 C
【点拨】
2
如图，点C为线段AB的中点，分别过点A，B作AB的垂线AD，BE (点D，E在AB的同侧)，连接CD，CE，且CD＝CE.求证：△ACD≌△BCE.
3
两个直角三角形中：
①一个锐角和斜边对应相等；
②斜边和一条直角边对应相等；
③有两条边相等； ④两个锐角对应相等.
能证明这两个直角三角形全等的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③④
【答案】 A
【点拨】
①一个锐角和斜边对应相等，可以利用“AAS”证明全等；②斜边和一条直角边对应相等，可以利用“HL”证明全等；③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定全等；④两个锐角对应相等，不能证明全等．
4
如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，
AC＝BD，连接CD．求证：OD＝OC．
5
【2023·枣庄薛城区月考】如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是( )
A．2 B．5
C．7 D．9
【答案】 B
【点拨】
6
6
如图，将一个含45度角的直角三角板的直角顶点放在直角坐标系点C处，三角板两锐角顶点落在x轴，y轴的点A，B处，已知点C(3，3)，则OA＋OB的值为 .
【点拨】
过点C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，则∠CDA＝∠CEB＝90°.
∵点C(3,3)，∴CD＝CE＝OE＝OD＝3.
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC.
7
5或10
【2023·济南天桥区期末】如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且PQ＝AB，当点P运动到
AP＝ 时，△ABC与△APQ全等.
【点拨】
8
【2023·青岛市南区期中】如图，在△ABE中，AB＝AE，AC＝AD，∠D＝∠C＝90°，BC，DE交于点O.△OBE是等腰三角形吗？说明理由.(共24张PPT)
第十章 三角形的有关证明
10.4
线段的垂直平分线
1
【母题：教材P120习题T1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若∠CAB＝∠B＋30°，则∠AEB＝( )
A．120° B．130°
C．140° D．150°
【答案】 A
【点拨】
∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB.
∴∠EAB＝∠B.
∵∠C＝90°，∠CAB＝∠B＋30°，
∴∠CAB＋∠B＝90°，即∠B＋30°＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴∠EAB＝30°.
∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠B＝180°－30°－30°＝120°.
2
4
【2023·丽水】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 .
【点拨】
∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4.
∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4.
3
下列说法错误的是( )
A．若点P是线段AB的垂直平分线上的点，则PA＝PB
B．若PA＝PB，QA＝QB，则直线PQ是线段AB的垂直平分线
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
【答案】 D
【点拨】
若PA＝PB，只能说明点P是线段AB的垂直平分线上的点，但过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线．
4
已知C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上．若AP＝5，则BP的长为( )
A．2.5
B．5
C．10
D．25
【答案】 B
【点拨】
∵AC＝BC，AD＝BD，∴点C，D都在线段AB的垂直平分线上，即直线CD是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线CD上，∴BP＝AP＝5.
5
如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在线段( )的垂直平分线上.
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
【答案】 B
【点拨】
∵BC＝BD＋AD＝BD＋CD，
∴AD＝CD.∴点D在线段AC的垂直平分线上．
6
【2023·威海荣成市期中】如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，直线l为线段FG的垂直平分线，下列结论正确的是( )
A．AE＝AQ
B．AE＝AH
C．BF＝BH
D．AE＝BE
【答案】 B
【点拨】
设直线l与线段EH交于点O.
∵直线l为线段FG的垂直平分线，
∴AF＝AG，OF＝OG.
∵EF＝GH，且点E，F，G，Q，H在一条直线上，
∴OE＝OH，即直线l为线段EH的垂直平分线．
∴AE＝AH.
7
【答案】 C
【点拨】
由题意得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∴△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝AB＋DC＋AD＝AB＋AC＝7＋12＝19.
8
【2023·济南期中】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC边上一点，过点A作AH⊥BD交BD的延长线于点H，交BC的延长线于点M，若BD＝2AH，则∠CBD的度数为( )
A．30°
B．25°
C．22.5°
D．20°
【点拨】
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACM＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°.
∵AH⊥BD，∴∠AHD＝90°.
∴∠CAM＋∠ADH＝90°.
又∵∠ADH＝∠CDB，∴∠CAM＝∠CBD.
【答案】 C
9
【点拨】
【答案】 A
10
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证：AE＝2CE.
证明：连接BE.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.
∴∠ABE＝∠A＝30°.又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°.
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.
∴BE＝2CE.∴AE＝2CE.
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由.(共19张PPT)
第十章 三角形的有关证明
10.5
角平分线
1
【2023·济南期中】如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE＝30°，EC＝2，则EF等于( )
【答案】 A
【点拨】
过点E作EM⊥OA于点M.
∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，
∴EM＝EC＝2.
∵∠AFE＝30°，∴EF＝2EM＝4.
2
1
【2022·北京】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ .
【点拨】
3
3
【2022·黑龙江】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，若AC＝6，BC＝8，则
CD＝ .
【点拨】
A
4
【2023·泰州模拟】如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB，OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是( )
A．在角的内部，到角两边的距离相等的
点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．角平分线的定义
D．角平分线所在直线是这个角的对称轴
5
如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线.
6
【2023·枣庄薛城区期中】如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是8，12，16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC＝( )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶2
C．2∶3∶4
D．3∶4∶5
【答案】 A
【点拨】
7
【点拨】
过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BA交BA的延长线于点N，连接DF，由题意可知BE为∠ABD的平分线，BA＝BD，∴∠ABF＝∠DBF.
∵BF＝BF，∴△ABF≌△DBF(SAS)．
∴∠BAF＝∠BDF，∠AFB＝∠DFB.
∵DB＝AB＝3，BC＝9，∴CD＝6.
【答案】 B
8
如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB，交AB于点F，EG⊥AC，交AC的延长线于点G，试问：BF与CG满足什么数量关系？证明你的结论.
解：BF＝CG.
证明：连接EB，EC.
∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG.
∵ED⊥BC于点D，D是BC的中点，∴EB＝EC. ∴Rt△EFB≌Rt△EGC.∴BF＝CG.
9
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA交BA的延长线于点H，求证：AP平分∠HAD．
证明：过P作PF⊥BE于点F.
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PH＝PF.
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE，
∴PF＝PD.∴PD＝PH.∴AP平分∠HAD.(共34张PPT)
全章热门考点整合应用
1
下列三个定理中，存在逆定理的有( )
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的对应角相等；
③内错角相等，两直线平行.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】 C
【点拨】
①的逆命题是“等腰三角形有两个角相等”，是定理；②的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，不是定理；③的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，是定理．
60°
2
如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD于点M，交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数是 .
【点拨】
∵∠D＝25°，∠AED＝105°，
∴∠DAE＝50°.
∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，
∠BAC＝∠DAE＝50°.
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∵∠D＝∠B，∠FMD＝∠AMB，
∴∠DFB＝∠BAD＝60°.
3
【2023·烟台一模】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，过点B平行于AC的直线与过点D平行于AB的直线交于点E，连接CE，求∠CED的度数.
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠BCD＝∠ABC＝72°.
∵AB∥DE，∴∠CDE＝∠A＝36°.∵AC∥BE，
∴∠BED＝∠CDE＝36°，∠CBE＝∠BCD＝72°.
∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝72°.
∴∠CDE＋∠BDE＝72°.
∴∠BDE＝36°.∴∠BDE＝∠BED.
∴BD＝BE.∴BC＝BE.∴∠CEB＝∠BCE.
∵∠CEB＋∠BCE＋∠CBE＝180°，∠CBE＝72°，
∴∠CEB＝54°.
∴∠CED＝∠CEB－∠BED＝54°－36°＝18°.
4
如图①，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠B＝30°
(1)求△ABC的面积.
(2)若P是边AB上的一点(不与点A，B重合)，过点P作PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，得到图②，移动点P的位置，PD＋PE的值会变化吗？若不变，求出PD＋PE的值；若变化，请说明理由.
5
如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，且点E在线段AD上．求证：BD＋CD＝AD．
6
如图，在△ABC中，CD⊥BA，交BA的延长线于点D，DE⊥AC于点E.
(1)如图①，若∠B＝35°，∠CDE＝60°，求∠ACB的度数.
解：∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°.
∵∠B＝35°，∴∠BCD＝90°－∠B＝55°.
∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°.
∵∠EDC＝60°，
∴∠DCE＝90°－∠EDC＝30°.
∴∠ACB＝∠BCD－∠DCE＝55°－30°＝25°.
(2)如图②，若CA平分∠BCD，BF⊥AC交CA的延长线于点F，写出与∠ACB相等的角(∠ACB除外).
解：∵CA平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB.
∵∠ADE＋∠CDE＝∠DCA＋∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠DCE＝∠ACB.
∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴BF∥DE.
∴∠FBA＝∠ADE＝∠ACB.
∴与∠ACB相等的角有∠DCA，∠ADE，∠FBA.
7
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E.
(1)若AC＝15 cm，△BCE的周长为24 cm，求BC的长.
解：∵MN垂直平分线段AB，∴AE＝BE.
∴△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝
AE＋CE＋BC＝AC＋BC.
∵AC＝15 cm，△BCE的周长为24 cm，
∴BC＝24－15＝9(cm)．
(2)若∠A＝36°，AB＝AC，求证：BC＝BE.
8
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线.
求证：BC＝2AB．
9
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)若∠BDA＝115°，求∠DEC的度数.
解：∵∠BDA＝115°，∠ADE＝40°，
∴∠EDC＝180°－∠BDA－∠ADE＝
180°－115°－40°＝25°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°.
∴∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝
180°－25°－40°＝115°.
(2)若DC＝AB，求证：△ABD≌△DCE.
证明：∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝40°＋∠BAD，
∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝40°＋∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DC＝AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)．
10
【2023·上海普陀区期末】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点D，E在边BC上(点D在点E的左侧)，
BD＝CE，∠DAE＝2∠1，求证：△ADE是等边三角形.
11
【2023·枣庄滕州市期末】如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
(1)求DC，AB的长.
(2)求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵AB＝25，AC＝20，BC＝15，
∴AB2＝252＝625，AC2＋BC2＝202＋152＝625.
∴AB2＝AC2＋BC2.
∴△ABC是直角三角形．
12
如图，AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AD，BC＝DE，AE与BC交于点M，AC与DE交于点N.
(1)求证：AM＝AN.
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
证明：由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED.∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED，
即∠OCE＝∠OEC.∴OE＝OC.
∴点O在EC的垂直平分线上．
又∵AE＝AC，∴点A也在EC的垂直平分线上．
∴AO垂直平分EC.
