初中数学人教版八年级下册 18.2.2.1 菱形的性质 同步训练 含答案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册 18.2.2.1 菱形的性质 同步训练 含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 228.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 21:57:40 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
3．(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )
A．2 B． C．3 D．4
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( )
A．13 B．10 C．12 D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
二、填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为_____________cm.
8．(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为_______cm2.
9.如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为____________cm2.
10．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，BD＝6，AC＝4，则图中阴影部分的面积和为_______．
11．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为____________．(结果保留根号)
三、解答题
12．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF.求证：CE＝CF.
13．已知菱形的周长为40 cm，两个相邻对角之比为2∶1，求它的对角线AC，BD的长和面积．
14．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当DE＝4，CF＝2时，求菱形ABCD的面积．
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
16．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一个动点，N是CD上一个动点，且AM＋CN＝1.
(1)求证：无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形；
(2)求△BMN面积的最小值.
1
参考答案
一、选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( B )
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( A )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
3．(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( B )
A．2 B． C．3 D．4
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( B )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( B )
A．13 B．10 C．12 D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( A )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
【解析】如图，连接BD，AC.由题意及菱形的性质证得△BEF，
△DHG，△OEH和△OFG均为等边三角形，由AB＝2，∠A＝120°，可求得BE＝EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长为3＋.
二、填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为_____________cm.
【答案】8
8．(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为_______cm2.
【答案】24
9.如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为____________cm2.
【答案】2
10．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，BD＝6，AC＝4，则图中阴影部分的面积和为_______．
【答案】6
11．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为____________．(结果保留根号)
【答案】2
三、解答题
12．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF.求证：CE＝CF.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，∴△ACE≌△ACF(SAS)，∴CE＝CF
13．已知菱形的周长为40 cm，两个相邻对角之比为2∶1，求它的对角线AC，BD的长和面积．
解：∵菱形的周长为40 cm，∴菱形的边长AB＝40÷4＝10 (cm)，∵两个相邻对角之比为2∶1，∴∠ABC＝×180°＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10 cm，∵菱形对角线AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.又∵∠OBC＝∠ABC＝30°，∴OC ＝BC＝×10＝5 (cm)，∴OB＝＝＝5(cm)，∴BD＝2OB＝10 cm，∴菱形的面积＝AC·BD＝×10×10＝50(cm2)
14．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当DE＝4，CF＝2时，求菱形ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF (AAS)，∴BE＝BF
(2)∵DE＝4，CF＝2，又由(1)可知△ABE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AD＝AE＋DE＝2＋4＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AD＝6，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴BF＝＝＝4，∴菱形ABCD的面积为CD·BF＝6×4＝24
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠BCD＝180°－∠B＝120°，∠BCD＋∠EFC＋∠FEC＝180°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF
(2)连接AC，同(1)可得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形
16．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一个动点，N是CD上一个动点，且AM＋CN＝1.
(1)求证：无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形；
(2)求△BMN面积的最小值.
解：(1)连接BD.
易证△ABM≌△DBN，
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD.
∵∠MBA＋∠DBM＝∠ABD＝60°，
∴∠NBD＋∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，
∴无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形.
(2)由(1)知△BMN为等边三角形，
∴S△BMN＝2.
∵当BM⊥AD时，BM最小，
此时，BM＝，则S△BMN＝，
∴△BMN面积的最小值为.
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
一、选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
3．(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )
A．2 B． C．3 D．4
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( )
A．13 B．10 C．12 D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
二、填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为_____________cm.
8．(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为_______cm2.
9.如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为____________cm2.
10．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，BD＝6，AC＝4，则图中阴影部分的面积和为_______．
11．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为____________．(结果保留根号)
三、解答题
12．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF.求证：CE＝CF.
13．已知菱形的周长为40 cm，两个相邻对角之比为2∶1，求它的对角线AC，BD的长和面积．
14．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当DE＝4，CF＝2时，求菱形ABCD的面积．
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
16．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一个动点，N是CD上一个动点，且AM＋CN＝1.
(1)求证：无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形；
(2)求△BMN面积的最小值.
1
参考答案
一、选择题
1．关于菱形的性质，以下说法不正确的是( B )
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是( A )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
3．(2023·乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( B )
A．2 B． C．3 D．4
4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( B )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( B )
A．13 B．10 C．12 D．5
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( A )
A．3＋ B．2＋2 C．2＋ D．1＋2
【解析】如图，连接BD，AC.由题意及菱形的性质证得△BEF，
△DHG，△OEH和△OFG均为等边三角形，由AB＝2，∠A＝120°，可求得BE＝EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长为3＋.
二、填空题
7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为_____________cm.
【答案】8
8．(2023·临沂)若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为_______cm2.
【答案】24
9.如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为____________cm2.
【答案】2
10．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E，F，BD＝6，AC＝4，则图中阴影部分的面积和为_______．
【答案】6
11．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为____________．(结果保留根号)
【答案】2
三、解答题
12．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF.求证：CE＝CF.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，∴△ACE≌△ACF(SAS)，∴CE＝CF
13．已知菱形的周长为40 cm，两个相邻对角之比为2∶1，求它的对角线AC，BD的长和面积．
解：∵菱形的周长为40 cm，∴菱形的边长AB＝40÷4＝10 (cm)，∵两个相邻对角之比为2∶1，∴∠ABC＝×180°＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝10 cm，∵菱形对角线AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.又∵∠OBC＝∠ABC＝30°，∴OC ＝BC＝×10＝5 (cm)，∴OB＝＝＝5(cm)，∴BD＝2OB＝10 cm，∴菱形的面积＝AC·BD＝×10×10＝50(cm2)
14．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F.
(1)求证：BE＝BF；
(2)当DE＝4，CF＝2时，求菱形ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF (AAS)，∴BE＝BF
(2)∵DE＝4，CF＝2，又由(1)可知△ABE≌△CBF，∴AE＝CF，∴AD＝AE＋DE＝2＋4＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝AD＝6，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴BF＝＝＝4，∴菱形ABCD的面积为CD·BF＝6×4＝24
15．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
证明：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°，∵∠BCD＝180°－∠B＝120°，∠BCD＋∠EFC＋∠FEC＝180°，∴∠EFC＝30°，∴∠FEC＝∠EFC，∴CE＝CF，∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF
(2)连接AC，同(1)可得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝∠BCD＝∠B＝60°，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形
16．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一个动点，N是CD上一个动点，且AM＋CN＝1.
(1)求证：无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形；
(2)求△BMN面积的最小值.
解：(1)连接BD.
易证△ABM≌△DBN，
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD.
∵∠MBA＋∠DBM＝∠ABD＝60°，
∴∠NBD＋∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，
∴无论点M，N怎样移动，△BMN始终是等边三角形.
(2)由(1)知△BMN为等边三角形，
∴S△BMN＝2.
∵当BM⊥AD时，BM最小，
此时，BM＝，则S△BMN＝，
∴△BMN面积的最小值为.