人教版八年级下册18.2.3　正方形 同步训练（含答案）

第十八章　平行四边形
18.2.3　正方形
一、选择题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角
2．若正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是( )
A．8 B．4 C．8 D．16
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
4．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( )
A．15° B．35° C．45° D．55°
5．下列命题，其中是真命题的是( )
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝4，则OE的长为( )
A． B．2 C．4 D．4
7．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为( )
A．2＋2 B．5－ C．3－ D．＋1
二、填空题
8．(2023·怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为________．
9．(2022·无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝_____________.
10．(2023·哈尔滨)如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若CF＝，＝，则AE的长为__________
11．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
三、解答题
12．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
14．如图所示，顺次延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA至点E，F，G，H，使BE＝CF＝DG＝AH.求证：四边形EFGH是正方形．
15．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.
(1)求证：四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
16．将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长．
1
参考答案
一、选择题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( B )
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角
2．若正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是( A )
A．8 B．4 C．8 D．16
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( C )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
4．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( C )
A．15° B．35° C．45° D．55°
5．下列命题，其中是真命题的是( D )
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形
6．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝4，则OE的长为( B )
A． B．2 C．4 D．4
7．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为( D )
A．2＋2 B．5－ C．3－ D．＋1
二、填空题
8．(2023·怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为________．
【答案】3
9．(2022·无锡)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝_____________.
【答案】1
10．(2023·哈尔滨)如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若CF＝，＝，则AE的长为__________
【答案】
11．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
【答案】10
解析：连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边之和大于第三边，且正方形是轴对称图形知，当点N运动到点P时，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10.
三、解答题
12．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°＝∠BCE＋∠DCF，∴∠CBE＝∠DCF，在△CBE和△DCF中，∴△CBE≌△DCF(AAS)，
∴CF＝BE，CE＝DF，∵CE＝CF＋EF，∴DF＝BE＋EF
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形
14．如图所示，顺次延长正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA至点E，F，G，H，使BE＝CF＝DG＝AH.求证：四边形EFGH是正方形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EBF＝∠HAE＝∠GDH＝∠FCG，∵BE＝CF＝DG＝AH，∴CG＝DH＝AE＝BF，∴△BFE≌△CGF≌△DHG≌△AEH，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠EFB＝∠HEA，∴四边形EFGH是菱形，∵∠EFB＋∠FEB＝90°，∴∠HEA＋∠FEB＝∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形
15．如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.
(1)求证：四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
解：(1)∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°，∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD＝DC，∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形
16．将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．
(1)求证：△ADE≌△CDG；
(2)若AE＝BE＝2，求BF的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，∴∠ADB－∠EHB＝∠CDB－∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)　
(2)过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋EB＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ，∵BE＝2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝(负数舍去)，在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2，∴QF＝＝＝3，∴BF＝QF－QB＝3－＝2