初中数学人教版八年级下册18.2.2.2 菱形的判定 同步训练 含答案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册18.2.2.2 菱形的判定 同步训练 含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 22:00:12 | ||
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文档简介
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )
A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2．能判定一个四边形是菱形的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
3．下列命题中，正确的是( )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
4．若四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能
5．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
6．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7．(2022·营口)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________________________．(写出一个即可)
8．(2022·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是_________________________．(只需写出一个条件即可)
9．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________________时，四边形EFGH是菱形
三、解答题
11．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
12．(2023·鞍山)如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
13．(2023·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
16．如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
(1)求∠ABE的度数；
(2)求证：四边形BFB′E为菱形．
1
参考答案
一、选择题
1．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( B )
A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2．能判定一个四边形是菱形的是( C )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
3．下列命题中，正确的是( D )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
4．若四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形一定是( C )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能
5．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( C )
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
6．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( C )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7．(2022·营口)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________________________．(写出一个即可)
【答案】AB＝AD(答案不唯一)
8．(2022·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是_________________________．(只需写出一个条件即可)
【答案】AB＝CD(答案不唯一)
9．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
【答案】(9，3)
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________________时，四边形EFGH是菱形
【答案】AB＝CD
三、解答题
11．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形
12．(2023·鞍山)如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O是BD中点，∴BO＝DO，在△DEO和△BFO中， ∴△DEO≌△BFO (ASA)，∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形
13．(2023·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，FB＝FC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四边形EBFC是菱形
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形
(2)∵四边形ADBF是菱形，∴S菱形ADBF＝2S△ABD，∵点D是BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD，∴S菱形ADBF＝S△ABC＝40，∴AB·AC＝40，∵AB＝8，∴AC＝10
15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
(1)证明：根据折叠，∠DBC＝∠DBE, 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FB∥DG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形； ②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴OB＝BD＝5.假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在直角△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝.
16．如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
(1)求∠ABE的度数；
(2)求证：四边形BFB′E为菱形．
解：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°
(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，又∠FEB＝60°，∴∠FEB＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )
A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2．能判定一个四边形是菱形的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
3．下列命题中，正确的是( )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
4．若四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形一定是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能
5．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
6．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7．(2022·营口)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________________________．(写出一个即可)
8．(2022·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是_________________________．(只需写出一个条件即可)
9．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________________时，四边形EFGH是菱形
三、解答题
11．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
12．(2023·鞍山)如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
13．(2023·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
16．如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
(1)求∠ABE的度数；
(2)求证：四边形BFB′E为菱形．
1
参考答案
一、选择题
1．如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( B )
A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2．能判定一个四边形是菱形的是( C )
A．对角线相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
3．下列命题中，正确的是( D )
A．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
4．若四边形的两条对角线分别平分两组对角，则该四边形一定是( C )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能
5．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( C )
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
6．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( C )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7．(2022·营口)如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是____________________________．(写出一个即可)
【答案】AB＝AD(答案不唯一)
8．(2022·齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是_________________________．(只需写出一个条件即可)
【答案】AB＝CD(答案不唯一)
9．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
【答案】(9，3)
10．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________________时，四边形EFGH是菱形
【答案】AB＝CD
三、解答题
11．已知：如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形
12．(2023·鞍山)如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O是BD中点，∴BO＝DO，在△DEO和△BFO中， ∴△DEO≌△BFO (ASA)，∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形
13．(2023·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，FB＝FC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四边形EBFC是菱形
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形
(2)∵四边形ADBF是菱形，∴S菱形ADBF＝2S△ABD，∵点D是BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD，∴S菱形ADBF＝S△ABC＝40，∴AB·AC＝40，∵AB＝8，∴AC＝10
15．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形；
(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
(1)证明：根据折叠，∠DBC＝∠DBE, 又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；
(2)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FB∥DG，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形； ②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴OB＝BD＝5.假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD－DF＝8－x.∴在直角△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝.
16．如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
(1)求∠ABE的度数；
(2)求证：四边形BFB′E为菱形．
解：(1)∵第二步折叠使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°
(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，又∠FEB＝60°，∴∠FEB＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形