第十八章 平行四边形 章末训练题（含答案）

第十八章　平行四边形
章末训练题
一、选择题
1．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C，∠A＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC
2．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( )
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
3．如图，下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD∥BC，AB＝CD B．OA＝OB，OC＝OD
C．AD∥BC，OA＝OC D．∠BAD＋∠ABC＝180°，∠BCD＋∠ADC＝180°
4．下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
5．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
6．如图，给出下列各组条件：①AC⊥BD，OC＝OA；②∠1＝∠2＝∠3＝∠4；③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④AB＝BC＝CD，AC⊥BD.其中一定能判定四边形ABCD为菱形的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形
8．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形为正方形的是( )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠ABC
C．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
9．在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为( )
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( )
图1 图2
A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的边长是___________．
12． “美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝_______°.
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为________.
14．(2023·湘西州)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为___________．
15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发，在C，B间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在开始运动以后，以点P，D，Q，B为顶点构成平行四边形的次数有______次．
16．(2023·广西)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为____________．
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
18．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由
19．如图，AD∥FE，点B，C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.
(1)求证：四边形BCEF是菱形；
(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.
20．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.求证：
(1)矩形DEFG为正方形；
(2)CE＋CG＝8.
21．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F.
(1)取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF；
(2)如图②，若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C，∠A＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC
2．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( A )
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
3．如图，下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A．AD∥BC，AB＝CD B．OA＝OB，OC＝OD
C．AD∥BC，OA＝OC D．∠BAD＋∠ABC＝180°，∠BCD＋∠ADC＝180°
4．下列说法中不正确的是( C )
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
5．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( C )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
6．如图，给出下列各组条件：①AC⊥BD，OC＝OA；②∠1＝∠2＝∠3＝∠4；③OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④AB＝BC＝CD，AC⊥BD.其中一定能判定四边形ABCD为菱形的有( C )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
7．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( C )
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形
8．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形为正方形的是( C )
A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠ABC
C．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC
9．在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为( D )
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
10．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地.由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示.分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )
图1 图2
A.1和1 B.1和2 C.2和1 D.2和2
二、填空题
11．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的边长是___________．
【答案】6
12． “美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝_______°.
【答案】110
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为________.
【答案】3
14．(2023·湘西州)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为___________．
【答案】2
15．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4 cm的速度从点C出发，在C，B间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在开始运动以后，以点P，D，Q，B为顶点构成平行四边形的次数有______次．
【答案】3
16．(2023·广西)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为____________．
【答案】
三、解答题
17．如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)　
(2)由(1)可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形
18．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由
解：(1)∵点D是AB的中点，AD＝AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分　
(2)当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵AF＝BC，∴AF＝DE，由(1)得：四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形
19．如图，AD∥FE，点B，C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC.
(1)求证：四边形BCEF是菱形；
(2)若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE.
证明：(1)∵AD∥EF，∴∠FEB＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠FEB＝∠1，∴BF＝EF，∵BF＝BC，∴BC＝EF，∴四边形BCEF是平行四边形，又∵BF＝BC，∴ BCEF是菱形　
(2)∵FE＝BC，AB＝BC＝CD，∴EF＝AB，EF＝CD，又∵AD∥EF，∴四边形ABEF和四边形CDEF均为平行四边形，∴AF＝BE，FC＝ED，∵AB＝BC＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，∴△ACF≌△BDE(SSS)
20．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.求证：
(1)矩形DEFG为正方形；
(2)CE＋CG＝8.
证明：(1)如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则∠ENC＝∠EMC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠MCN＝90°，∴四边形EMCN是矩形．∴∠MEN＝90°，即∠MEF＋∠NEF＝90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD.又∵点E在AC上，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°，即∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴EF＝DE，∴矩形DEFG是正方形
(2)∵四边形DEFG，ABCD都是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝AB＝×4＝8
21．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F.
(1)取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF；
(2)如图②，若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：(1)取AB的中点H，连接EH，如图①所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴∠1＋∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝180°－∠AEF＝90°，∴∠1＝∠2.∵H是AB的中点，E是BC的中点，∴BH＝AB＝AH，BE＝BC＝EC.∴BH＝BE，AH＝EC，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝180°－∠BHE＝135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝∠DCG＝(180°－∠BCD)＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°，∴∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF　
(2)AE＝EF仍然成立，证明如下：如图②，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG＋∠AEB＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠BAE＋∠MAE＝180°，∠FEG＋∠CEF＝180°，∴∠MAE＝∠CEF.∵AB＝BC，∴AB＋AM＝BC＋CE，即BM＝BE.∴∠M＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝∠DCG＝(180°－∠BCD)＝45°，∴∠M＝∠FCE.在△AME和△ECF中，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF