人教版八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 36.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 21:58:21 | ||
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文档简介
17.2《勾股定理的逆定理》教学设计
导读：本节课安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理逆定理的证明是难点。勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种方法。
一、内容和内容解析
1.内容
勾股定理的逆定理证明及简单应用，原命题、逆命题的概念既及互关系。
内容解析
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理是利用三边长关系来判断三角形是直角三角形的一种方法。
勾股定理的逆命题是真命题，勾股定理和它的的逆定理是互为逆定理的关系，两个定理的题设和结论正好相反。应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法。
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究并证明勾股定理的逆定理。
目标和目标解析
目标
（1）理解，并应用勾股定理的逆定理，经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。
（2）通过勾股定理逆定理的证明体会有特殊到一般和数形结合思想方法在问题解决中的作用。
（3）了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
2.目标解析
目标（1）要求经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法，要求能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形。
目标（2）培养学生学生数学思想方法和罗辑思维的能力。
目标（3）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为为真命题，它的逆命题不一定为真命题。理解判断逆命题为假命题只要举出反例即可，但要说明逆命题为真命题必须通过证明。
教学问题诊断分析
证明勾股定理逆定理的实质，是通过ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 证明三角形中有一个角为90。直接证明这个结论很困难，但学生学过全等三角形，可以先构造一个直角三角形，使它的直角边长分别为a,b如果这两个三角形全等，有全等三角形的对应角相等可知这个三角形是直角三角形，用“同一法”证明勾股定理的逆定理，这种方法学生首次见到，难以理解，教学时，应向学生说明证明思路。
基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：用同一法证明勾股定理的逆定理。
四、教学过程设计
活动流程图 活动内容和目的
活动1：复习孕新 引入课题 活动2：动手实践，猜想命题． 活动3：证明猜想，得出定理． 活动4：尝试运用，熟悉定理． 活动5：类比模仿，巩固新知． 活动6：小结梳理，内化新知． 复习勾股定理，并通过调换命题的条件和结论，自然地过渡到本节课的课题。 通过画三角形，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．自然引入互逆命题，原命题，逆命题的概念。 通过特殊到一般的探索、归纳过程，得到勾股定理的逆定理证法，并结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，理解互逆命题（定理）的概念． 通过课本例1的求解，掌握勾股定理的逆定理及其运用的步骤． 通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理． 反思、总结学习内容，内化认知结构．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动1] 问题1： 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗？ 追问：我们知道一个直角三角形的两条直角边长为a,b斜边长为c，则有ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 反过来，若一个三角形的三边具有 ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？今天我们一起来研究这个问题。 问题2：据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？ [活动2] .画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：厘米）画出三角形： （1）2.5, 6, 6.5 （2）4, 7.5, 8.5 .量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。 （3）.想一想：请判断这些三角形的形状. 由此你能提出什么猜想。 猜想命题：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2，那么这个三角形是直角三角形 师生共同回忆勾股定理，请同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系。 学生测量课本中的三角形的角度，并计算三边的关系 学生活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，作出实践性预测． 教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题． 在活动2中教师应重点关注： （1）学生在活动中的参与意识和动手能力； （2）是否清楚三角形的三边长度的平方关系是因，直角三角形是果，即先有数，后有形． （3）数形结合的数学思想方法及归纳能力． 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题。 介绍前人的经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣。 教学中通过学生画三角形，计算边长之间的关系，发现规律，并猜想命题。这种测量，计算，归纳和猜想的过程是典型的几何探索过程。
2.猜想的命题与勾股定理的题设和结论有何关系 3说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确． （1）．原命题：猫有四只脚．（ ） 逆命题：有四只脚的是猫．（ ） （2）原命题：相等的角是对顶角．（ ） 逆命题：对顶角相等．（ ） （3）原命题：两直线平行，内错角相等。 逆命题：内错角相等，两直线平行。 [活动3] 问题3：要证明猜想的命题是真命题，首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知，求证。请大家完成。 问题4：要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C是直角，由命题的已知条件，能直接证明吗？ 追问：对于△ABC我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办？ 归纳：当我们证明了猜想是正确的，那么猜想就成了一个定理，这个定理与勾股定理的题设和结论正好相反，所以称为勾股定理的逆定理，利用这个定理判断一个三角形是否为直角三角形。 [活动4] 应用定理 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a=15,b=8,c=17 (2)a=13,b=14,c=15 （4）通过观察发现这两个命题的题设和结论正好相反，教师自然引入互逆命题，原命题，逆命题的概念 （5）学生回答，教师关注学生的理解情况 学生独立画出图形，写出已知求证，教师幻灯片显示图形，已知及求证。 在问题4中教师应重点关注： （1）学生能否联想到了‘全等’，进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键； （2）学生在问题4中，所表现出来的构造直角三角形的意识； （3）是否真正地理解了通过构造Rt△A′B′C′，使∠C′=90，A′C′=b，B′C′=a，证明△A′B′C′与△ABC全等，进而得到△ABC是直角三角形。 （4）数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法； （5）能否准确地找出一个命题的题设和结论． 先有学生独立完成，教师及时给与指导，在此活动中，教师应重点关注： （1）学生的解题过程是否规范； （2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较； 最后向学生介绍勾股数的概念． 加深对逆命题的理解知道原命题是正确，逆命题不一定为真命题。 引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务 在这个过程中，学生难以直接证明三角形是直角三角形，因此教师要努力引导学生联想到“全等”，进而设法构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前的三角形是直角三角形。让学生在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现，证明出勾股定理的逆定理。有效地突破本节的难点 这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习，通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 ．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动5] (
a=5,b=8,c=11
a=5,b=12,c=13
a= ,b=2,c=
④
a:b:c=7:24:25
)练习： 已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 教师提问，学生回答 在练习中教师应重点关注： （1）学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解； （2）学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题． （3）学生对逆命题是否理解，并会判断真假。 及时反馈教学，查漏补缺．对学有困难的同学给予鼓励和帮助．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动6] 小结 教师引导学生参照以下问题回顾本节课所学内容，并进行相互交流： （1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？ （2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？ （3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？ 2．作业： （1）必做：教材34页习题17．2第1、2、3题； （2）选做：教材34页习题17．2第7题 教师引导学生回忆本节课所学的知识． 在小结中教师应重点关注： 学生对本节内容的知识结构是否清晰； 教师布置作业，学生按要求在课外完成． 学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出教、学的不足． 梳理学习内容，养成整理、系统知识的习惯． 加强教、学反思，进一步提高教、学效果．
导读：本节课安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理逆定理的证明是难点。勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种方法。
一、内容和内容解析
1.内容
勾股定理的逆定理证明及简单应用，原命题、逆命题的概念既及互关系。
内容解析
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理是利用三边长关系来判断三角形是直角三角形的一种方法。
勾股定理的逆命题是真命题，勾股定理和它的的逆定理是互为逆定理的关系，两个定理的题设和结论正好相反。应该注意，对于一般命题，原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。在命题的研究中，研究一个命题的逆命题是一种常用的研究方法。
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探究并证明勾股定理的逆定理。
目标和目标解析
目标
（1）理解，并应用勾股定理的逆定理，经历“实验测量-猜想-论证”的定理探究过程，体会“构造法”证明数学命题的基本思想。
（2）通过勾股定理逆定理的证明体会有特殊到一般和数形结合思想方法在问题解决中的作用。
（3）了解逆命题的概念，并了解原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
2.目标解析
目标（1）要求经历勾股定理的逆定理的探究及证明过程，并理解通过构造一个直角三角形，证明此三角形和原三角形全等，从而证明三角形为直角三角形的方法，要求能应用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是直角三角形。
目标（2）培养学生学生数学思想方法和罗辑思维的能力。
目标（3）能根据原命题写出它的逆命题，并了解原命题为为真命题，它的逆命题不一定为真命题。理解判断逆命题为假命题只要举出反例即可，但要说明逆命题为真命题必须通过证明。
教学问题诊断分析
证明勾股定理逆定理的实质，是通过ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 证明三角形中有一个角为90。直接证明这个结论很困难，但学生学过全等三角形，可以先构造一个直角三角形，使它的直角边长分别为a,b如果这两个三角形全等，有全等三角形的对应角相等可知这个三角形是直角三角形，用“同一法”证明勾股定理的逆定理，这种方法学生首次见到，难以理解，教学时，应向学生说明证明思路。
基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：用同一法证明勾股定理的逆定理。
四、教学过程设计
活动流程图 活动内容和目的
活动1：复习孕新 引入课题 活动2：动手实践，猜想命题． 活动3：证明猜想，得出定理． 活动4：尝试运用，熟悉定理． 活动5：类比模仿，巩固新知． 活动6：小结梳理，内化新知． 复习勾股定理，并通过调换命题的条件和结论，自然地过渡到本节课的课题。 通过画三角形，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．自然引入互逆命题，原命题，逆命题的概念。 通过特殊到一般的探索、归纳过程，得到勾股定理的逆定理证法，并结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，理解互逆命题（定理）的概念． 通过课本例1的求解，掌握勾股定理的逆定理及其运用的步骤． 通过练习，进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理． 反思、总结学习内容，内化认知结构．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动1] 问题1： 前面我们学习了勾股定理，你能说出它的题设和结论吗？ 追问：我们知道一个直角三角形的两条直角边长为a,b斜边长为c，则有ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 反过来，若一个三角形的三边具有 ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2 的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？今天我们一起来研究这个问题。 问题2：据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你认为结论正确吗？ [活动2] .画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：厘米）画出三角形： （1）2.5, 6, 6.5 （2）4, 7.5, 8.5 .量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数。 （3）.想一想：请判断这些三角形的形状. 由此你能提出什么猜想。 猜想命题：如果三角形的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2﹢ｂ2﹦ｃ2，那么这个三角形是直角三角形 师生共同回忆勾股定理，请同学独立指出其题设和结论，并揭示勾股定理是从形的特殊性得出边之间的数量关系。 学生测量课本中的三角形的角度，并计算三边的关系 学生活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，作出实践性预测． 教师深入小组参与活动，并帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题． 在活动2中教师应重点关注： （1）学生在活动中的参与意识和动手能力； （2）是否清楚三角形的三边长度的平方关系是因，直角三角形是果，即先有数，后有形． （3）数形结合的数学思想方法及归纳能力． 通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，引导学生自然合理地提出问题。 介绍前人的经验，启发思考，使学生意识到数学知识来源于生活实际，激发学习兴趣。 教学中通过学生画三角形，计算边长之间的关系，发现规律，并猜想命题。这种测量，计算，归纳和猜想的过程是典型的几何探索过程。
2.猜想的命题与勾股定理的题设和结论有何关系 3说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确． （1）．原命题：猫有四只脚．（ ） 逆命题：有四只脚的是猫．（ ） （2）原命题：相等的角是对顶角．（ ） 逆命题：对顶角相等．（ ） （3）原命题：两直线平行，内错角相等。 逆命题：内错角相等，两直线平行。 [活动3] 问题3：要证明猜想的命题是真命题，首先要分析命题的题设及结论，画出图形，并写出已知，求证。请大家完成。 问题4：要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C是直角，由命题的已知条件，能直接证明吗？ 追问：对于△ABC我们难以直接证明它是一个直角三角形，怎么办？ 归纳：当我们证明了猜想是正确的，那么猜想就成了一个定理，这个定理与勾股定理的题设和结论正好相反，所以称为勾股定理的逆定理，利用这个定理判断一个三角形是否为直角三角形。 [活动4] 应用定理 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a=15,b=8,c=17 (2)a=13,b=14,c=15 （4）通过观察发现这两个命题的题设和结论正好相反，教师自然引入互逆命题，原命题，逆命题的概念 （5）学生回答，教师关注学生的理解情况 学生独立画出图形，写出已知求证，教师幻灯片显示图形，已知及求证。 在问题4中教师应重点关注： （1）学生能否联想到了‘全等’，进而设法构造全等三角形”这一问题获解的关键； （2）学生在问题4中，所表现出来的构造直角三角形的意识； （3）是否真正地理解了通过构造Rt△A′B′C′，使∠C′=90，A′C′=b，B′C′=a，证明△A′B′C′与△ABC全等，进而得到△ABC是直角三角形。 （4）数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法； （5）能否准确地找出一个命题的题设和结论． 先有学生独立完成，教师及时给与指导，在此活动中，教师应重点关注： （1）学生的解题过程是否规范； （2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较； 最后向学生介绍勾股数的概念． 加深对逆命题的理解知道原命题是正确，逆命题不一定为真命题。 引导学生用图形和数学符号语言表示命题，明确任务 在这个过程中，学生难以直接证明三角形是直角三角形，因此教师要努力引导学生联想到“全等”，进而设法构造直角三角形，证明当前三角形与一个直角三角形全等，从而证明当前的三角形是直角三角形。让学生在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现，证明出勾股定理的逆定理。有效地突破本节的难点 这是利用勾股定理的逆定理进行判断的练习，通过练习，把陈述性的定理转化为认知操作，学会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。 ．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动5] (
a=5,b=8,c=11
a=5,b=12,c=13
a= ,b=2,c=
④
a:b:c=7:24:25
)练习： 已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ 教师提问，学生回答 在练习中教师应重点关注： （1）学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解； （2）学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题． （3）学生对逆命题是否理解，并会判断真假。 及时反馈教学，查漏补缺．对学有困难的同学给予鼓励和帮助．
问题与情景 师生行为 设计意图
[活动6] 小结 教师引导学生参照以下问题回顾本节课所学内容，并进行相互交流： （1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？ （2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？ （3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？ 2．作业： （1）必做：教材34页习题17．2第1、2、3题； （2）选做：教材34页习题17．2第7题 教师引导学生回忆本节课所学的知识． 在小结中教师应重点关注： 学生对本节内容的知识结构是否清晰； 教师布置作业，学生按要求在课外完成． 学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出教、学的不足． 梳理学习内容，养成整理、系统知识的习惯． 加强教、学反思，进一步提高教、学效果．