广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一上·潮阳期末）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】运用诱导公式化简计算即可得出答案.
2．（2018高一上·黑龙江期末）已知集合 ， ，那么 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题设可得 ，所以 ， 故答案为：D
【分析】根据题意借助数轴由交集的定义即可求出结果。
3．（2024高一上·潮阳期末）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：A，定义域为，与不恒等，故A错误；
B、定义域为，显然与不恒等，故B错误；
C、定义域为，与不恒等，故C错误；
D、由解得，定义域关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，再判断对定义域内任意的是否都有即可.
4．（2024高一上·潮阳期末）若，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由知，（当且仅当时，即，等号成立），
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式直接求解即可，注意需满足一正二定三相等.
5．（2024高一上·潮阳期末）下列命题正确的是（ ）
A．在是减函数
B．正切函数在定义域内是增函数
C．是偶函数也是周期函数
D．已知，，则y的最小值为
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；余弦函数的性质；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由的图象可知在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
B、的定义域为，单调增区间为，在定义域内不是增函数，故B错误；
C、的定义域为，且，是偶函数，
，即是函数的一个周期，是周期函数，故C正确；
D、若，则的最小值为，若，则的最小值为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据和的图象可判断选项AB，由偶函数周期函数的定义可判断选项C，由三角函数的性质判断选项D.
6．（2024高一上·潮阳期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为a的碘-131经过x天后剩留的质量为y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量为，
经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量为，
经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量为，
，
经过天后，剩留的质量为，.
故答案为：A.
【分析】结合题意根据指数函数定义求解即可.
7．（2024高一上·潮阳期末）已知，，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，即，
可知由p可以推出q，则p是q的充分条件；
当时满足，但不满足，可知p不是q的必要条件；
综上，p是q的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】利用作差法和举反例判断充分、必要条件.
8．（2024高一上·潮阳期末）已知函数；则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据函数解析式代入求解即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一上·潮阳期末）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（）与时间t（月）的关系为，则以下叙述正确的有（ ）
A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番
B．第5个月时，浮萍面积会超过30
C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值
D．浮萍每月增加的面积都相等
【答案】A,B
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：A、由图可知点在函数图象上，代入得，所以，所以，故正确；
B、当时，，故正确；
C、设，，时浮萍面积分别为，，，，，，，故错误；
D、第个月比第个月增加，第个月比第个月增加，且，实际上面积增长的速度越来越快，故错误.
故答案为：.
【分析】将点代入可得函数，结合选项依次判断即可.
10．（2024高一上·潮阳期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的图象与性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、 ，，故A正确；
B、，根据不等式的性质得，，故B正确；
C、，，故C错误；
D、幂函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用作差法可判断选项AC；利用不等式的性质可选项B；利用幂函数的单调性可判断选项D.
11．（2024高一上·潮阳期末）下列求解结果正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．
C．
D．若，则
【答案】C,D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：A、由可得或，或x-1=0，解得或，故A不正确；
B、，故B错误；
C，，故C正确；
D，由得，即，
所以，故D正确．
故答案为：CD．
【分析】解不等式可判断选项A；利用对数的运算法则化简求值可判断选项B；把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断选项C；利用三角恒等变换化简可判断选项D．
12．（2024高一上·潮阳期末）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点成中心对称图形
B．的图象关于成轴对称图形
C．的图象关于点成中心对称图形
D．的图象关于点成中心对称图形
【答案】A,B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、，设，
的定义域为R且，为奇函数，的对称中心为，故A正确；
B、，
设
，
的定义域为R且，为偶函数，
关于对称，故B正确；
C、，设，
，不是奇函数，故C错误；
D，，设，
，不是奇函数，故D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用题中所给的对称满足的充要条件，结合函数的奇偶性、逐一代入验证求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一上·潮阳期末）命题p：“，”则命题p的否定为： ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由命题：，知命题的否定为：，.
故答案为：，.
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，否定量词，否定结论即可.
14．（2024高一上·潮阳期末）已知函数的值域是，记的定义域为： ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数的值域是，解得，
又因为，所以，
所以定义域为，
故答案为：.
【分析】由指数函数的值域确定定义域，再由真数大于0列出不等式求解即可.
15．（2024高一上·潮阳期末）记，那么 ．
【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】
.
故答案为：.
【分析】利用换底公式和对数运算法则结合已知条件化简求值即可.
16．（2024高一上·潮阳期末）已知函数，若对任意的正数a、b，满足，则的最小值为： ．
【答案】4
【知识点】奇偶性与单调性的综合；基本不等式
【解析】【解答】解：函数的定义域为，又，
所以函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数，满足所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，再利用1的妙用可求得的最小值.
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一上·潮阳期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．
（1）若，求及的值；
（2）若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，
当时，，则，
所以．
（2）解：依题意，，
由，得，代入，
于是，解得，
即，所以点P的坐标为．
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出点的横坐标及，再利用齐次式法计算即得.
（2）利用同角三角函数基本关系公，结合三角函数定义求解即可.
18．（2024高一上·潮阳期末）已知函数；
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：函数在区间上是增函数，证明如下：
设，且，
则，
所以，
故函数在区间上是增函数．
（2）解：由
，即；可得；
所以且
解得或
因此不等式的解集为：
【知识点】函数单调性的判断与证明；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可，具体步骤是：取值、作差、变形、定号、下结论.
（2）根据对数函数单调性求解即可.
19．（2024高一上·潮阳期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．
（1）求k的值；
（2）经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，）
【答案】（1）解：依题意，，．
则
化简得，，
，
即：．（写也正确）
（2）解：由（1）得
令，
即．得，
；
得．
所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）由所给函数模型结合已知条件列方程求解即可.
（2）由所给函数模型结合已知条件列方程，由指对互换以及对数的运算性质求解即可.
20．（2024高一上·潮阳期末）已知函数是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）当时，函数有零点，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：因为是上的偶函数，所以，
即
解得，
经检验：当时，满足题意．（写：“当时，是偶函数”也正确）
（2）解：由（1）可知，所以，
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，因为，令
则由函数图象可知在单调递增，
所以，
所以实数的取值范围是
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先代特殊值求出实数a，然后按照偶函数的定义检验成立即可；
（2）化简，将问题转化为关于的方程有解，构造函数，研究其单调性解决问题.
21．（2024高一上·潮阳期末）已知二次函数满足，恒成立；且，．
（1）求的解析式；
（2）对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：设，因为，所以．
因为，所以，即．
因为，所以，
由，得，所以．
（2）解：由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
法一：令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，
故对任意，只需要，不等式成立．
法二：若，显然成立．
若，即或
可得或；总存在
只需要或，而
所以，解得
综上可得，不等式成立．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）设二次函数，根据得到关于直线对称，再根据， 列出方程求解a、b、c的值即可；
（2）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，即可求解.关键是构造函数，即将不等式成立问题转化为求解函数的最值问题.
22．（2024高一上·潮阳期末）定义：函数若存在正常数T，使得，M为常数，对任意恒成；则称函数为“T代M阶函数”．
（1）判断下列函数是否为“2代M阶函数”？并说明理由．
①，②．
（2）设函数为“4代M阶函数”，其中是奇函数，是偶函数．若，求的值．
【答案】（1）解：①是2代阶函数，
因为，此时T=2，M=0，所以为2代0阶函数；
②不是2代阶函数，
因为，所以不是2代阶函数；
（2）解：由已知存在常数满足，
即，
令，则①，
令，则②，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
①+②，整理得，
令，则，又因为，
且，可得，所以
所以
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题目提供的信息，利用“代阶函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“代阶函数”的定义，结合函数的奇偶性变形，得到，求解即可.
1 / 1广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高一上学期1月期末教学质量监测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一上·潮阳期末）（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2018高一上·黑龙江期末）已知集合 ， ，那么 等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·潮阳期末）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·潮阳期末）若，则的最小值为（ ）
A． B．0 C．2 D．3
5．（2024高一上·潮阳期末）下列命题正确的是（ ）
A．在是减函数
B．正切函数在定义域内是增函数
C．是偶函数也是周期函数
D．已知，，则y的最小值为
6．（2024高一上·潮阳期末）人工放射性核素碘-131可发射射线治疗甲亢，已知该物质的半衰期为8天，设质量为a的碘-131经过x天后剩留的质量为y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024高一上·潮阳期末）已知，，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024高一上·潮阳期末）已知函数；则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2024高一上·潮阳期末）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（）与时间t（月）的关系为，则以下叙述正确的有（ ）
A．浮萍蔓延的面积逐月翻一番
B．第5个月时，浮萍面积会超过30
C．第7个月的浮萍面积超过第6个月和第8个月的平均值
D．浮萍每月增加的面积都相等
10．（2024高一上·潮阳期末）若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·潮阳期末）下列求解结果正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．
C．
D．若，则
12．（2024高一上·潮阳期末）已知函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是是奇函数，函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是是偶函数．则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点成中心对称图形
B．的图象关于成轴对称图形
C．的图象关于点成中心对称图形
D．的图象关于点成中心对称图形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024高一上·潮阳期末）命题p：“，”则命题p的否定为： ．
14．（2024高一上·潮阳期末）已知函数的值域是，记的定义域为： ．
15．（2024高一上·潮阳期末）记，那么 ．
16．（2024高一上·潮阳期末）已知函数，若对任意的正数a、b，满足，则的最小值为： ．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024高一上·潮阳期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．
（1）若，求及的值；
（2）若，求点P的坐标．
18．（2024高一上·潮阳期末）已知函数；
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求不等式的解集．
19．（2024高一上·潮阳期末）潮汕人喜欢喝功夫茶，茶水的口感和水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是℃，环境温度是℃，那么t分钟后茶水的温度（单位：℃）可由公式求得．现有刚泡好茶水温度是100℃，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．
（1）求k的值；
（2）经验表明，当室温为15℃时，该种茶刚泡好的茶水温度95℃，自然冷却至60℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1；参考值：，）
20．（2024高一上·潮阳期末）已知函数是偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）当时，函数有零点，求实数t的取值范围．
21．（2024高一上·潮阳期末）已知二次函数满足，恒成立；且，．
（1）求的解析式；
（2）对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
22．（2024高一上·潮阳期末）定义：函数若存在正常数T，使得，M为常数，对任意恒成；则称函数为“T代M阶函数”．
（1）判断下列函数是否为“2代M阶函数”？并说明理由．
①，②．
（2）设函数为“4代M阶函数”，其中是奇函数，是偶函数．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】运用诱导公式化简计算即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题设可得 ，所以 ， 故答案为：D
【分析】根据题意借助数轴由交集的定义即可求出结果。
3．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：A，定义域为，与不恒等，故A错误；
B、定义域为，显然与不恒等，故B错误；
C、定义域为，与不恒等，故C错误；
D、由解得，定义域关于原点对称，
又因为，所以是偶函数，故D正确.
故答案为：D.
【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，再判断对定义域内任意的是否都有即可.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由知，（当且仅当时，即，等号成立），
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式直接求解即可，注意需满足一正二定三相等.
5．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；余弦函数的性质；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由的图象可知在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
B、的定义域为，单调增区间为，在定义域内不是增函数，故B错误；
C、的定义域为，且，是偶函数，
，即是函数的一个周期，是周期函数，故C正确；
D、若，则的最小值为，若，则的最小值为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据和的图象可判断选项AB，由偶函数周期函数的定义可判断选项C，由三角函数的性质判断选项D.
6．【答案】A
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：由题意可知，经过一个半衰期（8天）后，剩留的质量为，
经过两个半衰期（16天）后，剩留的质量为，
经过三个半衰期（24天）后，剩留的质量为，
，
经过天后，剩留的质量为，.
故答案为：A.
【分析】结合题意根据指数函数定义求解即可.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，即，
可知由p可以推出q，则p是q的充分条件；
当时满足，但不满足，可知p不是q的必要条件；
综上，p是q的充分不必要条件.
故答案为：B.
【分析】利用作差法和举反例判断充分、必要条件.
8．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：.
【分析】根据函数解析式代入求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】“对数增长”模型
【解析】【解答】解：A、由图可知点在函数图象上，代入得，所以，所以，故正确；
B、当时，，故正确；
C、设，，时浮萍面积分别为，，，，，，，故错误；
D、第个月比第个月增加，第个月比第个月增加，且，实际上面积增长的速度越来越快，故错误.
故答案为：.
【分析】将点代入可得函数，结合选项依次判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】幂函数的图象与性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、 ，，故A正确；
B、，根据不等式的性质得，，故B正确；
C、，，故C错误；
D、幂函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用作差法可判断选项AC；利用不等式的性质可选项B；利用幂函数的单调性可判断选项D.
11．【答案】C,D
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解：A、由可得或，或x-1=0，解得或，故A不正确；
B、，故B错误；
C，，故C正确；
D，由得，即，
所以，故D正确．
故答案为：CD．
【分析】解不等式可判断选项A；利用对数的运算法则化简求值可判断选项B；把根式化为分数指数幂，利用幂的运算法则求值可判断选项C；利用三角恒等变换化简可判断选项D．
12．【答案】A,B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、，设，
的定义域为R且，为奇函数，的对称中心为，故A正确；
B、，
设
，
的定义域为R且，为偶函数，
关于对称，故B正确；
C、，设，
，不是奇函数，故C错误；
D，，设，
，不是奇函数，故D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用题中所给的对称满足的充要条件，结合函数的奇偶性、逐一代入验证求解.
13．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由命题：，知命题的否定为：，.
故答案为：，.
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，否定量词，否定结论即可.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数的值域是，解得，
又因为，所以，
所以定义域为，
故答案为：.
【分析】由指数函数的值域确定定义域，再由真数大于0列出不等式求解即可.
15．【答案】1
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】
.
故答案为：.
【分析】利用换底公式和对数运算法则结合已知条件化简求值即可.
16．【答案】4
【知识点】奇偶性与单调性的综合；基本不等式
【解析】【解答】解：函数的定义域为，又，
所以函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数，满足所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，再利用1的妙用可求得的最小值.
17．【答案】（1）解：角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，
当时，，则，
所以．
（2）解：依题意，，
由，得，代入，
于是，解得，
即，所以点P的坐标为．
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出点的横坐标及，再利用齐次式法计算即得.
（2）利用同角三角函数基本关系公，结合三角函数定义求解即可.
18．【答案】（1）解：函数在区间上是增函数，证明如下：
设，且，
则，
所以，
故函数在区间上是增函数．
（2）解：由
，即；可得；
所以且
解得或
因此不等式的解集为：
【知识点】函数单调性的判断与证明；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可，具体步骤是：取值、作差、变形、定号、下结论.
（2）根据对数函数单调性求解即可.
19．【答案】（1）解：依题意，，．
则
化简得，，
，
即：．（写也正确）
（2）解：由（1）得
令，
即．得，
；
得．
所以刚泡好的茶水大约需要放置2.7分钟才能达到最佳饮用口感．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）由所给函数模型结合已知条件列方程求解即可.
（2）由所给函数模型结合已知条件列方程，由指对互换以及对数的运算性质求解即可.
20．【答案】（1）解：因为是上的偶函数，所以，
即
解得，
经检验：当时，满足题意．（写：“当时，是偶函数”也正确）
（2）解：由（1）可知，所以，
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，因为，令
则由函数图象可知在单调递增，
所以，
所以实数的取值范围是
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先代特殊值求出实数a，然后按照偶函数的定义检验成立即可；
（2）化简，将问题转化为关于的方程有解，构造函数，研究其单调性解决问题.
21．【答案】（1）解：设，因为，所以．
因为，所以，即．
因为，所以，
由，得，所以．
（2）解：由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
法一：令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，
故对任意，只需要，不等式成立．
法二：若，显然成立．
若，即或
可得或；总存在
只需要或，而
所以，解得
综上可得，不等式成立．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）设二次函数，根据得到关于直线对称，再根据， 列出方程求解a、b、c的值即可；
（2）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，即可求解.关键是构造函数，即将不等式成立问题转化为求解函数的最值问题.
22．【答案】（1）解：①是2代阶函数，
因为，此时T=2，M=0，所以为2代0阶函数；
②不是2代阶函数，
因为，所以不是2代阶函数；
（2）解：由已知存在常数满足，
即，
令，则①，
令，则②，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
①+②，整理得，
令，则，又因为，
且，可得，所以
所以
【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题目提供的信息，利用“代阶函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“代阶函数”的定义，结合函数的奇偶性变形，得到，求解即可.
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