浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平测试数学试题
一、单选题：
1．（2024高一上·杭州期末）设集合， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】先求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高一上·杭州期末）若， 则 “” 是“且” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当，时，则，推不出且，故充分性不成立；
当且，则，即且可以推出，故必要性成立，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
3．（2024高一上·杭州期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数，分式有意义列不等式组求解即可.
4．（2024高一上·杭州期末）为了得到函数的图象， 只需把函数图象上的所有的点（ ）
A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，为了得到函数的图象，
只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位即可.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
5．（2024高一上·杭州期末）若函数是奇函数， 则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，
所以当时，，则，故.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代值求值即可.
6．（2024高一上·杭州期末）若， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，两边平方可得，解得，
因为，所以，且，
所以，所以，则，
故.
故答案为：B.
【分析】利用同角的三角函数关系求出，结合已知条件判断的范围，确定，再利用同角三角函数基本关系求出从而求值即可.
7．（2024高一上·杭州期末）已知， 且， 则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，，
则，
当且仅当，即，则，时等号成立，故的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用基本不等式求最值即可.
8．（2024高一上·杭州期末）已知函数， 若对于定义域内任意一个自变量都有， 则的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，函数恒成立，故符合题意；
当，若，即时，函数定义域为，显然恒成立，故符合题意；
若，即时，函数定义域为，
则，所以恒成立，故符合题意；
若，即时，函数的定义域为且
则取，则，
令，当时，，可以取得负值，故不符合题意.
当时，函数定义域为且，令，则.
当且时，，可以取得负值，故不符合题意；
综上所述，，即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可.
二、多选题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的或不选的得 0 分.
9．（2024高一上·杭州期末）下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确，
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据诱导公式以及三角函数的恒等变换公式化简求值逐项判断即可.
10．（2024高一上·杭州期末）下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：A、易知函数在上单调递增且值域为，故A符合；
B、函数的值域为，且单调递增，故B不符合；
C、函数在上单调递增，值域为，故C符合；
D、函数在和上单调递增，但在定义域上不具有单调性，故D不符合.
故答案为：AC.
【分析】根据基本初等函数的单调性以及值域逐项判断即可.
11．（2024高一上·杭州期末）高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 享有 “数学王子” 的美誉， 用其名字命名的 “高斯函数”：设， 用表示不超过的最大整数， 则称为高斯函数， 也叫取整函数， 则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数有3个零点
C．的最小正周期为
D．的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】余弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、当时，，则，
此时为的零点，零点有无数个，故B错误；
C、，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故C正确；
D、由C选项可知的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由“高斯函数”的定义结合的值即可判断A；举反例即可判断B；化简，结合余弦函数的周期性判断C，D.
12．（2024高一上·杭州期末）已知函数在区间上单调遂增， 则下列判断中正确的是（ ）
A．的最大值为 2
B．若， 则
C．若， 则
D．若函数两个零点间的最小距离为， 则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数在区间上单调递增，所以函数的最小正周期T满足，
所以，当时，成立，所以的最大值为2，故A正确；
B、因为在区间上单调递增，故，解得，
当时，，所以，所以，.
所以，又，故，可得，故B正确；
C、由于，故当时，，故C错误；
D、令，两个零点分别设为，，
则，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐项分析判断即可.
三、填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2024高一上·杭州期末）的值为 .
【答案】10
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】根据对数运算法则以及幂的运算法则计算即可.
14．（2024高一上·杭州期末）已知函数的定义域为， 且满足，则可以是 .(写出一个即可)
【答案】f(x)=sinπx ( 答案不唯一)
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，且满足，所以，故函数为奇函数；
又因为，所以，所以，
所以是以2为周期的周期函数，所以函数的解析式可以为：.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】先根据条件确定函数的奇偶性和周期性，再结合三角函数的性质写答案即可.
15．（2024高一上·杭州期末）已知， 则的值为 .
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以且，
所以，所以，即，
，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】结合角的取值范围，利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值即可.
16．（2023高一上·朝阳期末）已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】由已知， ，
观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，
若，则与函数图象矛盾，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合函数的定义域、函数的图象的对称性，进而找出满足要求的函数的解析式。
四、解答题：本题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
17．（2024高一上·杭州期末）已知集合， 集合.
（1）当时， 求；
（2）若， 求实数的值.
【答案】（1）解：由 ，解得，故集合，
当 时， ， 或 ，
所以 ， 或 ，
所以 ；
（2）解：若 ， 则
①当 ， 即 时， ， 此时无解；
②当 ， 即 时， ， 此时无解；
③当 即 时， ， 符合题意.
综合可知， 实数 的取值范围是 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合A，再将代入，求得集合，最后根据集合并集、补集运算求解即可；
（2）由可知，再根据集合的包含关系列不等式求解即可.
18．（2024高一上·杭州期末）如图所示， 在平面直角坐标系中， 角和角的顶点与坐标原点重合， 始边与轴的非负半轴重合， 终边分别与单位圆交于点、两点，点的横坐标为，点与点关于轴对称.
（1）求的值：
（2）若， 求的值.
【答案】（1）解：因为点 的横坐标为 所以 ，
所以 .
（2）解：由题意知 ， 所以 ，因为 ， 所以 ，又因为 ，
所以 ，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义结合诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角函数的定义以及两角差的余弦公式求解即可.
19．（2024高一上·杭州期末）已知函数， 且是定义在上的奇函数.
（1）求的值；
（2）若关于方程在有且仅有一个根， 求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数是上的奇函数，所以恒成立，
所以，即，即，
即，所以.
（2）解：，
设，则
因为在上单调递增，所以，
又，所以即，
所以是上的增函数.
在上只有一解.
问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解，
设，
①若或.
当时，，故符合题意；
当时，，故不符合题意；
②若，或，在只有一解，故符合题意；
若，方程或，在上有两解，故不符合题意；
③若，此时方程在上只有一解.
综上可知：.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式计算即可求得a的值；
（2）利用函数单调性的定义确定函数的单调性，再结合函数的奇偶性，将函数方程转化为代数方程，求实数的取值范围即可.
20．（2024高一上·杭州期末）设函数
（1）求函数的对称中心：
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的最小值.
【答案】（1）解：令 ， 解得 ，所以对称中心为
（2）解：
，
由题意得 在 上有最小值-1，又在上单调递减， 在 上单调递增， 所以 ， 即 的最小值为 .
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的对称性求解即可；
（2）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，再结合余弦函数的性质求解即可.
21．（2024高一上·杭州期末）为了进一步增强市场竞争力， 某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表.经过市场调研， 生产此款运动手表全年需投入固定成本100万， 每生产单位： 千只)手表， 需另投入可变成本万元， 且由市场调研知， 每部手机售价0.2万元， 且全年生产的手机当年能全部销售完.(利润销售额 - 固定成本 - 可变成本)
（1）求2024年的利润(单位： 万元) 关于年产量(单位： 千只) 的函数关系式.
（2）2024年的年产量为多少 (单位： 千只)时， 企业所获利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）解：
当 时，
当 时，
故
（2）解：若
当 时，
若
当且仅当x =80时，等号成立
当x=80时，W(x)max= 4940
故2024年的年产量为80千只时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）依题意可得，再分、求的解析式即可；
（2）利用二次函数的性质和基本不等式求最值，再比较大小即可求利润的最大值．
22．（2024高一上·杭州期末）已知函数.
（1）若函数有4个零点， 求证：；
（2）是否存在非零实数， 使得函数在区间上的取值范围为 若存在， 求出的取值范围： 若不存在， 请说明理由.
【答案】（1）解：因为函数 有 4 个零点
所以方程 有 4 个不同的解
于是方程 都各有两个不同的解
即方程 各有两个实数根，于是 .
（2）解：
所以y= f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增
若函数 在 $[a， b]$ 上不单调， 则有 ， 且 ， 由于 ， 所以 ， 与假设矛盾.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意得到方程有4个不同的解，即方程，各有两个实数根，利用韦达定理即可求证；
（2）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，再利用根的分布和基本不等式求解即可.
1 / 1浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平测试数学试题
一、单选题：
1．（2024高一上·杭州期末）设集合， 则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·杭州期末）若， 则 “” 是“且” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·杭州期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·杭州期末）为了得到函数的图象， 只需把函数图象上的所有的点（ ）
A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
5．（2024高一上·杭州期末）若函数是奇函数， 则（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024高一上·杭州期末）若， 则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·杭州期末）已知， 且， 则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
8．（2024高一上·杭州期末）已知函数， 若对于定义域内任意一个自变量都有， 则的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、多选题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的或不选的得 0 分.
9．（2024高一上·杭州期末）下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·杭州期末）下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·杭州期末）高斯是德国著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 享有 “数学王子” 的美誉， 用其名字命名的 “高斯函数”：设， 用表示不超过的最大整数， 则称为高斯函数， 也叫取整函数， 则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数有3个零点
C．的最小正周期为
D．的值域为
12．（2024高一上·杭州期末）已知函数在区间上单调遂增， 则下列判断中正确的是（ ）
A．的最大值为 2
B．若， 则
C．若， 则
D．若函数两个零点间的最小距离为， 则
三、填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2024高一上·杭州期末）的值为 .
14．（2024高一上·杭州期末）已知函数的定义域为， 且满足，则可以是 .(写出一个即可)
15．（2024高一上·杭州期末）已知， 则的值为 .
16．（2023高一上·朝阳期末）已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则 ．
四、解答题：本题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤
17．（2024高一上·杭州期末）已知集合， 集合.
（1）当时， 求；
（2）若， 求实数的值.
18．（2024高一上·杭州期末）如图所示， 在平面直角坐标系中， 角和角的顶点与坐标原点重合， 始边与轴的非负半轴重合， 终边分别与单位圆交于点、两点，点的横坐标为，点与点关于轴对称.
（1）求的值：
（2）若， 求的值.
19．（2024高一上·杭州期末）已知函数， 且是定义在上的奇函数.
（1）求的值；
（2）若关于方程在有且仅有一个根， 求实数的取值范围.
20．（2024高一上·杭州期末）设函数
（1）求函数的对称中心：
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的最小值.
21．（2024高一上·杭州期末）为了进一步增强市场竞争力， 某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表.经过市场调研， 生产此款运动手表全年需投入固定成本100万， 每生产单位： 千只)手表， 需另投入可变成本万元， 且由市场调研知， 每部手机售价0.2万元， 且全年生产的手机当年能全部销售完.(利润销售额 - 固定成本 - 可变成本)
（1）求2024年的利润(单位： 万元) 关于年产量(单位： 千只) 的函数关系式.
（2）2024年的年产量为多少 (单位： 千只)时， 企业所获利润最大 最大利润是多少
22．（2024高一上·杭州期末）已知函数.
（1）若函数有4个零点， 求证：；
（2）是否存在非零实数， 使得函数在区间上的取值范围为 若存在， 求出的取值范围： 若不存在， 请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】先求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当，时，则，推不出且，故充分性不成立；
当且，则，即且可以推出，故必要性成立，
所以“”是“且”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数，分式有意义列不等式组求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数，为了得到函数的图象，
只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位即可.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
5．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，
所以当时，，则，故.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代值求值即可.
6．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，两边平方可得，解得，
因为，所以，且，
所以，所以，则，
故.
故答案为：B.
【分析】利用同角的三角函数关系求出，结合已知条件判断的范围，确定，再利用同角三角函数基本关系求出从而求值即可.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以，，
则，
当且仅当，即，则，时等号成立，故的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】由题意，利用基本不等式求最值即可.
8．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，函数恒成立，故符合题意；
当，若，即时，函数定义域为，显然恒成立，故符合题意；
若，即时，函数定义域为，
则，所以恒成立，故符合题意；
若，即时，函数的定义域为且
则取，则，
令，当时，，可以取得负值，故不符合题意.
当时，函数定义域为且，令，则.
当且时，，可以取得负值，故不符合题意；
综上所述，，即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确，
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据诱导公式以及三角函数的恒等变换公式化简求值逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：A、易知函数在上单调递增且值域为，故A符合；
B、函数的值域为，且单调递增，故B不符合；
C、函数在上单调递增，值域为，故C符合；
D、函数在和上单调递增，但在定义域上不具有单调性，故D不符合.
故答案为：AC.
【分析】根据基本初等函数的单调性以及值域逐项判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】余弦函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、当时，，则，
此时为的零点，零点有无数个，故B错误；
C、，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故C正确；
D、由C选项可知的值域为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由“高斯函数”的定义结合的值即可判断A；举反例即可判断B；化简，结合余弦函数的周期性判断C，D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、函数在区间上单调递增，所以函数的最小正周期T满足，
所以，当时，成立，所以的最大值为2，故A正确；
B、因为在区间上单调递增，故，解得，
当时，，所以，所以，.
所以，又，故，可得，故B正确；
C、由于，故当时，，故C错误；
D、令，两个零点分别设为，，
则，因为，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐项分析判断即可.
13．【答案】10
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】根据对数运算法则以及幂的运算法则计算即可.
14．【答案】f(x)=sinπx ( 答案不唯一)
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，且满足，所以，故函数为奇函数；
又因为，所以，所以，
所以是以2为周期的周期函数，所以函数的解析式可以为：.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】先根据条件确定函数的奇偶性和周期性，再结合三角函数的性质写答案即可.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，所以且，
所以，所以，即，
，解得，
所以.
故答案为：.
【分析】结合角的取值范围，利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值即可.
16．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象
【解析】【解答】由已知， ，
观察图象可得的定义域为，所以或中必有一个函数为，且另一个函数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以或，
若，则与函数图象矛盾，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合函数的定义域、函数的图象的对称性，进而找出满足要求的函数的解析式。
17．【答案】（1）解：由 ，解得，故集合，
当 时， ， 或 ，
所以 ， 或 ，
所以 ；
（2）解：若 ， 则
①当 ， 即 时， ， 此时无解；
②当 ， 即 时， ， 此时无解；
③当 即 时， ， 符合题意.
综合可知， 实数 的取值范围是 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）解不等式求得集合A，再将代入，求得集合，最后根据集合并集、补集运算求解即可；
（2）由可知，再根据集合的包含关系列不等式求解即可.
18．【答案】（1）解：因为点 的横坐标为 所以 ，
所以 .
（2）解：由题意知 ， 所以 ，因为 ， 所以 ，又因为 ，
所以 ，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义结合诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角函数的定义以及两角差的余弦公式求解即可.
19．【答案】（1）解：因为函数是上的奇函数，所以恒成立，
所以，即，即，
即，所以.
（2）解：，
设，则
因为在上单调递增，所以，
又，所以即，
所以是上的增函数.
在上只有一解.
问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解，
设，
①若或.
当时，，故符合题意；
当时，，故不符合题意；
②若，或，在只有一解，故符合题意；
若，方程或，在上有两解，故不符合题意；
③若，此时方程在上只有一解.
综上可知：.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列式计算即可求得a的值；
（2）利用函数单调性的定义确定函数的单调性，再结合函数的奇偶性，将函数方程转化为代数方程，求实数的取值范围即可.
20．【答案】（1）解：令 ， 解得 ，所以对称中心为
（2）解：
，
由题意得 在 上有最小值-1，又在上单调递减， 在 上单调递增， 所以 ， 即 的最小值为 .
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的对称性求解即可；
（2）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，再结合余弦函数的性质求解即可.
21．【答案】（1）解：
当 时，
当 时，
故
（2）解：若
当 时，
若
当且仅当x =80时，等号成立
当x=80时，W(x)max= 4940
故2024年的年产量为80千只时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）依题意可得，再分、求的解析式即可；
（2）利用二次函数的性质和基本不等式求最值，再比较大小即可求利润的最大值．
22．【答案】（1）解：因为函数 有 4 个零点
所以方程 有 4 个不同的解
于是方程 都各有两个不同的解
即方程 各有两个实数根，于是 .
（2）解：
所以y= f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增
若函数 在 $[a， b]$ 上不单调， 则有 ， 且 ， 由于 ， 所以 ， 与假设矛盾.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由题意得到方程有4个不同的解，即方程，各有两个实数根，利用韦达定理即可求证；
（2）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，再利用根的分布和基本不等式求解即可.
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