高中数学人教A版（2019）必修2 8.5.1 直线与直线平行（23页ppt）

(共23张PPT)
第七章
8.5.1 直线与直线平行
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.借助长方体理解基本事实4,并能用基本事实4解决直线与直线平行问题. 1.数学抽象素养和空间想象素养.
2.借助长方体抽象出等角定理,能用等角定理解决空间角相等问题. 2.空间想象素养数学运算素养.
温故知新
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
“不共线的三点确定一个平面”.
1.平面的基本性质
α
A
B
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定平面，可记为平面ABC.
符号表示
存在唯一的平面α
α
A
l
P
B
点A在直线l上,记作A∈l;点B在直线l外,记作B l.
点A在平面α内,记作A∈α；点P在平面α外,记作P α.
温故知新
α
l
A
B
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；
直线l不在平面α内，记作l α.
基本事实2也可以用符号语言表示为
A∈l，B∈l,且A∈α, B∈α l α.
l
P
α
β
平面α与β相交于直线l,记作α∩β=l.
交线
基本事实3可以用符号语言表示为
P∈α，且P∈β α∩β=l,且P∈l.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
温故知新
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
α
a
A
B
C
α
b
a
P
α
b
a
推论1可以用符号语言表示为
推论2可以用符号语言表示为
推论3可以用符号语言表示为
直线a和点A，A a 存在唯一的平面α，使a α,A∈α.
直线a∩b=P 存在唯一的平面α，使a α,b α.
直线a∥b 存在唯一的平面α，使a α,b α.
温故知新
2.空间中直线与直线的位置关系
平行
相交
异面
位置关系
公共点个数
是否共面
没有
只有一个
没有
共面
不共面
共面
知新引入
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了两条直线平行的性质，以及判定两条直线平行的定理.类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容。本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质.
我们知道，在同一平面内,不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行,这两条直线互相平行.
在空间中,如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的结论？
知新引入
如图，在长方体ABCD-A'B'C'D' 中,DC//AB,
A'B'//AB.那么DC与A'B'平行吗？
观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
可以发现，DC//A'B'.
再观察我们所在的教室（如图），黑板边所在直线AA'和门枢所在直线CC'都平行于墙与墙的交线BB',那么CC'//AA'.这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
知新探究
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
设空间中的三条直线分别为a, b, c,基本事实4用符号语言表示为
a//c,b//c a//b.
a
b
c
e
d
基本事实4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行的依据．基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性．
知新探究
【例1】如图，如图 ,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,
CD,DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：
∵EH是△ABD的中位线，
分析：要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而EH,FG分别是△ABD和△CBD的中位线，从而它们都与BD平行且等于BD的一半.应用基本事实4，即可证明EH∥FG且EH=FG.
连接BD，
∴EH//BD,且 .
同理 FG//BD,且 .
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴EH FG.
知新探究
【例1】如图，如图 ,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,
CD,DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形．
拓展1 如果例1再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
菱形
拓展2 如果例1中G、H改成CD、DA的三等分点，那么四边形EFGH是什么图形
梯形
知新探究
在平面内, 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中这一结论是否仍然成立
与平面中的情况类似，当空间中两个角的两边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置：
对于图⑴我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B'A'C'是它们对应角，从而证明∠BAC=∠B'A'C'.
知新探究
情形一：
如图⑴，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD＝A'D' ，AE＝A'E'．连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'．
∵AD A'D'，
∴四边形ADD'A'是平行四边形．
∴AA' DD'，
同理可证AA' EE' ，
∴DD' EE' ，
∴四边形DD'E'E是平行四边形．
∴DE＝D'E'．
∴△ADE≌△A'D'E'
∴∠BAC＝∠B'A'C'.
知新探究
如何证明情形二？请同学们自己思考.
D
提示：如图⑵，在平面ABC中，作CD//AB,即∠BAC+∠ACD=180°.
∵AB//A'B',
∴CD//A'B',
又∵AC//A'C',
∴∠ACD＝∠B'A'C'.
∴∠BAC+∠B'A'C'=180°.
这样，我们就得到了如下定理：
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
知新探究
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
符号语言表示
在∠BAC与∠B'A'C'中,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180°.
知新探究
定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
结论1 若空间中两个角的两边分别对应平行，且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等.
等角定理
符号语言表示
在∠BAC与∠B'A'C'中,AB∥A'B',AC∥A'C',且方向都相同（或方向都相反），则∠BAC=∠B'A'C'.
结论2 若空间中两个角的两边分别对应平行，且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补.
符号语言表示
在∠BAC与∠B'A'C'中,AB∥A'B',AC∥A'C',且一组对应
边方向相同，另一组对应边方向相反，则∠BAC+∠B'A'C'=180°.
知新探究
【例2】如图已知E、E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AD、A1D1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1.
证明：
如图连接EE1,
∵E1、E分别为AD、A1D1的中点，
∴A1E1∥AE,
∴A1E1EA为平行四边形.
∴E1E B1B.
又∵A1A B1B.
∴A1A E1E.
∴E1EBB1为平行四边形.
∴E1B1∥EB.
同理可得 E1C1∥EC.
∴∠BEC=∠B1E1C1.
又∵∠BEC与∠B1E1C1相同方向.
初试身手
1.三棱柱ABC A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB.
证明：
∵N，P分别是BB1，CC1的中点，
∴四边形BPC1N为平行四边形，
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
P
∴BN C1P，
∴C1N∥BP.
同理可证C1M∥AP，
又∵∠MC1N与∠APB方向相同，
∴∠MC1N＝∠APB.
课堂小结
1.平面的基本性质
2.定理 如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
设空间中的三条直线分别为a, b, c,基本事实4用符号语言表示为
a//c,b//c a//b.
基本事实4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
等角定理
在∠BAC与∠B'A'C'中,AB∥A'B',
AC∥A'C',且方向都相同（或方向都相反），则∠BAC=∠B'A'C'.
在∠BAC与∠B'A'C'中,
AB∥A'B',AC∥A'C',且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则∠BAC+∠B'A'C'=180°.
作业布置
作业： P135 练习 第2，3，4题.
P143 习题8.5 第3，4题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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