湖北省武汉市常青第一中学分配生2022年九年级下学期自主招生数学试题
一、选择题（本题共有10小题，每题5分，共50分，从每小题四个选项中选出一个正确选项）
1．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即1.4960亿千米，用科学记数法表示1个天文单位应是（）
A．1.4960×107千米 B．14.960×107千米
C．1.4960×108千米 D．0.14960×109千米
2．（2022九下·武汉自主招生） 关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·章丘模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝ 在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·武汉期末）在平面直角坐标系中，抛物线 经变换后得到抛物线 ，则下列变换正确的是（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
6．（2022九下·武汉自主招生）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）.
A．15 B． C．12 D．18
7．（2022九下·武汉自主招生） 已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A，B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九下·武汉自主招生） 某班四个学习兴趣小组的学生分布如图①②，现通过对四个小组学生寒假期间所读课外书情况进行调查，并制成各小组读书情况的条形统计图③，根据统计图中的信息：这四个小组平均每人读书的本数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022九下·武汉自主招生） 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ）
A．-5 B．-1 C．3 D．5
10．（2022九下·武汉自主招生） 如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共有6小题，每题5分，共30分）
11．（2022九下·武汉自主招生） 计算： ．
12．（2022九下·武汉自主招生）已知，则 .
13．（2022九下·武汉自主招生） 甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .
14．（2016·武汉）如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．
15．（2022九下·武汉自主招生） 如图，四边形中，，E是边的中点.已知，，当为直角三角形时，则边的长是 ．
16．（2021九上·萧山期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，把抛物线在 轴及其上方的部分记作 ，将 向右平移得 ， 与 轴交于点 ， ，若直线 与 ， 共有 个不同的交点，则 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共2题，共20分）
17．（2022九下·武汉自主招生）已知，是的直径，与相切于点，，点在上，且，两点位于异侧，，连接．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，若，，作于点，连接，求线段的长．
18．（2022九下·武汉自主招生）如图1在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且，，.
（1）求过A、D、E三点的拋物线的解析式；
（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点G，交直线于点H，平行于y轴的直线，在抛物线的对称轴左侧，交抛物线于S，交直线于T，若，求a的值；
（3）如图3，将抛物线平移使顶点落在原点上，在射线上确定一点P，过点P作直线，交y轴于点F，交抛物线于M，N，若外心在边上，且，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1.4960亿有9位，所以可以确定n=9-1=8．
【解答】1.4960亿=1.4960×108．
故选：C
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根
∴且k-1≠0，解得k≥-3且k≠1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列不等式即可求出k的取值范围.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得有两层，上层右边是1个正方形；下层有1个长方形，且中间有一看不见的竖线。
故选C.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＞0，
∴b＜0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数开口方向，可以判断出a的正负，根据对称轴的位置和a的正负，可以判断出b的正负，再根抛物线与y轴的交点，可以判断出c的正负，然后根据a、b、c的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=（x+2）（x﹣4）=（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）.
y=（x﹣2）（x+4）=（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）.
所以将抛物线y=（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y=（x﹣2）（x+4），
故答案为：C.
【分析】分别求出平移前后的两抛物线的顶点坐标，利用顶点坐标可得平移的方法.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱沿着过点A的母线剪开，标注字母，找到点A关于点E对称的点A'，根据两点之间线段最短，连接A'C即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，如下图：
过点A'作A'D垂直于过点C的母线的延长线上与点D，可得A'D=18÷2=9cm，CD=4+12-4=12cm；
∴A'C==15cm
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm
故答案为：A.
【分析】根据轴对称-两点间最短距离的性质，找到点A的对称点，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的位置；根据勾股定理即可求出线段的长度.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵A，B两点关于y轴对称，点A的坐标为（m，n），
∴点B的坐标为（-m，n）
∵点A在双曲线上，点B在直线上
∴mn=-2，n=-m-4即m+n=-4；
∴
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称的点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点B的坐标；根据反比例函数和一次函数上点的性质，可得m+n和mn的值；将所求代数式进行化简，然后将m+n和mn的值代入即可求解.
8．【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：一共有学生14÷28%=50（人）；
二组的人数为50×24%=12（人）；
四组的人数为50-14-12-13=11（人）；
这四个小组平均每人读书的本数==6.
故答案为：C.
【分析】根据图①和图②，可得第一组的学生人数和占比，根据总学生数=第一组学生人数÷第一组学生人数的占比，可得总的学生数；根据总人数×二组学生数占比，可得二组的学生人数；根据总人数-一组学生数-二组学生数-三组学生数，即可求得四组学生数；根据平均人数=即可解题.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：根据题意， A1（x，y）的友好点A2 为（y-1，-x-1） ；
A2 的友好点为A3 （-x-1-1，-y+1-1）即 A3 （-x-2，-y）；
A3 的友好点为A4 （-y-1，x+2-1）即 A4 （-y-1，x+1）；
A4 的友好点A5（下+1-1，y+1-1）即A5（x，y）；
由此可知，每5个友好点循环；
∵2022÷5=404……2
∴y-1=1，解得y=2，-x-1=-2，解得x=1；
∴x+y=1+2=3
故答案为：C.
【分析】根据新的定义，分别求出相应的友好点的坐标，发现规律，列方程计算即可.
10．【答案】B
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：连接OB，OP，OA，并延长BO交PA的延长线与点F，如下图：
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴PA=PB，CA=CE，DE=DB，OA⊥PF，OB⊥PB
∵△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA=3r
∴PA=PB=r
∵OA⊥PF，OB⊥PB
∴∠OAF=∠PBO
又∵∠PFB=∠PFB
∴△FAO∽△FBP
∴
∴AF=BF
设BF=x，则AF=x，PF=x+r；
∴，解得x=；
∴tan∠APB=
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线的性质，可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，OA⊥PF，OB⊥PB；根据三角形周长公式，列方程可求出PA=PB=r；根据三角形相似，对应边成比例，可求出AF=BF；根据三角函数的定义，列代数式即可求解.
11．【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：原式=1+-2×+4=5
故答案为：5.
【分析】任何数的0指数幂都等于1；负数的绝对值是正数；根据特殊角的三角函数值，可得cos45°的值；分数的-1次幂，分子和分母互换位置，可得其值；最后根据实数的混合运算依次计算即可.
12．【答案】10
【知识点】平方差公式及应用；等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：10.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时乘以一个相同的数，等式不变，将坐标代数式变成平方差公式，化简合并即可求值.
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下，
由树状图可知，一共有16种情况，其中满足 的情况有10种；
∴甲、乙两人“心有灵犀”的概率是=
故答案为：.
【分析】根据题意，画树状图，列举所有情况和所求情况数，根据概率的定义即可求解.
14．【答案】36°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，
∴∠FED′=108°﹣72°=36°；
故答案为：36°．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
15．【答案】2
【知识点】角的运算；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ACE为直角三角形
∴∠AEC=∠D=90°
∵AD=1，AB=2，点E是AB的中点，
∴AD=AE=BE=1
∴CA平分∠DCE，CA=CB
∴∠DCA=∠ACE=∠BCE=90°÷3=30°
∴BC=2BE=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的判定和性质，可得∠DCA=∠ACE；根据等腰三角形的判定和性质，可得CA=CB，CA=CB；根据角的和差性质，可得∠DCA=∠ACE=∠BCE=30°；根据含30°角的直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半即可求出BC的长.
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1，0），B（3，0）由于C1向右平移两个长度单位得C2，则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－ ，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－ 时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－ .
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
17．【答案】（1）证明：连接OD，如下图，
∵EF与圆相切
∴OD⊥EF
∵EF∥AB
∴∠BOD=∠AOD=∠ODF=90°
∵∠DCB=∠BOD=45°，∠ACD=∠AOD=45°，
∴∠DCB=∠ACD
∴CD平分∠ACB
（2）解：连接DA和OD，过点O作ON⊥CD交于点N，取AD的中点为H，连接OH和MH，如下图，
由（1）可知，∠AOD=90°，∠DCB=∠ACD=45°；
∵AM⊥CD，∠AOD=90°，点H是AD的中点，
∴AH=DH=MH=OH=AD，CM=AM，∠CAM=∠ACD=45°，
∵AC=6
∴AM=CM=3
∴DM=CD-CM=7-3=4
∴AD=
∴DO=5
∵AH=DH=MH=OH
∴A、M、O、D都在以H为圆心的圆上
∴∠OMD=∠OAD=45°
∵ON⊥CD
∴△OMN是等腰直角三角形
设MN=ON=x，则DN=DM-MN=4-x；
∴，解得x=；
∵x＜4
∴x=
∴OM==1.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据圆的切线性质，可得OD⊥EF；根据平行线的性质，可得∠BOD=∠AOD=90°；根据等量代换原则和角平分线的判定，即可解题；
（2）根据勾股定理，可得AM、CM、AD的长；根据圆上同弧所对的圆周角相等，可得∠OMD=∠OAD；根据等腰直角三角形的判定和性质，可得MN=ON；根据勾股定理，列一元二次方程，即可解得MN的值，进而求出OM的值.
18．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=CD=5，∠B=∠ADC
∴sinB=sin∠ADC==
∴OC=5×=4
∵OC=2CE
∴OE=OC+CE=2+4=6
∴点E的坐标为（0，6）
∵OE⊥AD
∴OD==3
∴OA=5-2=2
∴点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（3，0）
设抛物线的解析式为y=a+bx+c，将点E的坐标代入，可得c=6；
将点A和B的坐标代入，可得
，解得；
∴抛物线的解析式为
（2）解：设直线CD的解析式为y=kx+m，由（1）可知点C的坐标为（0，4），A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（-5，4）；
∵
∴抛物线的对称轴为直线x=
∴a＜
将点C和D的坐标代入直线CD的解析式，可得
，解得；
∴直线CD的解析式为y=x+4
同理，可得直线AB的解析式为y=x-；
∵点G在直线x=2上且在抛物线C1上，点H在直线CD上；
∴可得点G的坐标为-4+2+6=4，即点G的坐标为（2，4）；点H的纵坐标为×2+4=；
∴GH=4-=
同理，可得ST=；
∵GH：ST=4：3
∴ST=GH=×=2，解得a=（舍去）；
∴可得或
（3）解：由平移的性质，可得平移后的抛物线解析式为；
设点M为（m，），N为（n，）；
∵△MON的外心在MN上
∴△MON为直角三角形，∠MON=90°；
∴，化简可得mn=-1，即n=；
将点M和N的坐标代入直线MN的解析式，根据待定系数法，可得；
当x=0时，y=-1，即点F为（0，-1）；
∴CF=4+1=5
设点P的坐标为（t，t+4），则；
∵∠NPC=∠OCP
∴PF=PC
∴，解得t=或0（舍去）；
当x=时，×+4=；
∴点P的坐标为.
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可得AB=AD=BC=CD=5，∠B=∠ADC；根据三角函数的定义，可列代数式，求得OC的值；根据勾股定理，可得OD的值，进而可得点A、D和E的坐标，代入抛物线的解析式，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式的变形，可得抛物线的对称轴，即可得a的取值范围；根据待定系数法解一次函数解析式，可得直线CD和AB的解析式；根据两点间的距离公式列一元二次方程，即可解得a的值；
（3）根据圆周角的性质，可得三角形MON为直角形；根据勾股定理，可得mn=-1；根据待定系数法解一次函数解析式，可得直线MN的解析式；根据两点间的距离公式列一元二次方程，即可解得t的值；根据一次函数上点的性质，即可求得点P的坐标.
1 / 1湖北省武汉市常青第一中学分配生2022年九年级下学期自主招生数学试题
一、选择题（本题共有10小题，每题5分，共50分，从每小题四个选项中选出一个正确选项）
1．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间平均距离，即1.4960亿千米，用科学记数法表示1个天文单位应是（）
A．1.4960×107千米 B．14.960×107千米
C．1.4960×108千米 D．0.14960×109千米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1.4960亿有9位，所以可以确定n=9-1=8．
【解答】1.4960亿=1.4960×108．
故选：C
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
2．（2022九下·武汉自主招生） 关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有两个实数根
∴且k-1≠0，解得k≥-3且k≠1.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列不等式即可求出k的取值范围.
3．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得有两层，上层右边是1个正方形；下层有1个长方形，且中间有一看不见的竖线。
故选C.
4．（2020·章丘模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝ 在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＞0，
∴b＜0，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝1时，a﹣b+c＜0，
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数开口方向，可以判断出a的正负，根据对称轴的位置和a的正负，可以判断出b的正负，再根抛物线与y轴的交点，可以判断出c的正负，然后根据a、b、c的正负去判断一次函数和二次函数在坐标系中的位置即可.
5．（2021九上·武汉期末）在平面直角坐标系中，抛物线 经变换后得到抛物线 ，则下列变换正确的是（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=（x+2）（x﹣4）=（x﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）.
y=（x﹣2）（x+4）=（x+1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）.
所以将抛物线y=（x+2）（x﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y=（x﹣2）（x+4），
故答案为：C.
【分析】分别求出平移前后的两抛物线的顶点坐标，利用顶点坐标可得平移的方法.
6．（2022九下·武汉自主招生）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）.
A．15 B． C．12 D．18
【答案】A
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱沿着过点A的母线剪开，标注字母，找到点A关于点E对称的点A'，根据两点之间线段最短，连接A'C即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，如下图：
过点A'作A'D垂直于过点C的母线的延长线上与点D，可得A'D=18÷2=9cm，CD=4+12-4=12cm；
∴A'C==15cm
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm
故答案为：A.
【分析】根据轴对称-两点间最短距离的性质，找到点A的对称点，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的位置；根据勾股定理即可求出线段的长度.
7．（2022九下·武汉自主招生） 已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A，B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵A，B两点关于y轴对称，点A的坐标为（m，n），
∴点B的坐标为（-m，n）
∵点A在双曲线上，点B在直线上
∴mn=-2，n=-m-4即m+n=-4；
∴
故答案为：A.
【分析】根据关于y轴对称的点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点B的坐标；根据反比例函数和一次函数上点的性质，可得m+n和mn的值；将所求代数式进行化简，然后将m+n和mn的值代入即可求解.
8．（2022九下·武汉自主招生） 某班四个学习兴趣小组的学生分布如图①②，现通过对四个小组学生寒假期间所读课外书情况进行调查，并制成各小组读书情况的条形统计图③，根据统计图中的信息：这四个小组平均每人读书的本数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】解：一共有学生14÷28%=50（人）；
二组的人数为50×24%=12（人）；
四组的人数为50-14-12-13=11（人）；
这四个小组平均每人读书的本数==6.
故答案为：C.
【分析】根据图①和图②，可得第一组的学生人数和占比，根据总学生数=第一组学生人数÷第一组学生人数的占比，可得总的学生数；根据总人数×二组学生数占比，可得二组的学生人数；根据总人数-一组学生数-二组学生数-三组学生数，即可求得四组学生数；根据平均人数=即可解题.
9．（2022九下·武汉自主招生） 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把P1（y－1，－x－1）叫做点P的友好点，已知点A1的友好点为A2，点A2的友好点为A3，点A3的友好点为A4，这样依次得到各点．若A2022的坐标为（1，-2），设A1（x，y），则x+y的值是（ ）
A．-5 B．-1 C．3 D．5
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：根据题意， A1（x，y）的友好点A2 为（y-1，-x-1） ；
A2 的友好点为A3 （-x-1-1，-y+1-1）即 A3 （-x-2，-y）；
A3 的友好点为A4 （-y-1，x+2-1）即 A4 （-y-1，x+1）；
A4 的友好点A5（下+1-1，y+1-1）即A5（x，y）；
由此可知，每5个友好点循环；
∵2022÷5=404……2
∴y-1=1，解得y=2，-x-1=-2，解得x=1；
∴x+y=1+2=3
故答案为：C.
【分析】根据新的定义，分别求出相应的友好点的坐标，发现规律，列方程计算即可.
10．（2022九下·武汉自主招生） 如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：连接OB，OP，OA，并延长BO交PA的延长线与点F，如下图：
∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E
∴PA=PB，CA=CE，DE=DB，OA⊥PF，OB⊥PB
∵△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA=3r
∴PA=PB=r
∵OA⊥PF，OB⊥PB
∴∠OAF=∠PBO
又∵∠PFB=∠PFB
∴△FAO∽△FBP
∴
∴AF=BF
设BF=x，则AF=x，PF=x+r；
∴，解得x=；
∴tan∠APB=
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线的性质，可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，OA⊥PF，OB⊥PB；根据三角形周长公式，列方程可求出PA=PB=r；根据三角形相似，对应边成比例，可求出AF=BF；根据三角函数的定义，列代数式即可求解.
二、填空题（本题共有6小题，每题5分，共30分）
11．（2022九下·武汉自主招生） 计算： ．
【答案】5
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：原式=1+-2×+4=5
故答案为：5.
【分析】任何数的0指数幂都等于1；负数的绝对值是正数；根据特殊角的三角函数值，可得cos45°的值；分数的-1次幂，分子和分母互换位置，可得其值；最后根据实数的混合运算依次计算即可.
12．（2022九下·武汉自主招生）已知，则 .
【答案】10
【知识点】平方差公式及应用；等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：10.
【分析】根据等式的性质，等式两边同时乘以一个相同的数，等式不变，将坐标代数式变成平方差公式，化简合并即可求值.
13．（2022九下·武汉自主招生） 甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲心中任选一个数字，记为m，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为n．若m、n满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”．则甲、乙两人“心有灵犀”的概率是 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下，
由树状图可知，一共有16种情况，其中满足 的情况有10种；
∴甲、乙两人“心有灵犀”的概率是=
故答案为：.
【分析】根据题意，画树状图，列举所有情况和所求情况数，根据概率的定义即可求解.
14．（2016·武汉）如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为 ．
【答案】36°
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，
∴∠FED′=108°﹣72°=36°；
故答案为：36°．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．
15．（2022九下·武汉自主招生） 如图，四边形中，，E是边的中点.已知，，当为直角三角形时，则边的长是 ．
【答案】2
【知识点】角的运算；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ACE为直角三角形
∴∠AEC=∠D=90°
∵AD=1，AB=2，点E是AB的中点，
∴AD=AE=BE=1
∴CA平分∠DCE，CA=CB
∴∠DCA=∠ACE=∠BCE=90°÷3=30°
∴BC=2BE=2
故答案为：2.
【分析】根据角平分线的判定和性质，可得∠DCA=∠ACE；根据等腰三角形的判定和性质，可得CA=CB，CA=CB；根据角的和差性质，可得∠DCA=∠ACE=∠BCE=30°；根据含30°角的直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半即可求出BC的长.
16．（2021九上·萧山期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，把抛物线在 轴及其上方的部分记作 ，将 向右平移得 ， 与 轴交于点 ， ，若直线 与 ， 共有 个不同的交点，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】令y＝－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，则点A（1，0），B（3，0）由于C1向右平移两个长度单位得C2，则C2解析式为y＝－2（x－4）2＋2（3≤x≤5），当y＝x＋m1与C2相切时，令y＝x＋m1＝y＝－2（x－4）2＋2，即2x2－15x＋30＋m1＝0，△＝－8m1－15＝0，解得m1＝－ ，当y＝x＋m2过点B时，即0＝3＋m2，m2＝－3，当－3＜m＜－ 时直线y＝x＋m与C1、C2共有3个不同交点，故答案是－3＜m＜－ .
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
三、解答题（本大题共2题，共20分）
17．（2022九下·武汉自主招生）已知，是的直径，与相切于点，，点在上，且，两点位于异侧，，连接．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，若，，作于点，连接，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接OD，如下图，
∵EF与圆相切
∴OD⊥EF
∵EF∥AB
∴∠BOD=∠AOD=∠ODF=90°
∵∠DCB=∠BOD=45°，∠ACD=∠AOD=45°，
∴∠DCB=∠ACD
∴CD平分∠ACB
（2）解：连接DA和OD，过点O作ON⊥CD交于点N，取AD的中点为H，连接OH和MH，如下图，
由（1）可知，∠AOD=90°，∠DCB=∠ACD=45°；
∵AM⊥CD，∠AOD=90°，点H是AD的中点，
∴AH=DH=MH=OH=AD，CM=AM，∠CAM=∠ACD=45°，
∵AC=6
∴AM=CM=3
∴DM=CD-CM=7-3=4
∴AD=
∴DO=5
∵AH=DH=MH=OH
∴A、M、O、D都在以H为圆心的圆上
∴∠OMD=∠OAD=45°
∵ON⊥CD
∴△OMN是等腰直角三角形
设MN=ON=x，则DN=DM-MN=4-x；
∴，解得x=；
∵x＜4
∴x=
∴OM==1.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据圆的切线性质，可得OD⊥EF；根据平行线的性质，可得∠BOD=∠AOD=90°；根据等量代换原则和角平分线的判定，即可解题；
（2）根据勾股定理，可得AM、CM、AD的长；根据圆上同弧所对的圆周角相等，可得∠OMD=∠OAD；根据等腰直角三角形的判定和性质，可得MN=ON；根据勾股定理，列一元二次方程，即可解得MN的值，进而求出OM的值.
18．（2022九下·武汉自主招生）如图1在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且，，.
（1）求过A、D、E三点的拋物线的解析式；
（2）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点G，交直线于点H，平行于y轴的直线，在抛物线的对称轴左侧，交抛物线于S，交直线于T，若，求a的值；
（3）如图3，将抛物线平移使顶点落在原点上，在射线上确定一点P，过点P作直线，交y轴于点F，交抛物线于M，N，若外心在边上，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD=BC=CD=5，∠B=∠ADC
∴sinB=sin∠ADC==
∴OC=5×=4
∵OC=2CE
∴OE=OC+CE=2+4=6
∴点E的坐标为（0，6）
∵OE⊥AD
∴OD==3
∴OA=5-2=2
∴点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（3，0）
设抛物线的解析式为y=a+bx+c，将点E的坐标代入，可得c=6；
将点A和B的坐标代入，可得
，解得；
∴抛物线的解析式为
（2）解：设直线CD的解析式为y=kx+m，由（1）可知点C的坐标为（0，4），A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（-5，4）；
∵
∴抛物线的对称轴为直线x=
∴a＜
将点C和D的坐标代入直线CD的解析式，可得
，解得；
∴直线CD的解析式为y=x+4
同理，可得直线AB的解析式为y=x-；
∵点G在直线x=2上且在抛物线C1上，点H在直线CD上；
∴可得点G的坐标为-4+2+6=4，即点G的坐标为（2，4）；点H的纵坐标为×2+4=；
∴GH=4-=
同理，可得ST=；
∵GH：ST=4：3
∴ST=GH=×=2，解得a=（舍去）；
∴可得或
（3）解：由平移的性质，可得平移后的抛物线解析式为；
设点M为（m，），N为（n，）；
∵△MON的外心在MN上
∴△MON为直角三角形，∠MON=90°；
∴，化简可得mn=-1，即n=；
将点M和N的坐标代入直线MN的解析式，根据待定系数法，可得；
当x=0时，y=-1，即点F为（0，-1）；
∴CF=4+1=5
设点P的坐标为（t，t+4），则；
∵∠NPC=∠OCP
∴PF=PC
∴，解得t=或0（舍去）；
当x=时，×+4=；
∴点P的坐标为.
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，可得AB=AD=BC=CD=5，∠B=∠ADC；根据三角函数的定义，可列代数式，求得OC的值；根据勾股定理，可得OD的值，进而可得点A、D和E的坐标，代入抛物线的解析式，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式的变形，可得抛物线的对称轴，即可得a的取值范围；根据待定系数法解一次函数解析式，可得直线CD和AB的解析式；根据两点间的距离公式列一元二次方程，即可解得a的值；
（3）根据圆周角的性质，可得三角形MON为直角形；根据勾股定理，可得mn=-1；根据待定系数法解一次函数解析式，可得直线MN的解析式；根据两点间的距离公式列一元二次方程，即可解得t的值；根据一次函数上点的性质，即可求得点P的坐标.
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