2023-2024学年内蒙古乌兰察布市化德三中九年级（下）段测数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年内蒙古乌兰察布市化德三中九年级（下）段测数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在一幅比例尺是：的地图上，量得上海到杭州的距离是那么上海到杭州的实际距离是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.下列命题是假命题的是( )
A. 在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
B. 圆内接四边形的对角互补
C. 三角形的内心到三边的距离相等
D. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点
6.某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件元降至元，平均每次降价的百分率是( )
A. B. C. D.
7.若，是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
8.关于二次函数，下列说法错误的是( )
A. 图象的开口方向向上
B. 图象的顶点坐标为，函数的最小值为
C. 图象的对称轴为直线，当时，随的增大而减小
D. 图象可由抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到
9.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面米，同时量得米，米，则旗杆高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10.如图，二次函数的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是( )
A. ，，
B.
C. 当时，
D. 当时，随的增大而减小
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．
12.如图，在中，为的直径，弦，，则______度．
13.如图，身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得米，米，则旗杆的高度是______米．
14.若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ．
15.如图，各边长都大于，、、的半径都等于，则图中三个阴影部分的面积之和为______结果保留
16.如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是______．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.如图，王海同学为了测量校园内一棵大树的高度，他走到了校园的围墙外如图所示，然后他沿着过点与墙垂直的直线从远处向围墙靠近至处，使大树恰好被围墙挡住顶端和树的顶端时，三点在同一条直线上．若米，米，米，王海身高米．求大树的高度．
18.如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果，分别从，两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于？
几秒钟后，，两点之间的距离等于？
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程：．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点小正方形的顶点上，每个小正方形的边长均为个单位长度．
画出关于原点对称的图形，并写出，的坐标；
求出的面积．
21.本小题分
为了解某校中学生对最强大脑、朗读者、中国诗词大会、出彩中国人四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查统计要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，并将调查结果绘制成如图统计图表：根据以上提供的信息，解答下列问题：
节目 人数名 百分比
最强大脑
朗读者
中国诗词大会
出彩中国人
______，______，______；
补全上面的条形统计图；
在喜爱最强大脑的学生中，有名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动，请用树状图或列表法求出所抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的概率．
22.本小题分
如图，是的直径，点是上一点，与的延长线相交于点，平分，于点．
求证：是的切线．
若，，求阴影部分的面积结果保留根号及
23.本小题分
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件．
为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利元；
平均每天盈利元，可能吗？请说明理由．
24.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知点的坐标为，点的坐标为．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：
厘米，
厘米千米．
答：上海到杭州的实际距离是千米．
故选：．
要求厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值计算即可求解．
考查了比例线段，解答此题的关键是根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
3.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，，
，
，
故选：．
根据平行线，得到∽，由相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5.【答案】
【解析】解：在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等或互补，故A选项错误，是假命题，符合题意；
圆内接四边形的对角互补，故B正确，是真命题，不符合题意；
三角形的内心到三边的距离相等，故C正确，是真命题，不符合题意；
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故D正确，是真命题，不符合题意；
故选：．
根据命题对错逐个判断即可得到答案；
本题考查命题真假的判断，解题关键是熟练掌握各选项知识点．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量价格为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是增长用“”，下降用“”．
如果价格每次降价的百分率为，降一次后就是降到价格的倍，连降两次就是降到原来的倍．则两次降价后的价格是，即可列方程求解．
【解答】
解：设平均每次降价的百分率为，由题意得
，
解得：，不符合题意，舍去．
答：平均每次降价的百分率是．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，即，则可化简为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：是方程的实数根，
，
，
，
、是方程的两个实数根，
，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：、二次函数，
，函数的图象开口向上，正确，不符合题意；
B、图象的顶点坐标为，函数的最小值为，正确，不符合题意；
C、图象的对称轴为直线，当时，随的增大而减小，正确，不符合题意；
D、图象可由抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，不正确，符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
米，
故选：．
根据镜面反射的性质以及可以得出∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用．
10.【答案】
【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，所以选项错误；
抛物线与轴有个交点，
，所以选项错误；
当时，，所以选项错误；
抛物线与轴交于点、，
当时，，所以选项错误；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，所以选项正确．
故选D．
由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，于是可对选项进行判断；根据抛物线与轴的交点个数可对选项进行判断；根据函数图象，利用函数图象在轴上方所对应的自变量的取值范围对选项进行判断；根据二次函数的性质对选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，解得，
故答案是：．
由反比例函数所在的象限可得到关于的不等式，可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：为的直径，弦，
由垂径定理知，弧弧，
所以有．
根据垂径定理和圆周角定理求解．
本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
∽，
，
，
解得：．
故答案为：．
根据相似三角形的判定推出∽，得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能根据相似三角形的判定定理推出两三角形相似是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
抛物线与轴有交点，
，解得：．
故答案为：．
根据抛物线与轴有交点则方程有实数根，根据根的判别式即可解答．
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数与轴有交点，则对应一元二次方程有实数根．
15.【答案】
【解析】解：由于，
因此阴影部分的面积为半径为的半圆面积，即，
故答案为：．
求出半径为的半圆面积即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提，将三个扇形转换为半圆是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：抛物线交轴于点，对称轴为直线，
图象过点，
图象开口向下，
当时，的取值范围是．
故答案为：．
根据图象的对称性可知图象过点，再根据图象开口向下，即可得当时，的取值范围．
此题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17.【答案】解：如图，作于，交于，则，，，，
，
∽，
，即，
，
．
答：大树的高度为米．
【解析】作于，交于，则，，，，证明∽，利用相似比计算出，然后计算即可．
本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
18.【答案】解：根据题意，知
，．
根据三角形的面积公式，得
，
，
，
解得或．
故经过或秒钟，的面积等于；
根据勾股定理，得
，
，
解得，．
故或秒钟后，，两点之间的距离等于．
【解析】根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
根据题意表示出、的长，再根据勾股定理列方程即可．
考查了一元二次方程的应用，勾股定理，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．
19.【答案】解：，即：，
这里，，，
，
，
，．
【解析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
本题考查了一元二次方程的解法，掌握并灵活选用一元二次方程的解法是解决问题的关键．
20.【答案】解：作出、、关于原点对称的坐标特征写出、、，连接，，，
，
如图，即为所求，点，；
．
【解析】先作出、、关于原点对称的坐标特征写出、、的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标；
利用割补法求面积即可．
本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键．
21.【答案】解：， ， ；
中国诗词大会的人数为人，补全条形统计图，如图所示：
名，
喜爱最强大脑的名同学中，有名男同学，名女同学，
男 男 男 女 女
男 --- 男，男 男，男 女，男 女，男
男 男，男 --- 男，男 女，男 女，男
男 男，男 男，男 --- 女，男 女，男
女 男，女 男，女 男，女 --- 女，女
女 男，女 男，女 男，女 女，女 ---
所有等可能的情况有种，其中抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的情况有种，
则．
【解析】解：根据题意得：，，；
故答案为：；；；
见答案
见答案
【分析】
根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出的值，进而求出与的值即可；
根据的值，补全条形统计图即可；
列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合题目要求的结果数目，然后根据概率公式求出题目要求事件的概率．也考查了统计图．
22.【答案】证明：连接，
平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
是半径，
是圆的切线．
解：，
，
是的切线，
，
，
，是的直径，
，
，
在中，
，
．
【解析】连接，推出，，求出，得出，推出，根据切线的判定判断即可；
由直角三角的性质求出，根据含度直角三角形的性质和勾股定理求出，由扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又为了扩大销售量，尽快减少库存，
．
答：每件童装降价元时，平均每天盈利元．
不可能，理由如下：
设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
方程无实数解，即不可能每天盈利元．
【解析】设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合“为了扩大销售量，尽快减少库存”，即可确定每件童装降低的价格；
设每件童装降价元，则每件盈利元，每天的销售量为件，利用每天的销售利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用．关键是掌握列代数式以及根的判别式，
24.【答案】解：将点，代入抛物线的解析式得，
，
解得，
故二次函数的解析式为；
存在．
由二次函数的解析式可知，其对称轴为，
则点的坐标为，
可设点坐标为，
由勾股定理得，，
由等腰三角形的定义，分以下种情况：
当时，则，
解得或不符题意，舍去，
点坐标为，
当时，，
解得，
点坐标为或．
综上，存在满足条件的点，点坐标为或或．
【解析】代入点、的坐标求出解析式；
利用勾股定理和等腰三角形的性质求点的坐标．
本题考查了二次函数的性质、一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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