11.2 与三角形有关的角(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．内容解析
本节课内容是“三角形内角和”的延 ( http: / / www.21cnjy.com )续．由三角形内角和定理容易得到：直角三角形的两个锐角互余．这是直角三角形的一个重要性质，运用它可以解决直角三角形中角的计算问题．反过来，如果一个三角形有两个角互余，就可以判定这个三角形是直角三角形．本节课的学习又是以后学习“解直角三角形”的基础，因此起着承上启下的作用．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
(2)掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：能由三角形内角和定理推出直角三角形的两个锐角互余，并能运用直角三角形的这个性质解决与角有关的计算和证明问题．
达成目标(2)的标志：能由“直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的两个锐角互余”得出命题“有两个角互余的三角形是直角三角形” ，并加以证明，能由角度之间的关系去判断一个三角形是不是直角三角形．
三、问题诊断分析
直角三角形的性质“直角三角形的两个锐 ( http: / / www.21cnjy.com )角互余”与判定“有两个角互余的三角形是直角三角形”是两个互逆的命题，它们的题设和结论都较为清晰．单独使用时，学生会感到比较轻松，但若同时运用上述性质与判定解决问题，难度就增大了．
本节课的教学难点：综合运用上述性质与判定解决问题．
四、教学过程设计
1．复习三角形的内角和
问题1 在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝30°，∠C等于多少度？
追问：你用了哪些知识解决的？
师生活动：学生独立解决教师出示的问题，借助问题的解决复习三角形的内角和．
设计意图：调动学生已有的知识、经验，为获取新知识作准备．
2．探索直角三角形的性质
问题2 在△ABC中，若∠C＝90°，你能求出 ∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A＋∠B的度数吗？
师生活动：学生独立解决，若有疑问，可以交流，教师点评．
设计意图：两个问题的设计，注意对比教学，前者不可求，有无穷多个不定解，而后者利用了“整体思想”和已有的“三角形的内角和”知识可求．
追问：利用上面的结果，你能得出什么结论？
师生活动：学生用自己的语言归纳总结 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师再规范化，得出直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．教师介绍表示直角三角形的符号“Rt△”，并指出直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
设计意图：培养学生的语言表达能力和概括能力．
问题3 此性质的几何推理格式怎样表示呢？
师生活动：教师引导学生分析性质的题设和结论，从而写出性质的几何推理格式：
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°．
设计意图：推理格式是学生在运用中易错的，将这一部分独立分析，对学生有示范作用．
3．例题讲解
例 如图1，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
师生活动：教师出示例题，可提出如下三个问题：
(1)两个角的关系是什么？
(2)这两个角分别在什么三角形中？
(3)你如何验证自己的想法？
学生思考上述问题并回答，教师根据学生的回答板书示范．
设计意图：及时对性质进行巩固运用．
4．探索直角三角形的判定
问题4 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？
师生活动：教师提出问题，由学生分析、解决，教师点评．
设计意图：通过说出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，由性质过渡到判定．
追问：这个结论成立吗？如何验证你的想法？
师生活动：由学生去分析、画图、写出已知、求证和证明过程．利用三角形内角和定理可得，有两个角互余的三角形是直角三角形．
设计意图：前面从性质的学习中积累了经验，此时，完全放手给学生解决．
问题5 类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表示？
师生活动：教师引导学生分析判定的题设和结论，从而写出判定的几何推理格式：
在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
设计意图：推理格式的规范书写是学生在运用中易于混淆与发生错误的，故而清晰地给出，便于学生掌握．
练习
如图2，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
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图2
变式1：若∠ACD＝∠B，∠ACB＝90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？
变式2：若∠ACD＝∠B，CD⊥AB，△ACB是直角三角形吗？为什么？
变式3：如图3，若∠C＝90°，∠AED＝∠B，△ADE是直角三角形吗？为什么？
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图3
师生活动：教师出示一组变式练习，由学生去分析、解决，感悟数学的变化之美及“变中不变”的规律．
设计意图：将母题进行逐步变式，使直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质与判定交融在一起，锻炼学生的甄别能力，同时对性质与判定进行及时巩固、分辨，培养学生的分析能力和综合运用知识解决问题的能力．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)你是如何探索直角三角形的性质与判定的？它们是怎么叙述的？它们有什么区别与联系？
(3)利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些问题？
师生活动：学生畅谈交流，教师点评．
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，注意性质与判定的区别与联系．
6．布置作业
教科书习题11.2第4，10题．
五、目标检测
1．在△ABC中，∠A＝14°，∠B＝76°，则△ABC是________ 三角形．
设计意图：考查学生对“有两个角互余的三角形是直角三角形”的掌握情况．
2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，则∠B＝________．
设计意图：考查学生综合运用“直角三角形两个锐角互余”与方程组解决问题的能力．
3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝35°，则∠BCD＝________．
设计意图：考查学生综合运用“直角三角形两个锐角互余”与“同角(等角)的余角相等”解决问题的能力．
4．三角形中，若有一个角等于其他两个角的差，则此三角形是________三角形．
设计意图：考查学生对“有两个角互余的三角形是直角三角形”的掌握情况．
C
B
A
D
E
图111.3 多边形及其内角和(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
多边形及其有关概念，多边形内角和公式．
2．内容解析
多边形及其有关概念包括多边形的定义，多 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的边、内角、外角、对角线，凸多边形，正多边形等．多边形以三角形为基础，多边形的边、内角、外角、内角和等有关概念都可与三角形类比．多边形的对角线能把多边形分成几个三角形，因此，多边形的问题通常可以转化为三角形的问题来解决．
多边形内角和公式反映了多边形的“ ( http: / / www.21cnjy.com )角”之间的数量关系，是多边形的基本性质．多边形内角和公式是三角形内角和定理的应用、推广和深化，它源于三角形内角和定理又包含三角形内角和定理．多边形内角和公式为多边形外角和公式、四边形及正多边形的有关角的学习提供基础知识和根据．
多边形内角和公式的探索是从 ( http: / / www.21cnjy.com )具体的正方形、长方形(此时尚未引进矩形概念)的内角和研究出发，逐步深入地提出一般的问题，如，①任意一个四边形的内角和是否也等于360°？②你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？③你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？进而获得一般结论，并加以推理论证，这个过程体现了从具体到抽象的研究问题的方法．多边形内角和公式的探索与证明都涉及将多边形分割成若干个三角形的化归过程，即将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和公式得出多边形内角和公式，这个过程体现了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：多边形内角和公式的探索与证明过程．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解多边形的有关概念，感悟类比方法的价值．
(2)探索并证明多边形内角和公式，体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法．
(3)运用多边形内角和公式解决简单问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能类比三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的有关概念，了解多边形及多边形的边、内角、外角、对角线、凸多边形、正多边形等的有关特征，并能从具体情境中识别它们，感悟类比的方法在学习多边形有关概念中的重要价值．
达成目标(2)的标志：学生能 ( http: / / www.21cnjy.com )在教师的启发引导下，从具体的、特殊的四边形内角和研究出发，利用三角形内角和公式，逐步探索四边形、五边形、六边形……n边形内角和，并利用推理证明n边形内角和公式，体会从具体到抽象的研究问题方法．在四边形、五边形、六边形……n边形分割成若干个三角形的过程中，感悟化归思想．
达成目标(3)的标志：学生能将公式运用 ( http: / / www.21cnjy.com )于简单的多边形内角和计算，能在多边形问题情境(如计算正多边形的每个内角的大小)中，自觉地联想用该公式解决问题．
三、教学问题诊断分析
由具体的、特殊的多边形内角和到n边形内角和 ( http: / / www.21cnjy.com )公式的获得，是一个多层次的探索过程，本质上是由具体到抽象以及逻辑推理的过程．如何获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，如何确定分割后三角形的个数，这个过程不但结论具有多样性和变化性，而且需要关注的因素也较多——边数、从一个顶点出发的对角线数、分割的三角形数、内角和等，学生把握这一过程会有一定难度．教学的关键是①引导学生弄清解决问题(推导)的层次；②引导学生注意相关的因素(边数、从一个顶点出发的对角线数、三角形数)；③引导学生观察相关因素之间的变化关系(即边数的变化引起从一个顶点出发的对角线数的变化、对角线数的变化又引起三角形个数的变化)，并使上述的①②③直观化．
本节课的教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形的个数．
四、教学过程设计
1．了解多边形的有关概念
教师引入本节课内容：前面 ( http: / / www.21cnjy.com )我们已经研究了三角形的有关概念和性质，那么由条数大于三的线段首尾相接组成的封闭图形的概念和性质是什么呢？它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢？让我们一起来探究吧．
问题1 (1)你能从图1中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
(2)类比三角形的定义，你能给多边形下定义吗？
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图1
师生活动：学生边看、边议．教师引导学生回忆三角形的定义，并仿照三角形的定义给多边形下定义．教师举例说明多边形定义中的“在平面内”的意义．
设计意图：让学生类比三角形的定义给多边形下定义，感悟类比方法的重要作用．
追问1：多边形按组成它的线段的条数可以分成三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形．你能说出图2是几边形吗？
师生活动：教师介绍多边形的分类，学生回答图2是五边形．
追问2：在三角形中，我们专门研究了它的内角、外角．类似地，你能结合图2和图3指出这个五边形的内角、外角吗？
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图2 图3 图4
师生活动：学生回答图2中的∠A ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角，图3中的∠l是五边形ABCDE的一个外角．教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．
设计意图：让学生了解多边形的概念，并通过类比的方法，了解多边形的内角、外角．
追问3：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 ( http: / / www.21cnjy.com )，叫做多边形的对角线．如图4，从五边形ABCDE的一个顶点出发可以得到几条对角线？过六边形ABCDEF的顶点C画出所有的对角线，此时共有几条对角线？
师生活动：教师介绍对角线的概念，学生通过画图回答问题．
设计意图：让学生了解对角线的概念，通过画出从一个顶点出发的六边形的对角线，为研究n边形的内角和做铺垫．
追问4：你能说出图5中两个四边形的异同点吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2)
图5
师生活动：教师引导学生分析得出， ( http: / / www.21cnjy.com )在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧；在图(2)中，画出边CD所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．教师介绍：像图(1)这样的多边形称为凸多边形，本节只讨论凸多边形．
设计意图：让学生了解凸多边形的概念．
追问5：正方形的边、角有什么特点？你能给正多边形下定义吗？图6中的各个图形分别读作什么？
师生活动：(1)学生回答， ( http: / / www.21cnjy.com )并给正多边形下定义；(2)教师与学生共同分析正多边形的两个条件，并通过反例(如一般的长方形各个内角都相等，但它不是正方形；一般的菱形各
边都相等，它也不是正方形)，说明“各个角都相等、各条边都相等”两个条件缺一不可；
(3)学生指出图6中的图形分别是正三角形、正方形、正五边形、正六边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
图6
设计意图：让学生类比正方形学习正多边形，提高学生的学习能力．
2．探索四边形、五边形、六边形的内角和
问题2 我们知道，三角形的内角和等 ( http: / / www.21cnjy.com )于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°．那么，任意一个四边形的内角和是否等于360°呢？能证明你的结论吗？
师生活动：教师引导学生分析问 ( http: / / www.21cnjy.com )题解决的思路——如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和，进而发现：只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形(图7)．学生说出证明过程，教师板书．
设计意图：(1)从学生熟悉的、已知的特例出 ( http: / / www.21cnjy.com )发，建立起四边形和三角形之间的联系，为提出一般问题做铺垫；(2)通过连接四边形的对角线，将四边形分割成两个三角形，得出四边形内角和等于两个三角形内角和之和，这个环节渗透了将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想．
追问1：这里连接对角线起到什么作用？
师生活动：学生回答：将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形内角和问题．
设计意图：让学生进一步感受对角线在探索四边形内角和中的作用，体会化归思想．
追问2：类比前面的过程，你能推导出五边形的内角和吗？
师生活动：学生先独立思考，再 ( http: / / www.21cnjy.com )分组讨论，然后代表汇报．学生类比四边形内角和的研究过程，得出从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割成3个三角形(如图8)．进而得出五边形内角和为(5－2)×180°＝540°．教师进一步启发学生从顶点或边两个角度解释(从顶点的角度：所取顶点与相邻的两个顶点无法连成对角线，所以少了两个三角形；从边的角度：所取顶点与它所在的两条边不能构成三角形，所以少了两个三角形)，进而可以得出五边形内角和为(5－2)×180°＝540°．
设计意图：将研究方法进行迁移， ( http: / / www.21cnjy.com )明确边数、从一个顶点作出的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为进一步探究六边形内角和奠定基础．
( http: / / www.21cnjy.com )
图8 图9
追问3：如图9，从六边形的一个顶点出 ( http: / / www.21cnjy.com )发，可以作______条对角线，它们将六边形分为______个三角形，六边形的内角和等于180° ×______．
师生活动：学生类比四边形、五边形内角和的研究过程回答追问3．
设计意图：让学生进一步体会将六边形 ( http: / / www.21cnjy.com )分割成几个三角形的化归过程，明确相关因素(边数、对角线条数、三角形数)对六边形内角和的影响，为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础．
3．探索并证明n边形的内角和公式
问题3 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系吗？能证明你发现的结论吗？
师生活动：学生独立思考后，回答出 n边形的内角和等于(n－2)×180°，然后师生共同分析证明思路．证明过程如下：
从n边形的一个顶点出发，可以作(n－3)条 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和就是∠A1＋∠A2＋…＋∠An的和，所以n边形的内角和等于
(n－2)×180°．
设计意图：让学生体会从具体到抽象的研究问题方法，感悟化归思想的作用．
追问1：通过前面的探究，填写下面表格：
边数 从某顶点出发的对角线条数 三角形数 内角和
4
5
6
……
n
师生活动：师生共同填写表格，得出规律：多边形的边数增加1，内角和就增加180°．
设计意图：通过填写表格，回顾n边形内角和的探索思路．
追问2：前面我们通过从一个顶点出发作对角线，将多边形分割成几个三角形，进而探究出n边形的内角和，那么，是否还有其它分割多边形的方法呢？
师生活动：学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表板演并讲解思路．学生可能有以下几种解法：
解法1：如图11，在n边形内任取一 ( http: / / www.21cnjy.com )点O，连结OA1，OA2，OA3，…，OAn，则n边形被分成了n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n×180°－360°，即(n－2)×180°．
解法2：如图12，在A1A2上任取一点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，连结PA3，PA4，PA5，…，PAn，则 n边形被分成了(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，以P为公共顶点的(n－1)个角的和是180°，所以n边形的内角和是(n－1)×180°－180°，即(n－2)×180°．
图11 图12
设计意图：让学生尝试用不同的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )分割多边形，把n边形问题转化为熟悉的三角形问题，再次体会化归思想的作用，进一步加深对n边形内角和公式推理过程的理解．
4．巩固多边形内角和公式
例1 (1)十边形的内角和为______度．
(2)已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数为______．
师生活动：学生独立完成，并口头说明理由．
设计意图：让学生从正反两个方面运用公式，解决与多边形内角和有关的简单运算问题．
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生画出图形 ( http: / / www.21cnjy.com )(图13)，并根据图形将文字语言翻译成符号语言，明确题中已知∠A＋∠C＝180°，所求的是∠B＋∠D的度数，在这里要用到四边形内角和等于360°．完成解题过程后，教师引导学生得出结论：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
设计意图：让学生理解文字语言，并会将文字语言转化为图形语言和符号语言，进一步巩固多边形内角和公式，利用公式解决具体问题．
练习
图14中的x＝______，图15中的x＝______．
2．一个多边形的各个内角都等于120°，它是几边形．
设计意图：通过练习，巩固多边形的内角和公式，训练学生思维的灵活性．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)我们是怎样得到多边形内角和公式的？
(3)在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？
设计意图：引导学生从知识内 ( http: / / www.21cnjy.com )容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，凸显将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想，强调从具体到抽象研究问题的方法．
6．布置作业
教科书习题11.3第1，2，4，5题．
五、目标检测设计
1．若正n边形的每个内角为120°，则n的值是( )．
A．4 B．5 C．6 D．8
设计意图：考查学生对正多边形概念的理解及对多边形内角和公式的运用．
2．已知一个多边形的内角和是1 440°，求这个多边形的边数．
设计意图：考查学生对多边形内角和公式的运用．
3．若两个多边形的边数比为1∶2，内角和的度数比为1∶3，求这两个多边形的边数．
设计意图：考查学生运用多边形内角和公式进行计算的能力．
A
B
C
D
E
图7
D
A
B
C
A5
An
A1
A2
A3
A4
A6
图10
A5
An
A1
A2
A3
A4
A6
O
A5
An
A1
A2
A3
A4
A6
P
D
A
B
C
图13
140°
图14
x°
x°
120°
图15
75°
80°
x°11.2 与三角形有关的角(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
三角形的外角的概念．三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．内容解析
与三角形有关的角，除了三角形的内 ( http: / / www.21cnjy.com )角，还有三角形的外角．前面已学过的邻补角的概念、三角形内角和定理等内容是学习本节新内容的基础．由三角形内角和定理可以证明三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．运用三角形外角的性质可以解决有关角度的计算问题．例如，可求出三角形的外角和是360°．这个结论又为研究多边形的外角和起着引路的作用．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解三角形的外角的概念．
(2)掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：知道什么是三角形的外角，能从图中辨认三角形的外角，能画图表示三角形的外角．
达成目标(2)的标志：能 ( http: / / www.21cnjy.com )由三角形内角和定理证明三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，并能运用三角形外角的性质解决有关角度的计算问题．
三、教学问题诊断分析
八年级的学生已经具有初步的推理能力，他们 ( http: / / www.21cnjy.com )能够独立地解决一些基本的几何问题，但思路和方法较为单一，特别是综合运用图形的性质解决问题，学生感到困难．
本节课的教学难点：综合运用三角形的外角的性质与其他知识解决问题．
四、教学过程设计
1．理解三角形的外角的概念
问题1 在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝80°，∠C等于多少度？
师生活动：教师出示问题，学生运用三角形内角和定理解决问题．
设计意图：复习三角形的内角和．
问题2 如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？
师生活动：复习三角形的内角和后， ( http: / / www.21cnjy.com )由内到外迁移，引出三角形的外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．学生尝试定义，教师订正．
设计意图：让学生从内与外的关系联想到要学的内容，从而引入新课．
2．探索与证明三角形的外角的性质
问题3 如图1，∠ACD与∠ACB的位置是怎样的？∠ACD与∠ACB有什么数量关系？
师生活动：教师提出问题，学生口答结果：∠ACD(外角)＋∠ACB(相邻的内角)＝180°．
设计意图：从三角形的内角迁移出三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的外角后，顺势研究三角形的外角与其相邻的内角的关系，并在下一环节与“三角形的外角与不相邻的内角的关系”形成对比与联系．
问题4 如图1，∠ACD与∠A，∠B的位置是怎样的？ ∠ACD与∠A，∠B的大小有什么关系？你能证明你的结论吗？
师生活动：教师出示问题， ( http: / / www.21cnjy.com )学生凭借以往的学习经验，通过度量或剪拼发现：∠ACD＝∠A＋∠B．学生尝试由三角形内角和定理证明上述结论，从而得出三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．教师对学生的证明过程进行点评，再次强调证明的步骤与格式．教师介绍推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．
设计意图：此环节与上一环节关系紧密，形成对比与联系，让他们考虑三角形的外角与不相邻的内角的关系并加以证明．
练习
1．如图2，口答：
∠1＝_________＋__________；
∠2＝_________＋__________．
图2
2．如图3，，说出图形中∠1的度数：
(1) (2)
(3) (4)
图3
3．教科书第15页练习．
师生活动： 学生说出答案，教师点评．
设计意图：巩固三角形的外角的性质．
3．运用三角形的外角的性质
例题 如图4，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
师生活动：教师引导学生用三角形的内角表示三角形的外角，注意关注学生的多种解法．
解法1：因为∠BAE＝∠2＋∠3，
∠CBF＝∠1＋∠3，
∠ACD＝∠1＋∠2，
所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝(∠2＋∠3) ＋(∠1＋∠3)＋(∠1＋∠2)＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．
解法2：利用外角与相邻内角互补的关系，用三个平角之和减去这个三角形的内角和180°即可(解答过程略)．
教师介绍：在三角形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做三角形的外角和．教师指出：由例题的解答可知，三角形的外角和是360°．
设计意图：让学生运用三角形的外角的性质求出三角形的外角和是360°，巩固所学知识．
练习
如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°．
求：(1)∠B的度数；(2)∠C的度数．
师生活动：引导学生从已知条件寻 ( http: / / www.21cnjy.com )找解决问题的切入点，观察已知条件中涉及的角在图形中的位置，发现∠ADC是△ADC的内角，也是△ABD的外角．联想到外角的性质，结合∠B＝∠BAD，从而求出∠B的度数．再利用三角形的内角和等于180°，求出∠C的度数．学生写出解题过程．
设计意图：让学生综合运用三角形的外角的性质与三角形内角和定理解决问题．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)怎样探索并证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”？
(3)你用了哪几种方法解答例题？
师生活动：学生归纳小结，梳理知识与方法，教师及时点评．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——三角形的外角的性质．
5．布置作业
教科书习题11. 2第6，8题．
五、目标检测设计
1．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( )．
A．30° B．60° C．90° D．120°
设计意图：考查学生对三角形的外角的性质和外角与相邻内角的关系的掌握情况．
2．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )．
A．等腰直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
设计意图：考查学生对三角形的外角的概念与三角形分类的理解．
3．如图，若∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE等于( )．
A．120° B．115° C．110° D．105°
设计意图：考查学生对三角形的外角的性质的掌握和理解．
B
C
D
A
图1
C
1
2
A
B
4
3
5
1
30°
60°
35°
120°
1
45°
1
50°
30°
1
15°
A
C
D
F
B
E
1
3
2
图4
A
C
D
B
A
D
C
E
F
B11.3 多边形及其内角和(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
多边形的外角和．
2．内容解析
多边形的外角和以三角形的内角和、外角和、多边形的内角和为基础，它是对多边形的内角和的延伸，又是对三角形的外角和的推广．
利用三角形的外角与相邻内角互补的关系可以求 ( http: / / www.21cnjy.com )出三角形的外角和，类比这一方法可以求出多边形的外角和，运用多边形的外角和公式可以解决相关的计算问题．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并掌握多边形的外角和公式．
二、目标和目标解析
1．目标
探索并掌握多边形的外角和公式．
2．目标解析
达成目标的标志：学生能从三角形的外角和的研 ( http: / / www.21cnjy.com )究出发，逐步深入，进而获得n边形外角和的一般结论，从而体会从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法，并能运用多边形的外角和公式解决相关的计算问题．
三、教学问题诊断分析
本节课学生在多边形内角和公式的基础上得出了多边形的外角和公式，有些问题需要综合运用这两个公式解决，学生不容易掌握．
本节课的教学难点：综合运用多边形的外角和公式与内角和公式解决问题．
四、教学过程设计
导入：我们知道，三角形的内角和是180°， ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的外角和是360°，n边形的内角和是(n－2)×180°．在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．那么多边形的外角和又是多少呢？本节课我们将研究多边形的外角和．
1．探索四边形、五边形、六边形的外角和
问题1 得出三角形的外角和是360°有多种方法．
如图1，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？
师生活动：教师提出问题，学生按指定要求解答．
由∠1＋∠BAE＝180°，
∠2＋∠CBF＝180°，
∠3＋∠ACD＝180°，
得∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°．
由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．
设计意图：引导学生复习求三角形的外角和的方法，为下一步运用类比思想求多边形的外角和埋下伏笔．
问题2 如图2，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？
师生活动：学生类比求三角形的外角和的方法求出四边形的外角和是360°．
由∠BAD＋∠1＝180°，
∠ABC＋∠2＝180°，
∠BCD＋∠3＝180°，
∠ADC＋∠4＝180°，
得∠BAD＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠ADC＋∠4＝180°×4．
由∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝180°×2，得
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°×4－180°×2＝360°．
设计意图：从简单逐步向复杂过渡，类比三角形的外角和求出四边形的外角和，为求多边形的内角和再次添设台阶．
问题3 五边形的外角和等于多少度？六边形呢？仿照上面的方法试一试．
师生活动：学生类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°(解答过程略)．
设计意图：再次运用类比思想，培养学生举一反三的能力．
2．探索n边形的外角和
问题4 你能仿照上面的方法求n边形(n是不小于3的任意整数)的外角和吗？
师生活动：学生类比求三角形的外角和的方法求出n边形的外角和是360°．
因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，
所以n边形的内角和加外角和等于n·180°，
所以，n边形的外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°．
教师指出：由这个问题的解答可知，任意 ( http: / / www.21cnjy.com )多边形的外角和等于360°．教师结合图3让学生理解多边形外角和等于360°(从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°)．
图3
设计意图：类比特殊情形的解答得出一般情形的解答．
3．巩固多边形外角和公式
例 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
师生活动：学生思考，独立解答．教师点评：解题要注意格式；注意代数方法解决有关几何问题的便捷性．
设计意图：巩固多边形的外角和公式．
练习
1．一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
2．是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的？为什么？
师生活动：学生思考，独立解答，教师点评．
设计意图：巩固多边形的外角和公式．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)我们是怎样得到“多边形的外角和等于360°”这一结论的？
师生活动：学生归纳小结，梳理知识与方法，教师及时点评．
设计意图：引导学生从知识内容和学习过 ( http: / / www.21cnjy.com )程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，体会类比、化归的数学思想，强调从简单到复杂，从特殊到一般，从具体到抽象研究问题的方法．
5．布置作业
教科书习题11.3第6题．
五、目标检测设计
1．一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？
设计意图：考查学生对多边形的外角和公式的掌握情况．
2． 一个五边形的外角比为1∶2∶3∶4∶5，有可能吗？
设计意图：考查学生对多边形的外角和公式的掌握情况．
3． 一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
设计意图：考查学生对多边形的外角和与内角和公式的掌握情况．
E
A
B
F
C
D
1
2
3
A
D
4
1
2
C
3
B
图2
3
4
5
1
2
A
E
B
D
C11.1 与三角形有关的线段(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
三角形及其有关概念，三角形的分类以及三角形三边的关系．
2．内容解析
三角形及其有关概念包括三角形的定义，三角形的边、内角、顶点等．这些概念以线段、角等内容为基础，而三角形及其有关概念又是学习多边形的基础．
对三角形进行分类可以加深对三角形的理解， ( http: / / www.21cnjy.com )学生在前两个学段已经知道三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形．本节课按边对三角形分类，加深对三角形的认识．“三角形两边的和大于第三边”是三角形的边具有的性质．对于这一性质，学生在前两个学段是由观察操作确认的，本节课要由“两点之间，线段最短”推出，体现推理的思想．根据这个性质可以判断给出的三条线段能否构成三角形．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：“三角形两边的和大于第三边”的理解和运用．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解三角形及其有关概念，以及三角形的分类．
(2)理解“三角形两边的和大于第三边”，并运用这个性质解决问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：能从具体的图形中找出相应的三角形，并能准确地用符合语言表示；能对三角形按边或角进行分类，体会分类讨论的思想方法．
达成目标(2)的标志：由“两点之间，线段最短”推出“三角形两边的和大于第三边”，能判断给出的三条线段能否构成三角形．
三、教学问题诊断分析
三角形的定义及分类，学生在小学有所接触，所 ( http: / / www.21cnjy.com )以学习起来并没有太大难度；三角形边、角的表示方法是前面所学线段和角表示方法的具体运用，学生也很容易接受．但“三角形两边的和大于第三边”反映的是不等关系，而学生习惯于用相等关系解决问题，这一性质的证明和运用，也对学生的思维水平提出了更高的要求，所以学生在理解和运用上有一定难度．
本节课的教学难点：“三角形两边的和大于第三边”的理解和运用．
四、教学过程设计
1．理解三角形的有关概念
问题1 三角形是我们熟悉的图形(多媒体展示与三角形有关的生活图片)．你能说一说三角形是怎样的图形吗？
师生活动：学生回答，教师根据学生回答情况做引导、补充，在学生回答完整的情况下板书三角形的概念．
设计意图：让学生经历概念的形成过程，既能加深对三角形概念的理解，也为今后学习其他概念作准备．
追问：对于教科书图11.1-1中的三角形，你能说出它的边、顶点与内角吗？
师生活动：学生回答：线段AB，BC，AC是 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的边；点A，B，C是三角形的顶点；∠A， ∠B， ∠C是三角形的内角．教师在学生回答的基础上介绍：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．教师指出：△ABC的三边有时也用a，b，c表示(顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示)．
设计意图：让学生用符号表示三角形的边、顶点与内角，提高他们前两个学段对三角形的认识，提升他们的符号意识．
2．理解三角形的分类
问题2 我们知道，三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？(多媒体展示三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)
师生活动：学生合作交流，教师补充、归纳 ( http: / / www.21cnjy.com )、板书．教师注意关注学生对三角形按照边的关系进行分类时是否存在问题，适时予以纠正，并用教科书第3页中的图直观说明三角形按照边的相等关系所进行的分类．
追问：按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边和角怎样称呼呢？
师生活动：学生思考后交流等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )与等边三角形之间的关系．教师点拨归纳它们之间的从属关系；对于边和角的称呼，学生可以看教科书第3页进行自学，了解、识记．
设计意图：引导学生回顾已有的知识和经验，既提高学生的学习兴趣，又降低学习新知识的难度．在愉悦轻松的氛围中理解新知识．
练习
1．图1中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．下列说法正确的有_______．
①锐角三角形是三条边都不相等的三角形．
②直角三角形不是等腰三角形．
③等腰三角形是等边三角形．
④等边三角形是等腰三角形．
设计意图：让学生加深对知识的理解．
3．探索与证明三角形三边的关系
问题3 如图2，任意画一个△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C，一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，它有几条线路可以选择？各条线路的长度一样吗？你能运用所学知识解释你的结果吗？你能由此推出三条边之间有怎样的关系呢？
师生活动：学生由“两点之间，线段最短”解释线 ( http: / / www.21cnjy.com )路BC短的原因，并由“两点之间，线段最短”推出三条边之间的关系①，在教师的变式追问下，引导学生得出三边关系②和③．
AB+AC＞BC， ①
AC+BC＞AB， ②
AB+BC＞AC． ③
即三角形两边的和大于第三边．
追问：由不等式②③移项可得BC＞AB－AC， BC＞AC－AB．由此你能得出什么结论？
师生活动：学生回答，教师总结，由此可以得出三角形两边的差小于第三边．
设计意图：让学生通过线路比较，发现证明三角形三边关系的思路，进而证明三角形三边的关系，加深学生对三边关系的理解．
4．巩固并运用“三角形两边之和大于第三边”
例1 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3，4，5 ； (2)5，6，11； (3)5，6，10.
师生活动：学生口答，教师点评．
追问：解决这类问题我们通常用哪两条线段的和与第三条线段作比较就可以了？为什么？
师生活动：学生讨论回答，用较小两条线段的和与第三条线段作比较，若较小两条线段的和大于第三条线段，就能保证任意两条线段的和大于第三条线段．
设计意图：引导学生反思归纳，形成技能，让学生学会找到解决问题的最佳办法．
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
师生活动：第一问学生板演，第二问设置以下问题进行引导：
(1)长为4 cm的边是腰还是底边？
(2)若能围成底边为4cm ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰三角形，三角形的三边为多少？若能围成腰长为4cm的等腰三角形，三角形的三边为多少？两种情况都成立吗？为什么？
设计意图：渗透分类讨论的思想，让学生学会分析问题和解决问题，注重数学问题的严谨性．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了那些知识？
(2)三角形按角怎样分类？按边呢？
(3)三角形的边具有怎样的性质？它是怎样得到的？
师生活动：学生归纳小结，梳理知识与方法，教师及时点评．
设计意图：通过归纳总结，进一步让学生自主地掌握本节课的重难点，并给予他们运用数学思想解决问题的方法．
6．布置作业
教科书习题11.1第1，2，6，7题．
五、目标检测设计
1．现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成三角形，可以组成的三角形的个数是( ).
A．1 B．2 C．3 D．4
2．一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个偶数，则第三边的长不能为( ).
A．6 B．8 C．10 D．12
3．已知三条线段的比是① ( http: / / www.21cnjy.com )1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5．其中可构成三角形的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
设计意图：从不同的角度考查学生对三角形三边关系的掌握情况．
4．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是( ).
A．17 B．13 C．26 D．22
设计意图：考查学生在解决问题时能否分情况讨论以及三角形三边关系的运用情况．
图1
A
B
CA
图211.1 与三角形有关的线段(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
三角形的高、中线、角平分线，三角形的稳定性．
2．内容解析
与三角形有关的线段，除了三条边，还有三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的高、中线、角平分线．前面已学过的过直线外一点画已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础．三角形的高、中线、角平分线的概念是今后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．三角形的三条高所在的直线、三条中线、三条角平分线都各自交于一点，分别叫做三角形的垂心、重心、内心．本节课只介绍三角形的重心的概念．
三角形的三条边长确定后，三角形的形 ( http: / / www.21cnjy.com )状就确定了．四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．由此得出三角形的稳定性和四边形的不稳定性，这些性质有广泛的应用．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解三角形的高、中线、角平分线的概念．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解三角形的高、中线、角平分线的概念．
(2)了解三角形的重心的概念．
(3)了解三角形的稳定性．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：能在过直线外一 ( http: / / www.21cnjy.com )点画已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识的基础上认识三角形的高、中线、角平分线；会画出三角形的高、中线、角平分线．
达成目标(2)的标志：知道三角形的三条中线相交于一点，知道三角形的重心的物理
意义．
达成目标(3)的标志： 通过实验知道三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，并能举出实例说明三角形的稳定性与四边形的不稳定性在生产、生活中的广泛应用．
三、教学问题诊断分析
由于三角形的形状改变而使三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的高的位置呈现多样性：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的两条高分别与两条直角边重合；钝角三角形的两条高在三角形的外部．对这一点学生不容易掌握．
本节课的教学难点：在钝角三角形中画出三条高．
四、教学过程设计
1．理解三角形的高的概念
问题1 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三角形的高．过三角形的一个顶点，你能画出它的对边所在直线的垂线吗？
师生活动：学生试一试，画一画．教师巡视，观察可能出现的问题．
设计意图：为引出三角形的高作准备．
问题2 你能描述三角形的高吗？
师生活动：学生交流回答，教师根据情况进行修正，明确三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的
线段叫做三角形的高．如图1，在△ABC中，AD⊥BC，点D
是垂足，则AD是△ABC的边BC上的高，此时有∠ADB＝
∠ADC＝90°．
设计意图：借助学生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高的认识与确认，发展学生的语言表述能力．
问题3 分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，你能画出这三个三角形的三条高吗？
师生活动：学生画一画，尝试 ( http: / / www.21cnjy.com )解决问题，教师巡视，引导学生按画垂线的方法画高．学生画图后可以发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的两条高分别与两条边重合；钝角三角形的两条高在三角形的外部．学生还可以发现：锐角三角形、直角三角形的三条高分别交于一点．对于钝角三角形，教师可让学生观察三条高所在的直线是否交于一点，并综合上述情况得出三角形三条高所在的直线交于一点的结论．教师指出这个结论是正确的．
设计意图：使学生感受三角形的高的位置随着三角形形状的改变而呈现多样性．
练习
如图2，正确画出△ABC的边BC上的高的是( )．
A． B． C． D．
图2
师生活动：学生独立练习，教师根据情况点评．对钝角三角形的高的画法，要引导学生突破此处的难点．
设计意图：巩固三角形的高的概念与钝角三角形的高的画法．
2．理解三角形的中线的概念
问题4 刚才我们学习了三角形的高，在小学 ( http: / / www.21cnjy.com )我们已经知道了三角形的面积公式，你能过三角形的一个顶点画一条线段将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
师生活动：学生尝试解决，教师引导．获取解决的方法后，指明三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线． 如图3，D是BC的中点，则线段AD是△ABC的中线，此时有BD＝DC＝BC．
设计意图：通过解决面积问题，渗透转化思想．由于同高，面积相等问题转化为底边相等，从而引出三角形的中线，培养学生的思维能力和语言表达能力．
问题5 如图3，画出△ABC的另外两条中线，观察三条中线，你有什么发现？
师生活动：学生动手画一画，发现三角形的三条中 ( http: / / www.21cnjy.com )线相交于一点．教师指出这个结论是正确的，引出三角形的重心的概念，并指出三角形的重心的物理意义：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡．
设计意图：让学生了解三角形的重心的概念．
练习
如图4，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，填空：
(1)AC＝ AE＝ EC，CD＝ ，
AF＝ AB．
(2)若S△ABC＝12 cm2，则S△ABD＝ ．
师生活动：学生独立思考并回答，教师点评．
设计意图：巩固三角形的中线的概念．
3．理解三角形的角平分线的概念
问题6 准备一个三角形纸片ABC，按图5所示的方法折叠，展开后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？
( http: / / www.21cnjy.com )
图5
师生活动：学生动手操作，观察思考，教师引导获取三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图6，画∠ABC的平分线，与AC相交于点D，则线段BD是△ABC的角平分线，此时有∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．
设计意图：从学生熟悉的折纸入手，引出三角形的角平分线的概念．
问题7 如图6，画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
师生活动：学生动手画一画，发现三角形的三条角平分线相交于一点．教师指出这个结论是正确的．
设计意图：让学生知道三角形的三条角平分线相交于一点．
练习
如图7，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1＝ ，∠3＝ ，∠ACB＝2 ．
师生活动：学生独立完成，教师点评．
设计意图：巩固三角形的角平分线的概念．
4．了解三角形的稳定性
问题8 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工 ( http: / / www.21cnjy.com )师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？我们来探究下面的问题：
(1)如图8，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(2)如图9， 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(3)如图10，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
图10
师生活动：学生动手实践操作， ( http: / / www.21cnjy.com )并汇报自己的发现：三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状改变．教师点评，指出三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性．
设计意图：放手让学生自主探究发现，给学生自主学习的空间，更牢固地掌握知识．
问题9 你能举例说明三角形的稳定性在实际生活中的应用吗？
师生活动：学生举例，教师点评．
设计意图：让学生感受三角形的稳定性在生活中的应用．
问题10 你能举例说明四边形的不稳定性在实际生活中的应用吗？
师生活动：学生举例，教师点评．
设计意图：让学生感受四边形的不稳定性在生活中的应用．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)你能分别描述三角形中的几种重要线段吗？
(3)你能说说什么是三角形的重心吗？
设计意图：引导学生梳理本节课所学内容．
6．布置作业
教科书习题11.1第4，8题．
五、目标检测设计
1．如图，△ABC中，高CD，B ( http: / / www.21cnjy.com )E，AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段________．
2．如图，BD＝BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积＝ 的面积．
3．如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠2＝ ，∠ABC＝2 ，∠4＝ ．
设计意图：考查学生对三角形的高、中线、角平分线的理解．
A
B
C
D
图1
A
C
B
C
B
A
D
A
D
C
B
D
C
B
A
A
B
C
D
图3
A
C
B
D
F
G
E
图4
图6
F
B
D
C
E
A
1
2
4
3
图7
图8
图9
F
B
D
A
E
C
O
C
B
D
A
F
B
D
C
E
A
1
2
4
3数学活动
一、内容和内容解析
1．内容
用正多边形和全等多边形进行平面镶嵌，探究用多边形完成平面镶嵌的条件．
2．内容解析
本节数学活动是让学生将多边形及其内角和知识应用于实际生活，尝试用数学知识来表述多边形完成平面镶嵌的条件，是多边形及其内角和知识的实际应用．
这节课是运用多边形及其内角和的知识来表述多 ( http: / / www.21cnjy.com )边形完成平面镶嵌的方法与条件．本节课的核心问题是学会选择多边形及多边形的个数进行平面镶嵌；活动形式是让学生动手实验，在实验操作中发现用什么样的多边形、用多少个才能完成平面镶嵌；活动所用的数学基础知识是多边形及其内角和知识．本节课从生活中的“铺地板”入手引入平面镶嵌的概念，通过学生动手实验，在实验操作与思考归纳中知道任意边长相等同种正三角形、正四边形或正六边形可以镶嵌平面；某些边长相等的两种正多边形也能进行平面镶嵌；一些全等三角形或四边形等也能进行平面镶嵌；从而归纳能进行平面镶嵌的多边形的特征并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．
基于以上分析，确定本节的教学重点：探究多边形镶嵌的条件．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解平面镶嵌的概念．
(2)理解多边形能够平面镶嵌的条件；感受从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的思路与方法．
(3)积极参加数学活动，在数学 ( http: / / www.21cnjy.com )活动中培养敢于动手，合作交流，归纳反思，勇于质疑的品质；锻炼克服困难的意志，体验获得成功的乐趣，建立学好数学的信心，积累数学活动的一些基本经验．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能在欣 ( http: / / www.21cnjy.com )赏美丽的装饰图案后结合教科书自学，说出平面镶嵌的意义；在问题的驱动下，利用自己制作的正多边形图片，产生设计和学习的欲望．
达成目标(2)的标志：在实验操作活动中，让学生尝试解决问题，从特殊到一般，从简单到复杂，在解决问题中归纳提炼，获得数学结论．
达成目标(3)的标志：学生对数学有好奇心和求 ( http: / / www.21cnjy.com )知欲，在小组合作活动中积极思考，勇于质疑，敢于发表自己的想法．在自主探究数学活动的过程中，小组成员合作克服困难，解决数学问题，感受成功的快乐，建立学好数学的信心．积累数学活动的一些基本经验：提出问题→动手实践→寻求规律→归纳总结．学生经历发现问题、独立思考、猜想验证，归纳总结这些数学活动，提高应用意识和创新意识．
三、教学问题诊断分析
让学生从不同角度，运用不同方法探究平面镶嵌中隐含的数量关系及其规律，对学生来说具有一定的挑战性．
本节课的教学难点：探究多边形镶嵌的条件．
四、教学支持条件分析
活动中需要用到边长为5cm的正三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形、正方形、正五边形、正六边形若干个以及全等的三角形(四边形)若干个．让学生按照规定的尺寸、统一的材料分组制作，并收集生活中的地板和墙面图案．这样即培养学生动手制作、收集信息的能力，又为活动课学习、探究作了准备．
五、教学过程设计
1．感受并理解平面镶嵌的概念
问题1 你见过的地板砖和墙面砖都有哪些形状？看到这些形状你有没有想过一些数 学问题？
师生活动：学生回答，教师用多媒体展示生活中的 ( http: / / www.21cnjy.com )地板和墙面图案，带领学生领略生活中的镶嵌图案，而欣赏的同时，学生感受到一种特殊的数学美——镶嵌美，激发学生探索镶嵌的秘密，引入活动课题——镶嵌．
设计意图：培养学生在欣赏美的过程中发现并提出数学问题的能力，培养问题意识．
问题2 结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说对镶嵌的理解吗？
师生活动：学生尝试观察、分析、归纳这些图案的特征，在小组讨论后初步达成共识，理解平面镶嵌的意义．教师给予鼓励和评价，给出镶嵌的概念．
设计意图：给学生自主学习、交流的空间，在适当的情境中教会学生学习，积累数学学习活动的经验．
2．探究多边形能平面镶嵌的条件
问题3 在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中取一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形可以进行平面镶嵌？
师生活动：学生动手操作，尝试用一种正多边形进 ( http: / / www.21cnjy.com )行拼接，讨论用一种正多边形进行镶嵌需要满足的条件．每组选一个代表，说明本组的探究过程，展示探究成果，其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问，最终得出用一种正多边形进行镶嵌的条件．(对于探究能力较强探究速度较快的小组，可以建议他们利用剩余的时间继续探究用两种正多边形镶嵌的条件)
设计意图：通过研究用一种正多边形进行镶嵌 ( http: / / www.21cnjy.com )的条件，使学生进一步了解平面镶嵌的含义，能够综合应用多边形内角和知识解决平面镶嵌问题，力图培养学生的动手能力、探究能力、问题意识和合作意识，积累活动的经验，获取解决问题的思想与方法．
问题4 在边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中取两种正多边形镶嵌，哪两种正多边形可以进行平面镶嵌？
师生活动：学生动手操作，尝试用两种正多边形进行拼接，讨论用两种正多边形进行镶嵌需
要满足的条件．每组选一个代表，说明本组的探究 ( http: / / www.21cnjy.com )过程，展示探究成果，其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问．最终得出用两种正多边形进行镶嵌的条件．
设计意图：将“用一种正多边形进行镶嵌”的问 ( http: / / www.21cnjy.com )题研究清楚后，鼓励学生继续思考，通过改变正多边形的种数来类比学习用两种正多边形进行镶嵌的情形，从深度和广度上都有提升探究的空间，促进学生探究能力的发展和思维能力的提升．
问题5 用形状、大小相同的三角形能否进行平面镶嵌？四边形呢？
师生活动：学生动手操作 ( http: / / www.21cnjy.com )，尝试用全等的三角形(四边形)进行拼接，讨论为什么用形状、大小相同的三角形(四边形)可以进行镶嵌．小组充分讨论后，展示探究成果．其他组的成员可以进行补充或提出自己的疑问．最终得出用一些多边形也可以进行平面镶嵌．
设计意图：通过研究用任意的三角形、任意的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形进行镶嵌的情形，拓宽研究的广度，体会从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的思路，挖掘研究的深度．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：
(1)解决本节课中的问题，用到了什么数学知识？
(2)你能举出多边形镶嵌平面的例子，并指出为什么可以进行镶嵌吗？
师生活动：学生回答，教师点评．
设计意图：通过小结，使学生认识本节课内容与本章内容的联系，运用所学内容解释镶嵌现象．
4．布置作业
（1）欣赏下面两组美丽的图案，看看中间空缺处应补上什么图形才能完成平面镶嵌？
A组： B组：
（2）根据所学知识，请你设计一个正多边形镶嵌的图案．
（3）回顾本节学习活动的过程，写一篇关于“镶嵌”知识的小论文．11.2 与三角形有关的角(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
三角形内角和定理．
2．内容解析
三角形内角和定理是本章的重要内容 ( http: / / www.21cnjy.com )，也是学习“图形与几何”必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性．
三角形内角和定理的证明以平行线的相 ( http: / / www.21cnjy.com )关知识为基础．定理的验证方法——剪图、拼图，不仅可以说明证明的必要性，而且也可以从中获得添加辅助线的思路和方法．证明的思路是得出三角形的三个内角与组成平角的三个角分别相等．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)探索并证明三角形内角和定理．
(2)能运用三角形内角和定理解决简单问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生 ( http: / / www.21cnjy.com )能通过度量或剪图、拼图等实验进一步感知三角形内角和等于180°，发现操作实验的局限性，进而了解证明的必要性；在实验的过程中能发现其中蕴含的辅助线，并能运用平行线的性质证明三角形内角和定理．
达成目标(2)的标志：学生能运用三角形内角和定理解决简单的角的计算和证明问题．
三、教学问题诊断分析
证明三角形内角和定理需要添加辅 ( http: / / www.21cnjy.com )助线，这是学生第一次遇到用辅助线证明定理的问题．由于添加辅助线是一种尝试性活动，规律性不强，学生会感到困难．教学时，教师要让每个学生都亲自动手进行剪图、拼图，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路、证明定理．
本节课的教学难点：如何添加辅助线证明三角形内角和定理．
四、教学过程设计
1．探索并证明三角形内角和定理
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
师生活动：学生动手操作，然后汇报结果．有的用度量的方法得出结论，有的通过剪图、拼图或折叠的方法得出结论．
图1、图2、图3、图4是利用剪图、拼图的方法得到的，图5是利用折叠的方法得到的．学生可能还有其他的剪拼图方法．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
图5
追问1：运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180° 吗？为什么？
师生活动：学生回答，不全是．有的大于180°，有的小于180°，有的等于180°．因为测量可能会有误差．
追问2：通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手 ( http: / / www.21cnjy.com )中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
师生活动：小组交流，小组代表汇报交流结果，最后达成共识：需要通过推理的方法去证明．
设计意图：让学生通过实验操作，一方面 ( http: / / www.21cnjy.com )发现实验操作的局限性(视觉误差、度量误差，实验有限性与三角形个数无限的矛盾)，进而了解证明的必要性；另一方面从实验的过程(如图1、图2)中受到启发，为下一步证明三角形内角和定理提供思路和方法．若有学生拼成图3、图4，虽然拼成180°，有验证作用，但不容易形成证明思路．若有学生利用折叠的方法(如图5)，教师也要给予肯定，并指出在以后学习了新的几何知识(全等三角形及轴对称等内容)后我们也能说明它的合理性．
问题2 你能从以上的操作过程中受到启发，想出证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？
师生活动：学生独立思考．
追问1：在图1中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？
师生活动：学生回答：平行．
追问2：在操作过程中我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
师生活动：学生独立思考，然后回答问题，通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论．
设计意图：让学生反思操作过程，体会添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用．
追问3：结合图1，你能写出已知、求证和证明吗？
师生活动：学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程(如图6)．教师指出，经过证明的这个结论被称为“三角形内角和定理”．
( http: / / www.21cnjy.com )
图6 图7
设计意图：让学生通过严格的逻辑推理证明“任意一个三角形的三个内角的和都等于180°”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性．
追问4：通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
图8 图9 图10
师生活动：学生独立思考，然后小组交流，并汇报不同的作辅助线的方法和不同的证明思路．
学生可能从图2中受到启发 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点C作AB的平行线(如图7)，利用平行线的性质和平角定义完成证明；也可以如图8所示，在三角形的边上任取一点P分别作另两边的平行线，或在三角形内部(或外部)任取一点如图9(或如图10)，分别作三边的平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角，然后进行证明．
设计意图：鼓励学生从不同的角度思考问题，进一步体会作辅助线的方法，丰富学生的解题经验．此处可根据学生的实际情况进行取舍．
2．运用三角形内角和定理
例1 如图11，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
师生活动：(1)教师引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生分析解题思路：要想求出∠ADB的度数，根据三角形内角和定理，只要求出∠DAB的度数即可．由于∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，所以很容易得出∠DAB＝20°；(2)学生独立完成解题过程，一名学生板书；(3)师生共同分析学生板书的解题过程．
设计意图：运用三角形内角和定理求相关角的度数，使学生进一步巩固定理内容．
例2 如图12，C岛在A岛的北偏东5 ( http: / / www.21cnjy.com )0°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
师生活动：(1)教师引导学生将实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )转化为数学中的三角形的角的问题，即A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角；(2)教师引导学生分析解题思路：在△ABC中，若能求出∠CAB和∠ABC，根据三角形内角和定理，即可求出∠ACB，而根据已知条件，∠CAB和∠ABC很容易求出；(3)学生独立完成解题过程，并相互．
设计意图：利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题，提高学生的应用意识和数学表达能力．
练习
1．如图13，说出各图中∠1的度数：
(1) (2) (3)
图13
2．如图14，从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°．从C处观测A，B两处时视角∠ACB是多少？
图14
师生活动：学生口答第1题，独立完成第2题．
设计意图：第1题是通过简单的计算，使学生进一步熟悉三角形内角和定理．第2题是让学生运用三角形内角和定理解决简单的实际问题．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？
(3)你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学 ( http: / / www.21cnjy.com )内容，掌握本节课的核心——三角形内角和定理，进一步体会证明的必要性，感悟辅助线的添加方法在几何证明中的作用．
4．布置作业
教科书习题11.2第1，3，7题．
五、目标检测设计
1．如图，写出下列图中x的值：
(1)x＝ ； (2)x＝ ；(3)x＝ ； (4)x＝ ．
设计意图：考查学生对三角形内角和定理的理解．
2．如图，某模具厂的一种模具按规定BA ( http: / / www.21cnjy.com )，CD的延长线的夹角应为61°，因交点不在模板上，不方便测量，王师傅测得∠B＝42°，∠C＝79°，请你帮王师傅判断该模具是否符合要求，并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：考查学生运用三角形内角和定理解决实际问题．
3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADC的度数．
设计意图：考查学生运用三角形内角和定理及角平分线的定义解决几何问题．
图1
图2
图3
图4
A
B
C
D
图11
图12
A
B
C
D
E
北
北
1
105°
60°
1
30°
22°
1
80°
A
B
D
C
x°
x°
x°
25°
x°
2x°
2x°
x°
x°
70°
70°
30°
A
B
C
D小结与复习
一、内容和内容解析
1．内容
对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．
2．内容解析
本章学习了“与三角形有关的线段”“与三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形有关的角”“多边形及其内角和”．教科书在学生已有的对三角形认识的基础上，进一步研究了与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)和角(内角、外角)，探索并证明了三角形两边的和大于第三边以及三角形内角和定理．在此基础上研究了多边形的有关线段(边、对角线)和角(内角、外角)，并证明了多边形内角和与外角和公式．
本章的重点内容是三角形三边 ( http: / / www.21cnjy.com )之间的关系，三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系，多边形内、外角和公式，这些内容的研究学习进一步加强了学生推理能力的培养．例如，“三角形两边的和大于第三边”是用“两点之间，线段最短”来证明的；“三角形的内角和等于180°”是用平行线的性质和平角的定义证明的；由“三角形的内角和等于180°”又得出了直角三角形两个锐角互余及多边形的内角和公式；由多边形的内角和公式又得出了多边形外角和公式．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：复习本章内容并运用它们进行有关的计算与证明，构建本章知识结构．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)复习本章内容，整理本章知识，形成知识体系，体会研究几何问题的思路和方法．
(2)进一步发展推理能力，能够有条理地思考、解决问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：通过复习 ( http: / / www.21cnjy.com )本章的主要内容，理解三角形的有关线段和角，三角形三边之间的关系，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，多边形内、外角和公式，能建立这些性质之间的联系，能结合知识体系的构建过程，体会研究几何问题的一般思路和方法．
达成目标(2)的标志：学生能够在较复杂的问题情境中运用本章所学的图形的性质解决问题．
三、教学问题诊断分析
在复习课中，让学生在原有 ( http: / / www.21cnjy.com )的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，对学生来说有一些困难．另外，让学生将较复杂的问题转化成利用已获得的知识来解决，对学生来说也是一个难点．
本节课的教学难点：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构，较复杂几何问题的证明与计算．
四、教学过程设计
1．梳理知识
问题1 请同学们回答下列问题：
(1)三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
(2)三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论呢？
(3)直角三角形的两个锐角之间有怎样的关系？三角形的一个外角和它不相邻的两个内角之间有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？
(4)n边形的n个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？
(5)n边形的外角和与n有关吗？为什么？
师生活动：教师出示问题，学生根据问题独立思考 ( http: / / www.21cnjy.com )，回顾本章所学内容，梳理本章知识．然后教师组织学生逐题展示交流．教师关注：学生能否运用自己的语言解释答案的过程，举例子来说明对所学知识的理解，而不是简单地重复教科书上的结论．
设计意图：通过5个问题让学生对本章的知识点做梳理，为下一步建立本章的知识结构体系作铺垫．
2．建构体系
问题2 请同学们整理一下本章所学的主要知识，您能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？
师生活动：教师组织学生在纸上画出 ( http: / / www.21cnjy.com )本章的知识结构图，然后展示部分学生画的知识结构图，并请这些学生简要说明自己所画知识结构图．最后，教师出示教科书中的知识结构图．
设计意图：学生自己先画出本章的知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )图，主要是让他们自己主动建构知识结构，形成知识体系，这有利于对本章知识的整体把握．然后教师出示本章知识结构图，主要是帮助学生形成正确的、全面的知识结构．通过这样的方式，突破本节课的难点．
3．巩固练习
A组 复习与三角形有关的线段：
1．若三角形的两边长分别为3和5，则第三边长m的取值范围是 ．
2．如图1，(1) AD⊥BC于D，则∠_____＝∠_____＝90 °．
图1
(2)若∠BAE＝∠CAE，AE与BC相交于点E，则线段AE是△ABC的 ．
(3)若AF＝CF，BF与AC相交于点F，则△ABC的中线是 ．
师生活动：教师出示问题，学生解决 ( http: / / www.21cnjy.com )这些问题．然后，教师组织学生逐题展示交流，引导学生回顾本章所学的三边关系及三角形的高、中线、角平分线的定义．
设计意图：考查学生对三角形三边关系的掌握以及对三角形的高、中线、角平分线的概念的理解.
B组 巩固与三角形有关的角：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝80°，∠ABC＝60°．
(1)∠C＝ ．
(2)若AE是△ABC的角平分线，则∠AEC＝ ．
(3)若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF＝ ．
师生活动：教师出示问题，学生解决这些问题，然后教师组织学生逐题展示交流
设计意图：考查学生对三角形内角和定理、三角形的外角的性质的掌握和理解．
4．典型例题
例1 已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是 ．
变式1：若等腰三角形的周长为20，一边长为4，则其他两边长为 ．
变式2：小明用一条长20 cm的细绳围成了一个等腰三角形，他想使这个三角形的一边是另一边的2倍，那么这个三角形的各边的长是多少？
师生活动：学生先进行讨论，然后教师引导学生分析：要注意分两种情况考虑，注意检查是否符合两边的和都大于第三边．引导之后，请学生板书解答过程．
设计意图：使学生在讨论中加深理解三角形三边关系的运用，让学生体验用数学知识解决问题时分类讨论的作用．
例2 如图3，在△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于点O． 若∠ABC＝40 °，∠ACB＝60 °，则∠BOC＝ ．
变式1：若∠A＝80 °，则∠BOC＝ ．
变式2：你能猜想出∠BOC与∠A之间的数量关系吗？
变式3：如图4，若换成两外角平分线相交于点O，则∠BOC 图3
与∠A又有怎样的数量关系？
图4
变式4：如图5，若换成一内角与一外角平分线相交于点O，则∠O与∠A又有怎样的数量关系？
变式5：如图6，若换成两条高相交于点O，∠A与∠BOC又有怎样的数量关系？
图6
师生活动：学生独立完成，教师请学生上 ( http: / / www.21cnjy.com )台讲解自己的解题思路和做法，其他同学补充．教师强调解题格式，展示书写规范的解答．最后教师引导学生总结本题所用数学知识和思想方法．
设计意图：鼓励学生积极参与，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过这组变式题让学生在层层探索中加深对三角形内角和、外角以及角平分线的理解，体验数学问题的多变性与数学知识的灵活运用．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：
(1)本章的核心知识有哪些？这些知识间有什么样的联系？
(2)通过本节课的复习，你能说说三角形内角和定理的由来及作用吗？
设计意图：通过小结让学生回顾本节课的内容．
6．布置作业
教科书复习题11第1，5，6，8题．
五、目标检测
1．用下列长度的各组线段组成三角形，能组成三角形的三条线段的长度是( )．
A．1 cm，2 cm，4 cm B．8 cm，6 cm，4 cm
C．12 cm，5 cm，6 cm D．2 cm，3 cm，6 cm
设计意图：本题考查学生对三角形的三边关系的掌握情况．
2．在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积 △ADC的面积(填“＞”“＜”“＝”)．
设计意图：本题考查学生对三角形中线的理解．
3．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠ABC＋∠ACB＝116 ，则∠BOC＝ ．
设计意图：本题考查学生对三角形的角平分线的理解以及三角形内角和定理的灵活运用．
4．一个多边形的每一个外角都等于30 ，这个多边形的边数是 ，它的内角和是 ．
设计意图：本题考查学生对多边形的内角和与外角和公式的运用．
三
角
形
与三角形有关的线段
三角形的内角和
三角形的外角和
高
中线
角平分线
多边形的内角和
多边形的外角和
三角形的边
A
F
B
C
E
D
A
B
C
E
F
O
图2
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
图5
A
B
C
D
E
O
F
D
A
O
E
D
C
B
