13.2 画轴对称图形(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
(1)平面直角坐标系中关于x轴或y轴对称点的坐标变化规律．
(2)在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形．
2．内容解析
本节课是在学生学习了用坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标表示平移和画轴对称图形的基础上，研究用坐标表示轴对称，从位置关系和数量关系的角度来刻画轴对称．把坐标思想和图形变换的思想联系起来，是学习函数和中心对称的基础．
用坐标表示轴对称是在平面直角坐标系中研究点关 ( http: / / www.21cnjy.com )于x轴或y轴对称点的坐标的变化规律．根据这种变化规律找出一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标，由此作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形，感受图形的轴对称变换与坐标的变化规律之间的关系，体验数形结合的数学思想．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：在平面直角坐标系中关于x轴或y轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解在平面直角坐标系中，已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律．
(2)掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生经 ( http: / / www.21cnjy.com )历在平面直角坐标系中探索点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化的过程，归纳出变化规律，正确写出关于x轴或y轴对称的点的坐标，体验数形结合的思想．
达成目标(2)的标志是：能利用这种变化规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形，并能归纳出作图的方法，提高观察归纳能力．
三、教学问题诊断分析
离开平面直角坐标系后，找出已知点关于x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )或y轴对称的点的坐标，特别是已知两点的坐标(点的坐标中含有字母)判断关于x轴还是y轴对称时，要求学生具有一定的逆向思维能力和空间想象能力，对此类题目学生感到困难．
本节课的教学难点是：点的坐标变化规律的灵活运用．
四、教学过程设计
1．探究并归纳已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律
同学们，你们去过北京吗？你知道老北京城是如何布局的吗？让我们一起看一看老北京城吧！
问题1 教师用多媒体出示一幅老 ( http: / / www.21cnjy.com )北京城的示意图(如图1)，西直门和东直门是关于中轴线对称的．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图1所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？
师生活动：教师用多媒体出示 ( http: / / www.21cnjy.com )图片，并演示平面直角坐标系的建立过程，学生观察、思考后交流找到的西直门的坐标，教师关注：学生是如何找出西直门的坐标的．
追问： 对于平面直角坐标系中任意一点，你能找出其关于x轴或y轴对称的点的坐标吗？它们之间有什么规律？
设计意图：通过具体情境的引入，让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )在找对称点的坐标的同时，感知点的对称与平面直角坐标系之间的联系，激发学生的兴趣，让学生感受到生活中处处有数学．
问题2 在如图2的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x轴对称的点，把它们的坐标填入表格中．
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D E(4，0)
关于x轴的对称点 A′(___，___) B′(___，___) C′(___，___) D′(___，___) E′(___，___)
关于y轴的对称点 A″(___，___) B″(___，___) C″(___，___) D″(___，___) E″(___，___)
图2 图3 图4
追问：观察图3中关于x轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？
师生活动：学生动手描点、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )后(图3)，观察对称点的坐标之间的关系，归纳变化规律：关于x轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．教师关注：描点、填空是否正确，用语言表达变化规律是否准确．
问题3 在如图2中画出这些点及其关于y轴的对称点，把它们的坐标填入表格中．
追问：观察关于y轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？
师生活动：学生动手描点、填表后(如图4)， ( http: / / www.21cnjy.com )观察关于y轴对称的每对对称点的坐标之间的关系，归纳出变化规律：关于y轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
设计意图：首先让学生画出已知 ( http: / / www.21cnjy.com )点及其关于x轴或y轴对称的点，然后用问题引导学生从坐标上观察数值的变化情况，归纳出这些点关于x轴或y轴对称的每对对称点的坐标的变化规律，培养学生的归纳概括能力．
问题4 请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．
师生活动：学生动手操作后全班交流，然后让学生填空：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(____，_____)；
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(____，_____)．
设计意图：通过验证，在肯定规律 ( http: / / www.21cnjy.com )的同时，让学生用数学符号表示变化规律，体验从特殊到一般的数学思想，由直观具体到抽象的过渡，有助于提高学生对规律本质的认识和培养学生的抽象概括能力．
练习
1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：
(－2，6)，(1，－2)，(－1，3)，(－4，－2)，(1，0)．
2．若点P(2a+b，－3a)与点P′(8，b+2)关于x轴对称，则a＝ ，b＝ ；
若关于y轴对称，则a＝ ，b＝ ．
设计意图：及时巩固在平面直角坐标系中已知点的对称点的坐标变化规律，第2题考查学生逆向思维能力，加深对规律的理解．
2．运用变化规律作图
问题5 利用平面直角坐标系中，与已 ( http: / / www.21cnjy.com )知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律，我们也可以很容易地在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形．
例2 如图，四边形ABCD的四个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．
解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为( ( http: / / www.21cnjy.com )－x，y)，因此四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于y轴对称的点分别为A′(____，____)，B′(____，____)，C′(____，____)， D′(____，____)，依次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A′B′C′D′．
师生活动：学生独立完成填空和画图(如图5)，然后全班交流展示．教师关注：学生对例2的解答过程是否正确，画图是否符合要求．
追问1：请在图5上画出四边形ABCD关于x轴对称的图形．
师生活动：学生独立画图(如图5)， ( http: / / www.21cnjy.com )然后全班交流展示．教师引导学生说出画四边形ABCD关于x轴对称的图形的过程：先确定四边形ABCD的顶点A，B，C，D关于x轴对称的点的坐标，然后在图上描出这些对称点，依次连接这些对称点即可得到与四边形ABCD关于x轴对称的图形．
追问2：你能归纳出画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤吗？
师生活动：学生结合例2的解答过程进行总 ( http: / / www.21cnjy.com )结归纳，先小组讨论，然后全班交流．师生共同归纳出：先求出已知图形中一些特殊点(多边形的顶点)的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形；步骤简述为：①求特殊点的坐标；②描点；③连线．
设计意图：动手画图和总结画图的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法、步骤，培养学生动手实践能力和归纳表达能力，让学生在实践中运用在平面直角坐标系中已知点关于x轴或y轴对称的每对对称点的坐标的变化规律．
练习
教材P71练习第2，3题．
设计意图：及时巩固在平面直角坐标系中画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤，进一步理解内化．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)在平面直角坐标系中已知点关于x轴或y轴的对称点的坐标有什么变化规律及如何判断两个点是否关于x轴或y轴对称？
(3)说一说画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤．
设计意图：通过小结，梳理在平面直角坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系中已知点及其关于x轴或y轴对称的每对对称点的坐标的变化规律，掌握画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法，体验数形结合的数学思想．
4．布置作业，巩固提高
教科书习题13．2第2，4，5题．
五、目标检测设计
1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：
(－2，6)，(1，－2)，(－1，3)，(－4，－2)，(1，0)．
设计意图：考查学生对关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律的运用．
2．平面内点A(－1，2) ( http: / / www.21cnjy.com )和点B(1， 2)的对称轴是______，点A和点B之间的距离是______；点A(2，－3)向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是________．
设计意图：考查学生对x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律的逆向运用及与点的平移的综合运用．
3．如图，以长方形ABCD的中心为原点建立坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标系，点A的坐标为(3，2)，则点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，点D的坐标是 ．
设计意图：考查已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标表示．
4．如图，在网格中作出△ABC关于x轴和y轴对称的图形．
设计意图：考查学生对在平面直角坐标系中画轴对称图形的方法和步骤的理解和运用．
图1
图5
A
B
C
D
(3, 2)
x
y
O
x
y
O
C(3, -2)
A(0, 2)
B(2, 4)13.3 等腰三角形(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
等腰三角形的判定定理．
2．内容解析
本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质等知识的基础上，进一步探索和研究等腰三角形的判定方法，为我们提供了证明两条线段相等的新方法．等腰三角形的判定定理与其性质定理互为逆定理，这种互逆定理的研究方法为我们今后学习等边三角形、直角三角形以及四边形性质和判定打下一定的基础.
等腰三角形的性质定理把同一个三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中边的相等关系转换为角的相等关系，从这一命题出发，直接推出性质定理的逆命题即等腰三角形的判定定理，为学生提供一种通过已知的定理得到新的命题的方法，建立新旧知识间的联系，以“温故”作为“知新”的纽带.
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：理解和运用等腰三角形的判定定理.
二、目标和目标解析
1．目标
(1)探索等腰三角形判定定理．
(2)理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
(3)了解等腰三角形的一个尺规作图.
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：由等腰三角形性质定理逆命题的证明得到等腰三角形的判定定理．
达成目标(2)的标志是：理解等腰三角形判定定理和性质定理的区别，会准确地运用其进行简单的说理及解决简单的实际问题．
达成目标(3)的标志是： 根据等腰三角形的轴对称性及线段垂直平分线的性质，已知底边及底边上的高线能利用尺规作出等腰三角形．
三、教学问题诊断分析
在运用判定定理时，条件与结论容易和性质定理 ( http: / / www.21cnjy.com )混淆，为了让学生能够理解它们之间的互逆关系为准确运用定理作铺垫，教师在引入新课时应通过复习等腰三角形性质的内容和证明方法，以便让学生类比性质证明等腰三角形的判定定理；在得出判定定理后一定要与性质定理进行对比，加深对性质和判定的理解．
本课的教学难点是：理解等腰三角形的性质定理与判定定理的区别．
四、教学过程设计
1．探索并证明等腰三角形的判定定理
问题1 等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
师生活动：学生积极发言，同学之间相互补充，教师总结．得出性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等，结论是：这两条边所对的角相等．
设计意图：通过此问题回顾与本节课所研究内容相关的知识，为导出判定作铺垫，同时也有助于学生理解性质和判定的互逆关系．
追问：性质定理证明方法是什么？
设计意图：回想利用等腰三角形的轴对称性在证明性质时添加的辅助线，从而将一个三角形的问题转化为两个三角形来解决，为判定定理的证明作好铺垫．
问题2 一个三角形满足什么条件是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题．
追问1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？
师生活动：学生通过自己的直观感觉一般都会 ( http: / / www.21cnjy.com )说出“所对的边应该相等”，这时教师引导学生感到这仅仅是我们的猜想，要想判断这个结论是否正确还需要证明．
追问2：这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？
师生活动：教师引导学生分析这个命题的题设和结论之后，根据题设画出图形，并写出已知和求证．
已知：如图1，在△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
教师追问3：类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？
师生活动：学生独立思考后，得出：通过添 ( http: / / www.21cnjy.com )加辅助线将一个三角形转化为两个三角形利用全等来证明.学生找到一种证明方法后，引导学生讨论是否还能用其它的方法？
教师追问4：能作底边BC上的中线吗？
师生活动：学生代表回答，若有表述不准确的， ( http: / / www.21cnjy.com )再请其他学生修正或补充，师生共同归纳：本题中添加底边上的中线则不具备证明三角形全等的条件，因此，只能选择添加顶角的角平分线或是底边上的高．
设计意图：引导学生从图形上观察 ( http: / / www.21cnjy.com )，虽然等腰三角形的三条重要线段是常作的辅助线，但有时并不是每一条线段都适用，选择时要结合已知条件具体分析，这样的设计既能让学生经历等腰三角形判定的形成过程，加深对判定的理解；也能通过不同的证明方法提高思维的深度和广度．
追问5：能用符号表示出等腰三角形的判定定理吗？与等腰三角形性质定理进行比较看有什么区别？
师生活动：学生独立思考，相互交流，教师点评.重点关注学生用图形语言和符号语言表达是否准确？是否弄清判定定理的区别和联系？
设计意图：经过推理论证这个猜想是 ( http: / / www.21cnjy.com )真命题后，再引导学生用文字语言及符号语言准确地表达，进而得到等腰三角形的判定定理.并与性质定理进行比较，弄清它们之间的联系和区别．
2．巩固等腰三角形的判定定理的运用
问题3：如图2，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，图中一共有几个等腰三角形？找其中的一个等腰三角形给予证明．
图2
师生活动：学生独立完成后，教师组织学生进行全班展示交流.教师关注：学生找出了图中的几个等腰三角形，证明过程是否严密.
设计意图：本题是对等腰三角形判定定理的初步运用，另外，要教会学生如何不重不漏的找出所有符合条件的三角形．
问题4：你会用等腰三角形性质定理和判定定理进行推理和计算吗？
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
师生活动：教师引导学生，首先应将文字语言转化 ( http: / / www.21cnjy.com )成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形.教学时已知、求证最好先让学生写，然后请其他学生进行修正或补充，之后在证明的过程中，学生会发现自己的已知、求证写的不对或不好的地方，这时再自我纠正，可以让学生体会和感受在将文字语言转化为数学语言时应该注意的一些问题.
已知：如图3，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．
求证：AB＝AC．
设计意图：这是一个文字叙述的证明题，让学生再一次感受文字证明题的一般步骤．
追问1：要证明AB＝AC，应如何选择证明方法？
师生活动：学生先独立思考，然后互动 ( http: / / www.21cnjy.com )交流．教师重点关注：是否由结论AB＝AC且AB，AC在同一个三角形中考虑选择“等边对等角”；是否能建立三角形的外角和与之不相邻的内角关系；是否能利用平行转移已知角；是否最终使得相等的角转化到同一个三角形中．
追问2：你能写出证明过程吗？
师生活动：学生独立写出证明过程，并标注每步推理的依据．教师重点关注：学生的证明过程是否严密．
设计意图：引导学生从所要证明的结论出发寻找到 ( http: / / www.21cnjy.com )所需要的条件，再在已知条件中找到与所需条件的关系，最终将已知条件转化到同一个三角形中从而利用判定定理来证明边相等．综合分析法在几何证明中是一种常用方法，在几何教学中要逐步进行渗透．同时，也要让学生清楚地知道每一步推理的依据是什么？进一步理解性质定理与判定定理的区别和联系．
问题5：已知底边及底边上的高线你会作一个等腰三角形吗？
例3 如图4，已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
师生活动：引导学生从已知条件出发，根据等腰三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的轴对称性分析其底边上的高也是底边上的中线，由此确定应先利用直尺和圆规画出底边及底边的垂直平分线，然后再在垂直平分线上截取出高，最后利用垂直平分线的性质可判定所画图形是等腰三角形.学生独立完成，教师规范格式.
图4
设计意图：本题是等腰三角形性质和判定的简单运用，让学生通过画图再次巩固所学知识，同时提高分析问题、解决问题的能力．
练习
教科书第79页练习2，3，4．
设计意图：巩固本节内容．题目重在等腰三角形判定的运用，旨在提高综合运用知识的能力．
3．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)等腰三角形的判定方法有哪几种？
(3)结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容——等角对等边．
4．布置作业
教科书习题13.3第2，5题．
五、目标检测设计
1．已知一个三角形中两个内角分别是50°和80°，则第三个内角为_______时，它是等腰三角形.
设计意图：考查等腰三角形判定定理的基础运用．
2．已知：如图，BD为△ABC中∠ABC的角平分线，ED∥BC交AB于E，DE＝7，则BE＝_______。
设计意图：考查等腰三角形判定定理的理解和应用．
3．已知：如图，在△ABC中，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，且过点F的DE∥BC．
求证：DE＝BD＋CF．
设计意图：考查等腰三角形判定定理的应用．
4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．
求证：△AED是等腰三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：考查对等腰三角形判定定理与全等三角形知识的综合应用．
A
B
C
D
E
A
B
C
D
1
2
图3
a
h
A
B
D
C
M
N
A
D
E
C
B
A
B
C
D
E
F13.3 等腰三角形(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
等边三角形的性质和判定．
2．内容解析
本节课是在学生学习了轴对称和等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质和判定的基础上，探索等边三角形的性质和判定方法．等边三角形是轴对称图形，它的边、角的特殊性为我们证明线段、角相等提供了更多的证明方法．本节的内容既是等腰三角形知识的拓展和延续，也是对已经学习过的三角形知识的归纳与总结．
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都 ( http: / / www.21cnjy.com )相等、三个内角都相等，由这一特性可以推出等边三角形的性质；再通过分析等边三角形与等腰三角形的不同，从三角形“角”的角度归纳出等边三角形的两条判定方法．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探索等边三角形的性质与判定．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)探索等边三角形的性质和判定．
(2)能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：通过比较等腰三角形和等边三角形的区别和联系，学生能类比等腰三角形研究思路猜想并证明出等边三角形的性质和判定．
达成目标(2)的标志是：学生能运用等边三角形的性质和判定进行简单的计算和证明，解决简单的实际问题．
三、教学问题诊断分析
等边三角形是特殊的等腰三角形，因此，它具有 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊的性质和判定方法．对学生而言要想全部归纳出来是比较困难的，学生对图形的研究和学习的方法已经有了一定的了解，为了让学生有条理地进行归纳，应通过对比等腰三角形和等边三角形的联系和区别，感悟其性质和判定产生的原因是边、角的特殊性造成的，从而猜想并证明出等边三角形的性质和判定．
本课的教学难点是：探索等边三角形的性质和判定．
四、教学过程设计
1．探索并证明等边三角形的性质和判定
问题1 请观察下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
师生活动：学生观察后交流，说出发现的几何图形，教师引导学生从中抽象出等边三角形的形象．
设计意图：让学生善于从现实生活中去观察、 ( http: / / www.21cnjy.com )发现几何图形，能由实物的形状抽象出等边三角形，培养学生从数学的角度看生活，增强他们学习数学的兴趣和应用意识．
问题2 满足什么条件的三角形是等边三角形呢？
师生活动：由于小学已经了解了等边三角形的概念，这里学生很容易答出：三条边都相等的三角形是等边三角形．
追问1：请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？
追问2： 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
师生活动：教师引导学生观察所画 ( http: / / www.21cnjy.com )两个图形的相同点和不同点，通过画图能直观地发现它们的相同点是：都有相等的边；不同点是：相等的边的数量不同。由此得出这两个图形的联系是：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别是：由于等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只要求有两条，因此，它们的角会产生不同．随后，引导学生从边、角及轴对称性这三方面对等腰三角形的性质进行系统回顾．
设计意图：学生通过画图能直观地观 ( http: / / www.21cnjy.com )察出两个图形的区别，这样能让它们真正投入到探索定理的活动中来．找图形的联系是为后续类比等腰三角形探究等边三角形的性质；然后利用它们角的不同从“角”的角度探究等边三角形的判定方法． 通过研究图形之间的内在联系来学习新图形，是几何学习中常用的方法．系统回顾能够为全面总结等边三角形的性质作好铺垫，并为灵活运用性质打下基础．
问题3 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
追问1：结合等腰三角形的性质(表1)，你能填出等边三角形对应的结论吗？
表1
图 形 边 角 轴对称图形
等腰三角形 两边相等(定义) 两底角相等(等边对等角) 是，(三线合一)一条对称轴
等边三角形 三边相等(定义) ？ ？
师生活动：让学生小组合作探究，然后全班 ( http: / / www.21cnjy.com )交流，得出：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，是轴对称图形，有三条对称轴，具有“三线合一”的性质．
追问2：你会对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明吗？
师生活动：学生独立画出图形，写出命题的已知、 ( http: / / www.21cnjy.com )求证，并进行证明，然后全班交流展示证明过程．教师关注：学生能否运用等腰三角形的性质进行证明，证明过程中符号语言的表达是否正确．在此基础上，让学生用符号语言表达等边三角形的这一性质．
设计意图：通过这二个问题的提出，让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生经历等边三角形性质的形成过程，用表格的形式呈现性质，既可以系统地归纳知识，也能够清晰地进行对比，为灵活运用性质打下良好的基础．
追问3：利用所学知识思考等边三角形是轴对称图形？若是，请画出它的对称轴．
师生活动：教师引导学生利用等边三角形的三边相等，三个角相等的结论，根据轴对称图形的定义说明等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴．
设计意图：这个问题是对性质的初步运用，有助于学生理解等边三角形是更为特殊的等腰三角形．
问题4 等边三角形除了用定义(即用边)来判定以外能否利用角来判定呢？
追问1：一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
追问2：一个等腰三角形满足什么条件才是等边三角形？
师生活动：学生小组讨论后由小组 ( http: / / www.21cnjy.com )代表回答，教师点评，得到有两种情况“三个角都相等的三角形”和“一个角为60°的等腰三角形”都可以判断等边三角形．
一般三角形 等边三角形 等腰三角形
追问3：你能对得到的这两个文字命题进行证明吗？
师生活动：学生先独立思考寻找证明思路，然后教师引导并板书，学生口述一个命题的证明过程．另一个证明由学生独立完成．
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，
∴ BC＝AC，AC＝AB．
∴ AB＝BC＝AC，
∴ △ABC是等边三角形．
经过证明得到等边三角形的两条 ( http: / / www.21cnjy.com )判定定理．这样，我们共有三种判定等边三角形的方法：从边的角度可利用等边三角形的定义、从角的角度可利用两条判定定理．
设计意图：通过探究活动，让学生经历运用几何语 ( http: / / www.21cnjy.com )言和图形描述命题的条件和结论的过程，明白从边、角等角度去考虑一般三角形和等腰三角形成为等边三角形应满足的条件．最后对判定等边三角形的方法进行总结，让学生学会对所学知识进行系统归纳，以便更熟练的运用定理．
2．等边三角形的性质和判定的运用
问题5：你能用等边三角形性质和判定进行计算和证明吗？
例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．
师生活动：教师引导学生利用平行的条件转移相 ( http: / / www.21cnjy.com )等的角从而利用判定定理证明．学生通常会想到利用判定定理1，学生板书，其他学生补充，教师评价书写格式．完成证明后提出下面的问题．
追问：本题还有其他证法吗？
师生活动：引导学生考虑能否从等腰三角形与等边三角形之间关系来寻找证明思路，学生独立完成．
设计意图：本题是等边三角形性质和判定的综合运用，通过教师的分析和提问帮助学生从不同角度分析、解决问题，提高综合分析问题的能力．
变式1：若点D，E在边AB，AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
变式2：若点D，E在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
设计意图：通过设计变式问题，找到解决这类问题的方法，使学生的推理能力得到提高．
练习
完成教科书例题后练习．
设计意图：巩固本节内容．通过练 ( http: / / www.21cnjy.com )习再次感受等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形的性质都适用于等边三角形，同时，等边三角形还具有等腰三角形所没有的性质和判定．
3．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？
(3)结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法。
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——等边三角形的性质和判定，感受等边三角形和等腰三角形的区别和联系．
4．布置作业
教科书习题13．3第12、14题．
五、目标检测设计
1．等边三角形有 条对称轴，其中任意两条对称轴所形成的钝角度数是 ．
设计意图：考查对等边三角形基本性质的运用．
2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有 ．
设计意图：考查等边三角形判定的掌握情况．
3．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
设计意图：考查对等边三角形性质的理解．
4．如图，点A是线段CB上的一点，△ABD，△ACE都是等边三角形，AD与BE相交于点G， AE与CD相交于点F．
(1)求证：BE＝CD；
(2)试探究△AGF的形状．
设计意图：考查等边三角形性质和判定的综合运用以及综合分析问题的能力．
A
B
C
C
B
A
A
B
C
C
A
B
图1
A
E
C
B
D
图2
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
G
F13.3 等腰三角形(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
等腰三角形的性质．
2．内容解析
本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、 ( http: / / www.21cnjy.com )全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形——等腰三角形．等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提供了方法，也是后续学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的重要基础．
等腰三角形性质的探索是通过轴对称进行的，借 ( http: / / www.21cnjy.com )助于轴对称发现了等腰三角形的性质，也获得了添加辅助线证明性质的方法．性质的证明是将欲证明相等的两个角(或线段)置于两个全等三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本策略之一．等腰三角形性质的探索与证明体现了转化的思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)探索并证明等腰三角形的两个性质．
(2)能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
(3)结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能借助实 ( http: / / www.21cnjy.com )验发现等腰三角形的两个性质；能正确理解两个性质的含义(会区分命题的条件和结论，能用数学语言准确表述性质的含义，特别是“重合”和“三线合一”的含义，会将性质“三线合一”分解成三个命题)；能利用三角形全等证明两个性质．
达成目标(2)的标志是：学生能在等腰三角形的情境中利用两个性质证明两个角相等或两条线段相等．
达成目标(3)的标志是：学生知道等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴；能借助轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线证明性质的方法．
三、教学问题诊断分析
学生由于添加辅助线的经验不 ( http: / / www.21cnjy.com )足，对于何时需要添加辅助线、如何添加辅助线仍没有规律性了解．表现在“等边对等角”的证明中，为什么要作底边上的中线感到茫然，常常发出“怎么想到的”的疑问．事实上，添加辅助线本身就是一项探究性数学活动，是获得证明所采取的一种尝试，既可能成功，也可能失败；作底边上的中线是受前面“探究”活动的启发——作出对称轴有可能解决问题，而对称轴是通过底边中点的；由于对称轴垂直于底边，因此，也可以作底边上的高加以尝试；由于对称轴平分对应线段的夹角，因此，也可以作顶角平分线加以尝试．
学生由于认知经验不足，对等腰三角形性质 ( http: / / www.21cnjy.com )2的理解容易出现错误，影响对性质2的应用，教师在教学中应引导学生将性质2分解为三个结论并逐一证明，以此来加深学生对性质2的理解．
本节课的教学难点是：性质1证明中辅助线的添加和对性质2的理解．
四、教学过程设计
引言
我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形．下面，我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形的性质．
1. 探索并证明等腰三角形的性质
问题1 利用长方形纸片和剪刀，你能按照教科书图13.3-1的方式剪出一个等腰三角形吗？你能说明所剪出的图形为什么是等腰三角形吗？
师生活动：学生动手操作，剪出等腰三角形，然后小组交流．
设计意图：让学生利用轴对称性剪出等腰三角形，为等腰三角形的性质探究作准备．
问题2 仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？
师生活动：学生独立思考后尝试着概括自己剪出的等腰三角形纸片的特征，并汇报交流．
学生如果不能发现结论，或者对结论概括得不全 ( http: / / www.21cnjy.com )面，教师作如下提示：把剪出的等腰三角形纸片沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，并说明这些线段和角在等腰三角形中的名称，由此概括出等腰三角形的特征．
设计意图：让学生首先从一个等腰三角形开始研究，发现其特殊性．
追问1：剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？
师生活动：学生相互比较，得出结论．
追问2：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？
师生活动：学生动手操作，相互比较，互动交流 ( http: / / www.21cnjy.com )，得出性质1和性质2．教师给出性质的简写形式，并着重引导学生分析“三线合一”的含义是什么，从而将其分解为如下三个结论．
(1)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高；
(2)等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线；
(3)等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线．
设计意图：通过丰富的感性材料，让学生在 ( http: / / www.21cnjy.com )反复比较的过程中发现等腰三角形共同的、本质的特征；体会认识事物的一般方法——由特殊到一般，进一步培养学生抽象概括能力；
让学生真正理解“三线合一”的含义，会将“三线合一”分解成三个命题，体会等腰三角形性质2的内容实质．
问题3 利用实验操作的方法我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2，对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
(1)你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗
(2)结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？
(3)如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？
师生活动：学生根据结论画出图形，写 ( http: / / www.21cnjy.com )出已知、求证，并在教师设置的问题串的启发下获得证明思路，即要证明两个底角相等，只需证明这两个角所在的三角形全等即可，由前面的操作可以得到启发，即作出底边上的中线即可．一名学生板书，其他学生自己在本上书写解题过程．学生交流，教师反馈，引导学生说出证明三角形全等是证明角相等的常用方法．
已知：如图1，△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
证明：作底边的中线AD．
∵AB＝AC，
BD＝CD，
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠B＝∠C．
设计意图：让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡．
追问：你还有其他方法证明性质1吗？
师生活动：学生尝试用多种方法证明性质1，可以作底边的高线或顶角的角平分线，然后交流．
设计意图：让学生在运用不同方法证明性质1的过程中提高思维的深刻性和广阔性．
问题4 性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
师生活动：在教师引导下，学生根据结论画出图形，写出已知、求证并证明．
设计意图：让在学生经历完整的命题证明过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，理解等腰三角形性质简捷表述形式的真正含义，会进行文字语言、符号语言、图形语言间的转换，能从操作实验中发现辅助线的添加方法，体验辅助线的添加与解决问题思路的相关性，提高添加辅助线的自觉性和能动性．
追问1：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？
师生活动：学生回答——等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴．
设计意图：让学生理解等腰三角形的轴对称性，并体会它在探索和证明等腰三角形性质的过程中的重要作用．
追问2：从等腰三角形性质的结论中，你有何收获？
师生活动：学生回答——可以用来证明两个角相等、两条线段相等以及线段垂直关系．
设计意图：让学生进一步理解 ( http: / / www.21cnjy.com )等腰三角形的性质的意义——它既是全等知识的运用和延续，又是证明两个角相等、两条线段相等、线段垂直关系的更为简捷的途径和方法．启发学生在对比中建立知识之间的普遍联系，学会辩证地看问题．
2. 巩固等腰三角形的性质
练习
(1)填空：
①如图2，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，则∠B＝°；
②如图3，△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，则∠A＝°；
③已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的另外两个内角的度数分别是．
(2)教科书第77页练习第2题．
师生活动：学生回答，相互补充，并说明理由．
设计意图：练习(1)是有梯度的 ( http: / / www.21cnjy.com )角度计算题，需综合运用等腰三角形知识、三角形内角和知识解决问题，可以使学生进一步巩固等腰三角形性质1，同时引导学生将与角有关的知识系统化，达到优化学生知识结构的目的．练习(2)是研究特殊的等腰三角形中的特殊角、特殊线段间的关系，让学生熟悉等腰三角形的性质2．
例1 如图4，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
师生活动：学生分析题中条 ( http: / / www.21cnjy.com )件和解题思路：本题共三个等腰三角形(△ABC，△DAB和△BCD)，设∠A＝x，可以利用等腰三角形的性质1和三角形的外角性质，将∠BDC用x表示；利用等腰三角形的性质1，可知∠C＝∠BDC，即∠C也可用x表示；再利用等腰三角形的性质1，可知∠ABC＝∠C，即∠ABC也可用x表示；由三角形内角和定理即可求出△ABC各角的度数．学生解答，一名学生板书，师生共同交流．
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，
∠A＝∠ABD(等边对等角)．
设∠A＝x，则
∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．
于是，在△ABC中，有
∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°．
解得x＝36°．
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．
设计意图：通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中的角的度数，让学生进一步巩固等腰三角形的性质1．
3. 小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)我们是怎么探究等腰三角形的性质的？
(3)“三线合一”的含义是什么？请举例说明．
(4)本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容和研究方法，把握本节课的核心——等腰三角形的性质，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
4. 布置作业
教科书习题13.3第1，2，4，6题．
证明性质2“三线合一”中的另两个结论：
(1)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高；
(2)等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线．
五、目标检测设计
1．填空：
(1)等腰三角形一个内角等于150°，则它的另外两个内角的度数分别为 ；
(2)等腰三角形一个外角等于100°，则它的另外三个内角的度数分别为 ．
设计意图：考查学生对等腰三角形性质1的掌握．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．
求证：(1)∠BAD＝∠CAD；(2)AD⊥BC．
设计意图：考查学生对等腰三角形性质2的掌握．
图1
A
D
B
C
A
B
C
图2
A
B
C
图3
A
D
C
B
图4
A
D
B
C13.3 等腰三角形(第4课时)
一、内容和内容解析
1．内容
含30°角的直角三角形的性质及应用．
2．内容解析
本节课是在学生学习了轴对称、等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的性质及判定的基础上，探究直角三角形的一条特殊性质，它反映了直角三角形中的边角关系．本节课是等边三角形性质的简单运用，同时也为九年级学习锐角三角函数作了一定的知识储备．
含30°角的直角三角形的性质是在一个直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中由30°的特殊角推出这个三角形中两条边的数量关系．由等边三角形的轴对称性可知等边三角形被对称轴分成两个全等的直角三角形，因此，利用等边三角形的性质及其轴对称性来探究直角三角形中30°角所对边的特殊结论是理所应当的．这样能让学生体会旧知是为新知服务的，学会建立新旧知识的联系．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：探索并理解含30°角的直角三角形的性质．
二、目标和目标解析/ ( http: / / www.21cnjy.com )
1．目标
(1)探索含30°角的直角三角形性质．
(2)理解含30°角的直角三角形性质，并会应用它进行有关的证明和计算．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能从拼等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的活动中发现含30°角的直角三角形的性质，并能通过不同的推理对这一结论进行证明，体会数形结合的数学思想．
达成目标(2)的标志是：学生能运用这一性质进行简单的说理及解决简单的实际问题．
三、教学问题诊断分析
学生在拼图活动中很容易发现 ( http: / / www.21cnjy.com )“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这一结论，但是在证明结论时遇到困难，不知如何将一个直角三角形中30°的角与边的数量关系建立联系．有了拼图的活动经验，学生能感悟到需添加辅助线构造等边三角形；然后从直角三角形的内部和外部两个角度添加辅助线，从不同角度进行推理．完成由实验几何到论证几何的过渡，并且在探究活动中能够发展他们的创新思维能力．
本课的教学难点是：含30°角的直角三角形性质的证明．
四、教学过程设计
1．探索并证明含30°角的直角三角形性质
问题1 已知△ABC中，∠A＝60°，( )．请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形．
师生活动：学生补充条件并说明。不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的学生想到不同的条件，如：∠B＝60°(或∠C＝60°)、AB＝BC、AC＝BC、AB＝BC＝AC等多种答案，教师根据学生的叙述板书．
设计意图：通过问题形式回顾旧知，促使学生经 ( http: / / www.21cnjy.com )常温故知新．这是一个半开放性的问题，主要是加深对等边三角形的判定的理解，为后续的探究活动作好铺垫．
追问1：等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠能产生什么特殊图形？
师生活动：通过折叠学生发现了两个直角三角形，每个直角三角形都有一个30°的角．
追问2：这个特殊的直角三角形有什么不同于一般的直角三角形的呢？它又有什么特殊性质呢？
设计意图：设计这个活动让学生体会 ( http: / / www.21cnjy.com )由等边三角形的轴对称性得到了一个含30°角的直角三角形，为后续证明中如何添加辅助线做好铺垫，同时也为性质的证明降低难度．
问题2 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
师生活动：学生积极参与拼图活动，同学之间相互补充．也有学生会摆出四边形等其它图形，教师要强调只能是三角形，因此，摆出的三角形只有如下两种：
图1 图2
追问：在拼出的三角形中有等边三角形吗？你能说明理由吗？
其中图1为一个等边三角形，学生可能会有不同的理由来说明：
理由∵△ABC≌△ADC，
∴ AB＝AD．
在△ABC中，∵∠B＝60°，
∴ △ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．
设计意图：通过让学生用三角尺经历动手拼图 ( http: / / www.21cnjy.com )的活动，培养学生动手实践探究的意识，同时使这一抽象的性质直观化，符合学生的认知特点，更易于学生理解接受．这个动手操作活动再次让学生体会两个直角三角板能拼成一个等边三角形，为后面性质的证明做好铺垫．
问题3 你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
师生活动：学生积极发言，同学之间相互补充．通过拼图学生很容易得出直角边BC等于斜边AB的一半．
设计意图：通过这种直观的方式，让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生在证明性质时会想到添加辅助线作出一个直角三角形的轴对称图形，从而构造一个等边三角形来进行证明，这样安排能够分散本节课的教学难点．
问题4 请说一说你猜想的结果中条件和结论分别是什么？并结合图形用符号语言表述出来
师生活动：学生观察图形1得出：在Rt△ABC中，若∠BAC＝30°，则BC＝AB．教师根据学生叙述进行板书．
设计意图：一方面是让学生利用数学语 ( http: / / www.21cnjy.com )言来说明，培养学生的符号感；另一方面让学生通过图形来深入理解所发现的规律，而不是停留在字面意义上，从而达到理解记忆，使学生见其形，知其意；第三方面分清命题的条件和结论是为准确地证明和运用打下良好的基础．
追问1：这条性质是真命题吗？你能验证吗？
师生活动：教师通过追问引导学生思考，由学生根 ( http: / / www.21cnjy.com )据图形写出已知、求证，观察思考，尝试如何用等边三角形的知识证明这条性质的正确性．教师巡视指导，观察学生的证明方法．
已知：如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
求证：BC＝AB．
图3 图4
教师引导学生利用刚才拼图的活动经验 ( http: / / www.21cnjy.com )思考添加辅助线作出一个直角三角形的轴对称图形，从而构造出一个等边三角形，然后由等边三角形的性质可推出结论．
证明：在△ABC中 ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°．
延长BC到D，使BD＝AB，连接AD，则△ABD是等边三角形．
由等边三角形的性质可知，AC也是BD边上的中线，
∴ BC＝BD＝AB．
设计意图：通过教师的追问激起学生的验 ( http: / / www.21cnjy.com )证欲望，学生从动手拼图获得的感知是得出定理的基础，教师要求学生边拼边画，以使学生有足够的直观认识，落实到定理的证明中，学生会有水到渠成的感觉，同时也获得了证明线段倍半问题的一种方法．
追问2：你还能用其他方法证明吗？
师生活动：学生讨论交流后还可 ( http: / / www.21cnjy.com )能找到以下方法：如图4，可以直接在△ABC的斜边AB上截取BE＝BC，通过证明△BEC是等边三角形和△ECA是等腰三角形证明这个结论．
设计意图：从实验到证明，从理论上肯定其结论的正确性，同时尽可能让学生从多角度分析验证结论，开拓学生的思路．
追问3：你能用文字语言来叙述这一性质吗？
师生活动：学生代表回答，如出现错误或不完整，请其他学生修正或补充，教师点评．
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．含30°角的直角三角形性质的运用
问题5：你能应用今天所学性质解决以下问题吗？
1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC的长为 ．
2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝ ．
例5 图5是屋架设计图的 ( http: / / www.21cnjy.com )一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 cm，∠A＝30°，立柱BC、DE要多长？
图5
追问：图中BC、DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
师生活动：学生思考后回答：BC是Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的一条直角边，所对的锐角是∠A为30°，DE是Rt△ADE的一条直角边，所对的锐角也是∠A为30°，根据含30°角的直角三角形性质，可得BC是斜边AB的一半，而DE是斜边AD的一半．学生独立写出解答过程，然后在全班进行展示交流．教师关注：学生证明过程是否严密，符号语言运用是否正确．
设计意图：例题涉及的线段、角及三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )较多，学生不易找到解题的突破口，教师应帮助学生理清思路，寻找解题的方向．通过提问，提醒学生注意性质定理运用的前提是在一个直角三角形中去找是否有30°，这样能够发展学生的识图能力，能在复杂的图形去伪存真，抓住本质，真正理解性质、掌握性质、运用性质．
练习 教科书第81页练习
设计意图：及时巩固所学知识，加深对性质的理解．
3．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)在应用含30°角的直角三角形的性质，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
设计意图：通过小结，使学生梳 ( http: / / www.21cnjy.com )理本节课所学内容，掌握本节课的核心——含30°角的直角三角形的性质，强调该性质应在一个直角三角形中有特殊的30°角才会有特殊的边的数量关系产生．
4．布置作业
教科书习题13．3第15题．
五、目标检测设计
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝10，则BC的长为 ．
设计意图：考查含30°角的直角三角形的性质定理的简单应用．
2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC．
求证：AD＝2DC．
设计意图：考查含30°角的直角三角形性质定理的掌握．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，交BC于点D，试判断BC与AD的数量关系，并说明理由．
设计意图：考查含30°角的直角三角形性质定理和等腰三角形的性质的综合运用．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE是3 cm，求BC．
设计意图：考查对含30°角的直角三角形性质和角平分线的性质的综合应用，旨在提高学生综合运用知识的能力．
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
C
E
B
A
C
第1题
A
B
C
D
第2题
A
C
E
D
B
B
A
C
B
A
C
D
B
A
C
D
A
B
E
D
C13.1.2 线段垂直平分线的性质(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
用尺规作线段的垂直平分线．
2．内容解析
本节课内容属于基本的尺规作图. ( http: / / www.21cnjy.com )是学生在学习了用尺规作一条线段等于已知线段、经过已知直线外一点作这条直线的垂线等尺规作图的基础上，用尺规作图的方法作线段的垂直平分线．本节课的内容为下一步用尺规作三角形，过不在同一直线上的点作圆，作三角形的外接圆等尺规作图打下基础．
用尺规作平面内不重合两点的对称轴， ( http: / / www.21cnjy.com )其实质是作连接这两点线段的垂直平分线，还可以用这种方法确定线段的中点．其作图依据是线段垂直平分线的性质和“两点确定一条直线”的基本事实．作轴对称图形的对称轴就是用尺规作线段的垂直平分线解决实际问题．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：作线段的垂直平分线．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)能用尺规作线段的垂直平分线．
(2)进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．
(3)运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：能用尺规正确作出线段的垂直平分线．
达成目标(2)的标志是：让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生经历作图的过程，进一步了解作图的一般步骤，了解尺规作图作法的表示方法，逐步学会用简洁的几何语言表示作图过程，体会作图的语言特点；利用知识间的联系和区别，体会作图的准确性和合理性，了解作图的依据是线段的垂直平分线的性质和“两点确定一条直线”的基本事实．
达成目标(3)的标志是：学生能用尺规作图的方法作出轴对称图形的对称轴，解决简单的实际问题，体会转化的数学思想，提高分析和解决问题的能力．
三、教学问题诊断分析
对本节课的基本作图，学生能模仿教科书中例题的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法作线段的垂直平分线，但学生在用语言描述作图的过程时，由于对尺规作图语言的特点体会不够，因此会出现语言叙述不准确和不严密的问题．尺规作图实际是一种严密的几何推理过程，本节课的基本作图是对线段垂直平分线的性质和判定的实际操作和运用，学生理解起来需要一个消化、吸收过程．另外，学生在作图时经验不足，作图痕迹过长或过短都会影响图形的美观．
本节课的教学难点是：理解作图的依据和用数学语言描述作图过程．
四、教学过程设计
1．作线段的垂直平分线
教师用多媒体显示几幅轴对称图形．
问题1 轴对称的性质是什么？
追问：说一说线段垂直平分线的性质，如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
师生活动：学生独立回答问题，教师关注：学生的回答是否正确，如不全面时，让其它同学补充．
设计意图：通过复习旧知，为探究用尺规作线段的垂直平分线作出铺垫．
问题2 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
师生活动：学生回答用折叠的方法验证时，教师用多媒体演示．
设计意图：设置问题情境，突出轴对称图形的本质特征．
问题3 我们已能用尺规完成：作一条线段等 ( http: / / www.21cnjy.com )于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的平分线和经过已知直线外一点作这条直线的垂线，那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？
例2 如图1，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
图1 图2
师生活动：学生思考后交流，得出：只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴．
追问1：怎样作线段AB的垂直平分线呢？
师生活动：学生思考后交流，独立动手画图(如图 ( http: / / www.21cnjy.com )2)，然后让学生尝试用几何语言表述作图的过程．教师关注：学生在表达中，语言是否规范，步骤是否正确，图形是否美观．
追问2：说一说这种作法的依据是什么？
追问3：这种作图方法还有哪些作用？
师生活动：学生回答，作图的依据是线段的垂直平分线的性质和“两点确定一条直线”的基本事实．它还能用来确定线段的中点．
设计意图：通过问题引导学生主动 ( http: / / www.21cnjy.com )思考，了解用尺规作线段的垂直平分线的方法、依据和作用．学生在动手画图中熟悉作图的方法和步骤，逐步学会用简洁的语言表述作图过程．
2．作轴对称图形的对称轴
问题4 如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
师生活动：学生思考后交流，明确：如果两个图形 ( http: / / www.21cnjy.com )成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
设计意图：明确用尺规作轴对称图形的对称轴的方法和依据，为作出其对称轴作铺垫．
问题5 如图3中的五角星，请作出它的一条对称轴？
师生活动：学生动手画出图形 ( http: / / www.21cnjy.com )后交流，得出：只要找到它的一对对应点，如点A,A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线即可．教师关注：学生作图的方法是否正确，对称轴要画成直线．
追问1：你能作出这个五角星的其它对称轴吗？
它共有几条对称轴？
追问2：五角星的对称轴有什么特点？
师生活动：学生动手作图(如图4)，然后组织学生展示、交流，归纳：五角星共有5条对称轴，这5条对称轴相交于一点．
设计意图：让学生运用尺规作 ( http: / / www.21cnjy.com )图的方法作五角星的对称轴，培养学生运用尺规作线段垂直平分线解决简单实际问题的能力，了解轴对称图形的对称轴可能有多条的事实．
练习
教科书第64页的练习第1，2，3题．
设计意图：让学生判断一些熟悉的图形是否轴对称，并作出其对称轴，可以让学生从轴对称的角度再重新认识一下这样的图形，巩固本节课所学的内容．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明这种作法有哪些运用？
(3)如何用尺规作轴对称图形的对称轴？
设计意图：通过小结，学生了解用尺规作线段垂直平分线的依据和作用，回顾用尺规作轴对称图形的对称轴的过程，体会这种作法在解决实际问题中的作用．
4．布置作业
教科书习题13.1第10，12题．
五、目标检测设计
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )．
A．7 B．14
C．17 D．20
设计意图：考查学生对用尺规作线段垂直平分线的方法的理解和线段垂直平分线性质的综合运用．
2. 为了推进农村新型合作医疗制度改 ( http: / / www.21cnjy.com )革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．
要求：不写作法，保留作图痕迹．
设计意图：考查学生作线段垂直平分线解决简单实际问题的能力．
3．作出下列各图形的对称轴，和同学比较一下，作出的对称轴一样吗？
设计意图：考查学生画轴对称图形的对称轴的能力．
A
B
A
A'
A
A'
图3
图4
A 村
B 村
C 村13.1 轴对称(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
轴对称图形和轴对称的概念，轴对称的性质，线段垂直平分线的概念．
2．内容解析
轴对称是平面图形的几何变换之一，它是研究 ( http: / / www.21cnjy.com )线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆等图形性质的基础，也是利用轴对称设计图案、用坐标表示轴对称等的知识基础，在现实生活中有着广泛的应用．线段垂直平分线垂直且平分线段，它是研究轴对称图形及成轴对称的两个图形时的最关键的直线——对称轴．
本节从观察生活中的轴对称现象出发，通过生活 ( http: / / www.21cnjy.com )中平面图形的实例，抽象概括出轴对称图形的本质特征，并结合具体的生活中的图形，类比得出两个图形成轴对称的概念．在此基础上，通过探索成轴对称的两个图形的对称轴与对应点所连线段之间的关系获得了性质，并类比其过程，得到轴对称图形的性质.整个过程是由具体到抽象的过程，也体现了类比方法在研究数学问题中的重要作用．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：轴对称的概念和性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
(2)探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．
(3)了解线段垂直平分线的概念．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能通过具体实例 ( http: / / www.21cnjy.com )，抽象出轴对称图形和(两个图形成)轴对称的特征，能识别简单的轴对称图形、两个图形成轴对称及其对称轴，知道轴对称在现实生活中具有广泛应用价值．知道轴对称图形是一个图形，它沿对称轴折叠后两部分能完全重合；轴对称反映了两个图形的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合；一个轴对称图形沿对称轴可以分成成轴对称的两个图形，成轴对称的两个图形也可以看成是一个轴对称图形．
达成目标(2)的标志是：学 ( http: / / www.21cnjy.com )生能根据两个图形关于某条直线成轴对称的概念，结合图形发现并概括出成轴对称的两个图形的性质，并类比其探索思路和探索方法得出轴对称图形的性质，感悟类比方法的便捷和有效．
达成目标(3)的标志是：学生知道线段垂直平分线的特征，知道它在轴对称中的地位和作用．
三、教学问题诊断分析
学生在小学学过轴对称，能识别简单的轴对 ( http: / / www.21cnjy.com )称图形及其对称轴，但对轴对称图形和两个图形成轴对称的概念还是首次接触，学生在了解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系上会有一定的困难．教学时，教师要充分利用具体图形，让学生获得感性认识，进而了解两者之间的关系．
本节课的教学难点是：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．
四、教学过程设计
引言：
对称现象无处不在，从自然景观到艺术 ( http: / / www.21cnjy.com )作品，从建筑物到交通标志(图1)，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子，对称给我们带来很多美的感受！
图1
1．了解轴对称图形和轴对称的概念
问题1 如图2，把一张纸对折，剪 ( http: / / www.21cnjy.com )出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
图2
师生活动：学生通过观察发现这些图形都是对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )，图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．教师指出：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
设计意图：让学生通过观察图片，感知具体的轴对称图形的特征，为抽象出轴对称图形的概念作铺垫．
追问：你能举出一些轴对称图形的例子吗？
师生活动：学生思考，并举例．
设计意图：让学生通过举例，对轴对称图形的本质特征进行再认识．
问题2 观察下面每对图形(如图3)，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征码？
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图3
师生活动：学生观察思考，并 ( http: / / www.21cnjy.com )相互交流，发现其共同特征——每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合．教师进一步说明：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
设计意图：让学生在观察具体的实例中，类比轴对称图形概念的学习过程，发现两个图形成轴对称的特征，进而概括出轴对称的概念．
追问1：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？
师生活动：学生思考，并回答．
设计意图：让学生通过举例，对轴对称的本质特征进行再认识．
追问2：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？
师生活动：学生独立思考后，进行交流，然后学生代表发言．教师根据学生回答情况进行评价，如果学生有困难，可以适时追问下面的问题：
(1)成轴对称的两个图形全等吗？
(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
师生共同归纳得出，把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
设计意图：让学生知道轴对 ( http: / / www.21cnjy.com )称图形和两个图形成轴对称两者的本质是一致的，但同时两者也是有区别的，轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合．
2．探索成轴对称的两个图形的性质
问题3如图4，△ABC和△A′B′C′ ( http: / / www.21cnjy.com )关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后得出：AA′与MN垂直，BB′，CC′也与MN垂直，同时MN平分线段AA′，BB′和CC′．
追问1：你能说明其中的道理吗？
师生活动：学生独立思考，学生代表汇报， ( http: / / www.21cnjy.com )师生共同交流．教师关注学生能否从这两个图形成轴对称的定义出发，发现折叠后点A与A′重合，进而得到PA＝PA′；能否发现折叠后∠APM，∠A′PM的顶点是重合的，进而得出这两个角相等，AA′与MN垂直．同理，BB′，CC′与MN也垂直．
设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明结论的过程，体会概念在探索性质中的重要作用．
追问2：前面的例子说明“如果△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C和△A′B′C′关于直线MN对称，那么，直线MN垂直线段AA′，BB′和CC′，并且直线MN还平分线段AA′，BB′和CC′”，如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”……其他条件不变，上述结论还成立吗？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后小组交流，学生代表汇报交流结果．学生类比前面的研究过程得出结论，说明结论．教师指出：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化．让学生经历由特殊到一般地探索问题的过程，体会研究问题的一般化方法和类比方法．
追问3：你能用数学语言概括前面的结论吗？
师生活动：学生尝试概括，并相互补充， ( http: / / www.21cnjy.com )得出成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．教师引导学生将成轴对称的两个图形的性质的结论用其他方式表述，即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段．
设计意图：培养学生的抽象概括能力，提高学生对成轴对称的两个图形的性质的认识．
3．探索轴对称图形的性质
问题4 图5是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？
师生活动：学生类比成轴对称的两个图形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质的探究过程和探究方法发现结论：直线l垂直线段AA′，BB′，直线l平分线段AA′，BB′(或直线l是线段AA′，BB′的垂直平分线)，然后说明理由．
追问：你能用数学语言概括前面的结论吗？
师生活动：学生尝试概括，并相互补充，得出轴对称图形的性质．
设计意图：让学生在探索成轴对称的两个图形的性质的基础上，探索轴对称图形的性质，体会类比方法在研究数学问题中的作用．
练习 教科书第60页练习第1，2题．
师生活动：学生口答，并画出对称轴，标注它们的一对对称点．
设计意图：让学生进一步加强对轴对称的概念和性质的认识．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)轴对称图形和轴对称的区别与联系是什么？
(3)成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？
设计意图：引导学生从知识内容和 ( http: / / www.21cnjy.com )学习过程两个方面总结自己的收获，把握本节课的核心——轴对称的概念和性质，回顾由具体到抽象的过程，体会类比方法在研究数学问题中的重要作用．
5. 布置作业
教科书习题13.1第1，2，3，4，5题．
五、目标检测设计
1．下列图形中，轴对称图形的个数是( )．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
设计意图：考查学生对轴对称图形概念的了解．
2．下面选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是( )．
A．“ ” B．{ } C．B B D．E E
设计意图：考查学生对两个图形成轴对称的了解．
3．下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的一条对称轴．
(1) (2) (3) (4) (5)
设计意图：考查学生对轴对称的性质的理解．
A
B
C
C'
B'
A'
P
M
N
图4
A
B
B'
A'
l
图513.2 画轴对称图形(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
画一个与原图形成轴对称的图形，并归纳成轴对称的图形和轴对称图形的性质．
2．内容解析
本节课内容属于“图形的变化”领域，画 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称图形是继平移变换之后的又一种图形变换，是利用轴对称变换设计图案的基础．它是研究几何问题、发现几何结论的有效工具．
画轴对称图形是由一个图形得到它的轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称图形的过程，可以从图形的位置关系和数量关系两方面进行研究．从图形的形状和大小、点的对称及对应点所连线段与对称轴的关系等方面归纳出轴对称的性质，它是画轴对称图形的依据．画轴对称图形是轴对称性质的运用，由点的对称得到图形的对称，体会由具体到抽象的过程，进一步使学生对图形的认识从静态上升到动态，体会研究图形问题的新角度，欣赏和体验数学美．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：画轴对称图形．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解图形轴对称变换的性质；
(2)能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能通过观察 ( http: / / www.21cnjy.com )、折叠、描图等方式，了解由一个平面图形可以得到与它关于某直线对称的图形，能归纳出一个图形经过轴对称变换后具有的性质．
达成目标(2)的标志是：学生能根据题目要求画出轴对称图形，经历作图的过程，了解作图的一般步骤和依据．
三、教学问题诊断分析
通过观察、折叠、描图等方式，学生 ( http: / / www.21cnjy.com )已基本感悟到一个图形经过轴对称变换后所具有的性质，能画出一个平面图形关于一条直线的轴对称图形．但八年级学生正处于形象思维向抽象思维转化的转型期，抽象思维能力不足．因此在教学中可以先由学生观察图形特征，经过分析，再归纳出轴对称的性质．
本节课的教学难点是：理解轴对称变换的性质．
四、教学过程设计
1．探究并归纳轴对称的性质
播放多媒体课件，展示生活中与轴对称现象有关的美丽图案．如：剪纸艺术、服饰文化、几何图案、花边艺术等．
图1
问题1 欣赏图1中美丽图案，并回答问题：
(1)这些图案有什么共同特点？
(2)能否根据其中的一部分画出整个图案？
师生活动：教师展示图片， ( http: / / www.21cnjy.com )提出问题，学生思考后、交流．得出：图案都是轴对称图形，这些图案都可以用轴对称的方式得到．教师关注：学生对图案的形成过程的分析是否正确，是否能从不同的角度去思考问题．
设计意图：通过让学生观察图形，在欣赏美丽的图案的同时，提出问题，引导学生从图案的特点和形成的角度去观察图案，初步感知轴对称的性质．
问题2 在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印？
师生活动：学生动手画左脚印，教师指导如何 ( http: / / www.21cnjy.com )快速准确地画出右脚印(如图2)，并强调把纸对折后描图．在学生画图中，教师关注：学生如何画左脚印；左脚印画出后，折痕如何选取．
设计意图：通过画左脚印，得到相应 ( http: / / www.21cnjy.com )的右脚印，让学生感受轴对称图形的形成过程，培养学生的动手能力，并让学生明确：折痕所在的直线就是它们的对称轴．
追问：请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？
师生活动：学生动手画图，教师观察 ( http: / / www.21cnjy.com )、指导，展示学生作品，听取学生的评价．关注：学生首先画出的是一个什么图形；学生能否采用折叠、描图的方式由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形．
设计意图：进一步培养学生画轴对称图形的能力，体验由一个平面图形得到与它关于某条直线对称的图形的过程．展示学生作品，让学生获得成功的体验．
问题3 由一个平面图形得到与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？
(1)画出的轴对称图形的形状、大小和原图形有什么关系？
(2)画出的轴对称图形的点与原图形上的点有什么关系？
(3)对应点所连线段与对称轴有什么关系？
师生活动：学生通过观察、 ( http: / / www.21cnjy.com )思考、小组合作探究，归纳以上活动中所得到的图形之间的共同点，教师给予引导、纠正，并给出完整的归纳：由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
设计意图：经历了实践、观察、合 ( http: / / www.21cnjy.com )作探究、归纳等数学活动过程后，引导学生从形状、大小 、位置、对应点及对应点与对称轴的关系等方面进行归纳．为画轴对称图形提供理论依据，让学生感悟由特殊到一般的数学思想．
2．画轴对称图形
问题4 如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例1 如图3，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．
图3 图4
追问(1)：三角形关于直线l的对称图形是什么形状？
追问(2)：三角形的轴对称图形可以由哪几个点确定？
追问(3)：如何作一个已知点关于直线l的对称点？
追问(4)：如何验证画出的图形与△ABC关于直线l对称？
师生活动：教师通过问题进行引导 ( http: / / www.21cnjy.com )，学生独立思考后尝试画图(如图4)，然后说出自己的画法，并通过折叠的方法加以验证．在学生作图中，教师关注：在三角形上，取的是否是三个顶点；是否掌握了作一个点关于直线的对称点的方法．
追问(5)：已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法．
师生活动：学生小组合作探究，师生共 ( http: / / www.21cnjy.com )同归纳出：几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
设计意图：分步设问，便于引导学生理解作图 ( http: / / www.21cnjy.com )的过程和方法．通过作图，让学生体验作图的准确性和规范性．经过折叠验证，让学生感悟实践与理论的结合；通过归纳，让学生掌握画轴对称图形的方法和步骤．
练习
1．如图，把下列图形补成关于直线l对称的图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
设计意图：巩固画轴对称图形的方法和步骤，使学生进一步体会轴对称变换的性质．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)由一个平面图形得到与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？
(3)画轴对称图形的一般方法是什么？依据是什么？
设计意图：通过小结，引导学生回顾画轴对称图形的步骤和依据，掌握轴对称变换的性质．
4．布置作业
教科书习题13.2第1题．
五、目标检测设计
1．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到的是( ).
A． B． C． D．
设计意图：考查学生对轴对称性质的理解和运用．
2．把图中实线部分补成以虚线l为对称轴的轴对称图形．
设计意图：考查学生画轴对称图形的能力．
3．如图，由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
设计意图：开放性题目考查学生对轴对称性质的理解和构造轴对称图形的能力．
A
B
C
A'
B'
C'
M
N
图2
A
B
C
l
A
B
C
l
O
A'
B'
C'
l数学活动
一、内容和内容解析
1．内容
活动1：美术字与轴对称；
活动2：利用轴对称设计图案；
活动3：探究等腰三角形中相等的线段．
2．内容解析
本节课的数学活动将第十三章“轴 ( http: / / www.21cnjy.com )对称”的知识运用于实际生活和数学探究中，用轴对称研究美术字的对称和写出轴对称的美术字；利用轴对称设计美丽的图案，体验数学与生活的紧密联系；用轴对称发现等腰三角形中相等的线段，从不同的角度去探索等腰三角形，进一步体验证明一个数学命题的一般方法和步骤．
活动1综合运用轴对称的概念和性质，画出 ( http: / / www.21cnjy.com )在特殊条件下(黑体)书写的汉字、英文字母和阿拉伯数字的对称轴，感受轴对称现象的无处不在；根据轴对称的美术字的一部分把另一部分补齐，其实质是画轴对称图形．
活动2是画轴对称图形的拓 ( http: / / www.21cnjy.com )展和延伸，由对称轴的方向和位置决定了得到的图形的方向和位置，但图形的形状和大小不变，进而与平移结合起来设计丰富美丽的图案，体会由具体到抽象的过程，在活动中积累活动经验，欣赏和体验数学美．
活动3是应用轴对称的性质探 ( http: / / www.21cnjy.com )索等腰三角形中相等的线段，利用全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质证明结论．在此基础上用类比的方法拓展延伸，在探究过程中借助图形的直观获取感性的认识，借助几何推理来证明结论，让学生经历数学问题的发现、提出和解决过程，体验数学探索的严谨性和逻辑性．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：美术字与轴对称和利用轴对称的性质探索并证明等腰三角形中相等的线段．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)能写出轴对称的美术字，画出它们的对称轴．
(2)能利用轴对称设计图案．
(3)探索并证明等腰三角形中相等的线段．
(4)积极参与数学活动，在数学活动过程中，积累活动经验．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能 ( http: / / www.21cnjy.com )判断出美术字中哪些是轴对称的，并能画出其对称轴；能把美术字中书写一半的结合画对称图形的方法沿对称轴补齐另一半，并能再举出一些轴对称的美术字．
达成目标(2)的标志是：学生在欣 ( http: / / www.21cnjy.com )赏、折叠轴对称图案的基础上，归纳对称轴的方向和位置的变形对整个图形的影响．能够设计轴对称的图案，提升学生的创造力和想象力，从数学的视角观察生活中的问题，提高审美能力，积累数学活动经验．
达成目标(3)的标志是：学生能通过折叠发 ( http: / / www.21cnjy.com )现等腰三角形中相等的线段，并能用几何推理的方式证明发现的结论；能通过类比的方式，猜想出等腰三角形中其他相等的线段，根据图形写出已知、求证和证明，经历画图、猜想、验证、证明的几何探究过程．
达成目标(4)的标志是：结合现实生活 ( http: / / www.21cnjy.com )中的典型实例，让学生感受到轴对称现象的无处不在．通过数学图案对称美的展示，激发学生积极思考，体验数学学习的乐趣，进而培养合作与探究的意识，同时体会知识来源于实践又服务于实践的道理．
三、教学问题诊断分析
学生已学习了轴对称的概念和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，能画出轴对称图形的对称轴和画轴对称图形，掌握了画轴对称图形的方法和步骤，但学生创造力和想象力有待进一步提高，设计图案的能力不强．对于利用轴对称设计图案，不同的学生可能会有不同的创意，也会有不同的操作方式完成自己的创意，教师应鼓励学生大胆想象、大胆尝识．
活动3，学生对教科书中出示的“三线 ( http: / / www.21cnjy.com )”相等情况都能通过折叠、观察得出结论，并能推理证明，但在探究等腰三角形中其它相等的线段时，学生由于受创造性思维能力和创新能力不强的局限，对找出其它相等的线段感到到困难．
基于以上分析，本课的教学难点是：利用轴对称设计图案和探究等腰三角形中除教科书中“三线”以外的其它相等的线段．
四、教学过程设计
1．数学活动1
通过本章的学习，我们体验了轴对称在生活和数学探索上发挥的作用，现在我们利用轴对称继续探索新的知识．
教师用多媒体出示下列美术字：
汉字：米 田 喜 非
字母：A H W
数字：8
问题1 从轴对称的角度观察它们，你能发现它们的共同特点吗？
师生活动：学生观察思考，发现这些美术字都是轴对称的．
追问：画出这些美术字的对称轴？
师生活动：学生动手画出这些美术字的 ( http: / / www.21cnjy.com )对称轴，全班交流展示．教师用多媒体动态演示对称的过程．教师关注：对称轴的位置是否正确，对有多条对称轴的美术字，学生画出了几条对称轴．
设计意图：展示不同的书写形式下熟悉的汉字 ( http: / / www.21cnjy.com )、字母和阿拉伯数字，让学生感受轴对称的无处不在．画出其对称轴，加深对它们的认识，增强学生的审美意识，激发学生的求知欲望．
问题2 请猜想下列几个未写完的美术字是什么汉字或字母？
动手实践：请把它们的另一部分补齐．
师生活动：学生猜想后交流，得出这些 ( http: / / www.21cnjy.com )未写完的美术字是：羊、工、平、B、E、D．然后动手把它们补齐，全班交流展示．教师关注：学生的想象力，画轴对称图形的方法和步骤是否正确，补齐后的美术字是否是轴对称的．
设计意图：先让学生猜想，培养学生的空间想象能力；动手实践，进一步理解画轴对称图形的过程，培养学生独立解决问题的能力．
问题3 你能再写出几个轴对称的美术字吗？并画出它们的对称轴．
师生活动：学生思考后写出轴对称的美术字，并 ( http: / / www.21cnjy.com )画出其对称轴，教师用多媒体显示学生所列举的美术字，如“囍”、“一”、“二”、“三”、“品”、“吕”、“中”、“由”、“甲”、“回”等字(黑体)．教师关注：学生列举的汉字、字母和阿拉伯数字是否是轴对称的，学生的观察力和想象力是否丰富．
设计意图：根据轴对称美术字的特征 ( http: / / www.21cnjy.com )，让学生思考、想象，培养学生的观察能力和想象力，借助多媒体的形象、直观展示美术字，欣赏、体验美术字在不同字体下具有不同的美．
2．数学活动2
利用轴对称，我们可以由一个基 ( http: / / www.21cnjy.com )本图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到许多精美的图案．在许多美术作品中，都能看到轴对称的例子．
问题4 如图1和图2，思考这两个图案是怎样得到的？
图1 图2
师生活动：学生观察图案，独立 ( http: / / www.21cnjy.com )思考，得出：每个图案都可以由一个或几个基本图形经过轴对称变形后形成的图案．教师鼓励学生提出自己的见解，然后教师用多媒体演示图案的形成过程．教师应重点关注：学生在思考中，是否找准了对称轴；两个图案中，学生各找出了几条对称轴．
设计意图：观察轴对称图形，寻找对 ( http: / / www.21cnjy.com )称轴，从不同的角度探究轴对称图形的形成过程，培养学生独立思考问题，解决问题的能力．让学生形象直观的感悟轴对称图形的形成过程．
请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸．
追问(1)：改变折痕的位置并重复几次，你又得到什么？
追问(2)：对称轴的方向和位置的变化对图形有什么影响？
师生活动：学生动手画图，教师观察、指导，展示 ( http: / / www.21cnjy.com )学生作品，并引导学生说出：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化．关注：学生首先画出的是一个什么图形；是否改变了折痕，并重复几次；是否感受到由于对称轴的方向和位置的变化对所画对称图形的影响．
设计意图：进一步培养学生画轴对 ( http: / / www.21cnjy.com )称图形的能力，观察和感受对称轴的方向和位置的变化对图形的影响．展示学生作品，让学生获得成功的体验，初步形成评价与反思的意识．
有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶边和背景的图案就是这样设计的：
图3
问题5 请你利用平移和轴对称设计图案．
师生活动：教师用多媒体展 ( http: / / www.21cnjy.com )示一些生活中利用轴对称设计的图案(如图3)，学生先欣赏轴对称图形的图案，然后自己设计图案；教师指导，学生展示交流．在学生设计图案中，教师关注：是否每个学生在动手设计，设计方法是否正确，设计能力上人的个体差异．
设计意图：让学生在欣赏美 ( http: / / www.21cnjy.com )中去感受美，创造美．学生利用平移和轴对称设计图案的过程就是对知识的运用及创造、创新的过程．教师组织学生展示自己的作品，为不同程度的学生提供展示自己的机会，获得成功的体验，满足多样化的需要，并通过多元评价方式，让学生获得成功的喜悦，培养学生的创新精神．
3．数学活动3
问题6 猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？
师生活动：教师引导学生画出对应的图形(如图4)，学生猜想：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．
追问1：等腰三角形是轴对称图形，将△ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的数量关系？
师生活动：学生动手折叠，观察得出DE＝DF，教师用多媒体予以演示(如图5)．
追问2：如何证明DE＝DF？
师生活动：教师引导学生根据文字语言和图形，写出已知、求证，学生独立证明，然后交流展示．
已知：如图4，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
求证：DE＝DF．
证明： ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°．
∵ D是BC边的中点，
∴ DB＝DC．
又 AB＝AC，
∴ ∠B＝∠C．
∴ △ABD≌△ADC(AAS)，
∴ DE＝DF．
教师关注：学生在文字语言、图形语言和符号语言的转化能力及几何推理是否严密、正确．
设计意图：让学生经历猜想结论、实践验证、合作 ( http: / / www.21cnjy.com )探究、推理证明的数学活动过程，提高在文字语言、图形语言和符号语言之间的转化能力，从不同视角猜想、验证，提高推理和运用能力．
问题7 如果DE，DF分别是AB，AC上的中线，它们还有相等的数量关系吗？
追问1：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，它们还有相等的数量关系吗？
师生活动：学生先画出图形(如 ( http: / / www.21cnjy.com )图6，图7)，根据图形做出猜想：DE＝DF．然后再小组合作，写出已知、求证、证明．教师关注：学生是否类比问题6的解决方法和步骤进行探究，是否正确探究出结论．
设计意图：放手让学生以小组合作的方式完成这两个结论的探究，主动思考交流，发展学生用类比的数学思想解决问题的能力．
追问2：由等腰三角形是轴对称图形，利用类似方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段，并证明结论．
师生活动：学生大胆猜想， ( http: / / www.21cnjy.com )在小组合作中探究，教师参与到小组合作学习中，引导学生从不同的视角去创造．教师关注：学生是否积极参与到活动中，能得出多少相等的线段．
设计意图：在猜想操作验证的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上，进行推理证明，获得对几何命题证明的一般过程，体验数学的严谨性和逻辑性．给学生提供创造的平台，进一步发展学生的创新意识，积累数学活动经验，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)解决本节课中的问题，用到了什么知识？
(2)举例说明轴对称在实际生活中还有哪些运用？
(3)等腰三角形中有哪些相等的线段？探究等腰三角形中相等的线段的一般步骤是什么？
设计意图：通过小结，使学生了解本节课内容与本章内容的联系，加深对轴对称和等腰三角形的认识，体会探究图形的一般方法和步骤．
5．布置作业
(1)在实际生活中，轴对称无处不在， ( http: / / www.21cnjy.com )请你用给定的图形“○○，△△， — —”(两个圆，两个三角形，两条线段)为构件，尽可能多地构思出独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形，并写出一两句诙谐、贴切的解说词．如：
两盏电灯
设计意图：开放性问题，考查学生设计轴对称图案的能力，培养学生发散思维，给学生一个创新的空间．
(2)请探究等边三角形有哪些相等的线段？
设计意图：让学生应用本节所学习的方法和策略解决同类问题，考查学生迁移运用能力和创新能力．
五、目标检测设计
1．以下图案是一些银行部门和汽车的标志，它们是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴．
设计意图：考查轴对称图形的概念的运用和画对称轴的能力，感受轴对称在生活中的广泛应用．
2．请猜一猜下列是哪些字的一半，并把它们补齐．
设计意图：考查画轴对称图形的能力．
3．请你用最基本的几何图形(如直线、射 ( http: / / www.21cnjy.com )线、线段、角、三角形、四边形、多边形、圆等)中若干个，为“环保专栏”设计一个报头图案，并简要说明图案的含义．
设计意图：考查学生利用轴对称的性质根据设定的条件进行图案设计的能力．
4．等腰三角形两腰的垂直平分线与腰和底边交点所形成的两条线段相等吗？请说明理由．
设计意图：考查学生运用全等三角形、等腰三角形及垂直平分线的性质解决问题的能力．
图5
图4
图7
图613.1.2 线段垂直平分线的性质(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
线段垂直平分线的性质和判定．
2．内容解析
本节课内容属于“图形与几何”领域，是在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称的概念和性质的基础上，研究线段垂直平分线的性质和判定．线段的垂直平分线的性质是研究等腰三角形、特殊四边形(矩形、菱形、正方形)、圆等平面几何图形的重要基础．
线段的垂直平分线，体现了两直线之间的位置和数 ( http: / / www.21cnjy.com )量关系．从轴对称的性质出发，在折叠、度量发现结论的基础上，再经过推理证明得出线段垂直平分线的性质，体现了由实验几何向论证几何的过渡．线段垂直平分线的判定是证明两直线互相垂直的依据之一，是用尺规作“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的理论依据．
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：线段垂直平分线的性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解线段垂直平分线的性质和判定．
(2)能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
(3)会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生 ( http: / / www.21cnjy.com )能通过动手折叠、测量和证明的方式得出线段垂直平分线的性质定理和判定．经历探究线段垂直平分线的性质和判定的过程，会进行图形语言、文字语言、符号语言间的转换．
达成目标(2)的标志是：学生能运用线段垂直平分线的性质和判定进行简单的推理、判断和计算，并解决实际问题，体验证明的必要性．
达成目标(3)的标志是：学生能用 ( http: / / www.21cnjy.com )尺规作图的方法“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”，了解作图的一般步骤和作图语言，并能用线段垂直平分线的判定方法和“两点确定一条直线”的基本事实解释作图的合理性．
三、教学问题诊断分析
学生在进行几何证明时，由于受用全等三角形证 ( http: / / www.21cnjy.com )明线段的思维定势的影响，学生往往采用全等的方式进行证明，教师要通过不同证法的特点的对比让学生体验用“新知”证明带来的简便．运用几何语言进行推理证明，把题目中的图形语言、文字语言、符号语言进行转化和抽象，在证明过程中，做到有理有据，学生常常会感到困难．
本节课的教学难点是：线段垂直平分线的性质的运用．
四、教学过程设计
1．探索并证明线段垂直平分线的性质
问题1 如图1，直线l垂直平分线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B，P1，P2，P3，…是直线l上的点，请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系？
师生活动：教师出示图形，学生观察，猜想出：这些点到点A与点B的距离分别相等．
设计意图：用简单的问题直接引入新课，为下一步验证结论作铺垫．
追问1：同学们猜想这些点与这条线段两个端点的距离相等，你能用不同的方法验证这一结论吗？
师生活动：学生思考、验证后小组讨论，然后小组代表汇报本组验证方法和结果．教师关注：学生是否用测量和对折等不同的方法进行验证．
追问2：请你在图１直线l上任取一点，那么这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？
师生活动：学生在直线l上任取一点进行探究，然后全班交流，从而得出线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
设计意图：用不同的方式去验证结论的正确性，从而归纳出线段垂直平分线的性质，渗透从特殊到一般的数学思想．
问题2 我们运用对折和测量的方式得出了线段垂直平分线的性质，对于这一结论，你能证明这一结论吗？
师生活动：教师引导学生画出图形， ( http: / / www.21cnjy.com )写出已知、求证，学生进行证明，然后交流展示．教师关注：在证明的过程中，数学语言的表达是否正确，几何推理是否严密，做到有理有据．
已知：如图2，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上．
求证：PA＝PB．
证明：∵l⊥AB，
∴ ∠PCA＝∠PCB．
又 AC＝CB，PC＝PC，
∴ △PCA≌△PCB(SAS)．
∴ PA＝PB．
接下来，教师引导学生根据图2用数学符号表示这一性质：
∵ CA＝CB，l⊥AB，
∴ PA＝PB．
设计意图：通过推理证明，让学生逐 ( http: / / www.21cnjy.com )步实现由实验几何到论证几何的过渡，使推理成为观察、实验的自然延续，会进行图形语言、文字语言、符号语言间的转换，为几何证明打下基础．
练习
1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于________．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：巩固对线段垂直平分线的性质的运用，培养逻辑推理证明的能力．
2．探索并证明线段垂直平分线的判定
问题3 反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢
师生活动：教师引导学生画出图形，写出已 ( http: / / www.21cnjy.com )知、求证，学生进行证明，然后交流展示．教师关注：在证明的过程中，数学语言的表达是否正确，几何推理是否严密，做到有理有据．
已知：如图3，PA＝PB．
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．
则 ∠PCA＝∠PCB＝90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴ Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)．
∴ AC＝BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上．
接下来，教师引导学生根据图3用数学符号表示这一结论：
∵ PA＝PB，
∴ 点P在AB的垂直平分线上．
设计意图：让学生通过严格的逻辑推理 ( http: / / www.21cnjy.com )证明“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，感悟几何证明的意义，体会几何证明的规范性，为下一步运用结论提供了方便．
追问1：你知道这个结论有什么作用吗？
师生活动：学生回答后，师生共同归纳：这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的依据之一．
追问2： 你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗 能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？
追问3：这些点能组成什么几何图形？
师生活动：学生找点，明确有无数个点， ( http: / / www.21cnjy.com )进而归纳出这些点组成一条直线，得出:在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．
设计意图：通过找点，让学生体验“点动成线”的事实，渗透集合的思想．
练习
如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
设计意图：巩固对线段垂直平分线的判定的运用．
3．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线
问题4 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？
师生活动：请同学们带着下列问题阅读教科书，学生尝试独立作图:
(1)为什么任意取一点K与点C在直线两旁？
(2)为什么要以大于DE的长为半径作弧？
(3)为什么直线EF就是所求作的垂线？
设计意图：了解用尺规过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，并让学生在问题的引导下，理解作图过程的合理性和作图的依据，提高作图技能．
练习
如图，过点P画∠AOB两边的垂线，并和同桌交流你的作图过程.
设计意图：通过过点P作∠AOB两边的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )线，及时巩固过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图方法.与同桌交流，培养学生的几何语言表达能力，体验尺规作图的语言特点．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些内容？
(2)线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？
(3)如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
设计意图：将知识系统化、条理化，归纳新知的探究方法和思路，体会线段垂直平分线的性质和判定的两者之间的互逆关系．
5．布置作业
教科书习题13.1第6题，第9题．
五、目标检测设计
1．如图，CD垂直平分AB，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为( )．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3.9 cm B．7.8 cm C．3.2 cm D．4.6 cm
设计意图：考查对线段垂直平分线的性质的运用．
2．如图，有A，B，C三 ( http: / / www.21cnjy.com )个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )．
A．在边AC、BC两条高的交点处
B．在边AC、BC两条中线的交点处
C．在边AC、BC两条垂直平分线的交点处
D．在∠ABC 、∠ACB两条角平分线的交点处
设计意图：考查线段垂直平分线性质的逆定理的运用，及线段垂直平分线与三角形的高、中线、角平分线之间的区别．
3．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，下列结论不一定成立的是( )．
A．PC＝PD B．PO平分∠CPD C．OC＝OD D．CD垂直平分OP
设计意图：考查角的平分线的性质及线段垂直平分线的判定的综合运用．
4．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线交AB于点E，若△ABC的周长为10 cm，BC＝4 cm，求△ACE的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：考查与线段垂直平分线的性质有关的证明和计算．
5．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．
设计意图：考查学生对线段垂直平分线的性质和判定的综合运用及几何推理证明能力．
l
A
B
P1
P2
P3
图1
A
B
C
P
l
图2
图3
A
P
B
O
A
B
C
A
B
D
O
C
P
B
C
D
A
E13.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
利用轴对称研究某些最短路径问题．
2．内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到 ( http: / / www.21cnjy.com )，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究．
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军 ( http: / / www.21cnjy.com )饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
二、目标和目标解析
1．目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
2．目标解析
达成目标的标志是：学生能将实际问题中的 ( http: / / www.21cnjy.com )“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” 问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是最值 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．
解答“当点A，B在直线l的同侧时 ( http: / / www.21cnjy.com )，如何在l找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难．
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到．
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧 ( http: / / www.21cnjy.com )的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用．
本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
四、教学过程设计
引言
前面我们研究过一些关于“两点的所 ( http: / / www.21cnjy.com )有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用说学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
1．将实际问题抽象为数学问题
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图1 中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
图1 图2
(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？
师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线(图2)．
(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相 ( http: / / www.21cnjy.com )互补充，最后达成共识：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(图3)．
图3
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”．
2．尝试解决数学问题
问题2 如图3，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充．
如果学生有困难，教师可作如下提示：
(1)如图4，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点分别到点A与点B的距离和最短？
(2)对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
(3)你能利用轴对称的有关知识，找到(2)中符合条件的点B′吗？
对于(1)，学生利用已经学过的知 ( http: / / www.21cnjy.com )识，很容易解决这个问题．即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求；对于(2)(3)，学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充．得出：只要作出点B关于l的对称点B′，就可以满足CB′＝CB(图5)．再利用(1)的方法，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为所求．
学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图．
作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l相交于点C．
则点C即为所求．
设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想．
3．证明“最短”
问题3：你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？
师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师板书：
证明：如图6，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′．
∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC＋BC＜AC′＋BC′．
即AC＋BC最短．
追问1：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨， ( http: / / www.21cnjy.com )最后达成共识：若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小．
设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
师生活动：学生回答，并相互补充．
设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验．
练习
如图7，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，请画出旅游船的最短路径．
师生活动：学生分析解题思路，并相互补充， ( http: / / www.21cnjy.com )然后独立完成画图．其基本思路为：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC找到一点R，使PR与QR的和最小”．
设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课研究问题的基本过程是什么？
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用？
设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．
5．布置作业
教科书复习题13第15题．
五、目标检测设计
如图，公园内有两条小河，两河形 ( http: / / www.21cnjy.com )成的半岛上有一处古迹P，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修三条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使所修建的道路最短？
设计意图：考查学生对“最短路径问题”的掌握．
B
A
l
B
·
·
A
l
B
A
l
C
B
·
图4
l
A
·
图5
A
B
l
B'
C
A
l
B'
C
C'
B
图6
河岸
大桥
山
A
B
C
Q
P
图7
P小结与复习
一、内容和内容解析
1．内容
轴对称及其性质，等腰三角形及等边三角形的性质和判定．
2．内容解析
本章的内容是从生活中的对 ( http: / / www.21cnjy.com )称入手，学习了轴对称及基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛运用．在此基础上，利用轴对称，探索等腰三角形的性质，学习它的判定，并进一步学习等边三角形．
本章的重点内容是轴对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质、等腰三角形的性质和判定．轴对称的运用、利用轴对称设计图案、用坐标表示轴对称等都是围绕轴对称性质展开的，从数量关系和位置关系两方面进行探究，把坐标思想和图形变换的思想联系起来，渗透特殊到一般和数形结合的数学思想；等腰三角形的性质和判定是进行推理和证明线段相等和角相等的重要依据．在利用等腰三角形的性质和判定进行计算和证明的过程中，体验分类讨论的数学思想，在推理证明中发 展学生的符号意识．
在本章的学习过程中，需要学生通过画图、折纸、 ( http: / / www.21cnjy.com )剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，在发现的基础上，再通过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合，完成由实验几何到论证几何的过渡，体会证明的必要性，发展逻辑推理能力．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：复习轴对称的性质、等腰三角形的性质和判定，构建本章知识结构．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系．
(2)巩固和运用轴对称的相关知识解决问题，进一步发展推理能力，能够用符号表示推理证明，体会证明的必要性．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：通过复习本章 ( http: / / www.21cnjy.com )的主要内容，理解轴对称的有关概念，能建立这些概念之间的联系；理解线段垂直平分线的性质、等腰三角形和等边三角形的性质及判定、掌握画轴对称图形的方法等．并能结合知识体系的构建过程，体会研究几何问题的一般思路和方法．
达成目标(2)的标志是：学生能够在具体的问题情境中应用本章所学的图形的性质和判定方法进行推理证明，解决问题，提高有条理地思考和表达的能力．
三、教学问题诊断分析
教科书在“全等三角形”一章已经要求学 ( http: / / www.21cnjy.com )生会用符号表示推理证明，本章对于一些图形的性质和判定(如线段垂直平分线、等腰(边)三角形的性质与判定等)，是要求学生证明的．由于学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章学习的一个难点．另外，有的题目中的图形需要作出适当的辅助线进行推理和证明，添加辅助线的方法和技巧是解题的一大障碍．
学生在复习课中既要对所学的 ( http: / / www.21cnjy.com )知识能够重新回忆出来，又要在原有的基础上进行知识的建构，建立起不同知识之间的内在联系，从而建立起本章的知识结构，形成知识体系．
本节课的教学难点是：本章知识点间的内在联系，知识体系的建构，较复杂几何问题的证明．
四、教学过程设计
1．知识梳理
问题1 请同学们回答下列问题：
(1)在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？
(2)在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？
(3)一个图形经过轴对称变换后，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？
(4)在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对应点的坐标有什么关系？请举例说明．
(5)利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？
师生活动：教师出示问题，学生根据问题独立思考，回顾本章所学内容，梳理本章知识．
然后教师组织学生逐题展示交流．教师关注：学生运用自己的语言解释答案的过程，运用例子来说明对所学知识的理解，而不是简单地重复教科书上的结论．
设计意图：通过5个问题，让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生对本章的知识点做梳理，为下一步建立本章的知识结构体系做好铺垫．其中，问题(1)主要是通过举例说明轴对称与现实生活的密切联系，复习轴对称图形的特点．问题(2)回忆学过的轴对称的几何图形，复习轴对称的性质．问题(3)复习成轴对称图形的性质，及画轴对称图形的方法．问题(4)是复习用坐标表示轴对称的变化规律，通过具体的例子说明这一变化规律．问题(5)是本章的重要内容，复习等腰三角形的性质及证明方法，等腰三角形与等边三角形的关系，及等边三角形的性质．
2．体系建构
问题2：请同学们整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？
师生活动：教师组织学生在纸上画 ( http: / / www.21cnjy.com )出本章的知识结构图，然后展示部分学生画的知识结构图，并请这些学生作简要说明．最后，教师出示课本上的知识结构图．
完善本章的知识结构．学生得出本章主要是 ( http: / / www.21cnjy.com )研究：轴对称及应用．由轴对称的概念和性质，找到了画轴对称图形及其对称轴的方法、关于坐标轴对称的点的坐标的关系．利用等腰三角形的对称性和全等三角形的知识，发现并证明了等腰三角形的性质和判定，由此又得出等边三角形的性质和判定．
设计意图：学生自己先画出 ( http: / / www.21cnjy.com )本章的知识结构图，主要是让学生能够主动建构本章的知识结构，形成知识体系，这有利于提高学生对本章知识的整体把握．然后教师出示本章知识结构，主要是帮助学生形成正确的、全面的知识结构．通过这样方式，突破本节课的难点．
问题3 结合本章知识结构图，思考以下问题：
(1)回顾本章的学习过程，说一说轴对称的性质在本章中重要作用是如何体现的？
(2)等腰三角形与等边三角形之间有什么特殊的关系？
师生活动：对于这两个问题，教师可以做适 ( http: / / www.21cnjy.com )当的引导，问题(1)引导学生从知识间的内在联系及知识的推理依据来分析，作轴对称图形的对称轴、画轴对称图形、关于坐标轴对称的点的坐标的关系、等腰三角形的性质等知识都是轴对称性质应用的体现．问题(2)引导学生主要从等腰三角形与等边三角形的性质和判定两方面进行说明．
设计意图：问题(1)主要是让学生进一步理解 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称在本章中的作用和地位，体会知识应用的广泛性．问题(2)主要是让学生通过对等腰三角形与等边三角形之间的特殊关系的探究，理解图形之间存在的特殊与一般的数学思想．
3．典型例题
例1 判断下列说法是否正确，如不正确，请说明原因．
(1)两个全等三角形一定关于某直线对称；
(2)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角的平分线重合；
(3)点(3，1)与点(－3，1)关于y轴对称；
(4)三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半．
师生活动：学生思考回答问题，教师引导学生 ( http: / / www.21cnjy.com )说出错在哪里？错误原因是什么？举出反例或画图说明，并把错误的语句改正过来．教师关注：学生对基础知识的理解程度，审题时是否能准确抓住题目中的关键词．
设计意图：引导学生进一步理解轴对称、等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形“三线合一”的性质、用坐标表示轴对称等知识，用正反例揭示它们的本质特征，在辨析中加深理解，培养学生认真审题的习惯及思维的批判性、深刻性和严谨性，提高认知水平．
例2 如图1，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
图1
师生活动：学生独立完成，然后小组交流，小 ( http: / / www.21cnjy.com )组代表上黑板展示所画的图形，并说出自己的思路和方法．师生共同归纳出：画图的思路是先观察图形，确定出对称轴，然后在相应的位置上补画上一个小正方形即可，此题可画出如下四种不同的图形．教师关注：学生的思路是否发散，画出了几种不同的图形．
设计意图：用开放性问题引发学生思考，从不同的角度和思路出发画出不同的轴对称图形，考查学生动手操作能力和发散思维能力，培养学生创新能力．
例3 已知：如图2，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过点D作DF⊥BE于F．
求证：(1)BD＝DE；
(2)BF＝EF；
(3)请猜想FC与BF间的数量关系，并说明理由．
师生活动：学生独立完成，对于有困 ( http: / / www.21cnjy.com )难的学生，可采用小组合作的方法，先分析出解题思路，后独立写出解答过程，再展示交流．教师关注：学生的解题思路是否正确，证明过程逻辑是否严密，每一步推理过程是否都有依据，用符号语言进行推理表达的能力．
设计意图：此题是在教科书第 ( http: / / www.21cnjy.com )93页第13题的基础上改编而来，第(2)问是在原题的基础上过点D作DF⊥BE于F，运用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明；第(3)问是考查学生运用“直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，然后运用等量代换的方法，证明出FC与BF间的数量关系，渗透转化的数学思想．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：
(1)本章的核心知识有哪些？这些知识间有什么样的联系？
(2)通过本节课的复习，你认为等腰三角形的性质和判定在解题中有哪些作用？
设计意图：通过小结，学生回顾复习的内容，梳理本章知识间的内在的联系，总结解题规律、方法，体验数学思想方法，升华认识．
5．布置作业
复习题13 第1，3，9，11题．
五、目标检测设计
1．下列图形中哪些图形是轴对称图形，并画出对称轴．
设计意图：考查学生对轴对称图形概念的理解和画对称轴的能力．
2．填空：
(1)已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个内角是 ；
(2)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角度数为 ；
(3)已知，点A( m，3)，B(－5，n)关于x轴对称，则m＝_____，n＝_____；
点A( m，3)，B(－5，n)关于y轴对称，则m＝_____，n＝_____．
设计意图：考查学生运用等腰三角形的性质解题的能力及分类讨论思想的运用；考查对坐标表示轴对称的规律的运用．
3．如图，已知∠ABC＝∠BCA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADC＝∠DCA＝75°，请你写出由已知条件能够推出的有关线段关系的正确结论(要求：不添加任何字母和辅助线，直接写出结论)．
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：用开放性问题考查学生运用等腰三角形的性质和判定结合图形推理证明的能力．
4．在△ABC中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，求证：BM＝MN＝NC．
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：考查学生运用线段垂直平分线的性质进行轴对称变换，及运用等边三角形的特殊性解决问题的能力．
轴对称
生活中的轴对称
等腰三角形
作轴对称图形的对称轴
画轴对称图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
等边三角形
A
B
C
D
F
E
图2
