14.1 整式的乘法(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
幂的乘方与积的乘方的性质．
2．内容解析
幂的乘方与积的乘方都是幂的运算性质，是后 ( http: / / www.21cnjy.com )续学习整式乘法的基础．二者都是以乘方的意义以及底数、指数、幂等有关概念为基础，通过特例的计算、比较、分析、归纳，抽象概括出一般结论，进而用符号表示及语言表述，整个过程体现了从特殊到一般的思想方法．
幂的乘方和积的乘方都是将乘方运算转 ( http: / / www.21cnjy.com )化为同底数幂的乘法运算，体现了化归思想．幂的乘方性质的导出根据的是乘方的意义和同底数幂乘法的性质；积的乘方性质是幂的第三个运算性质，它的导出根据乘方的意义、乘法交换律和同底数幂乘法的性质．二者的符号表示，需要学生通过观察、分析、比较来掌握公式的结构特征，其中底数字母可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．
幂的乘方与积的乘方都是借助于同底数幂 ( http: / / www.21cnjy.com )乘法的性质进行推导的，在推导的过程中都体现了数学知识的相互联系和化归的思想，也体现了数式通性的特点及类比学习的方法．作为整式乘法的基础，对三个性质导出过程的理解，也是能够灵活利用性质解决实际问题的关键．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂的乘方与积的乘方的性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解幂的乘方与积的乘方的性质．
(2)会运用幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
(3)在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能够独立完成幂的乘方与积的乘方的推导过程，并理解过程中每一步的根据．
达成目标(2)的标志：能够正确、合理地使用幂的乘方与积的乘方的性质进行整式乘法的计算．
达成目标(3)的标志：能对三个乘法性质加以区分，并在整式乘法计算过程中选取正确的性质解决问题．
三、教学问题诊断分析
学习本节知识，学生可能会遇到的困难主要 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个方面：其一是区分幂的乘方、积的乘方与同底数幂的乘法的性质，幂的乘方、积的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；而同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．其二，积的乘方中的积的呈现形式可以是几个单项式甚至是多项式的乘积，由于教材是用两个字母乘积的形式推导出性质，有的学生可能在对性质内涵的理解上会有些片面．
本节课的教学难点是：正确使用幂的三个运算性质进行计算．
四、教学过程设计
1．探究幂的乘方的性质
问题1 有一个边长为a2的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？
师生活动：教师提出问题，学生思考后回答，正方体的体积等于边长的立方，所以边长为a2的正方体的体积(a2)3．
设计意图：利用学生已有的基础知识解决实际问题，既贴近学生固有的知识层面，又能让学生更容易地发现问题的产生．
追问：利用幂的意义，能把(a2)3化成更简的形式吗？
师生活动：教师引导学生根据幂的意义可知(a2)3表示三个a2相乘，于是可得(a2)3＝
a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6．教师介绍，由于底数a2是幂的形式，因此我们把(a2)3这样的运算叫做幂的乘方，教师板书课题．
设计意图：让学生感受学习幂的乘方的必要性，并通过有依据的计算，为探索幂的乘方的运算性质做好知识和方法的准备．
问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律：
(1)(32)3＝32×32×32＝3( )；
(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a( )；
(3)(am)3＝am·am·am＝a( )(m是正整数)．
师生活动：学生计算，要求每个 ( http: / / www.21cnjy.com )步骤都能说出运算的依据．三位学生在黑板上板书，师生共同分析板书的结果．如果学生有困难，教师可以引导学生回顾问题1的解答过程，再进行计算．
设计意图：(1)三个特殊的 ( http: / / www.21cnjy.com )算式具有代表性和层次性，其中的幂分别为：底数和指数都是数、底为字母指数为数、底数和指数都为字母；(2)这三个算式为抽象概括出一般的结论奠定基础；(3)让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法，进而得出正确结果．
追问1：运算结果的底数和指数与原幂的乘方底数和指数有什么关系？
师生活动：学生通过观察、思考进而归纳出公式 ( http: / / www.21cnjy.com )特征，给出自己理解的公式表达或语言描述．教师根据学生总结的公式进行修改、解释，对学生的语言描述加以规范．
追问2：根据你的观察，你能再举一个幂的乘方运算的例子，直接猜出它的运算结果吗？
师生活动：学生仿照归纳好的公式进行举例，体会底数、指数的变化关系；教师根据学生的举例给予评价，对于特殊的取值着重强调．
追问3：你能用符号表示你发现的规律吗？
师生活动：学生观察并独立思考，初步获得结论，通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律．
设计意图：让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出幂的乘方运算性质，即
(am)n＝amn．
问题3 你能用推理的方法验证这个结论吗？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后 ( http: / / www.21cnjy.com )小组内互相交流，学生代表展示证明过程．在这个过程中，教师要引导学生用乘方的意义分析(am)n是表示n个am相乘，再转化为同底数幂的乘法，推导出公式．即
n个am n个m
(am)n＝am·am·…·am＝ am+m+…+m＝amn．
设计意图：学生从猜测到探索，到理解性质的实际 ( http: / / www.21cnjy.com )意义，进而从本质上认识、学习幂的乘方．让学生认识到只有通过演绎推理证明结论，才能最终确认结论，体验归纳——演绎相结合的思想方法对解决问题的价值．
追问：通过上面的探索和证明，你能类比同底数幂的乘法概括幂的乘方的运算性质吗？
师生活动：教师启发学生通过已 ( http: / / www.21cnjy.com )得出的符号语言：(am)n＝amn(m，n都是正整数)，尝试用文字语言概括出同底数幂乘法法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．教师提醒学生注意：(1)公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式；(2)注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加．
设计意图：通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力，在这个过程中渗透转化思想．
2．应用幂的乘方的性质
例1 计算
(1)(103)5； (2)(a4)4； (3)(am)2； (4)－(x4)3．
师生活动：师生共同分析解答，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )板书(1)，其余题目学生独立完成．解题时注意引导学生分析书写步骤和格式，完成例1后引导学生归纳解题注意事项，明确法则使用的条件．
设计意图：通过对例题的讲解与板演，加深学生对幂的乘方性质的理解、应用，规范计算过程中的书写步骤．
练习
计算下列各题：
(1)(103)3； (2)(x3)2； (3)－(xm)5； (4)(a2)3·a5；
(5)[(x2)3]7； (6)2(x2)n－(xn)2．
师生活动：学生进行板演，其他学生在完成自己 ( http: / / www.21cnjy.com )的练习题并检查无误后，对板演的正误及书写的规范加以检查、纠正．学生在做练习时，让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义．
设计意图：学生通过练习巩固刚学习的新知 ( http: / / www.21cnjy.com )识，在此基础上加深对知识的应用．其中(4)综合运用幂的乘方和同底数幂的乘法；(5)是幂的乘方性质的推广，引导学生认识多重乘方可以重复运用上述法则，如［(am)n］p＝(amn)p＝amnp；对于(6)注意结果要合并同类项，和(4)注意辨析区别．
例2 已知(a)2m＝25，求am的值．
师生活动：学生回答，教师板书，进一步理解、辨析公式，逆用公式解题．
设计意图：学生通过练习巩固刚刚学习的新知识，在此基础上加深对知识的应用．学生掌握情况良好，时间允许的情况下可以选用．
3．探究积的乘方的性质
问题3 一个边长为a的正方体铁盒，现将它的边长变为原来的b倍，所得的铁盒的容积是多少？
师生活动：教师不加任何提示，让学生利用前面学过的方法，利用乘方的意义和乘法的运算律解决这一问题．
设计意图：这与问题1情境类似，只是在数据上有变化，正是这个变化，给我们解决问题带来麻烦，同时也激发了学生探索解决问题的兴趣．
(a·b)3
＝(a·b)·(a·b)·(a·b) (乘方的意义)
＝(a·a·a)·(b·b·b) (乘法的交换律与结合律)
＝a 3·b 3 (乘方的意义)
追问：从乘方的角度可以将(ab)n称作什么？
设计意图：此处旨在引出本课要研究的幂的第三个性质——积的乘方．
问题 4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算(ab)n(n是正整数)．通过计算，你发现有何运算规律吗？
师生活动：在教师的引导下，学生独立完成法则的推导．
(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)
n个ab
＝(a·a·…·a)·(b·b·…·b)
n个a n个b
＝anbn
学生通过计算发现积的乘方的运算规律为：(ab)n＝an·bn．
设计意图：因为前面已经熟悉了先通过 ( http: / / www.21cnjy.com )数的计算再找规律的方法，所以在寻找积的乘方运算规律时，直接过渡到用字母表示积的乘方，在这个过程中渗透转化思想．
追问1：能用文字语言概述你发现的幂的乘方运算规律吗？
设计意图：通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及语言表达能力．
师生活动：学生总结，同桌相互交流 ( http: / / www.21cnjy.com )，互相纠正补充．达成一致后，举手回答．教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
追问 2：当 n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗？
师生活动：类比同底数幂的乘法和幂的乘方性质的推广的经验，学生能想到(abc)n＝a n b n c n，但要提醒学生还是要有根有据地推导：
(abc)n＝(ab)n·cn (乘法的结合律、积的乘方性质)
＝a n b n c n． (积的乘方性质)
设计意图：积的乘方推广形式在以后学习用的较多，要加强记忆和理解．学生在有前面的已有知识基础上发现规律，体会由特殊到一般研究问题的方法．
4．应用积的乘方的性质
例 2 计算：(1)(2a)3； (2)(－5b)3；
(3)(xy2)2； (4)(－2x3)4．
师生活动：每题请一名学生板演，根据学生 ( http: / / www.21cnjy.com )板演的情况，提醒学生注意：①不要直接写结果，应写出计算的全过程，并口答每步的依据；②(1)(2)(4)注意系数及系数的符号；③像(3)(4)因数中有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方．学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导．
设计意图：类比幂的乘方的计算过程让 ( http: / / www.21cnjy.com )学生进行板演，不仅可以加深学生对积的乘方性质的理解，也能提高学生对幂的乘方与积的乘方二者的联系和区别的认识．
练习：
计算：(1)(103)3； (2)(x3)2； (3)－(xm)5；
(4)(a2)3·a5； (5)(－2ab3c2)4．
师生活动：学生进行板演，其他学生在完 ( http: / / www.21cnjy.com )成自己的练习题并检查无误后，对板演的正误及书写的规范加以检查、纠正．在以上活动结束后，教师提醒学生注意：①不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)，②在这三个幂的运算性质中，要防止符号错误：例如，(－x)2≠－x2，(－x)3≠－(－x)3(－x)2≠－x2；还要防止运算性质发生混淆：(a5)2≠a7，a5·a2≠a10等等．
设计意图：同底数幂的乘法、幂的乘方、积 ( http: / / www.21cnjy.com )的乘方这三个幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解及区分．
预案 例2 若a＝255，b＝344，c＝344，比较a、b、c的大小．
师生活动：学生回答，教师板书，进一步理解、辨析公式，逆用公式解题
设计意图：学生通过练习巩固刚刚学习的新知识，在此基础上加深对知识的应用．学生掌握情况良好，时间允许的情况下可以选用．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和联系？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生对前后知识的融会贯通．
6．布置作业
教材第102页第1题、第2题．
五、目标检测设计
1．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)(ab4)4＝ab8；
(2)(－3pq)2＝－6p2q2.
设计意图：检测学生对幂的乘方和积的乘方性质的理解情况．
2．计算：(1)(2×103)4；(2)(xy m)3 ；(3)(－2ab2c)2 .
设计意图：检测学生对幂的乘方和积的乘方性质掌握情况．14.1 整式的乘法(第7课时)
一、内容和内容解析
1．内容
多项式除以单项式．
2．内容解析
多项式除以单项式作为整式运算的一部分，它是整式运算的重要内容之一，其中体现了运算能力，特别是加减乘除综合运算的能力．
多项式除以单项式的知识引入是建立在学生已学习 ( http: / / www.21cnjy.com )的单项式除以单项式的知识基础之上的，根据除法与乘法互为逆运算的关系和同底数幂的除法法则，推导出多项式除以单项式的法则．把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，再根据单项式除以单项式法则进行计算．在运算中，可以说明多项式除以单项式实质上可以看做是单项式除以单项式与合并同类项的复合．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究多项式除以单项式的法则，会运用法则进行计算．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算．
(2)体会知识间的内在联系、互逆关系等逻辑关系在研究问题时的价值；体会类比和转化的数学思想在多项式除以单项式中的作用．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能利用已 ( http: / / www.21cnjy.com )有的知识经验——乘法与除法的互逆关系以及类比的思想来探究多项式除以单项式的方法，概括出多项式除以单项式的法则．在此基础上能理解法则的本质特点，会用多项式除以单项式法则进行运算，能够具有将多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式进行计算的意识和能力．
达成目标(2)的标志：学生在探 ( http: / / www.21cnjy.com )究多项式除以单项式法则的过程中，体会除法与乘法间互为逆运算的逻辑关系，感悟“转化”的思想方法对于探究问题和在理解知识间内在联系的作用，从某些具体的数与式计算，抽象得到一般的式的运算法则，体会由特殊到一般的思维过程．
三、教学问题诊断分析
运用多项式除以单项式的法则计 ( http: / / www.21cnjy.com )算时，需将多项式看成“几个单项式的和”的形式，这时部分学生对运算符号的处理存在困难；把多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式的问题，在转化的过程中，可能会出现符号错误的情况．
本节课的教学难点：运用多项式除以单项式法则准确进行计算．
四、教学过程设计
1．自主探究——多项式除以单项式的方法
问题1 请同学们观察下列算式，它是我们学过的除法算式吗？如果不是，说说它与我们上节课学习的算式有什么不一样的特点．
(1)(am＋bm)÷m； (2)(8x3－12 x2＋4x)÷4x．
师生活动：学生观察并思考，作出回答，教师借助学生对问题的发现指出本节课的学习内容是多项式除以单项式，板书课题．
设计意图：通过给出的(1)(2)两个小题，学生观察、思考他们共同的特点，抓住算式的本质，为引出课题做铺垫．
追问1：你能尝试计算(1)吗？说说你是怎样算出来的？
师生活动：师生共同分析(1)，分析时要抓住乘法与除法之间的逆运算关系，将其逐步转化为单项式除以单项式的问题．
追问2：利用除法是乘法 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )的逆运算的关系，求(am＋bm)÷m的值，就是要求一个多项式，使它与m的积是(am＋bm)．你知道这个多项式是什么吗？
师生活动：学生回答问题，教师板书．
解：∵( )×m＝(am＋bm)，
∴(am＋bm)÷m＝( )．
又∵am÷m＋bm÷m＝( )；
∴(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m．
设计意图：通过呈现解题过程，师生共同分析，领悟其中蕴涵的思想方法．
追问3：你能模仿(1)的思路，自己独立分析问题1中的(2)吗？写出探究过程．
解：∵( ) ( )＝( )，
∴( )÷( )＝( ).
又∵( )÷( )＋( )÷( )＋( )÷( )＝( ),
∴(8x3－12 x2＋4x)÷4x＝( )．
师生活动：教师在学生初步理解(1)的思路的 ( http: / / www.21cnjy.com )基础上，充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出几方面去思考．根据课上学生领悟的情况，由学生自主完成引例的解答．
解：(8x3－12x2＋4x)÷4x
＝8x3÷4x－12x2÷4x＋4x÷4x
＝2x2－3x＋1．
设计意图：让学生通过对问题1的 ( http: / / www.21cnjy.com )解题方法领悟，让学生产生新的思维，同时借助已有知识能够将新知进行转化，从而引出本节课的学习任务．运用类比的思想探究三项多项式除以单项式的方法，并由此可以概括出多项式除以单项式的一般法则．
2．抽象概括——学生用自己的语言概述计算的方法
问题2 上述两个算式的运算，它们的相同之处是什么？通过以上两个例子，我们在计算一个多项式除以单项式时是将它如何转化的呢？
追问1：你能用最简练的语言描述这种转化吗？
追问2：你能用字母的形式来表示吗？
师生活动：首先学生独立思考，思考如何组织语言 ( http: / / www.21cnjy.com )；然后自己尝试用语言进行描述，最后在教师的指导下将语言精炼，师生共同得出如下的多项式除以单项式法则，教师板书法则．
多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
符号表达式：(a m＋b m)÷m＝a m÷m＋b m÷m
或 (a m＋b m＋c m)÷m＝a m÷m＋b m÷m＋c m÷m．
此环节教师要关注以下几点：(1)师生共同分析 ( http: / / www.21cnjy.com )法则中的关键词，并加以解释和理解；(2)从法则的叙述中归纳出运用法则计算的主要步骤是什么？(3)法则中蕴涵着将多项式看成是“几个代数式的和”的形式，这一点教师要加以解释，对运用法则计算是至关重要的．
设计意图：让学生在观察和思 ( http: / / www.21cnjy.com )考的过程中，发现并概括出多项式除以单项式的法则，并能独立尝试用文字语言和符号语言来描述它，发展学生的语言表达能力．
3．巩固运用——学生对法则的进一步理解
例1 计算：
(1)(6ab＋5a)÷a； (2)(15x2y－10xy2)÷5xy；
(3)(8a2－4ab)÷(－4a)； (4)(12a3－6a2＋3a)÷3a．
师生活动：学生根据运算法则尝试独立运算，找四 ( http: / / www.21cnjy.com )名学生板演，其它学生练习本上完成；教师在巡视指导时，要特殊关注计算能力较弱的学生，既要关注计算步骤的书写，又要关注计算过程中符号的处理．
设计意图：设计例1有两个目的，其一是让学生进一步巩固多项式除以单项式法则；其二是教师引导学生规范书写与表达．
例2 计算：
(1)(25x3y＋15x2－20x)÷(－5x)；
(2)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；
(3)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x；
(4)÷．
师生活动：学生根据运算法则尝试独立运算，找四名学生板演，其它学生练习本上完成.教师巡视，个别指导,可以采取小组交流的学习方式．
设计意图：进一步理解多项式除以单项式法则，熟练地运用法则进行运算．
练习
(1)计算：(－an－2x n－1＋3a n x n＋1)÷(－2a n－2 x n－2)；
(2)已知2x－y＝10，求[(x2＋y2)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷4y的值．
师生活动：教师依次分别呈现这两道题，学生在独立思考的基础上，开展小组交流，并选派代表将小组的意见进行展示，本组其他成员可以随时加以补充．
设计意图：设计本组练习题的目的在于 ( http: / / www.21cnjy.com )引导学生能够将所学的知识加以灵活运用，同时增加含有字母指数的多项式运算是为了让学生开阔眼界和拓展思维，不拘于单纯的数字运算．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)运用多项式除以单项式法则计算的基本步骤是什么？应注意的地方是什么？
(3)探究多项式除以单项式的方法是什么？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的学习收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的进一步优化．
5．布置作业
教材习题14.1第6题(5)(6)，复习题14第2题(3)(4)．
五、目标检测设计
计算：
(1)(6x2－8x3)÷(－2x2)；
(2)(8a3b－5a2b2)÷－4ab；
(3)÷；
(4)(2x2 n＋1－3x3 n＋1＋5x n＋2)÷(－2x)．
设计意图：检测学生对用多项式除以单项式法则计算的掌握情况．14.1 整式的乘法(第4课时)
一、内容和内容解析
1．内容
单项式与多项式相乘的法则．
2．内容解析
单项式与多项式相乘是在学生学习 ( http: / / www.21cnjy.com )了单项式与单项式相乘的基础上，学习的“式”的一种新运算，是对式的运算的拓展．同时它又是学习多项式与多项式相乘、用提公因式法分解因式以及将某些一元二次方程整理成一般形式的基础，因此在本章中起着承上启下的作用．
单项式与多项式相乘是建立在单项式与单 ( http: / / www.21cnjy.com )项式相乘的基础上，借助乘法分配律，通过类比数的运算而得到的．法则的形成经历了由数字到字母的抽象过程，体现了由“特殊”到“一般”的研究问题的方法；在运用法则的过程中，要遵循运算的算理，强调计算推理要做到步步有据．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：单项式与多项式相乘的法则的运用．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．
(2)理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”观念，体会转化、数形结合和程序化思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能通过具 ( http: / / www.21cnjy.com )体的实例，解释单项式与多项式相乘的过程；知道单项式与多项式相乘，运用了有理数乘法的分配律和单项式与单项式相乘的法则；知道运用法则时首先要用单项式去乘多项式的每一项，不能漏项；再把所得的积相加这两个步骤．
达成目标(2)的标志：就是学生能结合具体的 ( http: / / www.21cnjy.com )实例，经历将单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘的过程，通过观察、抽象、归纳等过程，概括法则，促进学生的语言表达能力的发展；经历借助几何图形验证法则的过程，发展学生的几何直观观念，体会从数到式，从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程和程序化思想，同时也渗透了类比学习的方法．
三、教学问题诊断分析
尽管学生已经学习了单项式与单项式相 ( http: / / www.21cnjy.com )乘，但学生对式的乘法运算的理解还不够深入．同时对于通过“数的运算”思考“式的运算”的方法还不是很熟悉，特别是对于有字母参与的式的运算仍不习惯，不利于学生学习本节课的知识．
学生在运用法则计算的过程中，可能会出现 ( http: / / www.21cnjy.com )的问题有：(1)在运用法则时，只与多项式中的第一项相乘，而忽略与其他项也要相乘的情况；(2)符号方面的错误，主要表现在当某一单项式的系数是负数时，出现丢掉符号的现象；(3)运用单项式乘单项式的法则运算时，计算结果的准确性尚有欠缺．
本节课的教学难点：单项式与多项式相乘的法则的运用．
四、教学过程设计
1．复习单项式乘法的法则
问题1 计算(1)2x·3x2y；(2)(－2a2)；(3)(－12)×．
追问1：你在计算这3个小题时，分别用到了学过的哪些知识和方法？
追问2：你能叙述解题过程中用到的法则或运算律吗？
师生活动：学生先独立完成这2个小 ( http: / / www.21cnjy.com )题的计算，然后小组互相交流运算结果，相互纠正错误，分析错误的原因，并展示小组的成果，最后教师引导学生思考追问的问题．
设计意图：让学生通过计算，回顾学过的 ( http: / / www.21cnjy.com )有理数乘法的分配律及单项式乘法，了解学生对已有知识的掌握情况，及时加以巩固和弥补，为学习单项式与多项式相乘奠定知识基础．在具体的计算中让学生体会法则和运算律．
2．探索单项式与多项式相乘的法则
问题2 我们来回顾引言中 ( http: / / www.21cnjy.com )提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p米，宽b米的长方形绿地，向两边分别加宽a米和c米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，小组 ( http: / / www.21cnjy.com )交流后分组展示．教师要留给学生足够的思考时间，不要急于让学生交流；同时教师要参与学生的交流活动中，了解学生的思维活动，积极引导学生讲清这样表示的道理．
设计意图：(1)通过引言中提出的问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )探究，让学生体会到数学问题与实际生活是紧密联系的，数学问题是来源于生活的，有着现实的意义；(2)为学生提供探究的时间和空间，鼓励学生积极思考，并及时给予指导和肯定；(3)通过探究活动，学生足以用p(a＋b＋c)与pa＋pb＋pc来表示扩大后的绿地面积，为建立等式奠定基础．
追问1：你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？
师生活动：教师提出问题，学生回答，教师板书课题．
设计意图：通过教师提出问题，引导学生思考这 ( http: / / www.21cnjy.com )两个代数式的实际意义是相同的．借助几何图形验证等式的正确性，为根据面积相同建立等式，得出单项式与多项式相乘的法则做好铺垫．
问题3 你认为p(a＋b＋c＋d)的结果是什么呢？
师生活动：教师提出问题，学生思考后回答．
设计意图：通过教师提出问题，引发学生深层次的思考，培养学生思维的发散性．
追问2：结合上述三个问题，你能发现它们的相同之处吗？你能用语言来叙述这个等式吗？
师生活动：教师首先要让学生自己组织语言，自由 ( http: / / www.21cnjy.com )发言，完成对法则的归纳，在概括的过程中允许学生有疏漏；通过学生的相互补充，完善自己的语言表述．学生自己反思，逐步完善对法则的概括，此时教师板书单项式与多项式相乘的法则，并引导学生共同剖析法则的内涵．
设计意图：学生先通过自由发言，阐述自己的观点；再通过相互补充加以反思，最后完成对法则的抽象概括，在归纳的过程中培养学生的语言表达能力．
练习
下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)3a(a－1)＝3a2； (2)2x2(x－y)＝2x3－2x2；
(3)(－3x2)(x－y)＝－3x3－3x2y； (4)(－5a)(a2－b)＝－5a3＋5ab．
设计意图：让学生初步理解单项式与多项式相乘的法则，逐步加深对概念内涵的理解．
3．巩固单项式与多项式相乘的法则
例1 计算(1)(－4x2)(3x＋1)； (2)．
解：(1)(－4x2)(3x＋1)
＝(－4x2)(3x)＋(－4x2)×1
＝－12x3－4x2 ．
(2)
＝
＝．
师生活动：师生共同分析解答．教师板书( ( http: / / www.21cnjy.com )1)时，要引导学生依据法则来共同分析，教师逐步书写解题过程．例中的(2)要比(1)稍复杂一些，式子中出现系数是负数的单项式，运算时极易出现符号上的错误，在学生板书(2)时，教师要引导学生互相交流，及时纠正．
设计意图：师生共同分析，教师板书示范，规范单项式与多项式相乘的运算步骤和书写格式．
练习
计算：(1)3a(5a－2b)； (2)(x－3y)(－6x)；
(3)5x(2x2－4x＋3)； (4)(－2a)(a2－ab＋b2)．
师生活动：四名学生分别板 ( http: / / www.21cnjy.com )书，其他学生在练习本上完成，小组长负责检查，纠正出现的错误；教师巡视加以指导，教师在巡视、评价时要关注学生能否按步骤正确书写计算过程；学生是否能正确运用法则进行计算，要关注对于符号的处理．
设计意图：让学生按照规范的步骤和格式书写计算过程，体会运用法则计算的过程，在积累解题经验的同时，体会程序化思想．
例2 化简x(x2－x)＋2x2(x＋1)．
解：x(x2－x)＋2x2(x＋1)
＝x3－x2＋2x3＋2x2
＝3x3＋x2．
师生活动：教师提出问题，学生思考分析后口答，教师板书．
设计意图：师生共同分析，教师板书示范，规范解题的步骤和格式．
练习
化简：(1) x2(x－1)＋2x(x2－2x＋3)； (2)．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后同桌之间交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步加深对单项式与多项式相乘的法则的理解，提高运算速度，发展运算能力．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课你学习了哪些主要内容？
(2)在运用单项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？
(3)结合探索单项式与多项式相乘的法则的过程，你认为体现了哪些思想方法？
设计意图：通过小结，使学生认识本节课内容与上节课内容的联系，体会运用转化探究规律的思想方法．
5．布置作业
必做题：教科书习题14.1第4，7题；
选做题：教科书习题14.1第11题．
五、目标检测设计
1．下列选项正确的是( )．
A．3a(a－1)＝3a2－1 B．3a(a－1)＝3a2－3a
C．3a2·4a3＝12a6 D．3a2·4a3＝12a5
设计意图：检测学生对单项式与多项式相乘的法则的理解情况．
2．计算：
(1)3a2(a－b)； (2) (－2x)(x2－xy)； (3) x2(x－1)－x(x2－3x)．
设计意图：检测学生运用单项式与多项式相乘的法则的熟练程度．
3．解方程：7x－x(x－3)－3x(2－x)＝x(2x＋1)＋6．
设计意图：检测学生运用法则解决实际问题的情况．14.2 乘法公式(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
平方差公式．
2．内容解析
某些具有特殊形式的多项式相 ( http: / / www.21cnjy.com )乘，可以写成公式的形式．当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果．平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
平方差公式的符号表示和语言表述揭示 ( http: / / www.21cnjy.com )了公式的结构特征．公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的的整式乘法运算到特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法．探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：平方差公式．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解平方差公式，能运用公式进行计算．
(2)在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生知道由多项式乘法 ( http: / / www.21cnjy.com )到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算．
达成目标(2)的标志：学生在探索 ( http: / / www.21cnjy.com )平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好的发现公式，体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想．
三、教学问题诊断分析
由于公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 ( http: / / www.21cnjy.com )中的a，b本身可能为负数，而且a，b可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，有时会有困难．作为平方差公式的应用，教材引入对两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度．解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来．
本节课的教学难点：平方差公式的变式运用．
四、教学支持条件分析
为了利用图形面积验证公式，可用课件显示割补情形(图1)．
图1
长方形AMHG的面积＝(a＋b)( ( http: / / www.21cnjy.com )a－b)，割下长方形EFGH添补到长方形MBCD处，形成多边形ABCDEF，而多边形ABCDEF的面积＝a2－b2，由此得出(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
五、教学过程设计
1．探究平方差公式
问题1 在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x＋1)(x－1)＝ ；
(2)(m＋2)(m－2)＝ ；
(3)(2x＋1)(2x－1)＝ ．
师生活动：三位学生在黑板上板书，学生共同分析板书的结果．
设计意图：(1)承前启后，为本节内 ( http: / / www.21cnjy.com )容的引入作铺垫；(2)让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系“一般——特殊”；(3)三个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础．
追问1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
追问2：相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
追问3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？
追问4：你能对发现的规律进行推导吗？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括 ( http: / / www.21cnjy.com )．发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差．用一般化的式子可以表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2，运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式．
设计意图：让学生经历由具体到抽象的 ( http: / / www.21cnjy.com )过程，即经历观察(每个具体的算式及其结果的特点)、比较(不同算式及其结果间的异同)、抽象(不同算式及其结果的共同特征)、概括(可能具有的规律)、推理(论证概括的结果)的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法： “具体——抽象”．
2．理解平方差公式
问题2 前面探究所得的式子(a＋b)(a－b)＝a2－b2，称为乘法的平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？
师生活动：学生回答问题，相互补充．
设计意图：(1)让学生将符号语言转化 ( http: / / www.21cnjy.com )为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；(2)学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解．
问题3 你能根据图2中图形的面积说明平方差公式吗？
图2
(1)长方形AMHG的长和宽分别是什么 怎样求面积？
(2)如果长方形AMHG中的 ( http: / / www.21cnjy.com )一部分长方形FEGH被分割下来，并补到长方形MBCD的位置，就形成多边形ABCDEF，此时多边形ABCDEF的面积又可以怎样表示？
(3)上述两种方法表示的面积有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题．
设计意图：通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想．
3．巩固平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
(1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(－x＋2y)(－x－2y)．
师生活动：师生共同分析解 ( http: / / www.21cnjy.com )答，教师板书(1)，学生板书(2)．在解答(1)的过程中，教师引导学生要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式，写出平方差，再化简得出结果；在解答(2)的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法．
解：(1)(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4；
(a＋b)(a－b) ＝ a2 －b2
(2)(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y 2．
设计意图：让学生熟悉公式的结构特征，找准 ( http: / / www.21cnjy.com )哪个数或式子相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b，并运用公式进行计算．
练习
下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)(2x＋3a)(2x－3b)＝(2x)2－(3a)2；
(2)(2a－3b)(2a－3b)＝(2a)2－(3b)2；
(3)(x＋2)(x－2)＝x2－2；
(4)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4．
师生活动：学生独立思考，并说明答案，对错误的问题相互交流、订正答案．
设计意图：通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算．
问题4 从例1和练习中，你认为运用平方差公式解决问题时应注意什么？
师生活动：学生回答问题，并相互补充． ( http: / / www.21cnjy.com )可以总结出以下经验：(1)在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；(2)一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；(3)总结规律：一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b的符号相反；(4)公式中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式等；(5)不能忘记写公式右边的“平方”．
设计意图：引导学生深入分析平 ( http: / / www.21cnjy.com )方差公式的结构特征，明确a，b的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键：找准哪个数或式相当于“第一个数”a，哪个数或式相当于“第二个数”b．通过此过程，突破本节课的难点．
例2 计算：
(1)( y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)； (2)102×98．
师生活动：师生共同分析，得出：(1)中的前两 ( http: / / www.21cnjy.com )个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；(2)是两个数乘积的简便计算，这两个因数恰好可以分解成两个数(100与2)的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算．问题(2)对一部分学生来说，有一定难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数．
设计意图：第(1)题是新旧知识的综合运用， ( http: / / www.21cnjy.com )此题要让学生深刻理解平方差的结构特征，明白只有符合公式结构特征的乘法，才能运用公式简化运算；第(2)题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简便计算问题，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力．
练习
运用平方差公式计算：
(1)(a＋3b)(a－3b)； (2)(3＋2a)(－3＋2a)；
(3)51×49； (4)(3x＋4)(3x－4)－(2x＋3)(3x－2)．
师生活动：四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视、指导，师生交流．
设计意图：通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算．
4．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)平方差公式的结构特征是什么？
(3)应用平方差公式时要注意什么
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验．
5．布置作业
教科书习题14.2第1题．
六、目标检测设计
1．下列各式中，不能运用平方差公式的是( ).
A．(m－n)(－m－n) B．(x －y )(y ＋x )
C．(－m＋n)(m－n) D．(2x－3)(2x＋3)
设计意图：考查学生对平方差公式结构特征的理解．
2．计算：
(1)(mn＋9)(9－mn)； (2)2x(x－1)－(2x＋1)(1－2x)．
设计意图：考查学生对平方差公式的理解及运用．
3．计算：1998×2002．
设计意图：考查学生对平方差公式的应用——两个数乘积的简便计算的掌握．
a
A
F
a
b
B
C
b
b
E
H
G
D
a - b
M
a
A
F
a
b
B
C
b
b
E
H
G
D
a - b
M14.1 整式的乘法(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
同底数幂的乘法．
2．内容解析
同底数幂的乘法是幂的一种运算，在整式乘法 ( http: / / www.21cnjy.com )中具有基础地位．在整式的乘法中，多项式乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础．
同底数幂的乘法将同底数幂的乘法运算转化为指 ( http: / / www.21cnjy.com )数的加法运算，其中底数a可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．同底数幂的乘法是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出同底数幂的乘法的性质，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性、从具体到抽象的思想方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：同底数幂的乘法的运算性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算．
(2)体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能根据乘方的意义推导出同底数幂的乘法的性质，会用符号语言、文字语言表述这一性质，会用性质进行同底数幂的乘法运算．
达成目标(2)的标志：学生在发现和推导同底 ( http: / / www.21cnjy.com )数幂的乘法的运算性质的过程中，能认识到具体例子在发现结论的过程中所起的作用，能体会数式通性在推导结论的过程中的重要作用．
三、教学问题诊断分析
在前面的学习中，学生已经学 ( http: / / www.21cnjy.com )习了用字母表示数以及整式的加减运算，但是用字母表示幂以及幂的运算，尚属首次．幂的运算抽象程度较高，不易理解．特别是对于am+n的指数的理解，因为它不仅抽象程度较高，而且运算结果反映在指数上，学生第一次接触，也很难理解．教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明确同底数幂的乘法的算理．
本节课的教学难点：同底数幂的乘法的运算性质的理解与推导．
四、教学过程设计
1．感受学习同底数幂的乘法的必要性
引言 在七年级(上册)，我们已经学习 ( http: / / www.21cnjy.com )了整式的加减，本章我们将学习整式的乘法及与整式的乘法密切相关的因式分解．为此，我们首先学习同底数幂的乘法．
问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103 s可进行多少次运算？
(1)如何列出算式？
(2)1015的意义是什么？
(3)怎样根据乘方的意义进行计算？
师生活动：教师提出问题，学生列出算式并解答．要求学生写出解答过程中每一步的依据，明确算理．即
它工作103 s可进行运算的次数为1015×103．
1015×103＝(10×…×10)×(10×10×10) ……乘方的意义
＝10×10×…×10 ……乘法结合律
＝1018． ……乘方的意义
设计意图：让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性，并通过有步骤、有依据的计算，为探索同底数幂的乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫．
2．探索并推导同底数幂的乘法的性质
问题2 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)25×22＝2( )； (2)a3·a2＝a( )； (3)5m×5n＝a( )．
师生活动：学生独立计算，三位学生在 ( http: / / www.21cnjy.com )黑板上板书，要求每个步骤都要写出运算的依据．师生共同分析板书的结果．如果学生有困难，教师可以引导学生回顾问题1的解答过程，再进行计算．
设计意图：(1)三个特殊的算式具有 ( http: / / www.21cnjy.com )代表性和层次性，其中的乘数分别为：底和指数都是数、底为字母指数为数、底为数指数为字母；(2)这三个算式为抽象概括出一般的结论奠定了基础；(3)让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法，进而得出正确结果．
追问1：上述三个乘法运算的乘数有什么共同的特征？
追问2：它们的积都是什么形式？积的各个部分与乘数有什么关系？
追问3：根据你的观察，你能再举一个例子，使它具有上述三个乘法运算的乘数的共同特征吗？不写计算过程直接猜出它的运算结果．
追问4：你能用符号表示你发现的规律吗？
师生活动：学生观察并独立思考，初步获得结论．通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律．
设计意图：让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征，并猜想出其性质，即am·an＝am+n．
问题3 你能将上面发现的规律推导出来吗？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考并写出推导过程，然后小组交流，学生代表展示推导过程．
am×an＝(a·a·…·a) (a·a·…·a) ……乘方的意义
＝a·a·…·a ……乘法结合律
＝am+n ． ……乘方的意义
设计意图：通过推导得出同底数幂的乘法的运算性 ( http: / / www.21cnjy.com )质．让学生认识到，只有通过推理，才能最终确认结论．体验数式通性、从具体到抽象的思想方法对解决问题的价值．
追问1：通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出同底数幂的乘法的运算性质
吗？
追问2：am·an＝am+n(m，n都是正整数)表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、四个……多个同底数幂相乘，结果会怎样？
师生活动：学生尝试用数学语言概括出同底数幂乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，并将这一性质推广到多个同底数幂相乘的情况．
设计意图：通过利用文字语言概括性质以及对性质进行推广的过程，促进学生对公式结构特征的深层理解．
3．巩固同底数幂的乘法的运算性质
例题 计算：
(1)x2·x5； (2)a·a6； (3)(－2)×(－2)4×(－2)3； (4)xm·x3m+1．
师生活动：师生共同分析解答 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师板书(1)，学生板书(2)(3)(4)．教师着重让学生说明底是什么，指数是什么，让学生观察是不是同底数幂相乘，引导学生运用性质进行计算．(2)中a＝a1是易错点，教师提问可能会出错的学生，并抓住时机强调此问题．
设计意图：让学生运用性质进行计算，在积累解题经验的同时，体会将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算的思想．
练习
1．判断下列计算是否正确，并简要说明理由：
(1) n3·n7＝n10； (2) a3＋a5＝a8； (3)y5·y4＝y20； (4)x·x2＝x2； (5) b4·b4＝2b4．
师生活动：学生回答，并相互补充．教师要重点提醒学生分析题目条件，能否应用同底数幂的乘法的运算性质以及如何正确应用．
设计意图：让学生通过辨析，加深对性质的理解和运用．
2．计算：
(1)××； (2)a2·a6．
师生活动：学生独立解答，学生代表板书，相互评价．
设计意图：巩固同底数幂乘法的运算性质．
3．计算：
(1)－2×(－2)3×(－2)4； (2)(a＋b)4·(a＋b)7；
(3)(n－m)5·(m－n)4； (4)(m－n)3·(m－n)5·(m－n)7．
师生活动：学生独立解答，代表板书，师生共同评价．
设计意图：此练习涉及符号 ( http: / / www.21cnjy.com )问题和幂的底数为多项式的情况，难度稍大．学生通过练习，可以更好地理解和运用性质，进一步提高分析问题和解决问题的能力．
4．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程 ( http: / / www.21cnjy.com )两个方面总结自己的收获，把握本节课的核心内容——同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会数式通性和从具体到抽象的方法在解决数学问题中的作用．
5．布置作业
必做题：教科书94页练习(2)(4)，习题14.1第1(1)(2)题．
选做题：已知am＝5，an＝125，求am+n的值．
五、目标检测设计
1．计算：(1)73×74；
(2)(－y)3·(－y)7·(－y)4；
(3)(b－a)2n×(a－b)2n+1．
设计意图：考查学生对同底数幂乘法的运算性质的理解和应用，其中第(2)题涉及符号问题，第(3)题的底数为多项式．
2．若km＝8，kn＝64，则km+n＝_____．
设计意图：考查学生对同底数幂的乘法的运算性质的逆向使用．
15个10
18个10
m个a
n个a
(m＋n)个a14.1 整式的乘法(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
单项式的乘法．
2．内容解析
单项式的乘法是在学生学习了有理 ( http: / / www.21cnjy.com )数的乘法和幂的运算性质的基础上，学习的“式”的一种运算，是对数的运算的一种延伸；同时它又是学习单项式乘多项式、多项式乘多项式的基础，也为学习单项式除法积累学习方法和经验，因此在本章中起着承上启下的作用.
单项式的乘法法则是建立在幂的运 ( http: / / www.21cnjy.com )算性质的基础上，借助有理数的乘法法则及乘法的运算律，通过类比数的运算而得到的.法则的形成经历了由数到字母的抽象过程，体现了由“特殊”到“一般”的研究问题的方法及数式通性的特点；在运用法则的过程中，要遵循运算的算理，强调计算时要做到步步有据.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：单项式的乘法法则的概括过程和运用．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算．
(2)经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生通过具体 ( http: / / www.21cnjy.com )的实例，解释单项式与单项式相乘的过程；知道运用法则运算时要掌握三个步骤：把系数相乘、相同字母相乘和不能遗漏只在一个单项式中含有的字母．
达成目标(2)的标志：学生知道单项式与单 ( http: / / www.21cnjy.com )项式相乘综合运用了有理数的乘法法则、有理数乘法的运算律、有理数混合运算的顺序及幂的运算性质.学生能结合具体的实例，通过观察、抽象、归纳等过程，概括法则，促进学生的语言表达能力的发展；体会从数到式，从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程和程序化思想，同时也渗透了类比学习的方法．
三、教学问题诊断分析
尽管学生已经学习了整式的加减运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，但还只是停留在较低层次的运算水平，对式的运算的理解还不够深入．同时对于通过“数的运算”思考“式的运算”的方法还不是很熟悉，存在畏惧的心理(不习惯)，不利于接受本节课的内容，教学时做好方法上的引导．
由于学习本节课的知识要涉及到已有的很多 ( http: / / www.21cnjy.com )知识，如乘法法则、幂的运算性质等，学生存在遗忘的现象；同时若干知识混淆在一起，干扰学生的运算，因此运算的正确性得不到有效保障．教学时教师提前布置学生要适当的预习涉及到的知识点．
本节课的教学难点：单项式的乘法法则的运用．
四、教学过程设计
1．复习与乘法有关的知识
问题1 计算：
(1)(－5)×(－11)×2； (2)10×102×103； (3)(－3)2＋(－4)×(－2)2；
(4)b5·b7； (5)(－2a2b)3．
追问1：你在计算这5个小题时，分别用到了学过的哪些知识和方法？
追问2：你能叙述用到的法则或运算律吗？
师生活动：学生先独立完成这5个小题的计算 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后小组互相交流运算结果，相互纠正错误的结果，分析错误的原因，并展示小组的成果．最后教师引导学生思考追问的问题．
设计意图：让学生通过计算，回 ( http: / / www.21cnjy.com )顾已学过的有理数的乘法、乘法的运算律、混合运算的运算顺序及幂的运算性质，了解学生对已有知识的掌握情况，及时加以巩固和弥补，为学习单项式的乘法奠定知识基础．在具体的计算中让学生体会法则和运算律，而不是让学生背诵学过的法则或运算律，体现学习法则贵在运用而不是机械地记忆．
2．探索单项式的乘法法则
问题2 光的速度约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102 s，你知道地球到太阳的距离约是多少吗？
追问1：怎样表示出地球到太阳的距离呢？
追问2：怎样计算(3×105)×(5×102)？
追问3：你能说说每步运算的依据吗？
师生活动：教师提出问题2 ( http: / / www.21cnjy.com )，学生先独立思考，然后展示求解过程，即要求学生板书解题过程．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题．此环节教师要关注以下两个问题：(1)学生计算结果的准确性；(2)学生能否说出每一步计算的依据，再次巩固与本节课学习相关的知识．
设计意图：通过问题2的探究，让学生体会到 ( http: / / www.21cnjy.com )数学知识与实际生活是紧密联系的，而不是枯燥乏味的，产生探索新知的欲望；为学生提供探究的时间和空间，鼓励学生积极思考，并及时给予指导和肯定，让学生感受成功的喜悦；通过探究，学生探索出解决(3×105)×
(5×102)的基本思路，为追问4的完成积累解题经验．
追问4：若把上式改为3x5·5x2或ax5·bx2，又如何计算呢？
师生活动：学生独立思考后，相互交流．教 ( http: / / www.21cnjy.com )师要给学生留足思考和交流的时间，当学生有困难时，教师要引导学生类比解决(3×105)×(5×102)的经验，同时教师仍要强调学生在运算过程中能说出每一步的依据，引导学生关注在运算中要做到步步有据．
设计意图：通过由数的运算过渡到式的运算，让学生体会“数式通性”的特点．
追问5：这三个算式有什么共同点？
师生活动：学生通过观察、交流活动，并相 ( http: / / www.21cnjy.com )互补充，完善自己的想法．教师要给学生观察、思考的时间，师生共同归纳概括出共同点．在找到共同点都是“单项式乘单项式”后，教师板书课题．
设计意图：通过对三个算式的共性的 ( http: / / www.21cnjy.com )挖掘，培养学生的观察能力、抽象概括能力及语言组织能力，同时为后续学习单项式乘多项式和多项式乘多项式，积累方法上的经验．
追问6：请你用自己的语言概括单项式乘单项式的法则．
师生活动：学生自由发言，相 ( http: / / www.21cnjy.com )互补充．教师一定要让学生自己组织语言，完成对法则的概括，在概括的过程中允许学生有疏漏．通过相互补充，学生自己反思，逐步完善对法则的概括．教师板书单项式乘法的法则，并引导学生剖析法则的内涵．
设计意图：学生先通过自由发言，阐述自己的观点；再通过相互补充加以反思，最后完成对法则的抽象，在概括法则的过程中培养学生的语言表达能力．
练习
下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？
(1)3a3·2a2＝5a6； (2)2x2·3x2＝6x4；
(3)3x2·4x2y＝12x4； (4) 5y3·3y5＝15y15．
设计意图：让学生初步运用单项式乘法的法则，逐步加深对概念内涵的理解．
3．巩固单项式的乘法法则
例1 计算：(1)(－5a2b)(－3a)； (2)(2x)3(－5xy2)．
解：(1)(－5a2b)(－3a)
＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b
＝15a3b．
师生活动：师生共同分析解答，教师板 ( http: / / www.21cnjy.com )书(1)．教师在板书例1中的(1)时，要引导学生依据法则来分析、逐步书写解题过程，切忌不要出现跳步的现象．若学生出现遗漏b时，要及时依据法则加以纠正．学生独立完成例1中的(2)，例1中的(2)要比(1)稍复杂一些，式子中出现幂的乘方运算，如果学生出现运算顺序上的错误，教师要引导学生互相交流，及时纠正．
设计意图：师生共同分析，教师板书示范，规范单项式乘法的运算步骤和格式．
练习
计算：(1) 3x2·5x3； (2)4y·(－2 xy2)； (3)(－3 x2)·4x2．
师生活动：三名学生分别板书， ( http: / / www.21cnjy.com )其他学生在练习本上完成，完成后小组长负责检查，纠正出现的错误．教师巡视并加以指导，教师在巡视、评价时要关注学生能否按步骤书写计算过程，学生能否正确运用法则进行计算．
设计意图：让学生按照规范的步骤和格式书写计算过程，在积累解题经验的同时，体会程序化思想；在检验的同时体会计算或推理要做到步步有据．
练习
计算：(1)(2×105)×(6×103)； (2)(－ab)·(－2a)3·(－3ab)2．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步加深对单项式乘法法则的理解，无论几个单项式相乘，都可以用这个法则，拓展学生的思维．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)运用单项式的乘法法则时，应该注意哪些问题？
(3)结合探索单项式乘法法则的过程，你认为体现了哪些思想方法？
设计意图：通过小结，使学生加深对本节课内容的认识．体会类比是学习数学的一种重要的思想方法．
5．布置作业
教科书习题14.1第3，9，10题．
五、目标检测设计
1．下列计算正确的是( )．
A．3a2·4a3＝7a5 B．3a2·4a3＝12a6
C．3a2·4a3＝7a6 D．3a2·4a3＝12a5
设计意图：检测学生对单项式乘法法则的理解情况．
2．计算：
(1) 3a2·2a3；
(3)(－9a2b3)·8ab2；
(3)(－3a2)3·(－2a3)；
(4)(1.5×104)×(2.2×107)．
设计意图：检测学生运用单项式乘法法则的熟练程度．
3．小明的步长为a厘米，他测得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方米？
设计意图：检测学生运用单项式乘法法则解决简单的实际问题．14.1 整式的乘法(第6课时)
一、内容和内容解析
1．内容
同底数幂除法和单项式除以单项式．
2．内容解析
整式的除法是整式四则运算的重要组 ( http: / / www.21cnjy.com )成部分，是整式加法、减法、乘法的拓展和延伸．同底数幂的除法是学习整式除法的基础，单项式除以单项式是后续学习多项式除以单项式的前提．
除法是乘法的逆运算，基于知识之间的这种逻辑 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，可以利用乘法来研究除法．同底数幂相除实质上就是求一个幂，使它与除式的积等于被除式．类似的，单项式除以单项式，就是要求一个单项式，使它与除式的积等于被除式．在此过程中，可以由研究同底数幂除法类比研究单项式除法．
单项式除以单项式时，运用法则可将其转化为 ( http: / / www.21cnjy.com )有理数的除法与同底数幂的除法，因此，只有在熟练运用转化方法的前提下，才能够取得较好的效果．同底数幂除法是单项式除法的核心．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会用它们进行运算．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，并会应用法则计算．
(2)体会知识间的逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值；体会转化思想在进行单项式除法时的作用．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能利用乘法与 ( http: / / www.21cnjy.com )除法的互逆关系探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则．学生会用同底数幂除法的性质进行运算，会将单项式除以单项式转化为有理数的除法与同底数幂的除法进行计算．
达成目标(2)的标志：学生在探究同底数幂除 ( http: / / www.21cnjy.com )法的运算性质和单项式除以单项式法则的过程中，体会除法与乘法间互为逆运算的逻辑关系，感悟类比、转化探究的方法在理解知识间内在联系上的作用，从某些具体的数与式计算，抽象得到一般的式的运算法则，体会由特殊到一般的思想方法．
三、教学问题诊断分析
同底数幂性质和单项式除以单项式 ( http: / / www.21cnjy.com )法则的发生和抽象过程，需要借助乘法与除法的互逆关系来研究，虽然学生对同底数幂乘法性质“底数不变，指数相加”有了一定的认识，也能想到这种方法，但在理解同底数幂除法性质“底数不变，指数相减”上仍存在一定的障碍，有条理的表达这一探究过程存在一定的困难．
本节课的教学难点：理解同底数幂除法的性质．
四、教学过程设计
问题1 一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
师生活动：教师创设问题情景，引起 ( http: / / www.21cnjy.com )学生思考，并尝试解决．进而在对问题的解决中提出问题210÷28＝？,教师可以尝试鼓励学生进行大胆的猜想，然后进入探究环节，运用乘除法互逆关系将问题转化为28×( )＝210，学生会发现底数不变、指数变化的规律．这一个问题不足说明规律，教师继续提出问题2让学生对规律进行多次探究．
设计意图：针对1M＝210K这个条件主要是让学生能够回忆已有的知识经验——同底数幂的乘法，并通过对问题的尝试解决生成新的问题加以探究．
1．探究同底数幂除法的性质
问题2 (1)∵( )×23＝25，∴25 ÷23＝( )．
(2)∵( )×103＝107，∴107÷103＝( )．
(3)∵( ) a3＝a7，∴a7÷a3＝( )．
追问1：你在解决问题2时，用到了什么知识？你能叙述这一知识吗？
追问2：25÷23，107÷103，a7÷a3这三个算式属于哪种运算？你能概括一下它们是怎样计算出来的？
师生活动：学生独立思考，利用同底数幂的乘法能 ( http: / / www.21cnjy.com )顺利的解决问题2，也能类比同底数幂的乘法说出这三个算式属于同底数幂的除法运算．但是在尝试概括计算方法上会出现一定的困难，教师此时可以适时的引导学生：求同底数幂相除的商，实质上就是求一个幂，使它与除式的积等于被除式．这样，我们就可以借助同底数幂的乘法来探究同底数幂的除法了．
设计意图：尽管学生知道乘法与除法互 ( http: / / www.21cnjy.com )为逆运算，但如何借助乘法来研究除法对于八年级的学生来说仍是一个难点，教师设计三个填空问题，(1)(2)的底数和指数均为数字，(3)的底数为字母，使学生体会从“特殊到一般”的研究问题的思路，逐步体会如何利用乘法来研究除法，为概括研究方法做好铺垫，从而突破了难点．
问题3 你能用上述方法计算am÷an 吗？
追问1：同底数幂除法的运算性质中a，m，n 应满足什么条件？
追问2：你能用语言概括这一性质吗？
师生活动：针对教师提出问题，学生有了上面的研 ( http: / / www.21cnjy.com )究经验，能想到问题的实质就是求( )·an＝am，在此过程中教师要关注学生的表达是否有条理，可让学生板书展示求解过程．∵am-n·an＝a(m－n)＋n＝am；∴am÷an＝am－n．在得出性质后，要特别注意性质中的一些条件，这是设置追问1的目的．学生应弄清楚a为什么不等于零及m，n均为正整数且
m＞n的原因，在这个过程中，让学生思维的缜密 ( http: / / www.21cnjy.com )性不断形成；同时教师还应关注学生是否能用文字语言正确的表述这一性质，此时可以让学生先独立思考，然后叙述同底数幂除法的性质．
设计意图：让学生根据问题2概括的研究方法 ( http: / / www.21cnjy.com )计算am÷an，进而得出同底数幂除法的运算性质．在此过程中，学生研究除法问题的方法得到了巩固．同时，重视了性质归纳过程，可以使学生在这个过程中理解和掌握性质．
问题4 如果根据这条性质计算am÷am结果是多少？
追问：如果根据除法的意义计算am÷am结果是多少？
师生活动：教师提出问题，学生思考．根据实数中 ( http: / / www.21cnjy.com )不等于零的一个数除以本身其商为1，直接得出商为1；另一方面，依照同底数幂的除法来计算可得a0，从而得出a0＝1(a≠0) ．
设计意图：在除法运算中会遇到am÷am这种情况，因此有必要研究．
练习
下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)x6÷x2＝x3； (2)a6÷a＝a 3； (3) y6÷y2＝y 3；(4)(－c)4÷(－c)2＝－c2．
师生活动：学生独立思考后依次回答，教师要重点关注学生对错误原因的解释，最终达到正确的理解和运用同底数幂除法的性质．
设计意图：让学生进一步理解同底数幂除法的性质，加深对性质本质的理解．
2．运用同底数幂除法的性质
例1 计算
(1)a7÷a4； (2)(xy)4÷xy； (3)(－x)6÷(－x)3； (4)(－y)3÷y2.
师生活动：师生共同分析，教师板书(1)，规范解题步骤和书写格式，其余可安排学生完成．在此过程中教师要关注以下两点：
(1)学生解决第(2)小题时，易出现的错误是认为xy的指数为0，教师可根据情况适时的给予纠正．
(2)学生在解决第(4)小题时，可能会出现另一种解法：
(-y)3÷y2＝(－y)3÷(－y)2＝(－y)3－2＝－y．
教师应充分肯定其正确性，并引导学生分析两种方法的共同点是将“底数不相同”的问题转化为“同底”，进而运用同底数幂的除法性质解决问题．
设计意图：在得出性质后配置相关的例题，有助 ( http: / / www.21cnjy.com )于学生加深理解性质，在理解的基础上加以记忆，在运用的基础上予以巩固．同时例题的书写过程要完整，有利于学生掌握和正确应用法则．
3．探究单项式除以单项式的法则
问题5 计算下列各题：
(1)28x4y2÷7x3y； (2)12 a3b2 x3÷3ab2．
追问1：我们借助乘法与除法互为逆运算的关系研究了同底数幂的除法，你能借助单项式的乘法研究单项式的除法吗？
追问2：观察被除式、除式与商的系数、字母及其指数，你有什么发现？
师生活动：在解决本组问题时 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师要引导学生类比同底数幂除法法则对问题的进一步理解：(1)计算这两个算式，就是要求一个单项式，使它与除式的积等于被除式,学生能通过独立完成或合作完成得到商；
(2)比较被除式、除式与商的系数、字母及其指数，总结得出一般的单项式除以单项式的法则，形成概括能力．
设计意图：根据乘、除的运算关系，在学习单项式 ( http: / / www.21cnjy.com )乘法的基础上，通过具体实例的计算得出商，再次体会知识间的逻辑关系在研究问题时的价值.然后，学生自觉地在实例的基础上归纳出法则，经历了一个由特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程．
4．运用单项式除以单项式的法则进行计算
例2 计算：
(1)－8a2b2÷6ab2； (2)－5a5b3c÷15a4b； (3)(－12x8y6)÷.
师生活动：根据单项式相除法则，师生共 ( http: / / www.21cnjy.com )同分析题目特点，可以按照系数、相同字母、被除式独有的字母进行，体会单项式的除法运算中转化的思想——即转化为有理数的除法与同底数幂的除法．然后教师板书(1)，其余可安排学生板演，规范步骤和格式．在解决第(3)小题时，要提醒学生注意运算顺序，先算乘方，再算除法．
设计意图：理解算理，体会单项式的除法实质上进行的是幂的运算与有理数的运算．
练习
计算下列各题：(1)10ab3÷(－5ab)； (2)－8a2b3÷6ab2；
(3)－21x2y4÷(－3x2y3)； (4)(6×108)÷(3×105)．
师生活动：安排四名学生板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，个别指导．
设计意图：进一步巩固对单项式除以单项式的法则的理解，训练解题的准确性．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)探究同底数幂除法的性质和单项式除法法则的思路是什么？
(3)运用同底数幂除法的性质和单项式除法的法则时，你认为应该注意什么？
设计意图：通过小结，使学生掌握本节课的核心知 ( http: / / www.21cnjy.com )识——同底数幂除法的性质和单项式除以单项式的法则，引导学生从多角度总结自己的收获，建立知识之间的联系．
6．布置作业
教科书习题14.1第6题(1)～(4)．
五、目标检测设计
1．计算：(1)(xy)7÷(xy)5； (2)(－a)7÷(－a)5．
设计意图：检测学生对同底数幂除法的性质的掌握情况．
2．计算：
(1)28a5b2÷7a2b；(2)－25x6y3z÷5x4y；(3)4.8×109÷(3×104)．
设计意图：检测学生对运用单项式除法法则进行计算的掌握情况．14.1 整式的乘法(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
幂的乘方与积的乘方的性质．
2．内容解析
幂的乘方与积的乘方都是幂的运算性质，是后续学 ( http: / / www.21cnjy.com )习整式乘法的基础．二者都是以乘方的意义以及底数、指数、幂等有关概念为基础，通过特例的计算、比较、分析、归纳，抽象概括出一般结论，进而用符号表示及语言表述，整个过程体现了从特殊到一般的思想方法．
幂的乘方和积的乘方都是将乘方运 ( http: / / www.21cnjy.com )算转化为同底数幂的乘法运算，体现了化归思想．幂的乘方性质的导出根据的是乘方的意义和同底数幂乘法的性质；积的乘方性质是幂的第三个运算性质，它的导出根据乘方的意义、乘法交换律和同底数幂乘法的性质．二者的符号表示，需要学生通过观察、分析、比较来掌握公式的结构特征，其中底数字母可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．
幂的乘方与积的乘方都是借助于同底数 ( http: / / www.21cnjy.com )幂乘法的性质进行推导的，在推导的过程中都体现了数学知识的相互联系和化归的思想，也体现了数式通性的特点及类比学习的方法．作为整式乘法的基础，对三个性质导出过程的理解，也是能够灵活利用性质解决实际问题的关键．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂的乘方与积的乘方的性质．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解幂的乘方与积的乘方的性质．
(2)会运用幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
(3)在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能够独立完成幂的乘方与积的乘方的推导过程，并理解过程中每一步的根据．
达成目标(2)的标志：能够正确、合理地使用幂的乘方与积的乘方的性质进行整式乘法的计算．
达成目标(3)的标志：能对三个乘法性质加以区分，并在整式乘法计算过程中选取正确的性质解决问题．
三、教学问题诊断分析
学习本节知识，学生可能会遇到 ( http: / / www.21cnjy.com )的困难主要有两个方面：其一是区分幂的乘方、积的乘方与同底数幂的乘法的性质，幂的乘方、积的乘方运算是转化为指数的乘法运算(底数不变)；而同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)．其二，积的乘方中的积的呈现形式可以是几个单项式甚至是多项式的乘积，由于教材是用两个字母乘积的形式推导出性质，有的学生可能在对性质内涵的理解上会有些片面．
本节课的教学难点是：正确使用幂的三个运算性质进行计算．
四、教学过程设计
1．探究幂的乘方的性质
问题1 有一个边长为a2的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？
师生活动：教师提出问题，学生思考后回答，正方体的体积等于边长的立方，所以边长为a2的正方体的体积(a2)3．
设计意图：利用学生已有的基础知识解决实际问题，既贴近学生固有的知识层面，又能让学生更容易地发现问题的产生．
追问：利用幂的意义，能把(a2)3化成更简的形式吗？
师生活动：教师引导学生根据幂的意义可知(a2)3表示三个a2相乘，于是可得(a2)3＝
a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6．教师介绍，由于底数a2是幂的形式，因此我们把(a2)3这样的运算叫做幂的乘方，教师板书课题．
设计意图：让学生感受学习幂的乘方的必要性，并通过有依据的计算，为探索幂的乘方的运算性质做好知识和方法的准备．
问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律：
(1)(32)3＝32×32×32＝3( )；
(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a( )；
(3)(am)3＝am·am·am＝a( )(m是正整数)．
师生活动：学生计算，要求每个步骤都能说出运算 ( http: / / www.21cnjy.com )的依据．三位学生在黑板上板书，师生共同分析板书的结果．如果学生有困难，教师可以引导学生回顾问题1的解答过程，再进行计算．
设计意图：(1)三个特殊的算式具有代表性和 ( http: / / www.21cnjy.com )层次性，其中的幂分别为：底数和指数都是数、底为字母指数为数、底数和指数都为字母；(2)这三个算式为抽象概括出一般的结论奠定基础；(3)让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法，进而得出正确结果．
追问1：运算结果的底数和指数与原幂的乘方底数和指数有什么关系？
师生活动：学生通过观察、思考进而归纳出公式特 ( http: / / www.21cnjy.com )征，给出自己理解的公式表达或语言描述．教师根据学生总结的公式进行修改、解释，对学生的语言描述加以规范．
追问2：根据你的观察，你能再举一个幂的乘方运算的例子，直接猜出它的运算结果吗？
师生活动：学生仿照归纳好的公式进行举例，体会底数、指数的变化关系；教师根据学生的举例给予评价，对于特殊的取值着重强调．
追问3：你能用符号表示你发现的规律吗？
师生活动：学生观察并独立思考，初步获得结论，通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后用符号概括出所发现的规律．
设计意图：让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出幂的乘方运算性质，即
(am)n＝amn．
问题3 你能用推理的方法验证这个结论吗？
师生活动：教师提出问题，学生先 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考，然后小组内互相交流，学生代表展示证明过程．在这个过程中，教师要引导学生用乘方的意义分析(am)n是表示n个am相乘，再转化为同底数幂的乘法，推导出公式．即
n个am n个m
(am)n＝am·am·…·am＝ am+m+…+m＝amn．
设计意图：学生从猜测到探索，到理解性质的实际 ( http: / / www.21cnjy.com )意义，进而从本质上认识、学习幂的乘方．让学生认识到只有通过演绎推理证明结论，才能最终确认结论，体验归纳——演绎相结合的思想方法对解决问题的价值．
追问：通过上面的探索和证明，你能类比同底数幂的乘法概括幂的乘方的运算性质吗？
师生活动：教师启发学生通过 ( http: / / www.21cnjy.com )已得出的符号语言：(am)n＝amn(m，n都是正整数)，尝试用文字语言概括出同底数幂乘法法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．教师提醒学生注意：(1)公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式；(2)注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加．
设计意图：通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力，在这个过程中渗透转化思想．
2．应用幂的乘方的性质
例1 计算
(1)(103)5； (2)(a4)4； (3)(am)2； (4)－(x4)3．
师生活动：师生共同分析解答 ( http: / / www.21cnjy.com )，教师板书(1)，其余题目学生独立完成．解题时注意引导学生分析书写步骤和格式，完成例1后引导学生归纳解题注意事项，明确法则使用的条件．
设计意图：通过对例题的讲解与板演，加深学生对幂的乘方性质的理解、应用，规范计算过程中的书写步骤．
练习
计算下列各题：
(1)(103)3； (2)(x3)2； (3)－(xm)5； (4)(a2)3·a5；
(5)[(x2)3]7； (6)2(x2)n－(xn)2．
师生活动：学生进行板演，其他学生在完 ( http: / / www.21cnjy.com )成自己的练习题并检查无误后，对板演的正误及书写的规范加以检查、纠正．学生在做练习时，让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义．
设计意图：学生通过练习巩固刚学习的新知识 ( http: / / www.21cnjy.com )，在此基础上加深对知识的应用．其中(4)综合运用幂的乘方和同底数幂的乘法；(5)是幂的乘方性质的推广，引导学生认识多重乘方可以重复运用上述法则，如［(am)n］p＝(amn)p＝amnp；对于(6)注意结果要合并同类项，和(4)注意辨析区别．
例2 已知(a)2m＝25，求am的值．
师生活动：学生回答，教师板书，进一步理解、辨析公式，逆用公式解题．
设计意图：学生通过练习巩固刚刚学习的新知识，在此基础上加深对知识的应用．学生掌握情况良好，时间允许的情况下可以选用．
3．探究积的乘方的性质
问题3 一个边长为a的正方体铁盒，现将它的边长变为原来的b倍，所得的铁盒的容积是多少？
师生活动：教师不加任何提示，让学生利用前面学过的方法，利用乘方的意义和乘法的运算律解决这一问题．
设计意图：这与问题1情境类似，只是在数据上有变化，正是这个变化，给我们解决问题带来麻烦，同时也激发了学生探索解决问题的兴趣．
(a·b)3
＝(a·b)·(a·b)·(a·b) (乘方的意义)
＝(a·a·a)·(b·b·b) (乘法的交换律与结合律)
＝a 3·b 3 (乘方的意义)
追问：从乘方的角度可以将(ab)n称作什么？
设计意图：此处旨在引出本课要研究的幂的第三个性质——积的乘方．
问题 4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算(ab)n(n是正整数)．通过计算，你发现有何运算规律吗？
师生活动：在教师的引导下，学生独立完成法则的推导．
(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)
n个ab
＝(a·a·…·a)·(b·b·…·b)
n个a n个b
＝anbn
学生通过计算发现积的乘方的运算规律为：(ab)n＝an·bn．
设计意图：因为前面已经熟悉了先通过 ( http: / / www.21cnjy.com )数的计算再找规律的方法，所以在寻找积的乘方运算规律时，直接过渡到用字母表示积的乘方，在这个过程中渗透转化思想．
追问1：能用文字语言概述你发现的幂的乘方运算规律吗？
设计意图：通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及语言表达能力．
师生活动：学生总结，同桌相互交流， ( http: / / www.21cnjy.com )互相纠正补充．达成一致后，举手回答．教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
追问 2：当 n 是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗？
师生活动：类比同底数幂的乘法和幂的乘方性质的推广的经验，学生能想到(abc)n＝a n b n c n，但要提醒学生还是要有根有据地推导：
(abc)n＝(ab)n·cn (乘法的结合律、积的乘方性质)
＝a n b n c n． (积的乘方性质)
设计意图：积的乘方推广形式在以后学习用的较多，要加强记忆和理解．学生在有前面的已有知识基础上发现规律，体会由特殊到一般研究问题的方法．
4．应用积的乘方的性质
例 2 计算：(1)(2a)3； (2)(－5b)3；
(3)(xy2)2； (4)(－2x3)4．
师生活动：每题请一名学生板演 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据学生板演的情况，提醒学生注意：①不要直接写结果，应写出计算的全过程，并口答每步的依据；②(1)(2)(4)注意系数及系数的符号；③像(3)(4)因数中有幂的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方．学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导．
设计意图：类比幂的乘方的计算过程 ( http: / / www.21cnjy.com )让学生进行板演，不仅可以加深学生对积的乘方性质的理解，也能提高学生对幂的乘方与积的乘方二者的联系和区别的认识．
练习：
计算：(1)(103)3； (2)(x3)2； (3)－(xm)5；
(4)(a2)3·a5； (5)(－2ab3c2)4．
师生活动：学生进行板演，其他学生在完 ( http: / / www.21cnjy.com )成自己的练习题并检查无误后，对板演的正误及书写的规范加以检查、纠正．在以上活动结束后，教师提醒学生注意：①不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆．幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变)；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变)，②在这三个幂的运算性质中，要防止符号错误：例如，(－x)2≠－x2，(－x)3≠－(－x)3(－x)2≠－x2；还要防止运算性质发生混淆：(a5)2≠a7，a5·a2≠a10等等．
设计意图：同底数幂的乘法、幂的乘方、 ( http: / / www.21cnjy.com )积的乘方这三个幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解及区分．
预案 例2 若a＝255，b＝344，c＝344，比较a、b、c的大小．
师生活动：学生回答，教师板书，进一步理解、辨析公式，逆用公式解题
设计意图：学生通过练习巩固刚刚学习的新知识，在此基础上加深对知识的应用．学生掌握情况良好，时间允许的情况下可以选用．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)幂的三个运算性质是什么？它们有什么区别和联系？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生对前后知识的融会贯通．
6．布置作业
教材第102页第1题、第2题．
五、目标检测设计
1．下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
(1)(ab4)4＝ab8；
(2)(－3pq)2＝－6p2q2.
设计意图：检测学生对幂的乘方和积的乘方性质的理解情况．
2．计算：(1)(2×103)4；(2)(xy m)3 ；(3)(－2ab2c)2 .
设计意图：检测学生对幂的乘方和积的乘方性质掌握情况．14.1 整式的乘法(第5课时)
一、内容和内容解析
1．内容
多项式与多项式相乘的法则．
2．内容解析
多项式与多项式相乘是在学生学习了单项 ( http: / / www.21cnjy.com )式与多项式相乘的基础上，学习的“式”的另一种运算，是对式的运算的拓展．它又是学习将某些一元二次方程整理成一般形式的基础，也是高中学习因式分解的基础，它是本章的核心内容之一．
多项式与多项式相乘是运用“整体思想” ( http: / / www.21cnjy.com )，借助乘法分配律，类比单项式与多项式相乘的法则而得到的，其过程体现了转化、类比的数学思想．借助几何图形的面积不变性，验证法则的正确性，发展学生的几何直观观念．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是多项式与多项式相乘的法则的概括与运用．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解多项式与多项式相乘的法则，并能运用法则进行计算．
(2)理解算理，发展学生的运算能力和几何直观，体会转化、数形结合和程序化思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生 ( http: / / www.21cnjy.com )能通过具体的实例，解释多项式与多项式相乘的过程．知道概括多项式与多项式相乘的法则，是运用了有理数乘法的分配律和单项式与多项式相乘的法则．在运用法则计算时首先要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，不能漏项；再把所得的和相加这两个步骤．
达成目标(2)的标志：学生能结合具体的 ( http: / / www.21cnjy.com )实际问题，通过观察、归纳等过程，概括法则，促进学生的语言表达能力的发展；体会抽象的思维过程、整体思想和数形结合思想，同时也渗透了类比学习的方法．
三、教学问题诊断分析
“整体代换”思想学生接触的不多，不易理解， ( http: / / www.21cnjy.com )因此学生在推导多项式与多项式相乘的法则时，想不到将(a＋b)看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则．因而在将(a＋b)(p＋q)转化成ap＋aq＋bp＋bq的过程中会出现障碍．
学生在运用法则计算的过程中，仍会出现以下的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题：(1)漏乘．表现在运用法则时，不能按照一定的顺序依次相乘；(2)符号方面的错误．主要表现在当某项的系数是负数时，出现弄错符号的现象；(3)随着多项式项数的增加，计算结果的准确性尚有欠缺．
本节课的教学难点是多项式与多项式相乘的法则的推导与运用．
四、教学过程设计
1．解决实际问题
问题1 已知某街心花园有一块长方形绿地，长为am,宽为pm，则它的面积是多少？
追问1：若将这块长方形绿地的长增加bm，则扩大后的绿地面积是多少？
追问2：你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？它们之间有怎样的关系？
师生活动：教师用PPT呈现问题1，学生独立思考、画出图形后回答问题，教师引导学生深入思考追问的问题．
设计意图：教师从实际问题引入，为学生提供探究的素材，激发学生探究的欲望．既
巩固了上节课所学的单项式与多项式相乘，又为借助几何图形探究多项式与多项式相乘埋
下伏笔．
2．探索多项式与多项式相乘的法则
问题2 若将原长方形绿地的长增加bm、宽增加qm，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？
师生活动：教师提出问题2，学生独立画图并解决，然后小组交流，教师巡视指导．
设计意图：问题2是问题1的延伸，有一定 ( http: / / www.21cnjy.com )的难度，让学生体会到数学问题与实际生活是紧密联系的，数学问题是来源于生活的；也体现了一题多解，有利于拓展学生的思维．教师要给学生足够的时间进行分析、思考、交流、互动．
追问1：哪个小组能说说本组探究的结果？
师生活动：教师提出问题后，要给学生 ( http: / / www.21cnjy.com )足够的展示交流时间，认真倾听．为了更多地了解学生的思维活动，每小组只讲一种求法；讲解时教师要引导学生讲清这样表示的道理．
可能会出现这样四种表示方法：①(a＋b) ( http: / / www.21cnjy.com )(p＋q)；②a(p＋q)＋b(p＋q)；③p(a＋b)＋q(a＋b)；④ap＋aq＋bp＋bq．多数学生能表示出①④，此时教师可以引导学生再次观察图形，看看能有什么发现．
设计意图：教师为学生设计展示的平台，提供展示的机会，鼓励学生积极参与研讨；通过展示活动，让学生的思维互相碰撞，为建立等式奠定基础．
追问2：根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论呢？
师生活动：教师提出问题，学生回答，教师板书课题．
设计意图：教师通过提出问题，引导学生思考这四个代数式的实际意义是相同的．根据面积相等建立等式，为概括多项式与多项式相乘的法则做好铺垫．
追问3：你能模仿单项式与多项式相乘的法则，来叙述多项式与多项式相乘的法则吗？
师生活动：教师一定要让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )自己组织语言，自由发言，可类比单项式与多项式相乘的法则，完成对法则的归纳，在概括的过程中允许学生有疏漏．通过相互补充，完善自己的语言表述．学生自己反思，逐步完善对法则的概括．此时教师板书多项式与多项式相乘的法则，并引导学生剖析法则的内涵．
设计意图：学生先通过自由发言，阐述自己的观点；再通过相互补充加以反思，最后完成对法则的抽象，在这个过程中培养学生语言能力．
追问4：你认为在运用法则计算时，应该注意什么问题？
设计意图：学生通过回顾单项式与多项式相乘时积累的经验，类比得出多项式与多项式相乘时需要注意的问题，为法则的运用做好思想上的准备．
3．巩固多项式与多项式相乘的法则
例1 计算：
(1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)( x－y)； (3)(x＋y)( x2－xy＋y2)．
解：(1)(3x＋1)(x＋2)
＝3x·x＋3x×2＋1·x＋1×2
＝3x2＋6x＋x＋2
＝3x2＋7x＋2．
师生活动：师生共同分析解答，教 ( http: / / www.21cnjy.com )师板书(1)．教师在板书(1)时，要引导学生依据法则来分析，教师逐步书写解题过程，在书写的过程中体会法则的应用；学生板书(2)(3)．式子(2)出现系数是负数的单项式，极易出现符号上的错误，教师要引导学生规范书写，避免出现错误．通过这三个小题，师生可尝试分析确定积的项数(未合并前)的方法．
设计意图：师生共同分析，教师板书示范，规范多项式与多项式相乘的运算步骤和书写格式．
练习
计算：(1)(2x＋1)(x＋3)； (2)(m＋2n)(3n－m)； (3)(a－1)2；
(4)(a＋3b)(a－3b)； (5)(2x2－1)(x－4)； (6)(x2＋2x＋3)(2x－5)．
师生活动：六名学生分别板 ( http: / / www.21cnjy.com )书(可以分成两组)，其他学生在练习本上完成，小组长负责检查，纠正出现的错误；教师巡视加以指导．教师在巡视、评价时要关注学生能否按步骤正确书写计算过程；学生是否能正确运用法则进行计算，要关注对于符号的处理．部分学生(3)小题可能出现疑惑，教师适当加以引导．
设计意图：让学生按照规范的步骤和格式书写计算过程，体会运用法则计算的过程，在积累解题经验的同时，体会程序化思想．
问题3 计算：(1)(x＋2)(x＋3)； (2)( x－4)(x＋1)；
(3)(y＋4)(y－2)； (4)(y－5)(y－3)．
师生活动：四名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验．
设计意图：学生通过做这四个小题，既巩固了多项式与多项式相乘的法则，又为继续探究做了铺垫．
追问1：根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？
追问2：你能直接写出(m＋4)(m－7)的结果吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考后回答问题． ( http: / / www.21cnjy.com )教师先引导学生从结果的各项系数入手，分析与它相关的因素．然后结合教材第102页练习第2题所给的图，借助几何图形再认识得到的规律．
设计意图：通过问题3的设计，学生自己尝试发现规律，引导学生感受在特殊的多项式与多项式相乘的问题中蕴涵的数学规律，为学习乘法公式埋下伏笔．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课你学习了哪些主要内容？
(2)在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？
(3)举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中，体现了哪些思想方法？
师生活动：学生总结，相互补充，教师启发．
设计意图：通过小结，使学生认识到本节课内容与本节内容的联系，体会转化、类比是探究某些规律的重要的数学思想方法．
5．布置作业
必做题：教材习题14.1第5，8题；
选做题：教材习题14.1第14，15题．
五、目标检测设计
1．计算：
(1)(x－3y)(x＋6y)； (2)(x＋5y)(x2－4y)； (3)(a＋b)2．
设计意图：检测学生运用多项式与多项式相乘的法则运算的情况．
2．(1)计算下列各式
①(a＋3)(a－3)； ②(x＋5y)(x－5y)； ③(2a＋3b)(2a－3b)．
(2)上述算式的运算结果有规律吗？ (填“有”或“没有”)．
(3)根据上述规律，你能直接写出(a＋b)(a－b)的结果吗？
设计意图：检测学生对从运算结果中发现规律的掌握情况．
3．如图，请你用两种不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到哪个等式？
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：检测学生对运用图形面积相等建立等式的方法的掌握情况．小结和复习
一、内容和内容解析
1．内容
对本章的内容进行梳理、总结，建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.
2．内容解析
本章内容建立在已经学习了有理数运算、列 ( http: / / www.21cnjy.com )简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上．整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义．
本章主要学习了整式的乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )法和因式分解．整式乘除法是整式四则运算的重要组成部分．在学习整式乘除法的运算中主要研究了幂的运算性质、整式乘除法和乘法公式，其中幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题．整式的除法也是整式四则运算的重要组成部分，能熟练地进行单项式除以单项式的除法是进行多项式除以单项式等一般的整式除法的前提．在学习了整式乘法的基础上又学习了因式分解，感受因式分解与整式乘法之间的内在联系．
本章的重点是整式乘法．乘法公式是整式乘法的特 ( http: / / www.21cnjy.com )殊形式，利用乘法公式可以使计算变得简便，同时整式乘法与因式分解存在互逆的运算关系，是因式分解的基础．因此，运用乘法公式准确、熟练地进行计算，在综合运用知识解决实际问题中，将知识进行转化，把复杂问题简单化，将实际问题转化为数学模型，运用数学思想方法解决问题，感受数学思想方法的作用是必要的，也是重要的．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：复习整式乘法法则和因式分解，建立本章知识结构．
三、目标和目标解析
1．目标
(1)熟练掌握幂的运算性质、整式的乘除运算法则、乘法公式、分解因式，会进行准确的计算．
(2)通过知识的综合运用，提高对公式、法则的灵活应用能力和解决问题的能力．
(3)在运算过程和解决问题的过程中，体会整体带入和转化的思想方法，感受数学的应用价值．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能够运用幂的运算性质、整式的乘除运算法则、乘法公式、分解因式，进行准确的计算．
达成目标(2)的标志：学生能够运用同底数幂的运算法则及整式的混合运算灵活地进行运算，能够运用这些知识解决实际问题．
达成目标(3)的标志：在综合运用知识解 ( http: / / www.21cnjy.com )决实际问题中，能够将知识进行转化，把复杂问题简单化．能够将实际问题转化为数学模型，运用数学思想方法解决问题．
四、教学问题诊断分析
在本章的学习中，学生已经理解 ( http: / / www.21cnjy.com )了幂的运算法则、整式乘除法的运算法则、乘法公式及因式分解，并能够运用这些公式和运算法则进行整式的乘除运算和因式分解．但在进行整式乘除法计算过程中，由于运用较多的幂的运算法则及乘法公式，公式多，易混淆，容易产生符号和运算方面的错误．所以对学生来说，准确、灵活、熟练的进行整式的乘除运算还比较困难，准确率较低．同时，学生对乘法公式的结构特征掌握得不够准确，乘法公式运用的不够熟练，所以综合运用知识的能力较差．由于乘法公式运用的不熟练，从而导致学生在因式分解时出现问题．
本节课的教学难点：乘法公式的灵活应用．
五、教学过程设计
1．知识梳理
问题1 计算下列各题并思考：下列各题中都运用到我们学过的哪些运算法则？它们之间有怎样的关系？
(1)(－2x2y3)2·(xy)3； (2)( 2a＋3b)(2a－b)；
(3)5x2(x＋1)(x－1)； (4)(2x＋3y－1)2；
(5)÷； (6)(7x2y3－8x3y2z)÷8x2y2．
师生活动：教师先呈现试题，并提出问题，部分同学到黑板板书，其余学生在练习本上解答．教师进行巡视检查并批阅，最后师生共同总结、归纳、评价．
设计意图：通过计算及思考，引导学生回顾 ( http: / / www.21cnjy.com )本章所学的幂的运算性质、整式的乘除运算法则、乘法公式，明确基本法则的正确运用；在引导学生观察运算法则之间关系的同时，进一步理解幂的运算是整式乘法的基础，单项式的乘除是整式乘除的关键．
问题2 因式分解：
(1)25x2－16y2； (2)( a－b)( x－y)－( b－a)( x＋y)；
(3)a2－4ab＋4b2； (4)4＋12( x－y)＋9( x－y)2．
追问：在上述因式分解的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，你能说说运用到哪几种分解因式的方法？在因式分解的过程中需要注意哪些事项？你能举例说明因式分解与整式乘法之间的关系吗？
师生活动：教师将练习题呈现给学 ( http: / / www.21cnjy.com )生，部分同学板书，其余学生在练习本上解答．教师巡视批阅，了解学生对基础知识的掌握程度，然后师生共同对照板书，进行评价，发现问题，及时指正．同时对追问的问题进行分析、归纳与总结．
设计意图：通过将基本习题 ( http: / / www.21cnjy.com )呈现给学生，引导学生在解答习题的过程中寻找知识点，重新回顾本章所学的乘法公式和因式分解的两种基本方法，并引导学生再次观察因式分解和整式乘法之间的互逆关系，促使学生形成本章的知识结构，建立知识间的内在联系，加深对整式乘除法运算的法则和因式分解的理解和掌握．
2．体系建构
问题3 请同学们围绕刚才的练习梳理一下本章所学的主要知识，根据它们之间的联系你能画出一个本章的知识结构图吗？
师生活动：教师组织学生在纸上画出本章 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识结构图，然后展示部分学生画的知识结构图，并请这些学生简要说明自己所画知识结构图.最后，教师出示课本上的知识结构图．
本章知识结构图：
设计意图：让学生自己先尝试画本章的知识结构 ( http: / / www.21cnjy.com )图，主要是让他们自己能够主动建构本章的知识结构，形成知识体系，有利于提高学生对本章知识的整体把握．然后教师出示本章知识结构，主要是帮助学生形成正确的、全面的知识结构．通过这样的方式，进一步明确本节课的重难点．
3．典型例题
例1 计算：
(1)(－5m＋3m )(－5m－3m)； (2)；
(3)(a－2)2(a－2)2(a2＋4)2 ； (4)(2x－3y＋1)(－2x＋3y＋1)．
师生活动：教师在黑板上出示例题，请学生进行解答，小组内进行批阅检查，再对照板书比较、评价．
设计意图：本组题目主要训练学生 ( http: / / www.21cnjy.com )对乘法公式的灵活运用．引导学生在计算前需先注意观察，通过适当变形后，再利用平方差和完全平方公式进行运算．同时点拨对(2)(4)公式中的a，ｂ可代表数、单项式或多项式，要运用换元思想解决；对(3)中公式要能灵活“逆用”；还要引导学生注意灵活选择方法进行运算，一题多解．
例2 因式分解：
(1)16x4－1；(2)a3－10a2＋25a；(3)m2－4m－12．
师生活动：3名学生板演，其余学生在练习本上完成，小组内进行批阅检查，再对照板书比较、评价．
设计意图：这三道题是提公因式法与公式法的综 ( http: / / www.21cnjy.com )合运用，引导学生根据乘法公式合理选择因式分解的方法，有公因式时先提公因式，然后再因式分解．同时，强调因式分解一定要分解彻底，直到不能分解为止．
例3 化简求值：
(1)(a－2)(a＋2)－a(a－2)，其中a＝－1；
(2)已知(x＋y)2＝25，(x－y) 2＝9，求xy和x2＋y2的值．
师生活动：教师出示题目，2名同学板演，其余学生在练习本上完成，教师巡视批阅，了解学生掌握情况．学生讲解，师生共同评价，强调解题思路和过程．
设计意图：通过两道题的练习，进一 ( http: / / www.21cnjy.com )步巩固乘法公式及因式分解，特别强调在化简过程中要注意各项的符号不要弄错，特别是添或去括号时要注意符号的变化．提高学生计算的能力，促进学生知识的掌握与运用，感受整体代入的思想在计算中的作用．
例4 计算
(1)0.252010×(－4)2011×0.1252012×(－8)2013；
(2)5022－4982．
师生活动：教师出示题目，学生练习，教师巡视批阅．学生讲解，师生评价，教师适时点拨．
设计意图：通过计算，让学 ( http: / / www.21cnjy.com )生感受巧妙地逆用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方在计算高指数幂中起到的简化作用，感受灵活运用平方差公式、完全平方公式等可以使繁琐的问题简单化、直接化，从而大大简化解题步骤，减少错误，达到简化计算的目的．
4．拓广探究
练习
(1)已知a，b，c为三角形的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断三角形的形状，并说明理由．
(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
方案1：第一次提价p％，第二次提价q％．
方案2：第一次提价q％，第二次提价p％．
方案3：第一、二次提价均为％．
其中p，q是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？
师生活动：教师出示题目，学生先独立思考，然后在小组内进行交流，再在班级进行讲解，教师适时点拨，引导归纳方法．
设计意图：通过两道练习题，让学生学会将实际问 ( http: / / www.21cnjy.com )题转化为数学模型，然后利用乘法公式解决实际问题．在解决问题的过程中，再次感受乘法公式在解决实际问题中的作用，体会转化的思想在数学学习中的价值．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课复习了哪些主要内容？
(2)你有哪些收获？你觉得还有什么需要注意的地方？
(3)结合本课复习的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？
师生活动：学生自由发表对本节课的理解，学生间互相补充，教师从多角度引导总结并加以评价．
设计意图：通过总结，引导学生再次从总体上回 ( http: / / www.21cnjy.com )顾所学的知识和思想方法，把握本节课所学知识的重难点和解决问题的关键；同时在总结中还可以提高学生独立分析和自我归纳的能力，促进学生数学思维品质的优化．
6．布置作业
教科书复习题14第4，5，7，8题．
六、目标检测设计
1．下列运算正确的是( )．
A．a2·a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．(a2)2＝a6a5 D．(3a2)2＝9a4
设计意图：本题主要考查学生对幂的运算法则的正确运用和计算的准确程度，进一步巩固和熟练幂的运算．
2．计算(14a3b2－21ab2)÷7ab2等于( )．
A．2a2－3 B．2a－3 C．2a2－3b D．2a2b－3
设计意图：本题主要考查学生对整式除法的掌握情况．
3．若9x2＋kxy＋36y2 是完全平方式，则k＝ ．
设计意图：本题主要考查学生对完全平方公式的结构特征的正确理解，中间kxy项既可以为正，也可以为负，从此题可以看出学生思维的全面性和严谨性．
4．已知x＋y＝5，xy＝3则x2＋y2的值为( )．
A．25 B．－25 C．19 D．－19
设计意图：本题主要考查学生对乘法公式的正确 ( http: / / www.21cnjy.com )理解和灵活运用，将乘法公式(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2转化为x2＋y2＝(x＋y)2－2xy的形式从而解决问题．
5．6xy2－9x2－y3因式分解为 ．
设计意图：本题主要考查学生对因式分解方法的理解和运用，先观察有公因式先提公因式，然后再利用公式法再次进行分解．
6．计算：
(1)14×15；(2)(x－2)(x＋2)－(x＋2)2；(3)(2x－3y＋2)(2x＋3y－2)．
设计意图：本题主要考查学生对乘 ( http: / / www.21cnjy.com )法公式的综合运用．对较为复杂的(1)(3)两道计算题，学生先通过观察发现不能直接运用公式法进行计算，通过相应的变形之后才可利用平方差公式进行计算；而(2)则可以直接利用平方差和完全平方公式同时运算，运算中需要注意去括号时符号的变化．
整式乘法
乘法公式
整式除法
因式分解14.3 因式分解(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
用平方差公式分解因式．
2．内容解析
公式法是因式分解的一种方 ( http: / / www.21cnjy.com )法.公式法就是把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，是用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法．
利用平方差公式分解因式是公式法的一种．它的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本思路是逆用乘法公式中的平方差公式，将形式为“两项平方差的多项式”分解为两项和与两项差的积，因此，准确找出成平方差关系的两项成为运用平方差公式的关键环节．
因式分解的平方差公式是对比整式乘法的 ( http: / / www.21cnjy.com )平方差公式而引入的，因式分解与整式乘法的逆向恒等变形关系是此方法的理论依据，让学生体会数学知识之间的整体联系，体会转化的数学思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式来分解因式．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
(2)会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生知道运用平 ( http: / / www.21cnjy.com )方差公式来分解因式要经历“将多项式化为两个数的平方差的形式”“将多项式写成两数和与两数差的积的形式”两个步骤，并能按此步骤对多项式进行因式分解．知道平方差公式中的两个数既可以代表数字和字母，也可以代表式子．知道由于整式乘法与因式分解是相反方向的变形，所以整式乘法的平方差公式可以转化为因式分解的平方差公式．
达成目标(2)的标志：学生 ( http: / / www.21cnjy.com )会分析多项式的结构特征，选用合适的因式分解的方法，如多项式各项含有公因式可用提公因式法，如多项式的结构是平方差的形式则运用平方差公式来因式分解，尤其是对需经过两步才能彻底因式分解的多项式，学生能做到认真观察、缜密思考，最终完善地解决问题．
三、教学问题诊断分析
提公因式法和平方差公式作为 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解的基本方法学生都是初次接触，在对它们的认识还不够深入的情况下综合运用会有困难，学生可能出现找不到合适的方法进行因式分解的问题或出现因式分解不彻底的现象．这主要是学生的观察能力和学习经验有限的缘故，看不出某些因式仍可以进行因式分解，解决这些问题的办法是让学生深入理解因式分解的方法，同时通过练习逐步熟悉这些方法以达到熟能生巧的目的．
本节课的教学难点：综合运用提公因式和平方差公式两种方法分解因式．
四、教学过程设计
1．探索平方差公式
问题1 你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？
追问1：本题你能用提公因式法分解因式吗？
追问2：这两个多项式有什么共同的特点？
追问3：你能利用整式的乘法公式——平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2来解决这个问题吗？
追问4：你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现？
师生活动：学生观察并独立思考， ( http: / / www.21cnjy.com )尝试着解决问题，发现每个多项式中没有公因式可提，不能用提公因式的方法分解因式．在老师追加问题的引导下，学生经过观察、类比得到新的因式分解的方法，最后师生共同归纳出平方差公式，即把整式的乘法公式——平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来 ( http: / / www.21cnjy.com )就得到因式分解的平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)．在此过程中学生再一次感悟到因式分解与整式乘法的互逆变形关系，教师板书课题：平方差公式．
设计意图：让学生充分经历 ( http: / / www.21cnjy.com )观察、思考、类比的过程，归纳并概括出将乘法公式逆用就能解决问题，归纳出因式分解的平方差公式．使学生充分经历探索的过程，感受整式乘法与因式分解之间的逆向恒等变形的价值，发展学生的逆向思维能力，增强学生的符号意识．
2．理解平方差公式
问题2 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
（1）x2＋y2；（2）x2－y2；（3）－x2＋y2；（4）－x2－y2．
追问1：平方差公式的结构特征是什么？
追问2：两个平方项的符号有什么特点？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考， ( http: / / www.21cnjy.com )然后小组交流，学生代表展示解答思路．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题，师生共同归纳运用平方差公式进行因式分解的条件：适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．
设计意图：通过判断能否运用平方差公式进行因 ( http: / / www.21cnjy.com )式分解，达到检验、巩固和学以致用的目的，同时让学生进一步理解平方差公式的结构特征，加深对公式本质的认识．
3．应用平方差公式
例3 分解因式：
(1)4x2－92； (2)(x＋p)2－(x＋p)2．
师生活动：教师提出问题，组织学生观察多项 ( http: / / www.21cnjy.com )式的结构特征，引导学生分析每一项的转化方法，鼓励学生思考，教师作规范的分解因式的板书示例．在(2)中，鼓励学生尝试用不同的方法来分解因式，如换元法等．
设计意图：让学生在应用中进一步理解平方差 ( http: / / www.21cnjy.com )公式，学会因式分解的规范格式，培养学生符号运算的能力、逆向思维和勤于观察的习惯．通过对因式分解方法的反思，评价解法的差异，获得因式分解的解题经验．
练习
将下列多项式分解因式：
(1)a2－b2； (2) 9a2－4b2；
(3)－1＋36b2； (4)(2x＋y)2－(x＋2y)2．
师生活动：四名学生板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，个别指导．
设计意图：让学生在应用中进一步理解平方差 ( http: / / www.21cnjy.com )公式的结构特征，较熟练地运用平方差公式，尤其是首项符号为负号或底数为多项式的情况如何转化为平方差公式的形式，从而积累解题经验．
4．综合运用平方差公式
例4 分解因式：
(1)x4－y4； (2)a3b－ab．
追问1：如何处理指数为4次的二项式？
追问2：将x4－y4分解为(x2＋y2)(x2－y2)就可以了吗？
追问3：将a3b－ab分解因式能直接运用平方差公式吗？
师生活动：学生先独立思考，再开展 ( http: / / www.21cnjy.com )分组活动，组内交流、讨论、展示，请思考成熟的学生发言，阐述解决问题的方法．教师及时给予鼓励和肯定，并最终形成解决上述问题的方法，即问题(1)两次运用平方差公式，问题(2)提公因式法和平方差公式综合运用．师生共同反思解决此类问题应该注意的问题.
设计意图：通过小组合作的方 ( http: / / www.21cnjy.com )式达成如下目标：(1)让学生理解并学会解决“分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止”的要求，即对因式分解结果中的每一个因式再进行分析，看是否还可以分解，逐一排查，确保已分解彻底；(2)对学过的两种因式分解的方法能初步综合运用，将两种方法有机地结合在一起，让学生看到因式分解的方法不是孤立的.即熟悉不同因式分解方法的本质特征，在面对具体问题情境时选准方法加以解决．
练习
分解因式：(1)x2y－4y； (2)－a4＋16．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步综合应用因式分解的方法，训练计算的准确性、熟练性、灵活性，起到强化巩固的作用．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)因式分解的平方差公式的结构特征是什么？
(3)综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
6．布置作业
教材习题14.3第2题，第4题(2)．
五、目标检测设计
1．下列多项式能用平方差公式来分解因式的是( )．
A．－a2＋b2 B．－a2－b2 C．a2＋b2
设计意图：检测学生对平方差公式的特征的理解情况．
2．分解因式：
(1)－81a2－b2 ； (2)(3a＋2b)2－(3a－2b)2.
设计意图：检测学生对平方差公式的理解和运用情况．
3．分解因式：
(1)1－16a4； (2)9a2b－4b．
设计意图：检测学生对提公因式法与平方差公式的综合应用的掌握情况．14.3 因式分解(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
因式分解的概念，提公因式法．
2．内容解析
因式分解是对整式的一种变形， ( http: / / www.21cnjy.com )是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系．因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具．
提公因式法是因式分解的基本方 ( http: / / www.21cnjy.com )法．通过逆向运用分配律，将多项式中各项的公因式“提”到括号外边，从而把多项式分解为此公因式与多项式剩余部分所组成的因式的积．其中，公因式可以是单项式，也可以是数或多项式．提公因式法分解因式的关键是找准公因式．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用提公因式法分解因式．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解因式分解的概念．
(2)了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生知道因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，能识别某一式子的变形是否为因式分解．
达成目标(2)的标志：学生知道公 ( http: / / www.21cnjy.com )因式就是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积；知道公因式可以是单项式、也可以是数或多项式；知道提公因式法分解因式要经历“找出公因式”“提取公因式”两个步骤，提取公因式就是把公因式提到括号外面，括号内的因式即为多项式除以公因式所得的商式，并能按此步骤对多项式进行因式分解．
三、教学问题诊断分析
因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形，学 ( http: / / www.21cnjy.com )生第一次接触时在理解上会有一定的困难．在对整式乘法的认识还不够深入的情况下，就遇到与之有互逆关系的新情境，学生有时会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系．
学生在运用提公因式法分解因式的 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中经常遇到的困难是公因式选取不准确，表现在忽视了某些相同的字母或式子，导致提取公因式后的因式中仍然含有公因式．解决此问题的关键是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的积作为公因式．
本节课的教学难点：正确理解因式分解的概念、准确找出公因式．
四、教学过程设计
1．了解因式分解的概念
问题1 上一节我们已经 ( http: / / www.21cnjy.com )学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)x2＋x＝___________； (2)x2－1＝___________．
追问1：根据整式的乘法，你能猜想出问题(1)(2)的结果吗？
追问2：在多项式的变形中 ( http: / / www.21cnjy.com )，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．你认为因式分解与整式乘法有什么关系？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着写出答案，在教师给出因式分解的概念之后，学生回答因式分解与整式乘法是互逆变形关系．
设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、 ( http: / / www.21cnjy.com )思考和操作的过程中，了解因式分解的概念，认识其本质属性——将和差化为乘积的式子变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆变形关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫．
练习
下列变形中，属于因式分解的是___________(填序号)．
(1)a(b＋c)＝ab＋ac；
(2)x3＋2x2－3＝x2(x＋2)－3；
(3)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念．
2．探索因式分解的方法——提公因式法
问题2 你能试着将多项式pa＋pb＋pc因式分解吗？
(1)这个多项式有什么特点？
(2)你能将这个多项式因式分解吗？
(3)因式分解的依据是什么？
(4)分解后的各因式与原多项式有何关系？
师生活动：教师提出问题，学生 ( http: / / www.21cnjy.com )先独立思考，然后学生代表展示求解过程．在回答(1)后，学生能发现这个多项式的各项都有一个公共的因式，教师指出此因式叫做这个多项式各项的公因式．在得出pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)后，学生发现：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把各个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式．教师指出：这种分解因式的方法叫做提公因式法．
设计意图：让学生进一步了解因式分解与整式乘法的关系；了解因式分解的理论依据；了解公因式的概念，初步理解提公因式法分解因式．
3．初步应用提公因式法
例1 把8a3b2＋12ab3c分解因式．
师生活动：师生共同分析， ( http: / / www.21cnjy.com )并解答问题．此时教师引导学生明白找8a3b2与12ab3c的公因式的基本程序：先找系数8与12的最大公约数，再找出两项字母部分a3b2与ab3c都含的字母a和b，然后找出都含的字母a和b的最低次数，进而选定8a3b2与12ab3c的公因式4ab2．
追问1：如果提出公因式4a， ( http: / / www.21cnjy.com )得出8a3b2＋12ab3c＝4a(2a2b2＋3b3c)，那么，另一个因式2a2b2＋3b3c是否还有公因式呢？
追问2：如果提出公因式4b或4ab，那么，另一个因式是否还有公因式？
追问3：在利用提公因式法分解因式时应注意什么？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，互动交流，最后达成共识：用提公因式法分解因式时，最后一定要满足各因式中再无公因式．
设计意图：通过例题的教学，引导学生： ( http: / / www.21cnjy.com )(1)了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤；(2)积累找公因式的经验——找到公因式的最简单的方法是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及多项式的最低次幂的乘积；(3)知道提公因式法就是把多项式分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是由多项式除以公因式得到的；(4)用提公因式分解因式后，应保证含有多项式的因式中再无公因式．
例2 把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．
师生活动：学生独立完成，一名学生板书，师生共同交流．
设计意图：此例题的公因式是多项式(b＋ ( http: / / www.21cnjy.com )c)，通过此例题的教学，提高学生对“公因式”的认识——可以是单项式，也可以是多项式，增强对提公因式法分解因式的本质的认识．
4．巩固应用提公因式法
练习1 把下列各式分解因式：
(1)ax＋ay； (2)3mx－6my； (3)8m2＋2mn；
(4)12xyz－9x2 y2； (5)2a(y－z)－3b(z－y)； (6)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)．
师生活动：三名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后学生互动交流．
设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层 ( http: / / www.21cnjy.com )次性的练习题，让学生进一步巩固因式分解的基本方法——提公因式法，积累解题经验．前4题的公因式为单项式，后两道题的公因式为多项式．在前4题中，公因式有的只是一个字母构成的单项式，有的是有两个字母及系数构成的单项式．在后两道题中，一个为直接提公因式，一个需要变形后再提公因式．
练习2 先分解因式，再求值：
4a2(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3．
师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步巩 ( http: / / www.21cnjy.com )固因式分解的基本方法——提公因式法，提高对公因式的认识，公因式可以是单项式、也可以是数或多项式，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的数学价值．
5．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)因式分解的目的是什么？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
(3)提公因式法的一般步骤是什么？应用提公因式法分解因式时要注意什么
设计意图：通过小结，使学生梳理本节 ( http: / / www.21cnjy.com )课所学内容，使学生进一步理解因式分解、公因式的概念，总结应用提公因式法分解因式的步骤，建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
6．布置作业
教科书习题14.3第1题，第4题(1)．
五、目标检测设计
1．下列变形中是因式分解的是( )．
A．x(x＋1)＝x2＋x B．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C．x2＋xy－3＝x(x＋y)－3 D．x2＋6x＋4＝x(x＋3)2－5
设计意图：考查学生对因式分解概念的理解．
2．分解因式：
(1)14 a3b－21a2b2c； (2)2m(m＋n)＋6 n(m＋n)．
设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解的掌握．
3．已知x－y＝3，x＋y＝7，求x(x－y)－y(y－x)的值．
设计意图：考查学生运用提公因式法进行因式分解，并进行代数运算的掌握情况．14.3 因式分解(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
用完全平方公式分解因式．
2．内容解析
公式法是因式分解的一种方法．公式法就是把 ( http: / / www.21cnjy.com )乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法．
完全平方公式是公式法的第二个公式 ( http: / / www.21cnjy.com )．它的基本思路是逆用乘法公式中的完全平方公式，将形式为“首末两项和是两个数的平方和，而中间的一项是这两个数的积的2倍的三项式”分解为两数和或差的平方的形式，运用完全平方公式分解因式时强调检验中间的一项是否符合公式的形式，即检验该多项式是否为完全平方式．
因式分解的完全平方公式是对比整式乘法的完全平方公式而引入的，因式分解与整式乘法的互逆变形关系是此方法的理论依据．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用完全平方公式分解因式．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．
(2)综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生知 ( http: / / www.21cnjy.com )道完全平方式的结构特征并能依据它来辨析，知道公式法是利用平方差公式或完全平方公式进行因式分解的方法．学生知道运用完全平方公式来分解因式要经历“识别完全平方式”“将多项式转化成完全符合公式特点的形式”“将多项式写成两数和或两数差的平方的形式”三个步骤，并能按此步骤对多项式进行因式分解．知道完全平方公式中的两个数既可以代表数字和字母，也可以代表式子．
达成目标(2)的标志：学生会分析多项式的 ( http: / / www.21cnjy.com )结构特征，选用合适的因式分解的方法，如多项式各项含有公因式则运用提公因式法、如多项式形如完全平方式则运用完全平方公式来因式分解；知道分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
三、教学问题诊断分析
完全平方公式的结构比较复杂，一是项数多， ( http: / / www.21cnjy.com )学生识别时很容易注意了两个平方项而忽视中间项的2倍，从而错误地应用完全平方公式；二是由于学生对公式运用不熟练，对分解因式的结果中加减号的判断失误，解决问题的关键是深入理解完全平方公式的结构特征．
本节课的教学难点：综合运用两种方法分解因式．
四、教学过程设计
1．探索完全平方公式
问题1 你能将多项式a2＋2ab＋b2与多项式a2－2ab＋b2分解因式吗？
追问1：你能用提公因式法或平方差公式来分解因式吗？
追问2：这两个多项式有什么共同的特点？
追问3：你能利用整式的乘法公式——完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2来解决这个问题吗？
追问4：你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括你的发现．
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着解决 ( http: / / www.21cnjy.com )问题，发现每个多项式中没有公因式可提，不能用提公因式的方法分解因式，而且两个多项式也不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式．在老师追加问题的引导下，学生经过观察发现这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，依据整式乘法的完全平方公式，这恰是两个数和或差的平方，最后师生共同归纳出新的因式分解方法——完全平方公式，即把整式的乘法公式完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2反过来就得到因式分解的完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2．在此过程中学生再一次感悟到因式分解与整式乘法的互逆变形关系，教师板书课题：完全平方公式．
设计意图：让学生在观察和思考的过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，归纳并概括出因式分解的完全平方公式，使学生充分经历探索的过程，感受整式乘法与因式分解之间的逆向恒等变形的价值．
2．理解完全平方式
我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解．
问题2 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
①a2－4a＋4；②1＋4a2；③4b2＋4b－1；④a2＋ab＋b2．
追问1：完全平方式的结构特征是什么？
追问2：两个平方项的符号有什么特点？
追问3：中间的一项是什么形式？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表展示解答思路．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题．
设计意图：让学生进一步理解完全平方式的结构特征，加深对公式本质的认识．
3．应用完全平方公式
例1 分解因式：
(1)16x2＋24 x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2．
师生活动：教师提出问题，组织学生观察多项式的结构特征，引导学生分析每一项的转化方法，鼓励学生思考，教师作规范的分解因式的板书示例．
设计意图：让学生在应用中进 ( http: / / www.21cnjy.com )一步理解完全平方公式，学会通过添括号、提负号等方法把多项式转化为完全平方式的形式，进而用完全平方公式的方法来因式分解，获得因式分解的解题经验，提高学生符号运算的能力、逆向思维和勤于观察的习惯．
练习
将下列多项式分解因式：
(1)x2＋12x＋36；(2)－2xy－x2－y2；(3)a2＋2a＋1；(4)4x2－4x＋1．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．
设计意图：让学生较熟练地运用完全平方公式，在积累解题经验的同时，体会并运用化归思想．
4．综合运用完全平方公式
例4 分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36．
追问1：将3ax2＋6axy＋3ay2分解因式时能直接运用完全平方公式吗？
追问2：将(a＋b)2－12(a＋b)＋36分解因式可以有几种思路？
师生活动：学生先独立思考，再开展 ( http: / / www.21cnjy.com )分组活动、组内交流、讨论，请思考成熟的学生发言，阐述自己解决问题的方法．教师及时给予鼓励和肯定，并最终形成解决上述问题的方法．
设计意图：通过小组合作的方式达成如下目标：( ( http: / / www.21cnjy.com )1)让学生会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解，依照是否有公因式、是否符合完全平方式特征的先后顺序来确定解题步骤．(2)对问题中的a＋b的处理可以将它看做一个整体m，将原式化为完全平方式m2－12m＋36即可．
练习
分解因式：(1)ax2＋2a2x＋a3；(2)－3x2＋6xy－3y2．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步综合应用因式分解的方法，训练计算的准确性、熟练性、灵活性，起到强化巩固的作用．
5．了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
师生活动：教师引导，学生思考总结，然后小组交流，教师进行评价并板书．
设计意图：使学生进一步认识因式分解的方法，知道公式法中包括平方差公式和完全平方公式．
6．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
7．布置作业
教材习题14.3第3题，第5题(1)(3)．
五、目标检测设计
1．下列多项式是完全平方式的是( )．
A．ax2－ab＋b3； B．x2＋2x＋4； C．25x2＋40xy＋16y2
设计意图：检测学生对完全平方公式的理解情况．
2．分解因式：
(1)y2＋y3＋； (2)－a2＋6ab－9b2 ．
设计意图：检测学生对完全平方公式的理解和运用情况．
3．分解因式：
(1)－4xy2－4x2y－y3 (2)(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m2．
设计意图：检测学生对提公因式法与完全平方公式的综合应用的掌握情况．数学活动
一、内容和内容解析
1．内容
十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律．
2．内容解析
本节课共有两个数学活动．这两个活动都是 ( http: / / www.21cnjy.com )围绕两个两位数相乘的积的规律的探究．活动1是探究十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律，其规律是原十位数加上1再与自己相乘，结果后面接25；活动2是探究十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘的积的规律，其规律是十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．这两个活动都是由非常简单的数学计算入手，让学生探究这些结果中所蕴涵的可以用符号表示的数学规律，需要学生观察、思考、分析、归纳出结果所存在的规律，并运用所学的整式乘法公式和因式分解知识进行推导证明．本章的数学活动是对所学的整式乘法公式和因式分解的实际应用和深化，通过数学活动进一步引导学生感受从特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程，使学生在探究、讨论、思考和相互交流中获得知识，培养能力，提高数学思维水平．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：用 ( http: / / www.21cnjy.com )符号表示并推导十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，体会从特殊到一般的数学思想方法．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)发现十位数字相同，个位数字为5的两 ( http: / / www.21cnjy.com )位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，并会用这个规律进行相应的计算．
(2)经历探索数量关系、运用符号表示规律， ( http: / / www.21cnjy.com )验证规律的过程，培养学生观察、分析、推理的能力，体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生通过十位数字 ( http: / / www.21cnjy.com )相同，个位数字为5的两位数相乘的积的结果及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的结果，发现其结果与十位数字及个位数字之间的关系，能总结出规律，会用符号表示并推导规律，并能运用规律进行相关的计算．
达成目标(2)的标志：学生在探究十 ( http: / / www.21cnjy.com )位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律的过程中，能够将数量之间的关系用字母和符号表示出来，同时进一步推广，得到三位数进行运算的数学规律．
三、教学问题诊断分析
1．在小学和七年级，学生已经学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )用字母代替数，列代数式表示现实世界中实际问题的数量关系，根据数量关系列方程和解方程，对整式具有了一定的感性认识．
2．整式中的字母表示数，整式的运 ( http: / / www.21cnjy.com )算都是建立在数的运算的基础之上，通过对数与式运算的对比分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊(具体)到一般(抽象)，又由一般(抽象)到特殊(具体)．整式的乘法与因式分解是一个互逆运算的过程．学生已经初步理解和掌握了整式的乘法与因式分解，并能熟练的进行运算，但运用整式乘法和因式分解表示数量关系和探究规律对学生来说，还有一定的困难．
本节课的教学难点：如何通过完全平方公式和 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解验证十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律．
四、教学过程设计
(一)数学活动1：十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律
问题1 我们共同来进行一个简单的数学计算：
15×15＝
25×25＝
35×35＝
……
设计意图：通过一个简单的数学计算引起学生的注意力，激发学生心中的疑问，自然过渡到下一个主题，规律探究的活动过程中．
问题2 观察上述每一个算式及结果，你能发现这些结果与算式本身具有什么样的关系吗？
(1)观察：通过结果发现个位数相乘的结果是25，就是这个两位数相乘所得结果的后
两位数．
追问1：除后两位数之外，那么结果中的百位数字或千位数字与两位数的十位上的数字
有什么关系呢？
引导再观察：
15×15＝225 2＝1×2
25×25＝625 6＝2×3
35×35＝1 225 12＝3×4
发现：原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果，就是写在25前的数字．
(2)归纳：15×15＝1×2×100＋25＝225；
25×25＝2×3×100＋25＝625；
35×35＝3×4×100＋25＝1 225．
得出结论：原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果，再加上25，就是个位数
字为5的两位数的平方数的结果．
追问2：你能再举几个具有这样特征的例子，并用上述方法验证其正确性吗？
45×45＝4×5×100＋25＝2 025；
55×55＝5×6×100＋25＝3 025；
95×95＝9×10×100＋25＝9 025．
(3)猜想：你能用所学的整式知识用符号表示出刚才得到的一般性的规律吗？
(10a＋5)(10a＋5)＝100a(a＋1)＋25．
(4)验证：你能根据本章所学习的知识推导出你所得到的规律吗？
解：设两位数的十位数字为a，个位数字为5，则这个两位数可以写为a5，表示成
10×a＋5．
所以(10×a＋5)×(10×a＋5)．
＝(10×a＋5)2
＝100a2＋2×10a×5＋52
＝100a2＋100a＋25
＝100a(a＋1)＋25．
(5)结论：观察上面的结果可以看出，a ( http: / / www.21cnjy.com )(a＋1)后再乘100，个位和十位数都是0，即相当于a(a＋1)的结果向左移了两位，后面再加25，实际上25对应的位刚好全是0，即相当于填补刚才左移空出的两位上．
于是得到计算规律是：原十位数加上1再与自己相乘，结果后面接25即可．
师生活动：教师提出问题，学生先 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考，有疑问和争议时进行小组交流．教师鼓励学生运用整式乘法和因式分解的知识尝试解决问题，并及时引导学生进行总结归纳．学生积极回答并展示验证规律的过程．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题．
设计意图：(1)通过探究引例，让学生 ( http: / / www.21cnjy.com )经历观察、猜想、归纳、验证的学习过程，体会从特殊到一般的数学思想方法．(2)为学生提供探究的时间和空间，允许学生从不同的角度思考问题，并及时给予指导和肯定，让学生感受成功的喜悦；(3)通过探究活动，学生探索出十位数字相同，个位数字为5的两位数的平方数的规律，并知道解决问题的关键是运用所学过的完全平方公式．
(二)数学活动2：探究十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律
问题3 类比上道题探究规律的过程，继续计算 ( http: / / www.21cnjy.com )下列两个数的积(这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10)，你还能发现有什么规律？你能尝试用本章所学的知识解释这个规律吗？
归纳：53×57＝5×6×100＋3×7＝3021 30＝5×6 21＝3×7
38×32＝3×4×100＋2×8＝1216 12＝3×4 16＝2×8
84×86＝8×9×100＋4×6＝7224 72＝8×9 24＝4×6
71×79＝7×8×100＋1×9＝5609 56＝7×8 9＝1×9
发现：前一项就是十位数乘十位数加一，后一项就是两个个位相乘．
得出规律：十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．
用符号表示为：(10a＋b)(10a＋10－b)＝100a(a＋1)＋b(10－b)．
验证：
设十位为a，个位为b，则一个数为10a＋b，另一个为10a＋10－b，
两数相乘(10a＋b)[10a＋10－b]＝(10a＋b)[10(a＋1)－b]
＝10a×10(a＋1)－10ab×10(a＋1)－b2
＝100a(a＋1)＋b(10－b)．
师生活动：学生先独立思考，尝试解答并板书，然后进行小组交流，全班展示并评价，老师适时进行指导和点拨．
设计意图：通过教师提出的问题，引 ( http: / / www.21cnjy.com )导学生根据上道题的探究过程进行类比学习，在经历独立探究与相互交流的过程中，在获得新知识与技能的同时，掌握基本的解题思想和方法，体会化归的数学思想方法．
(三)总结
问题4 回顾刚才探究规律的过程，请思考：数学活动1与数学活动2所得到的规律之间有什么相同的地方？
归纳：它们的计算规律在实 ( http: / / www.21cnjy.com )质上是相同的．都属于十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘．结果都是十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．但数学活动1是数学活动2的特殊形式，数学活动2是数学活动1的一般形式，它们都可以用活动2的规律统一表示．
师生活动：教师有针对性的提出问题，学生积极进行回顾，并观察、比较与分析，从而发现数学活动1与数学活动2之间内在的联系与区别．
设计意图：通过数学活动1和数学活动2的比较归 ( http: / / www.21cnjy.com )纳，进一步促进学生理解和体会数学活动1和数学活动2之间的联系和区别，体会整式乘法运算在推导规律中的作用，感受知识之间的内在联系及相互转化，从而真正理解数学学习中从特殊到一般的数学思想方法．
(四)巩固练习
(1)利用刚才所学的规律计算下列算式的结果：
78×72＝ 93×97＝ 95×95＝ 85×85＝
设计意图：通过练习，训练学生运用所学的规律进行简便的运算，巩固学生所学的新知识和新方法，加深对规律的应用意识．
(2)拓展：
105×105＝ 114×116＝
设计意图：通过练习，进一步拓展了学生的视 ( http: / / www.21cnjy.com )野，提升学生的数学思维能力，学会运用所学的基本知识和方法解决新问题，并进一步将规律推广，得到三位数进行运算的数学规律，有助于促进学生感受数学思想方法的价值所在．
(五)作业布置
观察下列等式：
12×231＝132×21；
13×341＝143×31；
23×352＝253×32；
34×473＝374×43；
……
以上每个等式中两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位数之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：
①52×______＝______×25；
②_______×396＝693×_______．
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a，b),并证明．
五、目标检测设计
观察下列几组数据：
第一组：3＝2×1＋1，4＝2×1×(1＋1)，5＝2×1×(1＋1)＋1；
第二组：5＝2×2＋1，12＝2×2×(2＋1)，13＝2×2×(2＋1)＋1；
第三组：7＝2×3＋1，24＝2×3×(3＋1)，25＝2×3×(3＋1)＋1；
第四组：9＝2×4＋1，40＝2×4×(4＋1)，41＝2×4×(4＋1)＋1；
……
观察以上各组数的组成特点，你能求出第七组数三个对应的数值吗？第n组呢？
设计意图：考查学生发现一组数据存在的规律，并会用字母和符号来表示出规律，学会运用所学的基本思想和方法解决新问题的能力．14.2 乘法公式(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
完全平方公式．
2．内容解析
完全平方公式是具有特殊形式的两个多项式相乘得到的一种特殊形式，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．完全平方公式的符号表示和语言表述解释了公式的结构特征．公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．完全平方公式在代数中具有广泛的应用，它也是后续学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础．
完全平方公式是以多项式乘法与合并 ( http: / / www.21cnjy.com )同类项的知识为基础，通过一组特例的计算、比较、分析、归纳，抽象概括出一般结论，进而通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，其过程体现了从特殊到一般的思想方法，具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能．
为了进一步了解平方差公式，可以利用(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何意义——面积，运用表示面积的方法解释完全平方公式，以便直观地把握公式，体会数形结合思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：完全平方公式．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解完全平方公式，能用公式进行计算．
(2)经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想，发展学生的符号意识和几何直观观念．
2．目标解析
达成目标(1)的标志：学生能 ( http: / / www.21cnjy.com )够根据多项式乘法法则推导出完全平方公式，把握完全平方公式的基本结构与特征，会用符号表示，能用数学语言表述公式的内容，当字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确使用公式进行计算．
达成目标(2)的标志：学生掌握完 ( http: / / www.21cnjy.com )全平方公式的推导过程、几何解释，学生在公式的探索过程中，经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，从而提高自身的推理能力，数感和符号感，真正理解公式的来源、本质，最终达到灵活、准确应用公式的目的，培养学生观察、分析、归纳和推理能力．
三、教学问题诊断分析
学生刚接触整式乘法公式，在对多项式乘多项式法则的理解和运用不很透彻，对完全平方公式的结构特点的理解和掌握会有一定的难度．
学生在应用公式过程中经常会出现的困难有 ( http: / / www.21cnjy.com )：(1)公式中三个单项式的符号经常出错，正、负号的位置易混淆；(2)用于解释完全平方公式的图形的理解及用其推导完全平方公式正确性的时候，不会运用面积法建立等式，从而对完全平方公式的正确性进行验证．
本节课的教学难点：完全平方公式的结构特点及公式的图形验证方法的掌握．
四、教学过程设计
1．探究完全平方公式
问题1 计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p＋1)2＝_______； (m＋2)2＝_______；
(2)(p－1)2＝_______； (m－2)2＝_______．
师生活动：教师提出问题，学生先独立计算，然后互相交流，得到结果．
(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋2p＋1； (m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4；
(2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2－2p＋1； (m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2－4m＋4．
设计意图：承前启后，复习旧知，为本节内容 ( http: / / www.21cnjy.com )的引入作铺垫；让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会本节内容与多项式乘法的关系．
追问1：上述问题中原式有什么特点？
追问2：结果的项数和系数(符号)有什么特点？
师生活动：学生观察并独立思考， ( http: / / www.21cnjy.com )尝试着进行概括．发现原式是两个数的完全平方，结果中有这两个数的平方和，而2p＝2·p·1，4m＝2·m·2，恰好是这两个数乘积的二倍，(1)(2)之间只差一个符号．
设计意图：以“探索”的形式安排的这4个题目，按照多项式的乘法法则计算，从而得到4个题目结果的共同点．
问题2 你能将发现的规律用一般化的式子表示出来吗？
师生活动：学生独立思考后回答，相互补充得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2=
a2－2ab＋b2．
设计意图：让学生体会从特殊到一般的研究问题的方法．
追问：你能推导出上述式子对任意的a，b都成立吗？
师生活动：教师引导学生运用多项 ( http: / / www.21cnjy.com )式乘法法则及合并同类项，可以推导出：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2．对于(a－b)2＝a2－ab－ab＋b2，学生可能会利用已推导出的公式验证：(a－b)2＝[a＋(－b)2]＝a2＋2·a·(－b)＋b2＝a2－2ab＋b2，教师应当给予鼓励．
设计意图：通过不同角度验证完全平方公式的正确 ( http: / / www.21cnjy.com )性，让学生学会辩证的看待问题，从而加深对公式的理解和对公式结构的掌握，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以正确地写出结果．在推理论证猜想的过程中，体会“归纳——演绎”的基本思想方法．
2．理解完全平方公式
问题3 我们将前面探究所得的式子(a＋b ( http: / / www.21cnjy.com ))2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2，称之为乘法的完全平方公式，你能将完全平方公式用文字语言表述吗？
师生活动：教师提出问题， ( http: / / www.21cnjy.com )学生独立思考，然后小组交流互相补充．若学生有困难，教师可以引导学生总结公式结构特征：(1)等式左边：两数和(或差)的平方；(2)等式右边：两个数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍．学生用自己的语言叙述这两个公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍．
设计意图：让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解和掌握．
练习
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x＋y)2＝x2＋y2； (2)(x－y)2＝x2－y2；
(3)(x－y)2＝x2＋2xy＋y2； (4)(x＋y)2＝x2＋xy＋y2．
师生活动：学生观察、思考后回答问题，对错 ( http: / / www.21cnjy.com )误的题目加以修改，如有答错，其他同学给予及时的纠正，对于重点且易错的环节教师在最后总结时进行强调．教师对学生可能会出现的错误作及时的预防，(1)漏了乘积项；(2)等号右边变成平方差；(3)乘积项符号和前面一致；(4)乘积项漏了系数2．
设计意图：通过观察、对比，找出它们的异同，提高对公式的理解，增强对公式特点的掌握，消除知识的负迁移作用，杜绝错误的发生．
问题4 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗？
师生活动：教师提出问题，学生先 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回忆用面积说明平方差公式时关键是用a，b表示出图中相关正方形和长方形(矩形)的面积，再找到它们的等量关系．
通过图1，可以看出大正方形的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )是(a＋b)．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab；大正方形的边长是(a＋b)，其面积是(a＋b)2．于是就可以得出：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．这正好符合完全平方公式．
可以用相同的方法来研究图 ( http: / / www.21cnjy.com )2的几何意义．如图2，大正方形的边长是a，它的面积是a2；矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是ab；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；正方形AFME的边长是(a－b)，所以它的面积是(a－b)2．从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．就是(a－b)2＝a2－2ab＋b2，这也正好符合完全平方公式．
设计意图：教师提供多种模式，由学生选 ( http: / / www.21cnjy.com )择一种去解决．培养学生学习的主动性，开阔学生的思路．同时对渗透数形结合思想、换元思想，也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次；正确引导学生学习时知识的正迁移，公式的几何意义有利于学生对公式的直观理解，在此过程中体会数形结合思想．
3．应用完全平方公式
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m＋n)2； (2)．
师生活动：师生共同分析，引导学生分清题目中哪 ( http: / / www.21cnjy.com )部分相当于公式中的a，哪部分相当于公式中的b，就是让学生明确“公式中的a，b可表示数，也可表示单项式、多项式或其他的式子”的变化规律．在这个过程中教师要关注学生能否正确的利用完全平方公式计算，可提醒学生：第一步先选择公式；第二步准确代入公式；第三步化简．
设计意图：具体体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式．
例2 运用完全平方公式计算：
(1)1022； (2)992．
师生活动：师生共同分析解答，教师板书．学生掌握了这种方法后，可让同桌相互出题解答，再次体会公式的价值．
设计意图：这是体会公式“优势”的实例 ( http: / / www.21cnjy.com )．让学生经历了从特殊到一般后，再体会从一般运用到特殊，也就是当公式中的项换成具体数字时仍适用，开阔学生的思维，学生对公式的理解也获得了升华．
问题5 思考：(a＋b)2与 (－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与
a2－b2相等吗？为什么？
师生活动：教师出示题目后，给学生一定的独 ( http: / / www.21cnjy.com )立思考的空间，然后小组之间进行讨论和交流，确定做法和答案后，在班级进行展示，其他小组纠正、补充，全班达成一致后，教师做最后的归纳总结，让学生在理论上得以提升．
前两对都相等，(－a－b)2转化为[－(a ( http: / / www.21cnjy.com )＋b)]2的方法讲评，力求人人过关．做了一些题目巩固方法后，再尝试让学生归纳出用“同号得正，异号得负”的方法来验证结论中乘积项符号的正确性，第三对可以用做差法得到2b2－2ab，只有a＝b或b＝0才相等，学生答对即可，无须严格推导．
设计意图：通过式子间的互相转化，不仅可以加深学生对知识间联系的认识，更可以提高学生灵活运用公式解决问题的能力．
练习
1．计算：(1)(a＋5)2； (2)(y－7)2； (3)(3＋x)2； (4)(2－y)2．
设计意图：给出一组简单的习题，对照公式，如果学生掌握较好可以口答，让学生结合具体问题牢记公式．
2．计算：(1)(2x＋3y)2； (2)(－2x＋3y)2； (3)； (4)．
师生活动： 选择4名水平 ( http: / / www.21cnjy.com )相当的学生进行板演，其他学生自己练习，教师巡视检查，及时给予点拨和纠正，学生检查、修改完毕后，对板演同学题目的过程和结果进行核对，纠错，教师对产生的共性问题进行解释和强调．
设计意图：进一步强化学生对法则的理解，由浅入深，循序渐进的原则，分数作为字母的系数，可以提高学生的识别能力和计算能力．
3．在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)．
设计意图：灵活运用所学知识，逆用完全平方公式，为因式分解和配方法打基础．
预案：例3 若a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2，a2－ab＋b2．
设计意图：提高学生运用公式的灵活性、增强学生的思维张力．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)完全平方公式结构有什么特点？
设计意图：引导学生从知识 ( http: / / www.21cnjy.com )内容和学习过程两个方面总结自己的收获，回顾做题经历，畅谈个人体会，互相交流借鉴．知识更加系统化、结构化，初步形成知识网络．
5．布置作业
教材习题14.2第2，4，6，7题．
五、目标检测设计
1．若(x－y)2＋N＝x2＋xy＋y2，则N为( )．
A．xy B．0 C．2xy D．3xy
设计意图：检测学生对完全平方公式的理解情况．
2．计算：
(1)(2m－1)2； (2)(6a＋5b)2； (3) (－2m－1)2； (4)9982．
设计意图：检测学生对完全平方公式的运用情况．
图2
b
b
a
a
D
E
A
H
M
C
G
B
F
b
b
a
a
图1
