15.3 分式方程(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式方程的解法和简单的应用．
2．内容解析
进一步巩固可化为一元一次方程的分式方程的解法，归纳出解分式方程的一般步骤，能够列分式方程解决简单的实际问题．
通过巩固分式方程的解法，进一步理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透转化的数学思想．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是分式方程的解法．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)会解复杂的分式方程和含有字母系数的分式方程．
(2)能够列分式方程解决简单的实际问题．
(3)通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是通过解复杂的分式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程和含有字母系数的分式方程，归纳出解分式方程的一般步骤，即利用去分母的方法将分式方程化归为整式方程，并把整式方程逐步化归为x＝a的形式，然后根据分式方程的特点进行检验．
达成目标(2)的标志是学生能够提炼出实际问题中的等量关系，通过列分式方程解决简单的实际问题，并且能够依据解分式方程的一般步骤准确地解方程．
达成目标(3)的标志是学生在解分式方程和的过程中，体会并运用化归思想和程序化思想．
三、教学问题诊断分析
学生在解分式方程时最容易出现问题的是 ( http: / / www.21cnjy.com )“去分母”这一环节，他们认为去分母就是要把含分母的项的分母去掉，而往往忽略了不含分母(即整式)的项．在教学过程中教师应强调：要保证变形后的方程与原来的方程同解，去分母时一定要每一项都乘最简公分母，不但含分母的项要乘，不含分母的常数项也要乘，尤其是不含分母的项不要漏乘．还要通过相应的练习强化学生理解和记忆．
学生在解实际问题时，有时提炼 ( http: / / www.21cnjy.com )不出列方程所需要的等量关系，因而列不出方程．在解完方程以后，只记得检验未知数的值是否是原分式方程的解，而忽略了对是否符合问题的实际意义的检验，恰恰有时求得的未知数的值虽然是方程的解，但不符合题意，因此应提醒学生注意列分式方程解应用题时要进行双重检验．
本节课的教学难点是根据实际问题中的等量关系，列分式方程解决实际问题．
四、教学过程设计
1．归纳解分式方程的步骤
例1 解方程：．
师生活动：因为有上节课解简单的分式方程做基础 ( http: / / www.21cnjy.com )，学生对解此方程会有基本思路，可能不够完善，因此可由学生口述解法，教师板书．既可以及时解决解题过程中可能出现的疑惑，又可以进一步规范分式方程的解法，并归纳出解分式方程的一般步骤．
学生在口述解题过程中最可能出的错是：去分母时，将“－1”这一项漏乘最简公分母
(x－1)(x＋2)，教师可顺着学生的思路 ( http: / / www.21cnjy.com )解下去，通过检验发现问题，再寻找出现问题的原因，进而强调：要保证变形后的方程与原来的方程同解，去分母时一定要每一项都乘最简公分母，不但含分母的项要乘，不含分母的常数项也要乘，尤其是不含分母的项千万不要漏乘．
经过解这个分式方程，让学生进行反 ( http: / / www.21cnjy.com )思和总结：(1)解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程，其关键步骤是去分母；(2)通过对比，学生发现去分母的最简单的方法是两边乘最简公分母；(3)由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验；(4)检验的方法有两种：一是将未知数的值代入原方程的两边，看左右两边是否相等；另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0(即未知数的值能否保证分式有意义)，显然第二种方法更为简单；(5)在以上分析的基础上，学生总结出本节内容的重点即解分式方程的一般步骤：去分母，解整式方程，检验．教师通过板书规范格式，然后师生最好一起用框图的方式进行总结．
( http: / / www.21cnjy.com )
设计意图：让学生明确解任意分式方程的方法及一般步骤，并且能够独立解分式方程．
练习
解方程：(1)； (2)．
师生活动：让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
追问：在解带有常数项的分式方程时要注意什么问题？
设计意图：让学生进一步巩固带有常数项的分式方程的解法，训练书面表达能力，在积累解题经验的同时，体会并运用化归思想和程序化思想．
2．解含字母系数的分式方程
例2 解关于x的方程：
师生活动：教师提出问题“同 ( http: / / www.21cnjy.com )学们已经掌握了数字系数的分式方程的解法，如果将其中某些数字系数改成字母，如何解呢？”学生观察并独立思考解题思路，尝试着运用解分式方程的一般方法解这个方程．然后由一名学生口述解题过程，教师板书．
对比解题过程，教师向学生说明：解含有字 ( http: / / www.21cnjy.com )母系数的分式方程，解题方法和步骤与解数字系数的分式方程基本相同，但在化未知数的系数为1时，要用限制条件说明未知数的系数不为0；若题目没有对字母系数加以限制，则还需分类讨论．
设计意图：让学生在观察和思考的过程中，学 ( http: / / www.21cnjy.com )会将数字系数的分式方程的解法推广到字母系数的分式方程，不仅巩固分式方程的一般解法，也体会到由特殊到一般的思维过程．
练习
解关于x的方程： (m≠n≠0)．
设计意图：巩固含字母系数的分式方程的解法．
3．列分式方程解应用题
例3 两个工程队共同参与一 ( http: / / www.21cnjy.com )项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表列出方程．
(1)甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的_______，乙队半个月完成总工程的_______，两队半个月完成总工程的_______．
(2)问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
(3)你能列出方程吗？
分析完之后由学生在练习本上独立完成解题过程．
追问1 列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？
追问2 列分式方程解应用题的关键是什么？
设计意图：通过列分式方程解决实际问题，让学生进一步体会学习分式方程的必要性．
练习
某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组 ( http: / / www.21cnjy.com )工作效率高25%，因此甲组加工2 000个零件所用的时间比乙组加1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步巩固列分式方程解应用题的方法，训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？解方程的过程中要注意的问题有哪些？
(3)列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？
设计意图：通过小结，让学生明晰分式方程的解法，并会列分式方程解决简单的实际问题．
5．布置作业
教科书习题15.3 第1(2)(4)(6)(8)，4，5题．
五、目标检测设计
1．解方程(1)； (2)．
设计意图：检测学生对含有常数项的分式方程的解法的掌握情况．
2．解关于x的方程＋＝＋(a≠b)．
设计意图：检测学生对含字母系数的分式方程解法的掌握情况．
3．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程．已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
设计意图：检测学生对列分式方程解应用题的掌握情况．15.2 分式的运算(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式乘除法法则的应用．
2．内容解析
本节课是分式的乘除的第2课时，是在学生已 ( http: / / www.21cnjy.com )经能够进行简单的分式乘除的基础上学习的，计算的复杂程度有所提高．所谓“复杂”是指在分式的分子或分母中含有多项式，运算的基本思路是先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，并把每个因式看成一个整体，然后利用分式的乘除法法则和分式的基本性质进行运算，最后的结果需化成最简分式．
解决实际问题的基本思路是先弄清题意，根据题意列出算式，再进行运算(比较)．培养学生将实际问题转化为数学问题的能力．
基于以上分析，本节课的教学重点是用分式的乘除法法则进行计算，并解决一些实际问题．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)能运用分式的乘除法法则进行复杂计算；
(2)能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：对于 ( http: / / www.21cnjy.com )分子或分母中含有多项式的分式乘除法，学生能先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则和分式的基本性质进行运算，并把最后的结果化成最简分式．
达成目标(2)的标志是： ( http: / / www.21cnjy.com )学生能根据题意列出分式算式，并能根据分式的乘除法法则进行计算，从而使实际问题得以解决．逐步培养学生将实际问题转化为数学问题的模型思想，从而体会实际问题与数学问题间的联系．
三、教学问题诊断分析
尽管学生对分式的乘除法运算已经积累了一些 ( http: / / www.21cnjy.com )经验，但是当分式的分子或分母出现多项式时，会感到无从下手，不知所措，或是运用了不恰当的约分方法，存在思维上及认识上的困难．学生在计算时，需首先分解因式．但是由于有的学生因式分解还不够准确，可能会导致进行分式的乘除运算时准确性欠佳．教学中，教师通过讲解示范并安排形式多样的练习，帮助学生理解分式乘除法的实质是约分，而约分又必须在乘积的形式下进行，因式分解恰好是实现这一变形的手段．
学生在利用分式的乘除法解决实际问题过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，会遇到的困难是弄不清题意、不能准确的列出算式或列不出算式．教学中，教师通过讲解示范，帮助学生理解解决实际问题的关键是理清已知与未知之间的联系，将实际问题转化成相应的数学问题．
本节课的教学难点：运用分式的乘除法解决实际问题．
四、教学过程设计
1．复习分式的运算
问题 (1)约分：； (2)计算：①； ②．
师生活动：学生分析解题思路：(1)把分 ( http: / / www.21cnjy.com )子与分母分别是多项式的分式进行约分，首先要因式分解，化成乘积的形式，再利用分式的基本性质约去分子与分母中的公因式．学生可能对因式分解的方法有遗忘或存在因式分解不准确的情况，教师要关注对因式分解的方法的复习．(2)分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则进行，如果原分式中含有符号，一定要先确定积或商的符号．教师要关注学生法则运用的准确性、计算方法的正确性．师生共同分析解题思路后，三名学生依次在黑板上板演，其他学生在练习本上做，教师巡视，及时指导．
设计意图：让学生通过计算，分别回忆因式分解的方法、分式乘除法法则及其算理，为本节课进行较复杂的分式乘除运算和解决实际问题奠定基础．
2．分式乘除法的计算
例2 计算：
(1)； (2)．
师生活动：学生第一次接触分子或分 ( http: / / www.21cnjy.com )母含有多项式的分式进行乘除，教师可引导学生找出解题策略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则进行，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．学生会出现计算步骤书写不规范的情况，教学中由教师板书(1)加以示范，规范解题格式；在此基础上，师生共同总结解决此类问题的步骤，由学生独立完成(2)．
设计意图：通过上节课学习的 ( http: / / www.21cnjy.com )简单的分式乘除运算，学生可以体会出乘除运算的实质是约分，约分的前提是分子与分母必须都是乘积的形式，因此只要将分子或分母因式分解，就可以将其转化成乘积的形式，乘法运算即可进行．让学生经历发现问题——提出问题——思考问题——解决问题的全过程，通过建构新旧知识之间的联系，提升思维水平．
练习
1.计算：(1)； (2)．
师生活动：两名学生板演，其他学生独立完成.教师巡视并关注学生的书写格式、解题的准确性，师生共同评价．
2.计算：
(1)； (2)； (3)．
师生活动：学生独立完成，三名学生板演.教师巡视，对有困难的学生教师要给予关注，及时给予指导.解题过程可由师生共同评价．
设计意图：让学生再次感受当分式的分 ( http: / / www.21cnjy.com )子或分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．体会到完整地解决问题后的喜悦.同时训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
3．分式乘除法的应用
例3 “丰收1号”小麦的试 ( http: / / www.21cnjy.com )验田是边长为am(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
师生活动：学生独立思考、分析题意，师生 ( http: / / www.21cnjy.com )共同交流解题思路．如果学生有障碍，那么可以引导学生思考以下问题：你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？如何表示这两块试验田的单位产量？怎样确定哪种小麦的单位产量高？你能列式表示(2)的问题吗？教师在共同分析的基础上，板书示范解题过程．
问题解决后师生反思解题步骤：先根据题意分别 ( http: / / www.21cnjy.com )列出表示两个量的代数式，再根据题意列出相应的算式，最后加以解决.教师要关注以下几个方面：(1)因为这两个分式的分子相同，所以比较这两个分式的大小问题就可以转化为比较这两个分式的分母的大小问题；(2)学生对解题过程中的内容“0＜(a2－1)＜a2－1”不能准确地理解，教师可结合图形帮助学生加以讲解；(3)对于证明“0＜(a2－1)＜a2－1”成立，还可以通过下面的两种方法加以讲解：
解法一： 用作差法比较大小
解：(a2－1)－(a2－1)＝a2－2a＋1－a2＋1＝2(1－a)．
∵a＞1，
∴2(1－a)＜0．
∴0＜(a2－1)＜a2－1．
解法二：用作商法比较大小
解：．
∵a＞1，
∴a－1＞0，a－1＞0．
∵a－1＜a＋1，
∴＜1．
∴0＜(a2－1)＜a2－1．
设计意图：此题是分式的应 ( http: / / www.21cnjy.com )用题，题意比较容易理解，式子也比较容易列出来.但如何比较两个分式的大小，难度较大，因此要引导学生通过观察，发现两个分式的特点是分子相同，可通过比较分母的大小来比较两个分式的大小；而两个分母是多项式，从形式上来看，可借助图形的面积来比较它们的大小.培养学生的观察能力，并体验图形的直观性和简洁性．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答问题：
运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？
设计意图：引导学生总结分子或分母含有多项式的分式乘除法的主要步骤，明确算理，明析书写格式，积累解决问题的经验，建立知识之间的广泛联系．
5. 布置作业
教材第144页第2题．
五、目标检测设计
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
设计意图：检测学生对利用分式乘除法法则进行复杂计算的掌握情况．
2．上海到北京的航线全程为s km，飞行时间需a h；上海到北京铁路全长为航线长的m倍，乘车时间需b h.飞机的速度是火车速度的多少倍？
设计意图：检测学生对利用分式的乘除法解决实际问题的情况．15.3 分式方程(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式方程的概念和解法．
2．内容解析
分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升．
解分式方程的基本思路是将分式方程化 ( http: / / www.21cnjy.com )为整式方程，其关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节．
利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为x＝a的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想．
基于以上分析，确定本课的教学重点是：利用去分母的方法解分式方程．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解分式方程的概念．
(2)会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，并了解对根进行检验的原因，体会化归思想和程序化思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是学生知道分式方程的特征，能识别分式方程．
达成目标(2)的标志是学生知道解分式方 ( http: / / www.21cnjy.com )程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为x＝a的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解．在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想．知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于零时，相当于原分式方程两边同时乘零，使原方程的解发生变化，因此需要检验．
三、教学问题诊断分析
学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还 ( http: / / www.21cnjy.com )不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备．学生在解整式方程时往往会有一种思维定势，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解，尤其不明白产生增根时，为什么有些方程“无解”．教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因．
本节课的教学难点是：了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．
四、教学过程设计
1．了解分式方程的概念
问题1 为了解决引言中的问题，我们得到了方程 ＝．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
师生活动：学生独立思考并作答．
设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性．
追问1：方程＝，＝，＝，与上面的方程有什么共同特征？
师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进 ( http: / / www.21cnjy.com )行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含有未知数．师生共同概括出分式方程的概念——分母中含有未知数的方程叫做分式方程．教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
设计意图：让学生在观察和思考的 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路(转化为整式方程)和关键步骤(去分母)做好铺垫．
追问2：你能再写出几个分式方程吗？
师生活动：学生思考并作答．
设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识．
练习
下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 (填序号)．
①； ②； ③； ④＞5．
师生活动：学生思考并作答．
设计意图：用概念作判断，让学生进一步理解分式方程的概念．
2．探索分式方程的解法
问题2 你能试着解分式方程＝吗？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生相互交流．
设计意图：让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程．
问题3 这些解法有什么共同特点？
师生活动：学生讨论之后，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )总结，这些解法的共同特点是先去分母将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据：
(1)如何把它转化为整式方程呢？
(2)怎样去分母呢？
(3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
(4)这样做的依据是什么？
学生思考后得出结论：分母中含有未知数的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，通过去分母就化为整式方程了．利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
师生共同分析解法：
方程两边同乘各分母的最简公分母(30＋v)(30－v)，则得到
·(30＋v)(30－v)＝·(30＋v)(30－v)，
即90(30－v)＝60( 30＋v)．
解得 v＝6．
设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母．
追问： 你得到的解v＝6是分式方程＝的解吗？
师生活动：学生回答问题，相互补充．
设计意图：让学生知道检验分式方程的解的方 ( http: / / www.21cnjy.com )法——将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原分式方程的解；说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤．
3．分析增根产生的原因
问题4 解分式方程：＝．
师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解x＝5．有的学生认为x＝5是原分式方程的解，有的学生发现当x＝5时，分式，都没有意义，但不能解释其原因．
设计意图：(1)让学生积累去分 ( http: / / www.21cnjy.com )母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母；(2)让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化．
追问1：整式方程的解x＝5是分式方程＝的解吗？如何验证呢？
师生活动：学生先独立思考问题，然后相互交流．最后达成共识：x＝5是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．
设计意图：让学生发现问题——整式方程的解使 ( http: / / www.21cnjy.com )原分式方程的分母为0，无法说明原分式方程两边的值是否相等；得出结论——这个整式方程的解不是原分式方程的解，所以原分式方程无解；获得猜想——可能存在一些分式方程，它们无解．
追问2：上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程90(30－v)＝60( 30＋v)的解v＝6是分式方程＝的解，而整式方程x＋5＝10的解x＝5却不是分式方程＝的解呢？
师生活动：教师针对上面的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨．最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对根进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
设计意图：让学生了解分式方程产生增 ( http: / / www.21cnjy.com )根的原因——当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化；当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，此时出现了分母为0的情况．
问题5 回顾解分式方程＝与＝的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？
师生活动：学生回答，并相互补充 ( http: / / www.21cnjy.com )，最后达成共识：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，一般步骤是“去分母”“解整式方程”“检验”，其中“去分母”是关键．去分母的通法是将方程两边同乘最简公分母，由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验，检验的方法有两种，一是将整式方程的解代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等，另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，其中第二种方法更简捷．
设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验．
4．巩固分式方程的解法
例1 解下列方程：
(1)； (2)．
师生活动：师生共同分析解答(1)，教师板书．学生独立完成(2)，然后分组交流．并对错例进行展示，师生共同分析错误原因．
设计意图：规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识．
练习
解下列方程：
(1)； (2)．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．
设计意图：让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——分式方程的解法．
6．布置作业
教科书习题15.3第1(1)～(4)题．
五、目标检测设计
1．下列方程中，是分式方程的是( )．
A． B． C． D．
设计意图：检测学生对分式方程概念的了解情况．
2．将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘( )．
A． B．x C． D．
设计意图：检测学生对解分式方程的关键步骤“去分母”的理解情况．
3．解方程：
(1)； (2)； (3)．
设计意图：检测学生对分式方程的解法的掌握情况．15.1 分式(第2课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的基本性质和分式的约分．
2．内容解析
分式的基本性质是分式变形的依据，也是后续学习分式的运算、分式方程等知识的基础，在全章中具有基础性地位．
分式约分的基本步骤是先确定分子和分母的公因式，然后利用分式的基本性质约去公因式，将分式变形为最简分式或者整式．
分式的基本性质和分式的约分知识的学习可以类比分数的基本性质和分数的约分，体现类比的数学思想和数式通性．
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式的基本性质和分式的约分．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．
(2)掌握分式的约分，了解最简分式的概念．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：初步认识分式的 ( http: / / www.21cnjy.com )基本性质，能运用分式的基本性质进行分式的变形；分式的基本性质、约分与分数的基本性质、约分相对应，两者具有一致性，从中体会“数式通性”和类比的数学思想．
达成目标(2)的标志是：能依据分式的基本 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，按照分式约分的步骤将一个分式化成最简分式；知道最简分式的特征，能判断给定的分式是否为最简分式．
三、教学问题诊断分析
学生已经掌握等式的基本性质，会用式 ( http: / / www.21cnjy.com )子表示等式的基本性质，同时会用提公因式法分解因式，这些知识对本课的学习有着重要作用. 但是学生对这些知识存在记忆不准确或遗忘的现象，不利于本节课的学习．
从形式上看，分式的基本性质、约分和分 ( http: / / www.21cnjy.com )数的基本性质、约分几乎一样，表面上学生接受起来不会困难，但学生真正理解和掌握这个性质，还会遇到这样的困难：(1)对用字母表示基本性质时出现的A，B，C表示整式接受起来存在困难(从数到式，认识上有个飞跃)
(2)在进行约分变形时，会出现计算不准确的现象，表现在约分的结果不是最简分式的形式．
本课的教学难点是：运用分式的基本性质进行分式的约分．
四、教学过程设计
1．创设情境，引入新知
问题1 下列分数是否相等？
，，，，．
师生活动：学生审题后，教师提问：
(1)这些分数相等的依据是什么？
(2)你能叙述分数的基本性质吗？
(3)你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？
设计意图：通过实例，引导学生回忆小学学过的分数约分的依据——分数的基本性质．
为类比引出分式的基本性质做好铺垫．
问题2 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？
师生活动：学生尝试归纳．如果学生叙述不 ( http: / / www.21cnjy.com )够准确，教师可以适当提示：如果分式的分子与分母分别乘同一个任意实数，所得分式与原分式仍相等吗？为什么？分别乘同一个整式呢？师生共同归纳得出分式的基本性质．教师板书课题．
设计意图：给学生独立思考、自主探究的机会，并在研究思路上加以引导.同时渗透类比的思想方法．
追问1：如何用式子表示分式的基本性质？
师生活动：学生回答，师生共同补充，教师板书分式的基本性质．
设计意图：通过用式子来表示分式的基本性质，加强对学生的抽象表达能力的培养，使学生能够进一步抽象概括出分式基本性质．
追问2：应用分式的基本性质时需要注意什么？
师生活动：学生尝试解释，教师根据学生回答情况进行引导．
教师引导学生归纳：(1)分子 ( http: / / www.21cnjy.com )、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式；(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.
设计意图：一方面检查学生对“性质”的认识程度，另一方面通过学生的思考与归纳，进一步加深对“性质”内涵的理解．
练习
1. 下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由．
(1)； (2)； (3)．
设计意图：让学生理解分式的基本性质，加深对基本性质本质的认识．
2. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“”号：
(1)； (2)； (3)； (4)．
设计意图：进一步加深对分式的基本性质的理解．
2．巩固性质，定义新知
例2 填空：
(1)，；
(2)，．
师生活动：学生独立思考，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后小组合作讨论，小组派代表发言．教师巡视. 在讨论交流的基础上，教师引导学生运用分式的基本性质解决问题．此环节教师应关注：(1)学生能否紧扣“性质”进行分析思考；(2)学生能否逐步领会对分式进行恒等变形的依据；(3)学生能否总结出解题经验：对于第(1)题的第一小题，看分母如何变化，想分子如何变化；对于第(1)题的第二小题，看分子如何变化，想分母如何变化．
设计意图：巩固对分式基本性质的认识，为后面分式约分的学习做好铺垫．
问题3 观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？
师生活动：学生思考、回答．教师归纳：与分数的约分类似，在例2(1)中，我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式3x，不改变分式的值，把化为．像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
设计意图：通过对比、分析，学生观察后教师给出分式的约分和最简分式的概念．
追问：分式约分约去的是什么？
师生活动：学生独立思考后进行课堂交流．
设计意图：让学生知道分式约分是要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式．
3．例题示范，巩固新知
例3 约分：(1)； (2)．
师生活动：教师依次给出(1)(2)，学生思 ( http: / / www.21cnjy.com )考解答，然后分组交流自己的做法.对出现的错例，要找出错误根源，归纳正确方法．教师适时提问：类比分数的约分，你能说出怎样对分式进行约分吗？你的依据是什么？
设计意图：类比分数的约分，使学生会进行分式的约分．明确找出分子和分母的公因式是约分的第一步．同时公因式应找全，约分应彻底．
追问1：由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？
追问2：如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？
师生活动：先让学生观察、叙述、补充，教师再总 ( http: / / www.21cnjy.com )结确定公因式的方法，一般可以从下面三个方面入手：(1)系数取最大公约数；(2)相同因式取最低次幂；(3)如遇多项式，首先要因式分解．
设计意图：通过对(1)(2)的分析，帮助学生归纳总结出找公因式的方法，会进行分式的约分．
练习
1. 下列分式中，是最简分式的是 (填序号)．
(1)； (2)； (3)； (4)； (5)．
2. 约分：
(1)； (2)； (3) ； (4)．
设计意图：运用最简分式的概念做判断，巩固分式的约分．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)运用分式的基本性质时应注意什么？
(3)分式约分的关键是什么？如何找公因式？
(4)结合探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？
设计意图：教师引导学生从知识内容和学习方法两个层面总结本节课的收获，归纳本节课的知识要点，建立知识间的内在联系．
5．布置作业
教科书习题15.1第4，6题．
五、目标检测设计
1．填空：
(1)； (2)．
设计意图：检测学生对分式的基本性质的掌握情况．
2. 下列分式中，是最简分式的是( )．
A． B． C． D．
设计意图：检测学生对最简分式概念的理解情况．
3．约分：
(1)； (2)．
设计意图：检测学生对分式约分的掌握情况．15.3 分式方程(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
列分式方程解实际问题．
2．内容解析
列分式方程解实际问题的关键是：将实际问题 ( http: / / www.21cnjy.com )中的等量关系用分式方程表示，探索建立分式方程的模型，发展学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的应用意识，体会数学建模的实际价值．
确定本节课的教学重点是列分式方程解实际问题．
二、目标和目标解析
1．目标
列分式方程解决实际问题，体会建模的思想．
2．目标解析
达成目标的标志是学生能够根据题 ( http: / / www.21cnjy.com )意，探索建立分式方程的模型，将实际问题中的等量关系用分式方程表示，利用分式方程解决实际问题，体会数学建模的实际价值．
三、教学问题诊断分析
学生在理解题意的过程中，可能提 ( http: / / www.21cnjy.com )炼不出列方程所需要的等量关系，因而列不出方程．教学时，教师可引导学生认真审题，抓住关键词，找出可用来列分式方程的句子，并通过相应的练习培养学生提炼信息、解决问题的能力．
本节课的教学难点是准确找出实际问题中的等量关系，恰当设出未知数，列出方程．
四、教学过程设计
1．探究列分式方程解实际问题的步骤
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销 ( http: / / www.21cnjy.com )，他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4元/件，他用17 600元购进2倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示不同的求解过程．
为了理清两次购进衬衫的情况，可列下表帮助学生分析．
进货数量(单位：件) 进货总价(单位：元) 进货单价(单位：元/件)
第一次 x 8 000
第二次 2x 17 600
再根据“单价比上一次贵4元/件”很容易列出方程．
设计意图：借助表格整理信息，对正确解答比较复杂的实际问题大有益处．通过师生共同分析，归纳概括列分式方程解实际问题的一般步骤．
例2 某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考．如果有学生出现解题的障碍，教师可以提示学生尝试从以下几个角度加以思考：
(1)这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？
(2)你想怎样解决这个问题？关键是什么？
通过解答(1)让学生清楚：表达问题时，用字 ( http: / / www.21cnjy.com )母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量)．通过解答(2)让学生学会寻找解题思路，并且能够表达．
分析完之后，由一名学生口 ( http: / / www.21cnjy.com )述解题过程，教师板书，让学生明晰解用字母表示已知数据的实际问题和数字已知数的实际问题方法基本一样，所不同的是要考虑字母已知数的实际意义，通常都是正数．
设计意图：让学生体会在实际问题中也会出现用字母表示已知数据的情形；同时巩固分式方程的解法．
2．巩固列分式方程解实际问题
(1)华联超市用50 000元从外地采购 ( http: / / www.21cnjy.com )回一批“T恤衫”，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的“T恤衫”，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件衬衫．
(2)八年级学生去距学校s k ( http: / / www.21cnjy.com )m的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：使学生进一步巩固列分式方程解实际问题的方法，训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)将某些实际问题转化为方程模型时，应把握哪些主要问题？
(2)本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明．
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
4．布置作业
教科书习题15.3第 6，7，8题．
五、目标检测设计
1．A，B两地相距80 km，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )骑车从A地出发1 h后乙也从A地出发，以相当甲1.5倍的速度追赶，当追到B地时甲比乙先到20 min，求甲、乙速度．
设计意图：检测学生对列分式方程解实际问题的掌握情况．
2．在“情系水灾”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息：
信息一：甲班共捐款300元，乙班共捐款232元；
信息二：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的；
信息三：甲班比乙班多2人．
请你根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元？
设计意图：检测学生从实际问题中提炼信息建模的能力．数学活动
一、内容和内容解析
1．内容
比例的性质．
2．内容解析
数学活动1的主题是探究比例的性质，它由非 ( http: / / www.21cnjy.com )常简单的数学计算入手，再让学生从具体到抽象，从特殊到一般，猜想出更比式、反比式、合比式及合分比式，最后利用分式的基本性质来证明更比式、反比式、合比式及合分比式．在探究的过程中需要学生计算、猜想、分析、证明出比例的性质．本章的数学活动是对所学的分式的基本性质的拓展、深化和应用，通过数学活动进一步引导学生感受从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法及转化的思想方法，使学生在探究、思考中获得知识，培养能力，提高数学思维水平．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：比例性质的推导．
二、目标和目标解析
1．目标
经历从具体的分式计算猜想出比例性质的过程，根据分式的基本性质及运算法则推导出比例的性质(更比式、反比式、合比式和合分比式)．
2．目标解析
达成目标的标志是学生能够利用具体数据进行计算得出结果，猜想出比例的四个性质，并能进行证明．
三、教学问题诊断分析
学生在学习本章前，已经对分数有了较多的了解， ( http: / / www.21cnjy.com )在对分数已有认识的基础上，通过分式和分数类比的学习，初步体会了从具体到抽象、从特殊到一般的认识事物的过程，同时对分式的基本性质和分式的基本运算有了一定的基础．但比例的性质的推导是在分式的的基本性质基础上的再一次抽象，特别是合比式和合分比式的推导对学生来说具有较大的难度．
基于以上的学情分析，本节课的教学难点为： 合比式和合分比式的推导．
四、教学过程设计
(一)探究比例的性质
问题1 找一组都不为0的数a，b，c，d，使得＝．
师生活动：教师提出问题，学生任意选取数据汇报，使得＝．
设计意图：通过一个简单的开放性问题入手，引导学生得到一组具体数据，为引导学生猜想下面四个式子成立起到铺垫的作用．
问题2 利用刚才找出的数a，b，c，d，进行探究，你能发现和，和这两组分式的值之间有什么关系吗？多找几组这样的数a，b，c，d，试一试，你能得到什么猜想？
猜想：＝，＝．
追问1 在＝的前提下，你能运用分式的基本性质和运算法则对以上猜想进行证明吗？
证明：∵＝，
∴ad＝bc．
∴＝，＝．
追问2 你能尝试用语言来叙述上述结论吗？
师生活动：学生先独立计算，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据计算结果猜想一般结论，再尝试进行证明，并用语言表述更比式和反比式．在学生在证明和表述有困难或疑问时，老师再引导学生利用分式的运算法则进行证明与归纳．
设计意图：先从具体到抽象 ( http: / / www.21cnjy.com )，从特殊到一般，猜想结论；再引导学生利用分式的运算法则进行证明和表述．通过这个探究过程，教会学生推导两个分式相等的方法，为探究下一个合比式奠定基础．
问题3 根据刚才探究两个分式之间关系的方法，继续利用满足＝的a，b，c，d，的这几组数值，计算下列几个分式的值，并探究下列两组中两个分式之间的关系，尝试进行相关的证明．
和； 和．
第一步，计算；
第二步，猜想结论：(1)＝，(2)＝．
第三步，证明．
引导证明(1)＝：
∵＝，
∴＋1＝＋1，
∴＝．
学生独立证明(2)＝：
∵＝，
∴－1＝－1．
∴＝．
师生活动：学生先进行计算，猜想出结论，并尝 ( http: / / www.21cnjy.com )试证明．有困难时教师加以引导，并做证明(1)的板书示范，然后再由学生独立证明(2)，从而得出合比式．
创设意图：引导学生再一次经历从具体到抽象，从特殊到一般，先猜想结论，再证明结论的过程．
问题4 请按照上述探究的过程，继续探究下列两个分式是否也相等呢？你能进行证明吗？
(1)通过计算进行猜想：＝(a≠b，c≠d)．
追问1 结合原有的＝的前提条件，再结合已经证明的＝，＝，
＝，＝这些结论，你能尝试去证明吗？
(2)共同探究证明：
∵＝，
∴＝． ①
∵＝，
∴＝． ②
由①②得
＝．
师生活动：学生先独立思考， ( http: / / www.21cnjy.com )探究，再进行小组交流．在此处学生不容易找到解决问题的途径，因此教师需引导学生观察之前得到的几个结论，再共同进行推导得出新的结论．
设计意图：在前两个比较简单 ( http: / / www.21cnjy.com )的探究基础上，再一次让学生通过特殊数的计算，猜想出一般规律．引导学生由简单到复杂，由特殊到一般，在经历观察、探究、验证的过程中，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力，更能充分体会从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法及化归思想．
问题5 回顾整个探究的过程，当＝时，根据分式的基本性质，我们都得到什么样的新的结论呢？这些结论又有什么样的作用呢？
更比式：＝；
反比式：＝；
合比式：＝，分比式：＝；
合分比式：＝．
师生活动：教师提问，引导学生回顾经历的探究过程，整理归纳所得到的新结论．
设计意图：通过引导学生回顾探究过程及结论，进一步让重新梳理探究的过程及方法，体会获得数学结论的一种重要方法，以及转化、类比的数学思想方法．
(二)总结反思
通过数学活动1的探究，你有什么收获？
师生活动：学生结合自己的探究发表自己的见解，交流自己的体会，教师适时加以引导和整理归纳．
设计意图：通过回顾本节课 ( http: / / www.21cnjy.com )的数学活动探究，引导学生重新梳理比例的四个性质及应用比例性质解决问题的探究过程，从中再次体会体会获得数学结论的一种重要方法，以及类比的思想方法对问题研究、解决实际问题的重要价值．
(三)作业布置
若＝＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝＝＝…＝．你能利用本节课的探究方法解决这个问题吗？
设计意图：考查学生对数学 ( http: / / www.21cnjy.com )活动1探究活动的理解及运用，既是对本课数学活动基本方法的运用，又是本课数学活动的拓展，也提高了学生思维的深度，促进学生运用知识解决实际问题的能力．
五、目标检测设计
1．若＝，则下列各式不成立的是( ).
A． B． C． D．
设计意图：通过此题考查学生对比例四个性质的理解和掌握情况，通过练习进一步归纳巩固和强化对比例性质的理解和运用．
2．若，则，．
设计意图：通过此题考查学生对更比式的理解和掌握．
3．已知＝，则，．
设计意图：通过此题考查学生对合比式和合分比式的理解和掌握程度，进一步巩固学生对比例性质的理解和运用．
4．若D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且＝，那么与之间有什么关系？为什么？
创设意图：此题主要是利用比例的性质解决实际问题，考查学生对比例性质的灵活运用能力．15.1 分式(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的概念．
2．内容解析
本节课是“分式”一章的起始课. 分式属于 ( http: / / www.21cnjy.com )“数与代数”领域的“数与式”部分，它是在学生学习了整式的基础上学习的另一种刻画数量关系的代数式， 是整式和分数的延伸和拓广． 分式与分数具有类似的形式，类比小学学过的分数的知识来学习分式，从具体到抽象，从特殊到一般，有助于学生把握本章的内容，这样的学习过程对于培养学生良好的学习方法有指导作用．
分式的概念是建立在整式和分数概念的基础上的 ( http: / / www.21cnjy.com )，是代数式中重要的基本概念．分式概念的学习同样要类比分数的概念．通过从实际问题抽象出分式概念的过程，体会分式可以表示更多的数量关系；通过分数的概念得到分式的概念，体会类比的数学思想．
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式的概念．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系；
(2)能确定分式有意义的条件．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生知道分式的特征，能从代数式中识别分式；能依据具体情境中的数量关系列出分式；
达成目标(2)的标志是：学生能依据分式的分母不等于0建立不等式，确定分式有意义的条件．
三、教学问题诊断分析
尽管学生对分数、整式的内容很熟悉，但是学生 ( http: / / www.21cnjy.com )毕竟是首次接触分式的概念，对于分母中含有字母的的式子——分式来描述数量关系会感到困难，存在心理准备不足的问题．分数是分式的特殊化，分式是分数的一般化，这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生不易掌握，教师在教学中应重视分式与分数的联系．
学生在确定分式有意义的条件 ( http: / / www.21cnjy.com )时，不论题目中的分母含有一个字母或含有两个字母，解题时都要从分母不等于0入手，解一个带有“≠”号的不等式．这是学生不熟悉的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难．具体表现在学生能依据分式列出不等式，但不会解．教学时教师要适当放慢讲解的速度，以便学生认真体会解题的过程．
本课的教学难点是：根据条件列出分式，准确确定分式有意义的条件．
四、教学过程设计
1．了解本章的学习内容
问题1 一艘轮船在静水中的最大航速为 ( http: / / www.21cnjy.com )30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
师生活动：学生审题后，教师提问：
(1)顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？
(2)这个问题的等量关系是什么？
(3)应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？
教师展示问题，让学生思考，独立完成分析、列方程．
设计意图：通过实际问题引入，让学生体会分式、分式方程来源于实际生活．
追问：式子、与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？
师生活动：学生通过观察，发现这两个 ( http: / / www.21cnjy.com )式子的分母中都含有字母，教师指出这就是我们本章学习的内容．教师板书课题——分式，并指出本章所要学习的主要内容．
设计意图：通过观察分析得出本章要研究的主要内容，为学生的后续学习做好铺垫．
2．了解分式的概念
问题2 填空：
(1)长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 ．
(2)把体积为200 cm3的水倒 ( http: / / www.21cnjy.com )入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为 ．
师生活动：教师提出问题后巡视指导，学生独立思考，自主解答．教师在巡视中，针对学生出现的“S÷a”的写法，可以适当加以指导：教师补充说明与5÷3可以写成一样，式子A÷B可以写成的形式．
设计意图：教师通过设计具体的实际问题，学生列出相应的代数式，让学生进一步体会数学与实际生活是紧密联系的，同时为归纳概括分式的概念埋下伏笔．
追问1：上面问题中得到的式子，，，，哪些不是我们学过的整式？
师生活动：学生观察后回答．
设计意图：利用产生的认知冲突，激发学习新知识的兴趣，为分式得出概念做铺垫．
追问2：式子，，，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？
师生活动：学生先独立思考，然后小组合作讨论， ( http: / / www.21cnjy.com )小组派代表发言．教师巡视，指导学生归纳和表述．在讨论交流的基础上，教师引导学生归纳分式的概念，教师板书分式的概念．
此环节教师应关注：(1)学生能否类比分数，来寻找出这些式子的共同点；(2)学生能否从式子的形式上进行观察，得出判断分式的两条标准：①从整体上看，它们都是的形式；②从分子、分母单独看，分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母．(3)由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．
设计意图：在观察、比较中，类比分数发现分式的共同特征，归纳出分式的定义．体会从具体到抽象，从特殊到一般的概念形成过程．
练习
下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
师生活动：学生独立思考后回答问题．
设计意图：让学生用分式的概念作判断，加深对分式概念本质的理解．
3．分式概念的应用
问题3 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考．师生共同归纳得出分式有意义的条件及其理由：用字母代表数，分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
设计意图：教师引导学生通过回顾分数有意义的条件，类比思考分式有意义的条件．再次感受类比思想，体会数式通性．
例1．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)； (2)； (3)．
解：(1)当分母 即时，分式有意义．
师生活动：学生先尝试独立解 ( http: / / www.21cnjy.com )答，然后学生说出解题思路，教师板书(1)，规范书写格式. 师生共同归纳确定分式有意义的条件的方法： 不论题目中的分母中含有一个字母或含有两个字母，解题时都要从分母不等于0入手，解一个带有“≠”号的不等式.学生独立书写(2)(3)小题，两名学生板书.
设计意图：加强对分式有意义的条件的认识，归纳求解的方法.
练习
1．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)； (2)； (3)； (4).
设计意图：进一步强化求分式有意义的方法，加深对概念的理解.
2．下列分式中的x满足什么条件时，分式的值为0？
(1) ； (2).
设计意图：强化对分式“值为0”的认识，再次加深对分式概念的理解.
5.小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)你能举例说明什么是分式吗？
(3)如何确定分式有意义的条件？
设计意图：通过小结，使学 ( http: / / www.21cnjy.com )生梳理本节课所学内容，理解本节课的核心——分式的概念，引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
6.布置作业
教科书习题15.1第1，2，3题．
五、目标检测设计
1.下列式子中，是分式的是( ).
A． B． C． D．
设计意图：检测学生对分式概念的理解情况．
2.列式表示下列各量：
(1)某村现有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为 hm2；
(2)若△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD的长为 ．
(3)一辆汽车bh行驶了a km，它的 ( http: / / www.21cnjy.com )平均速度为 km/h；一列火车行驶a km比这辆汽车少用1h，它的平均速度为 km/h．
设计意图：检测学生对应用分式表示数量关系的情况．
3.填空：
(1)当x 时，分式有意义；
(2)当x 时，分式有意义；
(3)当x 时，分式有意义．
设计意图：检测学生对求分式有意义的条件的方法的掌握情况．
4.填空：
(1)当x 时，分式的值为0；
(2)当y 时，分式的值为0．
设计意图：检测学生对求分式的值为0的条件的理解和运用的情况．15.1 分式(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的通分．
2．内容解析
分式的通分与分式的约分相同，都是重 ( http: / / www.21cnjy.com )要的分式变形，是学生必须掌握的知识.它是学习分式的加减运算的前提和基础，是分式加减运算的关键，有着不可替代的重要作用.分式的通分的依据仍然是分式的基本性质．
分式的通分的关键在于确定最 ( http: / / www.21cnjy.com )简公分母．确定最简公分母的基本思路是取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积，作为最简公分母；若分母是多项式，则先将各分母分解因式，然后确定最简公分母．分式的通分的学习可以类比分数的通分，体现类比的数学思想和数式通性．
基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式的通分．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解最简公分母的概念，会确定最简公分母．
(2)通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分,体会数式通性和类比的思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：能够根据最简公分母的概念，确定所给分式的最简公分母．
达成目标(2)的标志是：在类比 ( http: / / www.21cnjy.com )分数的通分来探究分式的通分的过程中，体会数式通性和类比的思想；在准确确定最简公分母的基础上，依据分式的基本性质，将所给分式进行通分变形．
三、教学问题诊断分析
从形式上看，分式的通分与分数的通分几乎一样， ( http: / / www.21cnjy.com )学生接受起来应该不会困难．但是分式的通分不同于分数的通分的是，它的分母是整式的形式，对于学生来说，确定两个整式的最简公分母，仍然比较抽象．同时由于分式的通分要考虑两个或两个以上的分式，确定公分母时有时需要先分解因式，然后确定公倍式，这会使部分学生感到困难．因此，教学时应该进行有针对性的问题引领，通过思考，让学生归纳出确定异分母分式最简公分母的方法．
本节课的教学难点是：准确确定分式的最简公分母．
四、教学过程设计
1．创设情境，引入新知
问题1 通分：(1)与； (1)与．
师生活动：学生独立思考，写出通分的过程后教师提问：
(1)分数通分的依据是什么？
(2)如何确定异分母分数的最小公分母？
学生回答问题之后，教师进一步指出：分数的通分的关键是找公分母，取各个分母的最小公倍数作为公分母．
设计意图：让学生独立完成分数的通分． ( http: / / www.21cnjy.com )一方面引导学生回忆分数的通分的基本步骤，并能说出通分的依据，另一方面为类比学习分式的通分做好认知上的准备．
问题2 填空：，．
师生活动：学生独立思考，依次完成填空. 教师指出与分数的通分类似，在上题中，我们利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式．像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.此时教师板书课题及分式通分的概念．
设计意图：回忆分式的基本性质，让学生体会这种变形的依据是分式的基本性质；同时为学习分式的通分做好铺垫．
追问1：你认为分式通分的关键是什么？
师生活动：学生思考、回答，教师再总结：分式通分的关键是找出分式各分母的公分母．
设计意图：类比分数的通分，使学生会进行分式的通分．明确找出分式各分母的公分母是通分的第一步．
追问2：上面问题中的分式与的公分母是什么？
师生活动：学生观察、回答 ( http: / / www.21cnjy.com )．教师进一步指出：为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．教师板书最简公分母的概念．
设计意图：类比分数的通分，使学生认识到分式通分的关键是找最简公分母．
追问3：分式与的最简公分母是如何确定的？
师生活动：如果学生感到有 ( http: / / www.21cnjy.com )困难，教师给予以下提示：(1)3ab与 2a2c含有的因式有哪些？——3ab的因式有3，a，b；2a2c的因式有2，a2，b．(2)两式中所有因式的最高次幂的积是什么？——6a2bc．由此抽象概括出确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．
设计意图：学生通过观察、思考、猜想、验证等学习过程，经历最简公分母的归纳概括的全过程，使学生知道如何确定最简公分母．
追问4：分式与的最简公分母又该如何确定呢？
师生活动：学生独立思考，小组交流后分 ( http: / / www.21cnjy.com )别派代表汇报，教师巡视指导．此环节教师要给学生充足的时间，通过交流活动，师生共同分析总结出分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
设计意图：通过与追问3的比较，让学生产生认知上的冲突，为确定复杂的最简公分母的学习创设情境，进而积累确定最简公分母的方法和经验．
2．例题示范，巩固新知
例4 通分：(1)与 ； (2)与．
师生活动：学生先独立思考，然后师生共同 ( http: / / www.21cnjy.com )交流解题思路.教师板书规范解题格式，书写要求.在分析、思考、讲解的过程中，教师要积极引导学生回顾异分母分式通分时确定最简公分母的方法：通分时，若分母是单项式，则取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积，作为最简公分母；若分母是多项式，则先将各分母分解因式，然后确定最简公分母．通过强化来刺激学生，增强对规则的记忆．
设计意图：巩固确定最简公分母的方法，规范学生的书写格式．
3．基础训练，强化新知
练习
1. 通分：
(1)与； (2)与； (3)．
师生活动：三名学生板演，其他学生在练习本 ( http: / / www.21cnjy.com )上完成；教师巡视，进行个别指导，及时纠正学生的错误．师生共同评价学生板演的解题过程．在评价过程中，教师要再次强化学生对分母是单项式时，最简公分母的确定方法．
设计意图：巩固分母是单项式的分式的通分，进一步强化此类型最简公分母的确定方法．
2．通分：
(1)与 ； (2)与；(3)与．
师生活动：三名学生板演，其他学生在练习 ( http: / / www.21cnjy.com )本上完成；教师巡视，进行个别指导，及时纠正学生的错误．师生共同评价学生板演的解题过程．在评价过程中，教师要再次强化学生对分母是多项式时，最简公分母的确定方法．
设计意图：巩固分母是多项式的分式的通分，进一步强化此类型的最简公分母的确定方法．
4．课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)分式通分的关键是什么？
(3)分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？
设计意图：教师引导学生从知识内容和学习方法两个层面总结本节课的收获，归纳本节课的知识要点，建立知识间的内在联系．
5．布置作业
教科书习题15.1第7题．
五、目标检测设计
1．分式与的最简公分母是 ；
2．分式与的最简公分母是 ．
设计意图：检测学生对最简公分母概念的理解情况．
3．通分：
(1)与；
(2)与．
设计意图：检测学生对分式通分的掌握情况．小结与复习
一、内容和内容解析
1．内容
对本章内容进行梳理、总结、建立知识体系，综合应用本章知识解决问题．
2．内容解析
本章的主要内容包括分式的概 ( http: / / www.21cnjy.com )念，分式的基本性质，分式的通分和约分，分式的加减乘除运算，分式方程的解法和应用．这些内容是在学生掌握了分数、整式的四则运算、多项式的因式分解及一元一次方程的基础上，通过学生已有的分数概念，对比着引出分式的概念，然后通过与分数类比的方法得出分式的基本性质和四则运算法则，最后运用上述知识讲解含有字母已知数的一元一次方程、公式变形以及可化为一元一次方程的分式方程．上述各项内容在今后进一步学习函数和方程等知识奠定了必备的基础，占有重要的地位和作用．
分式的四则运算是整式四则运算的 ( http: / / www.21cnjy.com )进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．分式是由分母与分子两部分组成的，因此，分式的运算与整式的运算相比，运算的步骤增多(如需要通分、约分等)，符号的变化更为复杂，方法也较灵活，使学生熟练掌握这些知识和技能，对提高学生的运算能力和综合解决实际问题的能力，继续学习解分式方程、函数和其他有关知识是十分必要的．
本节课的教学重点：建立本章知识结构，准确、熟练、灵活进行分式的四则运算．
二、教材分析
本章小结内容是以回顾本章学习的主 ( http: / / www.21cnjy.com )要内容展开过程．通过以问题的形式引导学生回顾、交流、整理知识结构，让学生对本章形成整体的知识体系，明确本课的重点．接下来从分式的运算和分式方程两部分入手，通过典型例题进行系统复习．在整个复习的过程中，有目的让学生经历思考、类比、归纳等思维过程．在知识整理中关注学生数学活动中的思维发展水平，能否独立思考，能否用数学语言表述知识间的联系及区别，能否反思自己的思维过程发现新的问题等，重在体会类比和转化的思想；在分式计算和解分式方程的过程中评价重点放在运算过程的严谨和结果的准确性上；在分式的应用上关注学生能否尝试不同方法寻求问题中数量关系并用分式、分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程，能否获得问题的答案并检验、解释结果的合理性．
三、目标和目标解析
1．目标
(1)复习本章的重点内容，整理本章的知识 ( http: / / www.21cnjy.com )结构，形成知识体系．能熟练进行分式的四则混合运算，会用去分母的方法解分式方程，会利用分式方程解决生活中的实际问题．
(2)掌握列分式方程解决实际问题的基 ( http: / / www.21cnjy.com )本方法，提高分析问题、解决问题的能力．通过分式相关知识的回顾、运算及应用，经历实践探究的过程，进一步体会“类比”和“转化”的思想方法在探索本章基础知识、基本方法中的作用，深化对这两种数学思想的认识．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是学生能 ( http: / / www.21cnjy.com )梳理出本章的知识结构图；会识别分式及分式方程；能利用分式的基本性质准确进行分式的通分和约分；明确解分式方程的基本思路；能够准确、熟练、灵活的运用分式的运算法则进行分式的运算；会解分式方程；能够根据数量关系准确的列出分式方程，解决实际问题．
达成目标(2)的标志是通过本章知识 ( http: / / www.21cnjy.com )的梳理，强化类比和转化思想的应用作用；通过分式方程的解法，体会化归思想是解方程中的基本思想；通过利用分式方程解决实际问题的例子，进一步感受建立方程的这种数学模型在分析问题、解决问题中的价值．
四、教学问题诊断分析
通过本章的学习，学生已经理解了分式 ( http: / / www.21cnjy.com )概念和分式的基本性质，能够运用分式的基本性质和运算法则进行四则运算，同时掌握了可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解了增根的概念及增根产生的原因，并会验根．能够根据数量关系列出可化为一元一次方程的分式方程解应用题．但分式的四则混合运算，是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用，由于运用了较多的运算性质，运算步骤增多，解题方法多样灵活，很容易产生符号和运算方面的错误．所以对学生来说，准确、灵活、熟练的进行分式的四则运算是比较困难的．同时，列分式方程解应用题和列整式方程解应用题相比较，虽然涉及到的基本数量关系有时是相同的，但由于含有未知数的式子不受整式的限制，所以更为多样而灵活．这一点，学生也会感到困难．
因此确立本节课的教学难点是：分式的四则运算及列分式方程解应用题．
五、教学过程设计
1．知识梳理
问题1 请同学们回答下列问题：
(1)回顾本章都学习了哪些知识？
(2)什么是分式？分式与分数有什么区别与联系？你能举例说明吗？
(3)如何用式子的形式表示分式的基本性质？分式与分数的基本性质相同吗？你能举例说明吗
(4)怎样进行分式的约分和通分？依据是什么？你能举例说明分式的约分、通分与分数的约分、通分有什么相同和不同之处？
(5)如何用式子的形式表示分式的运算法则？在分式四则运算中要注意什么？
(6)你能举例说明解分式方程的基本步骤吗？解分式方程需要注意什么？为什么解分式方程要检验？
师生活动：教师出示问题(1)，学生积极思 ( http: / / www.21cnjy.com )考，通过复习笔记或看书来回顾本章的基本概念、基本性质、基本运算法则、分式方程的解法及分式方程应用的步骤等知识点．然后，教师以问题串的形式追问，组织学生逐题展开交流、补充与归纳．
设计意图：通过问题(1)主要是引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生回顾本章所学的知识点，让学生对本章的知识点做一个梳理，为下一步建立本章的知识结构体系做好铺垫．然后直接设计5个问题串，展开复习小结．其中问题(2)和问题(3)主要复习分式的概念和分式的基本性质，通过举例说明进一步明确分式与分数、分式的基本性质和分数的基本性质之间的联系和区别，体会类比的方法．问题(4)和问题(5)主要复习如何进行分式的通分和约分，强化分式的运算法则，强调分式的运算中的易错点，为准确熟练进行分式的四则运算做铺垫问题．(6)是本章的重点，通过复习让学生明确怎么解分式方程，如何根据数量关系列出分式方程，解决实际问题．通过引导学生回顾本章的知识要点，帮助学生建立分式的有关概念计算和方程间之间的内在联系，将知识系统化，同时强化了“类比”与“转化”的数学思想方法．
2．体系建构
问题2 请同学们整理一下刚才回顾的主要知识，您能根据它们之间的联系画出一个本章的知识结构图吗？
师生活动：教师组织学生在纸上画出本章的知识 ( http: / / www.21cnjy.com )结构图，然后展示部分学生画的知识结构图，并请这些学生简要说明自己所画知识结构图.最后，教师完善本章的知识结构图．
( http: / / www.21cnjy.com )
知识结构图：
设计意图：学生自己先画出本章的知 ( http: / / www.21cnjy.com )识结构图，主要是让他们自己能够主动建构本章的知识结构，形成知识体系，这有利于提高学生对本章知识的整体把握．然后教师出示本章知识结构，主要是帮助学生形成正确的、全面的知识结构．通过这样方式，突破本节课的难点．
问题3 结合本章知识结构图，再思考以下问题：
(1)本章研究的内容重点分成几大？它们之间有什么联系？在分式的运算和解分式方程的过程中需要注意什么？解分式方程为什么要检验？
(2)如何列分式方程解决实际问题？
师生活动：教师提出问题，学生结合知识结构图在思考，并回答问题，师生共同补充完善．
设计意图：教师结合知识结构图 ( http: / / www.21cnjy.com )向学生提出问题，引导学生再次思考，让学生通过本章的知识结构更加明确本章知识的重难点，从而更清楚本节课的学习重点．
3．典型例题
例1 计算：
(1)·÷； (2)a2b3·(a2b-2)；
(3)÷； (4)÷．
师生活动：教师出示题目，四名 ( http: / / www.21cnjy.com )同学板书，其余学生独立完成．板书学生对计算的方法和过程进行讲解，其余学生做评价，教师强调计算中的易错点及解题过程的严谨和规范．
设计意图：通过本题，要求学生根据 ( http: / / www.21cnjy.com )分式的运算法则，准确进行分式的加减乘除混合运算，突出利用分式的基本性质进行通分和约分的简化作用，强化学生在分式混合运算中异分母分式相加减时应该注意的问题及去括号时的符号问题，以提高学生的解题技巧，增强解题能力．
例2 解下列分式方程：
(1)＝； (2)．
师生活动：教师出示题目，两生板书，其余学生独立完成．针对板书学生练习中出现的问题进行纠正，教师强调解分式方程的过程及解题中的注意事项．
设计意图：本题主要是掌握解分式方程的基本步骤 ( http: / / www.21cnjy.com )，同时引导学生理解解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验；在解例题中，促进学生理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会对分式方程的根进行检验．
例3 列方程解应用题
一辆汽车开往距离出发地180 ( http: / / www.21cnjy.com )km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地，求前一小时的行驶速度．
师生活动：教师示题，学生 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考并解答，一名学生板演．然后请学生讲解自己的解题思路和做法，其他同学补充．教师适时点拨，强调解题过程的完整性，最后教师引导学生总结解答分式方程应用题的基本思路及思想方法．
设计意图：本题主要是引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生学会审题，通过从已知条件中分析题目中的数量关系，寻找等量关系式的过程，进一步培养学生列方程的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，感受方程是一种刻画实际问题数量关系的重要数学模型的建模思想．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答以下问题：
(1)通过对本章的学习，你认为本章的核心知识是什么？
(2)在学习过程中，还有哪些需要注意的地方？
(3)在解决问题的过程中，运用到那些数学思想？
师生活动：学生自由发表对本节课的收获和体会，学生间互相交流，相互补充，教师从多角度引导总结并加以评价．
创设意图：结合总结本节课所学的知识和所运用的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学思想方法，促进知识的内化和解题能力的提升，进而提高学生的综合运用知识解决问题的能力和思维能力．
5．布置作业
教科书复习题15第5，6，8，9，11题．
六、目标检测设计
1．下列各式中，是分式的有__________．
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
设计意图：本题考查学生对分式概念的理解程度．
2．当＝________时，分式的值为0．
设计意图：本题考查学生对分式值为0的条件的理解和掌握．
3．若无解，则m的值为( ).
A．0或3 B．1 C．1或－2 D．3
设计意图：本题考查学生对分式方程增根的理解．
4．若分式 中的 x，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值( ).
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．是原来的9倍
设计意图：本题考查学生对分式基本性质的理解运用．
5．先化简，再求值：1－÷×，其中x＝．
设计意图：本题主要是通过因式分解，利用分式的基本性质先进行约分，然后进行分式的混合运算，考查学生对分式计算的掌握程度．
6．什么情况下与的值相等？
设计意图：本题既考查学生对整数指数幂的理解，又考查学生解分式方程的实际水平．15.2 分式的运算(第3课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的乘方及分式的乘、除、乘方的混合运算．
2．内容解析
分式的乘方运算是分式运算的重要组成部分 ( http: / / www.21cnjy.com )，分式乘方的法则的探究，是根据乘方的意义和分式乘法的法则进行的，学生在推导法则的过程中，进一步加深对乘方的理解．
分式的乘除、乘方混合运算是分式部 ( http: / / www.21cnjy.com )分的重点内容之一，它的运算顺序与整式的运算顺序是相同的，具有一致性．能够根据分式的乘除法法则和分式的乘方法则进行分式的混合运算，是本节课的核心内容．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性．
(2)能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能够根据乘方的意义和分式乘法的法则推导出分式乘方的法则；并能够结合具体的例子，说明如何进行分式的乘方计算．
达成目标(2)的标志是：学生能够根据混合运算的运算顺序，准确进行分式的乘除、乘方混合运算．
三、教学问题诊断分析
探究分式乘方的法则时，需要用到学生所 ( http: / / www.21cnjy.com )学的有理数的乘方的概念、积的乘方、幂的乘方等与乘方有关的知识．因此在学习本节知识时，学生可能会存在知识准备上的不足，影响本节课的学习效果．教师在进行本环节的教学时，可通过具体实例引导学生进行必要的复习，促进知识的迁移．
学生在进行乘方运算时，容易出现漏掉符号的情况，因此提醒学生一定要先考虑符号．
学生在刚开始进行分式的乘、 ( http: / / www.21cnjy.com )除、乘方的混合运算时，可能会不知所措，可提醒学生式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．并通过相应的练习让学生加深印象，熟练地进行计算．
本节课的教学难点是分式的乘、除、乘方的混合运算．
四、教学过程设计
1．探究分式的乘除混合运算
例4 计算：÷·．
师生活动：学生先独立思考，然后师生交流解题思 ( http: / / www.21cnjy.com )路，教师板书解题过程.若学生解决此例有困难，教师可以提示学生类比分数的乘除法混合运算来思考．师生共同归纳得出分式的乘除法混合运算的一般步骤是：首先将除法转换成乘法后，按先后顺序依次计算．同时让学生说出遇到分子或分母是多项式时，要因式分解这个关键步骤．
设计意图：通过讲解和板书，让学生回忆分 ( http: / / www.21cnjy.com )式乘除法法则及其算理，体会乘除混合运算可以统一为乘法运算，也为本节课后面将要进行的分式的乘、除、乘方的混合运算奠定基础．
练习
计算：
(1)·÷；
(2)·÷；
(3)÷·．
师生活动：三名学生到黑板板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给与指导．解题过程可由学生进行评价．
(1)是分子与分母都是单项式的分式乘除混合运算，可按照分式乘除法法则及运算顺序直接进行计算；
(2)与(1)不同的是：有的分式的分子或分 ( http: / / www.21cnjy.com )母中出现了多项式，而且只有第一个分式的分子不是积的形式，且能因式分解，提醒学生要先将其因式分解，再进行计算；
(3)是分子与分母都是多项式的分式乘除混合运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，有了(2)的基础，学生可自然想到须将能因式分解的多项式先分解因式，整体上化成积的形式，再进行计算．
设计意图：通过(1)～(3)由易到难的 ( http: / / www.21cnjy.com )三个练习题，让学生进一步体会分式乘除混合运算可以统一为乘法运算来进行．分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．体会完整地解决问题后的喜悦．同时训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
2．探究分式的乘方法则
问题 思考：＝？ ？
追问1 你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组内交流．
此环节教师要关注学生解决 ( http: / / www.21cnjy.com )问题时，会出现这样的两种解题思路：一是直接类比分数的乘方运算写出结果；二是利用乘方的概念将其转化为几个相同因式的乘法，然后利用分式乘法的运算法则计算出结果．同时教师要引导学生说出每步推理的依据，真正做到步步有据．
设计意图：让学生体会到分式的乘方与已学知识间是有联系的，不是孤立的．
追问2 猜想：n为正整数时，？
追问3 你能写出推导过程吗？试试看．
追问4 你能用文字语言叙述得到的结论吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考后写出 ( http: / / www.21cnjy.com )推理过程，小组交流，师生共同归纳得出分式乘方的关键在于要把分子、分母同时乘方，不能漏掉分子或分母．教师在学生用文字语言叙述法则时，要及时纠正学生表述上存在的问题．然后教师板书法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
设计意图：学生在观察、猜想、 ( http: / / www.21cnjy.com )推理等数学思维活动过程中，概括出分式乘方的法则，通过用符号语言和文字语言描述法则，加强学生对法则的理解，训练学生的表达能力．在类比整式的乘方得到分式的乘方的过程中，体会由“特殊到一般”的思维方法．
3．运用分式的乘方法则计算
例5 计算：
(1)； (2)； (3)．
师生活动：学生说出(1) ( http: / / www.21cnjy.com )的思路，教师板书做示范．(2)(3)由学生独立完成，找2名学生板演，其他学生练习本上完成，教师巡视，个别指导，师生共同评价．
此环节教师要关注学生的书写格式，由于刚刚接触分式乘方运算，应要求学生在书写中体会法则的内涵，体会步步有据．
设计意图：教师板书示范，规范运用法则计算的过程；学生练习，深化对分式乘方的法则的理解．
例6 计算：÷·．
师生活动：学生简述解题思 ( http: / / www.21cnjy.com )路，教师适当加以补充，找3名学生分别进行板演，师生共同评价．师生共同反思解决混合运算的问题时，需要注意的问题，并概括出混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除．
此环节教师要关注：(1)学生的运算顺序是否正确；(2)学生运用具体法则是否准确；(3)要提醒学生注意符号．
设计意图：通过例6，在进一步巩固分式的乘方运算的同时，通过总结计算的程序，师生共同分析混合运算的运算顺序．
追问：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？
设计意图：学生通过对追问的思考，从运算的角度去发现“式与数”之间的“具体与抽象”的关系，进一步理解“数式通性”的特点．
练习
计算： (1)； (2)÷·．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给与指导，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：利用(1)巩固分式的乘方运算；利用 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)在巩固分式的乘方法则的基础上，进行分式的乘、除和乘方的混合运算，体会式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．体会完整地解决问题后的喜悦．同时训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)运用分式乘方法则计算的步骤是什么？它与整式的乘方运算有什么区别和联系？
(3)分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系．
5．布置作业
教科书习题15.2第3(3)(4)题．
五、目标检测设计
1．填空：
(1)＝ ； (2)＝ ．
设计意图：检测学生对分式的乘方法则的掌握情况．
2．计算：
(1)·÷； (2)÷÷．
设计意图：检测学生对分式的乘、除、乘方的混合运算的掌握情况．
3．计算：－÷·．
设计意图：检测学生对分子或分母是多项式时，分式的混合运算的掌握情况．15.2 分式的运算(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的乘除法法则及简单运用．
2．内容解析
分式的四则运算是本章的重点内容，也是“数与式”部分的重要基础知识，它是整式运算的延伸和拓展．
本节课在学习了分式基本性质和因式分解的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上进一步学习分式的乘除法．运用分式的乘法法则计算的基本思路是先将两个分式的分子、分母分别相乘，然后利用分式的基本性质进行约分，将结果化成最简分式；运用分式的除法法则计算的基本思路是利用乘法与除法互为逆运算的关系，将分式的除法运算转化为分式的乘法运算．
分式的乘除法法则是对分数的乘除法法 ( http: / / www.21cnjy.com )则的一般化，两者的本质相同．通过分数的乘除法运算，回顾分数的乘除法法则，进而通过类比、引申得出分式的乘除法法则，这一过程中蕴含着类比的数学思想，体现由数到式的发展过程．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：分式的乘除法法则的运用．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解分式的乘除法法则，体会类比的思想．
(2)会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生不仅能 ( http: / / www.21cnjy.com )用文字语言和符号语言叙述分式的乘除法法则，还能通过具体的实例解释法则的运用过程．在探究分式的乘除法法则的过程中，体会类比的数学思想；在探索分式的除法运算化为乘法运算的过程中，体会转化的数学思想．
达成目标(2)的标志是：学生 ( http: / / www.21cnjy.com )能根据分式的乘法法则“分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母”进行分式的乘法运算；能根据分式的除法法则“分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘”进行分式的除法运算．对于原算式中带有负号的，千万不要漏掉．
三、教学问题诊断分析
学生第一次接触分式的乘除运算，虽 ( http: / / www.21cnjy.com )然已有分数乘除运算的基础，但分式的乘除运算与分数的乘除运算的不同点是需要将数换成式，是对数的运算的一种抽象，这一转变是思维的一种提升，对学生来说需要一个过程才能进一步理解数式通性的内涵．教学中，教师通过讲解、示范，安排形式多样的练习，帮助学生熟练运用公式，准确地进行计算．
尽管分数的乘除法法则是探究分式的乘除 ( http: / / www.21cnjy.com )法法则的基础，但是学生是在小学阶段学习这些基础知识的，难免会出现遗忘的现象，教师在教学中可适当地加以复习巩固．
本节课的教学难点是正确运用分式的乘除法法则进行计算．
四、教学过程设计
1．了解学习分式的乘除法的意义
问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？
师生活动：学生审题后独立解决问题，若学生有困难，教师可尝试提出如下问题：
(1)这个长方体容器的高怎么表示？
(2)容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？
通过回答这两个问题，学生可以发现：容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等，进而可列式表示．
设计意图：通过实际问题的探究，让学生初步体会学习分式乘法运算是实际生活的需要，有着现实的意义．
问题2 大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
师生活动：学生审题后独立解决问题，若学生有困难，教师可尝试提出如下问题：
(1)本题中出现的“工作效率”的含义是什么？
(2)大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？
学生独立思考后，互相交流，列式表示．
设计意图：通过实际问题的探究，让学生初步体会学习分式除法运算是实际生活的需要，有着广泛的现实意义．
追问：观察上述两个问题中所列出的式子和，其中涉及到分式的哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？
师生活动：学生观察所列的代数式，独立思考，师生交流．
设计意图：让学生经历思考和列式后，发 ( http: / / www.21cnjy.com )现解决实际问题时，有时需要用到分式的乘除法运算，让学生体会到学习分式的乘除运算是解决实际问题不可或缺的，体会学习分式的乘除的必要性，了解数学与现实世界的联系，产生探索新知的欲望．从而引出本节课的内容，教师板书课题“分式的乘除”．
2．探索分式的乘除法法则
问题3 计算：(1)； (2)．
师生活动：学生口述(1)和(2)的 ( http: / / www.21cnjy.com )解题过程，教师完整地板书计算过程，唤起学生对分数乘除法的回忆，为学生回顾分数的乘除法法则做充足的准备．并请学生回答问题：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？学生在回顾分数的乘除法法则时，会出现表述不完整的情况，教师可根据运算的步骤引导学生回忆法则．
追问1：如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
追问2：怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
师生活动：通过类比分数的乘除法法则， ( http: / / www.21cnjy.com )抽象出分式的乘除法法则，教师板书法则的具体内容.教师此时指出，分式的乘除法法则与分数的乘除法法则的本质是相同的．
对于用字母来表示分式的乘除法法则，学生会感到困难，此时教师可以直接写出式子和．
设计意图：以学生已经掌握的“分数的 ( http: / / www.21cnjy.com )乘除法”计算为切入点，通过分数与分式的类比，由旧知直接引出新知，让学生体会知识间的联系及延伸．用文字语言和符号语言分别对分式的乘除法法则进行叙述，既让学生体会两种语言间的相互转化，又让学生感受到符号语言的简洁性．
3．巩固分式的乘除法法则
例1 计算：(1)； (2)．
师生活动：引导学生通过过观察寻找解题思路．(1)中分式的分子与分母都是单项式，先直接按乘法法则运算，再对运算的结果进行约分，把结果化为最简分式．学生在计算(1)时，可能会出现先约分后相乘的现象，对于出现的这种解法教师要予以肯定，但是要适当加以引导，规范书写,避免出现因为书写不规范而造成的错误．(2)要稍复杂一些，式子中出现系数为负数的单项式，对于“－”号的处理，教师要引导学生交流自己的想法．学生分析交流之后，教师板书，规范分式的乘除法计算步骤和格式，最后师生共同总结解题的基本步骤．
设计意图：这道例题是直接 ( http: / / www.21cnjy.com )应用分式的乘除法法则进行运算. 由师生共同分析，教师板书，让学生感受应用法则进行计算的全过程．应注意的是运算结果应约分成最简分式的形式，计算时还应注意，与整式运算一样，先判断运算符号，再进行计算．
练习
1.计算：(1)； (2)； (3)．
师生活动：教师提出问题，学 ( http: / / www.21cnjy.com )生独立完成，三名学生板演，其他学生在练习本上完成，解题过程的评价可以由师生共同来完成.教师巡视时，要关注学生的书写过程，做到步骤完整，能体现出运用法则的过程；要关注学生对法则理解和运用情况；同时要及时纠正学生计算过程中出现的错误．
设计意图：让学生初步尝试运用分式的乘除法法则进行计算，在运算的过程中初步体会法则、内化法则，同时在运算的过程中要做到步步有据，理解算理．
2.计算：
(1)； (2)； (3)； (4)．
师生活动：教师呈现问题，四名学生板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给予指导，解题过程可由师生共同评价．其中(2)(3)两个小题中都出现了整式的情况，教师可以引导学生来分析如何处理，(4)中分式的分子、分母都出现了多项式，书写时应加上括号，写成的形式，教师要及时示范，规范书写的格式，为后续学习复杂计算及混合运算打好基础．
设计意图：让学生再次巩固分式的乘 ( http: / / www.21cnjy.com )除法法则，并体会分式与整式间的除法运算，以及分子与分母是简单的多项式的分式乘法运算；学生可以进一步体会出分式的乘除法运算可统一成乘法运算，而乘法运算的实质是约分．
4．分式的乘除法法则的应用
问题4 求出问题1和问题2的计算结果．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时指导．解题过程可由学生进行评价．
设计意图：让学生感受到学以致用，体会到能够完整地解决问题后的喜悦.同时训练书面表达能力，培养学生解决问题的能力．
5．小结
教师与学生一起回顾本节课内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过小结加深学生对本节课内容的认识，体会类比、转化是重要的思想方法．
6．布置作业
教材第144页第1题, 第145页第10，11题．
五、目标检测设计
1．计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
设计意图：检测学生对运用分式的乘除法法则计算的掌握情况．
2．小明跟妈妈到水果批发市场去买苹 ( http: / / www.21cnjy.com )果．甲种苹果每箱重m kg，售价为a元；乙种苹果每箱重n kg，售价为b元．请问甲种苹果的单价是乙种苹果的单价的多少倍？
设计意图：检测学生对用分式的乘除法解决实际问题的掌握情况．15.2 分式的运算(第6课时)
一、内容和内容解析
1．内容
负整数指数幂的意义，整数指数幂的性质，用科学记数法表示一些小于1的正数．
2．内容解析
负整数指数幂的意义是通过同底数幂的除法法则和 ( http: / / www.21cnjy.com )分式的约分得出的，从而将正整数指数幂的运算性质推广到全体整数．而推导过程采用的方法是从特殊情形入手，归纳概括出一般性结论，这一过程蕴含着从“特殊到一般”的数学方法．
用科学记数法表示一些小于1的正数，是负整数指数幂的性质的重要应用．关键是弄清楚10的负整数次幂的次数与小数点的移动位数间的相互关系．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是幂的性质(指数为全体整数)，并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)了解负整数指数幂的意义；
(2)了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算；
(3)会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：学生能够叙述负整数指数幂的意义a-n＝(a≠0，n是正整数)，并会运用它进行计算．
达成目标(2)的标志是：学生能用文字语言和符号语言叙述整数指数幂的性质,并会运用它们进行计算．
达成目标(3)的标志是：学生会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数；反之，也会把用科学记数法表示的小于1的正数还原．
三、教学问题诊断分析
在本节之前，学生已经学习过正整数指数幂和零指数幂，并且学习了正整数指数幂的5条运算性质，这些性质能否推广到全体整数指数幂？尤其是对于同底数幂的除法，要求被除式的指数要大于除式的指数，学生心存疑惑．教学中可向学生说明，为了解决这一疑惑，需引入负整数指数幂．为了让学生更好地理解负整数指数幂的合理性，教学中从约分和同底数幂的除法两方面说明定义负整数指数幂的背景，进而发现以前曾规定“am÷an＝am－n，其中m＞n”，若能适合于m＜n的情形，就要定义a-n＝(a≠0，n是正整数)，这是一种规定，这样可以扩大原有的指数运算法则的适用范围．
学生第一次接触负整数指数幂的运算，虽已有正 ( http: / / www.21cnjy.com )整数指数幂的性质做基础，并能够迁移正整数指数幂的性质进行负整数指数幂的运算，但有时忘了把最终计算结果化成正整数指数幂．教学中可通过安排相应的练习让学生意识到有关幂的运算最终结果要化成正整数指数幂．
学生在用科学记数法表示一些小于1 ( http: / / www.21cnjy.com )的正数时，有时在10的指数中漏掉了负号．教学中可举出实例，让学生把一些大于10的正数和小于1的正数分别用科学记数法表示，通过比较发现区别，并加深印象．
基于以上分析，确定本节课的难点是负整数指数幂的意义的合理性和整数指数幂的性质应用．
四、教学过程设计
1． 复习引入新课
问题1 你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？
追问： 将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？
师生活动：教师设疑，学生回忆，引出本节课的课题.教师板书课题：15.2.3整数指数幂．
设计意图：通过复习引入新课．
2．探索负整数指数幂的意义
问题2 am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
(1)根据分式的约分，当a≠0时，如何计算a3÷a5？
(2)如果把正整数指数幂的运算性 ( http: / / www.21cnjy.com )质am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a3÷a5的情形也能使用，如何计算？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，交流自己的做法，激发学生探究新知的欲望．教师板书两种解法的过程(或结果)，通过比较两个结果发现：如果规定a-2＝(a≠0)，就能使am÷an＝am－n这条性质也适用于a3÷a5这样的情形．于是提出：为使上述运算性质适用范围更广，数学中规定：当n是正整数时，a-n＝(a≠0)这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数．
设计意图：由旧知直接引出新知，让学生体会知识之间的联系及延伸，便于理解负整数指数幂意义的合理性，同时也可以更简便地表示分式．
练习 填空：
(1)30＝____，3-2＝____；
(2)(-3)0＝____， (-3)-2＝____；
(3)b0＝____，b-2＝____(b≠0)．
设计意图：巩固对负整数指数幂意义的认识．
3．探索整数指数幂的性质
问题3 引入负整数指数和0指数后，am·an＝am－n(m，n是正整数)这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？
师生活动：教师提出问题，引发学生思 ( http: / / www.21cnjy.com )考．教师可以适当引导学生从特殊情形入手进行研究，例如：a3·a－5＝a3＋(－5)；a－3·a－5＝a－3＋(－5)；a0·a－5＝a0＋(－5)．
然后再用其他整数指数验证这个规律是否仍然成立．
设计意图：通过推导，确认规律的正确性，从而归纳出aman＝am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用．
问题4 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？
师生活动：让学生用探究第一个性质的方法探究其他幂的运算性质，由学生进行推导，并归纳出结论：
(1)aman＝am+n(m，n是整数)； (2)(am)n＝amn(m，n是整数)；
(3)(ab)n＝anbn(n是整数)； (4)am÷an＝am-n(m，n是整数)；
(5)＝(n是整数)．
设计意图：进一步体会从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法，并把幂的运算范围扩大到整数范围．
4．整数指数幂性质的应用
例9 计算：
(1)a－2÷a5； (2)； (3)( a－1b2)3； (4)a－2b2·( a2b－2)－3．
师生活动：学生口述解题过程，教师板书．让学生明确负整数指数幂的运算方法与正整数指数幂是一致的，所不同的是最终结果要化成正整数指数幂．
设计意图：这道例题是直接运用幂的运算性质进行计算，让学生经历应用性质进行计算的全过程．
练习
计算：(1)x2y－3( x－1y)3； (2)(2a b 2c－3)－2÷(a－2b)3．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给与指导，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：让学生感受到学以致用，体会完整地解决问题后的喜悦，同时训练书面表达能力，巩固整数指数幂的性质．
问题5 能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？
师生活动：根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am÷an＝am-n，ama-n＝am+(-n) ＝am-n，因此，am÷an＝ama-n，即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底数幂的乘法ama-n．特别地，＝a÷b＝a·b-1，所以，＝(a·b-1)n，即商的乘方可以转化为积的乘方(a·b-1)n．这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
(1)aman＝am+n (m，n是整数)；
(2)(am)n＝amn (m，n是整数)；
(3)(ab)n＝anbn (n是整数)．
设计意图：让学生感受到由于负指数幂的引入，可以使除法转化为乘法、商转化为积(除以an转化为乘a-n)．
5．用科学记数法表示小于1的正数
(1)回顾科学记数法
我们曾用科学记数法表示一些大于10的正数 ( http: / / www.21cnjy.com )，即利用10的正整数次幂，把一个大于10的正数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10．例如，864 000可以写成8.64×105．类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10．
设计意图：类比较大正数的科学记数法的表示方法，引入较小正数的科学记数法的表示方法，完善科学记数法知识结构．
(2)探索：
0.1＝＝
0.01＝ ＝
0.001＝ ＝
0.0001＝ ＝
0.00001＝ ＝
归纳：＝ ＝
师生活动：师生共同探索，发现规律．
设计意图：为接下来要进行的用科学记数法表示一些小于1的正数奠定基础．
追问1 如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？
师生活动：教师提出问题，学生讲述方法，教师板书．
0.003 5＝3.5×0.001＝3.5×，
0.000 098 2＝9.82×0.000 01＝9.82×．
追问2 观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？
师生活动：学生独立思考后交流 ( http: / / www.21cnjy.com )看法，师生共同寻找规律：对于一个小于1的正数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几．
设计意图：让学生通过探索体会出：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示，而且这种形式更便于比较数的大小．
例10 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.3； (2)0.000 78； (3)0.000 020 09．
师生活动：教师提出问题，学生口述，教师板书．
设计意图：体会如何直接运用规律用科学记数法表示小于1的正数．
例11 纳米(nm)是非常小的长度单位 ( http: / / www.21cnjy.com )，1 nm＝10-9 m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)？
师生活动：教师提出问题，由学生独立思考，并讲解解题思路．首先需要将1 mm3和
1 nm3的单位统一．由于1 mm＝10 ( http: / / www.21cnjy.com )-3m ，1 nm＝10-9m，所以1 mm3＝(10-3)3 m3，1 nm3＝(10-9)3 m3，再做除法即可求解．
设计意图：体会用科学记数法表示小于1的正数的简洁性．
练习
1．用科学记数法表示下列各数：
000 001， 0.0012， 0.000 000 345， 0.000 000 0108．
2．计算：
(1)(2×10-6)×(3.2×103)； (2)(2×10-6)2÷(10-4)3
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给与指导，解题过程可由学生进行评价．
设计意图：让学生感受到学以致用，体会到能够完整地解决问题后的喜悦，同时训练书面表达能力，培养发现问题和解决问题的能力．
6．小结
教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？
设计意图：通过小结，使学生掌握本节课 ( http: / / www.21cnjy.com )的核心——整数指数幂的性质．引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
7．布置作业
教科书习题15.2 第7，8，9题．
五、目标检测设计
1．填空
(1)－22＝ ；(－2)2＝ ；(－2)0＝ ；
(2)20＝ ；2-3＝ ；(－2)-3＝ ．
(3)1 nm＝0.000 000 001 m，用科学记数法表示0.25 nm＝______m；1 m＝______nm．
(4)用小数表示：3.14×10-4＝________；10-6＝________．
设计意图：检测学生对负整数指数幂和零指数幂的性质的掌握情况．
2．肥皂泡厚度约为0.000 000 7m，用科学记数法表示为( ).
A．0.7×10-6 m B．0.7×10-7 m C．7×10-7 m D．7×10-6 m
3．计算
(1)(x3y-2)2； (2)x2y-2 ·(x-2y)3； (3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3．
设计意图：检测学生对负整数指数幂的性质的掌握情况．
4．计算：(1)(3×103)2×(2×10-5) (2)(4×10-2)2÷(2×103)-2
设计意图：检测学生对科学记数法的掌握情况．
5．人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容 ( http: / / www.21cnjy.com )有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事．据测算，5万粒芝麻共有200 g，那一粒芝麻有多少千克？(用科学记数法表示)．
设计意图：检测学生对应用科学记数法的解决实际问题的情况．15.2 分式的运算(第4课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的加减法法则．
2．内容解析
分式的加减法是分数的加减法的推广，它们的本 ( http: / / www.21cnjy.com )质相同，因此，可以类比分数的加减法法则得出分式的加减法法则，即“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”．同分母分式的加减法是分式加减法的基础，异分母分式相加减必须先化为同分母分式相加减，再按同分母分式的加减法法则进行运算．
教材通过两个实际问题——工作效率问题、 ( http: / / www.21cnjy.com )增长率问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景和广泛的应用，通过对这两个实际问题的数学化，潜移默化地向学生渗透数学模型思想．分式的加减法法则的引出，体现了类比的思想方法．将异分母分式的加减转化为同分母的分式加减，体现了化归的思想方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：分式的加减法法则．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解分式的加减法法则，体会类比思想．
(2)会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是学生能类比分 ( http: / / www.21cnjy.com )数的加减法法则得出分式的加减法法则，通过分数的加减法体会分式的加减法，能用文字语言和符号语言表示分式的加减法法则．
达成目标(2)的标志是学生能对两个或三个 ( http: / / www.21cnjy.com )分式进行加减运算(含整式与分式的加减运算)，明确异分母分式必须化为同分母分式才能进行加减运算，体会化归思想在异分母分式加减运算中的作用．
三、教学问题诊断分析
教科书中的问题4是“年增长率”问题，由于学生没有这方面的生活经验，理解起来有一定困难．例如，有些学生不明白什么是2010(或2011)年增长率，将“2011年与2010年相比，增长率提高的数量”误以为是．教学时，关键是要引导学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生了解其意义，然后再用字母表示．
在进行异分母分式加减运算时 ( http: / / www.21cnjy.com )，通常要经历找公分母、通分、加减、化简这4个步骤，由于步骤多、运算量大、综合性强，学生很容易出错．教学时，教师要指导学生找准公分母．
本节课的教学难点是异分母分式的加减运算．
四、教学过程设计
1．感受学习分式加减法的必要性
问题1
甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考并写出答案．如果学生存在问题，教师可适时启发，具体问题如下：
(1)甲工程队一天完成这项工程的几分之几？
(2)乙工程队一天完成这项工程的几分之几？
(3)甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2
2009年、2010年、201 ( http: / / www.21cnjy.com )1年某地的森林面积(单位：hm2)分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
师生活动：教师提出问题， ( http: / / www.21cnjy.com )学生独立思考并写出答案．如果学生存在问题，教师可适时启发，让学生明确“年增长率”的含义，并通过具体数据计算帮助学生理解其意义，然后再进行字母表示．具体问题如下：
(1)什么是增长率？
(2)2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？
(3)2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
设计意图：通过这两个实际问题，说明分式的加减法有着丰富的实际背景，为引出分式的加减法作铺垫．
2．探索分式的加减法法则
问题3 分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
＝，＝，
，．
师生活动：学生回答问题，相互补充．在教师的引 ( http: / / www.21cnjy.com )导下，学生给出分数的加减法法则，再通过类比得出分式加减法法则：“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”．
追问：你能用式子表示分式的加减法法则吗？
师生活动：学生独立完成，并相互交流．得出：
，．
设计意图：从学生已有的数学经验出 ( http: / / www.21cnjy.com )发，经历由特殊(分数)加减法法则到一般(分式)加减法法则的类比过程，感悟数式通性，体会一般化方法、类比方法在解决数学问题时的重要价值．
3．运用分式的加减法法则
例题
计算：(1)； (2)．
师生活动：师生共同分析、解答，教师板书(1)，学生板书(2)．教师强调计算结果一定要化成最简分式，如要将(1)的结果化为最简分式．对于(2)，要强调找准公分母后再通分，其结果也可以写成 ．
设计意图：运用分式的加减法法则进行简单计算，并规范分式的加减运算的步骤和格式．
练习
1. 计算：
(1)； (2)．
2. 计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
师生活动：学生先完成练习1，相互评价后 ( http: / / www.21cnjy.com )再完成练习2．学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视、指导．练习1是同分母分式的加减运算，直接应用法则即可；练习2是异分母分式的加减运算，在计算(1)时，若将6c3d3作为公分母，则通分后化简的结果与以6c2d2为公分母的相同，(2)中参与运算的分式不是最简分式，应该先将其化为最简分式，再作减法计算，(4)是分式与整式的加减运算，应将整式看作是分母为1的“分式”，再作计算．
设计意图：(1)通过练习使学生进 ( http: / / www.21cnjy.com )一步理解分式的加减法法则，会运用它们进行简单的分式的加减运算；(2)学生经历将异分母分式化归为同分母分式的过程，体会化归的作用．
3．你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？
师生活动：教师提问，学生在练习本上完成，教师巡视并指导，师生交流．
解：(1)．
所以两队共同工作一天完成这项工程的．
(2)．
所以2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 ．
设计意图：通过这个练习，让学生应用分式的加减法法则解决简单的实际问题，并在此过程中体会分式的加减法在解决实际问题时的重要作用．
4．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容， 并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)我们是怎么引出分式的加减法法则的？
(3)在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？
设计意图：引导学生从知识内容和学习 ( http: / / www.21cnjy.com )过程两个方面总结自己的收获，体会类比方法在学习分式的加减法中的作用，进一步感悟数式通性，体会化归思想，积累解题经验．
5．布置作业
教科书习题15.2第4，5题．
五、目标检测设计
计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
设计意图：(1)(2)检测学生对同分母 ( http: / / www.21cnjy.com )分式的加减运算的掌握情况；(3)检测学生对异分母分式的加减运算的掌握情况；(4)检测学生对整式与分式的加减运算的掌握情况．15.2 分式的运算(第5课时)
一、内容和内容解析
1．内容
分式的混合运算．
2．内容解析
分式的混合运算是以分式的加、减、乘、除、 ( http: / / www.21cnjy.com )乘方运算为基础的综合性运算，它与数的混合运算有相同的运算顺序，按照“从高到低、从左到右、括号从小到大”的规定进行．分式的混合运算是分式单一运算的延伸和发展，是学生运算能力的又一次提升．
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：分式的混合运算．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解分式混合运算的顺序．
(2)会正确进行分式的混合运算．
(3)体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是学生能分清运算级别，知道要按照“从高到低、从左到右、括号从小到大”的顺序进行分式混合运算．
达成目标(2)的标志是学生能按照合理的运算顺序、正确的运算法则进行分式的混合运算，并在运算过程中注意符号问题，运算结果注意化简问题．
达成目标(3)的标志是学生经历了由特殊 ( http: / / www.21cnjy.com )(数)混合运算的顺序到一般(分式)混合运算的顺序的类比过程，在此过程中体会类比方法在解决数学问题时的重要价值．
三、教学问题诊断分析
分式混合运算的步骤多、综合性强，学生容易忽 ( http: / / www.21cnjy.com )略许多细节，所以要在练习中反复强化如下注意事项：将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；注意处理好每一步运算中遇到的符号；计算结果要化为最简分式．
本节课的教学难点是:正确进行分式的混合运算．
四、教学过程设计
1．探索分式混合运算顺序
问题1 数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？
师生活动：学生回答问题，相互补充．在教师的引导下通过数的混合运算的顺序类比得出分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．
设计意图：从学生已有的数学经验 ( http: / / www.21cnjy.com )出发，让学生建立新旧知识之间的联系，并经历由特殊(数)混合运算的顺序到一般(分式)混合运算的顺序的类比过程，体会一般化方法、类比方法在解决数学问题时的重要价值．
2．分式混合运算例题与练习
例1 计算：·÷．
师生活动：师生共同分析解答，教师板书．教师引导学生关注运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减.强调计算结果要化为最简分式．
设计意图：学习分式混合运算的简单问题，即不带括号的形式，并规范运算的步骤和格式．
练习
1. 计算：
(1)·÷；
(2)·÷．
师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视、指导．
设计意图：通过练习使学生进一步理 ( http: / / www.21cnjy.com )解分式的混合运算的顺序，会运用它们进行简单的分式的混合运算；让学生借助混合运算这个载体更为熟练准确地进行分式的五种基本运算，达到相互促进的目的．
2. 计算：
(1)·；
(2)÷．
师生活动：师生共同分析解答，教师板书．教师引导学生关注运算顺序：有括号的先算括号内的，并让学生分析这两个题是否适宜用分配律进行计算．
设计意图：学习分式混合运算的复杂问题，即带括号的形式，明确只有容易约分的形式才适合用分配律来做，并规范运算的步骤和格式．
3. 计算：·
师生活动：一名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视、指导，师生交流．
设计意图：通过此练习使学生较熟练地进行带括号的分式混合运算，并在练习中不断发现和纠正自己的易错点，从而达到逐步提高准确率的目的．
3．小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
(1)本节课学习了哪些主要内容？
(2)分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？
(3)在进行分式混合运算时要注意哪些问题？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．
4．布置作业
教科书习题15.2第6题．
五、目标检测设计
计算：
(1)·＋÷；
(2)·÷．
设计意图：检测学生对分式的混合运算的掌握情况．
