北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

怀柔一中高二年级第二学期4月数学学科练习题
考试时间：120分钟
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.按数列的排列规律猜想数列，，，，的第10项是
A. B. C. D.
2.4名同学分别报名参加足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法有( )
A. 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种
3.在一段时间内，甲去博物馆的概率为，乙去博物馆的概率为，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是( )
A. B. C. D.
4.设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于( )
X 0 1 2 3
P a b
A. B. C. D.
5.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. 120 D. 160
甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名没有并列名次已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有( )
A. 27种 B. 48种 C. 54种 D. 72种
7.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足 ，，则( )
A. 12 B. 21 C. D.
9.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等7名志愿者将两个吉祥物安装在学校广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由三名志愿者安装，则不同的安装方案种数为( )
A. 15 B. 30 C. 42 D. 50
10.记为数列的前n项和.若，则( )
A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男 女医生都有，则不同的选取方法种数为__________用数字作答
已知离散型随机变量X～B(n，p)，且E(X)=7,D(X)=6,则p=___________.
13.同一种产品由甲 乙 丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为 ，甲 乙 丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，则此产品为正品的概率____
解：根据题意，设事件A表示取到的产品为正品，，，分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且，，两两互斥，
甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，则，，，
则，，，
故
故答案为：
14.已知数列满足：，，数列是递增数列，试写出一个满足条件的实数的值 _______ ．
15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和.下列关于“斐波那契数列”的结论：①，②，③，④.
其中，所有正确结论的序号是_________________.
三、解答题（共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.（本小题满分14分）
设，已知
（1）求实数的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17.（本小题满分13分）
袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.
若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X,求X的分布列；
若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列.
（本小题满分14分）
已知数列的前n项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值．
（本小题满分14分）
在等差数列中，已知
求数列的通项公式；
求的值；
是不是数列中的项？
（本小题满分15分）
自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
（本小题满分15分）
民航招飞是指普通高校飞行技术专业本科通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，，，假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲、乙、丙三人报名民航招飞.
Ⅰ求每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅱ求甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅲ根据甲、乙、丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，，，设甲、乙、丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】D
【解析】解：四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，每人有3种报名方法；
根据分步计数原理，可得共有种不同的报名方法；
故选：D
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，设甲去博物馆为事件A，乙去博物馆为事件B，则，，则，，两人都不去博物馆的概率，
则甲乙两人至少有一个去博物馆的概率；
故选：
4.【答案】B
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．
先求出通项，然后令x的指数为零即可．
【解答】
解：由题意得：，
令得，
故常数项为
故选：A
6.【答案】C
【解答】解：由题意知，乙的限制最多，故先排乙，有3种排法;
再排甲，也有3种排法;余下3人有种排法.故共有种不同的排法.
7.【答案】B
事件M为“两次所得点数均为奇数”，
则事件为，，，，，，，，，
N为“至少有一次点数是5”，
则事件MN为，，，，，所以，
故选：
8.【答案】D
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将7人分为2组，要求小明和小李在同一组，有种分组方法，
②安排2组去安装2个吉祥物，有种情况，
则有种不同的安装方案；
故选：
10.【答案】A
【解答】解：根据题意，数列，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，
对于，时，最大；
且当时，，当时，，当时，，
故当或8时，最大，
故有最大项，有最大项；
故选：
11.【答案】45
12.答案：
13.【答案】
14.答案：取满足的任何一个实数值.
15.答案：①③④
16.【答案】解：
（2）由（1）知，原式=，令得
再令得
所以，
在式子中，令可得
18.【答案】解：（1）由数列的前n项和，
当时，；
当时， ；
令时，，不满足，
所以数列
（2）因为；所以当时，有最大值为所以前16项的和最大．
19.解：（1）由得又所以=7，所以，，所以是一元二次方程的两个实根，解得
当时，公差
数列的通项公式为：
当时，公差
数列的通项公式为：
（2）当时，当时，.
(3)当时,由解得
当时，由解得
另解：（1）由得又所以=7，设数列的公差为则化简整理的解得
数列的通项公式为：或 下解同前
20.【答案】解：在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为；
所有的可能取值为1，2，3，
；
；
所以X 的分布列为
X 1 2 3
P
所以X 的数学期望为；
在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为个
21.【答案】解：Ⅰ因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，1，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅱ因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
所以甲、乙、丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
Ⅲ因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
且预估甲、乙、丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的溉率分别为，
所以甲能被招飞院校录取的概率，
乙能被招飞院校录取的概率，
丙能被招飞院校录取概率，
依题意X的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以
17.解：（1）由题意可知X的可能取值为0,1,2,3，XH(13,3,3),
所以，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，
由题意可知Y的可能取值为0,1,2,3，YB(3,),
所以，Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P