18.1.1.1 平行四边形边、角的性质同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 18.1.1.1 平行四边形边、角的性质同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 21:50:23 | ||
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文档简介
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上．若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48° C．58° D．66°
3．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠A＝60°，则∠DEB的大小为( )
A．130° B．125° C．120° D．115°
4．如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
6．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是( )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
9．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是( )
A．1 B. C. D.
第10题图 第11题图 第15题图
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝ °.
12．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于 cm.
13．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E.若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
14．如图，两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
15．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F.若∠ABD为48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为 °.
三、解答题
16．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
17．如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
19．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：∠ACB＝∠EDA；
(2)若AB＝5，BE＝6，EC＝1，求DE的长．
21．如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF. 请判断GF与EF的关系.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
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参考答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】∵DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，∴图中的平行四边形有 ADEF， BEFD， DECF.
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上．若∠DCE＝132°，则∠A＝( B )
A．38° B．48° C．58° D．66°
3．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠A＝60°，则∠DEB的大小为( C )
A．130° B．125° C．120° D．115°
4．如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( C )
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( B )
A．102° B．112° C．122° D．92°
6．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是( B )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( C )
A．55° B．65° C．75° D．85°
9．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( B )
A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是( B )
A．1 B. C. D.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°－∠CAE－∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝.
第10题图 第11题图 第15题图
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝ °.
【答案】50
12．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于 cm.
【答案】7或17
13．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E.若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
【答案】20或28
14．如图，两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
【答案】③ ②
15．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F.若∠ABD为48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为 °.
【答案】112
三、解答题
16．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠FCD＝∠BCD.
∴∠BAE＝∠FCD.
∴△ABE≌△CDF(ASA).∴AE＝CF.
17．如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE(AAS)；
(2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°.在Rt△ADE中，AD＝BC＝5，∴DE＝＝＝4，∴CD＝2DE＝8.
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)由(1)知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，∴ED∥BF.
19．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD．在△BOE与△DOF中，∵，∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴BO＝DO；
(2)解：∵EF⊥AB，∴∠FEA＝90°.∵AB∥CD，∴∠GDF＝∠A＝45°，∠GFD＝∠FEA＝90°，∴∠G＝45°，∴DF＝FG＝1，∴DG＝＝.∵∠BDG＝90°，∠G＝45°，∴∠GOD＝45°，∴∠GOD＝∠G，故DO＝BO＝DG＝，∴BD＝2，∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD＝2.
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：∠ACB＝∠EDA；
(2)若AB＝5，BE＝6，EC＝1，求DE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EAD，
∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)，
∴∠ACB＝∠EDA.
(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AE，AB＝5，BE＝6，EC＝1，
∴BF＝EF＝BE＝3，FC＝FE＋EC＝4，
在Rt△ABF和Rt△AFC中，
由勾股定理，得AF＝＝4，
AC＝＝4 ，
由(1)得△ABC≌△EAD，∴DE＝AC＝4 .
21．如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF. 请判断GF与EF的关系.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
【解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，CD＝AB，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠BAD＝270°－(180°－∠CDA)＝90°＋∠CDA，∴∠FDG＝∠EAF.
∴△EAF≌△GDF(SAS)，∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD，
∴∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA＝90°，
∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF.
(2)GF⊥EF，GF＝EF仍然成立.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠FAD＝∠BAE＝45°.
∵∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°.
∵∠CDF＋∠GDF＝∠CDG＝45°，
∴∠FDG＝∠EAF.
∴△GDF≌△EAF(SAS)，
∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD，∴∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA＝90°，
∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF.
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上．若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48° C．58° D．66°
3．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠A＝60°，则∠DEB的大小为( )
A．130° B．125° C．120° D．115°
4．如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )
A．102° B．112° C．122° D．92°
6．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是( )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
9．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是( )
A．1 B. C. D.
第10题图 第11题图 第15题图
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝ °.
12．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于 cm.
13．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E.若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
14．如图，两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
15．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F.若∠ABD为48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为 °.
三、解答题
16．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
17．如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
19．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：∠ACB＝∠EDA；
(2)若AB＝5，BE＝6，EC＝1，求DE的长．
21．如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF. 请判断GF与EF的关系.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
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参考答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】∵DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，∴图中的平行四边形有 ADEF， BEFD， DECF.
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上．若∠DCE＝132°，则∠A＝( B )
A．38° B．48° C．58° D．66°
3．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E.若∠A＝60°，则∠DEB的大小为( C )
A．130° B．125° C．120° D．115°
4．如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( C )
A．(－4，1) B．(4，－2) C．(4，1) D．(2，1)
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( B )
A．102° B．112° C．122° D．92°
6．如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且MC＝2， ABCD的周长是14，则DM等于( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，直线l1∥l2，它们之间的距离是( B )
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( C )
A．55° B．65° C．75° D．85°
9．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F.若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( B )
A．1 B．2 C．2.5 D．3
10．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是( B )
A．1 B. C. D.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°－∠CAE－∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝.
第10题图 第11题图 第15题图
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝ °.
【答案】50
12．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于 cm.
【答案】7或17
13．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E.若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
【答案】20或28
14．如图，两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小．
【答案】③ ②
15．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F.若∠ABD为48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为 °.
【答案】112
三、解答题
16．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F.求证：AE＝CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠FCD＝∠BCD.
∴∠BAE＝∠FCD.
∴△ABE≌△CDF(ASA).∴AE＝CF.
17．如图，E是 ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE；
(2)若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE(AAS)；
(2)解：∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°.在Rt△ADE中，AD＝BC＝5，∴DE＝＝＝4，∴CD＝2DE＝8.
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；
(2)ED∥BF.
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)由(1)知，△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F，∴ED∥BF.
19．如图， ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD．在△BOE与△DOF中，∵，∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴BO＝DO；
(2)解：∵EF⊥AB，∴∠FEA＝90°.∵AB∥CD，∴∠GDF＝∠A＝45°，∠GFD＝∠FEA＝90°，∴∠G＝45°，∴DF＝FG＝1，∴DG＝＝.∵∠BDG＝90°，∠G＝45°，∴∠GOD＝45°，∴∠GOD＝∠G，故DO＝BO＝DG＝，∴BD＝2，∵∠A＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD＝2.
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：∠ACB＝∠EDA；
(2)若AB＝5，BE＝6，EC＝1，求DE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EAD，
∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)，
∴∠ACB＝∠EDA.
(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB＝AE，AB＝5，BE＝6，EC＝1，
∴BF＝EF＝BE＝3，FC＝FE＋EC＝4，
在Rt△ABF和Rt△AFC中，
由勾股定理，得AF＝＝4，
AC＝＝4 ，
由(1)得△ABC≌△EAD，∴DE＝AC＝4 .
21．如图，分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF. 请判断GF与EF的关系.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
【解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，CD＝AB，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠BAE＝45°，
∴∠GDF＝∠GDC＋∠CDA＋∠ADF＝90°＋∠CDA，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠BAD＝270°－(180°－∠CDA)＝90°＋∠CDA，∴∠FDG＝∠EAF.
∴△EAF≌△GDF(SAS)，∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD，
∴∠GFD＋∠GFA＝∠EFA＋∠GFA＝90°，
∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF.
(2)GF⊥EF，GF＝EF仍然成立.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG＝CG＝AE＝BE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠FAD＝∠BAE＝45°.
∵∠BAE＋∠DAF＋∠EAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°.
∵∠CDF＋∠GDF＝∠CDG＝45°，
∴∠FDG＝∠EAF.
∴△GDF≌△EAF(SAS)，
∴EF＝FG，∠EFA＝∠GFD，∴∠EFA＋∠GFA＝∠GFD＋∠GFA＝90°，
∴∠GFE＝90°，∴GF⊥EF.