18.1.1.2 平行四边形对角线的性质同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 18.1.1.2 平行四边形对角线的性质同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 21:52:35 | ||
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文档简介
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分
2．【2023成都】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A.AC＝BD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.∠ADC＝∠BCD
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．13 B．17 C．20 D．26
4．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是( )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( )
A．30 B．60 C．65 D.
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有( )
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则平行四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
8．【2022乐山】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( )
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
10．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( )
A.6 B.15 C.30 D.60
11．如图， ABCD的周长为20 cm，AB≠AD，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
A．10 cm B．15 cm C．18 cm D．20 cm
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )
A．6 B．8 C．2 D．4
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为 cm2.
14．如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为 ．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC＝8，AB＝5，则ED的长为 .
三、解答题
18．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
19．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
20．【2022无锡】如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
21．如图，在 ABCD中，AP，BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，已知AD＝5.
(1)求线段AB的长.
(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.
①补全图形；②若BP＝6，求△ABQ的周长.
22．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF；
(2)如图②，在 ABCD中，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
23．【2022扬州】如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56， EF＝6，求△ABC的面积.
24．如图，已知 ABCD.
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)由上述方法，你能得到什么结论？
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD(如图)，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块地里有一口井P，如图，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
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参考答案
一、选择题
1．下列说法正确的是( D )
A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分
2．【2023成都】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( B )
A.AC＝BD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.∠ADC＝∠BCD
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )
A．13 B．17 C．20 D．26
4．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是( C )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( B )
A．30 B．60 C．65 D.
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有( A )
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则平行四边形ABCD的面积为( D )
A.6 B.12 C.20 D.24
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BE，S ABCD＝2S△BCD.
∵BE＝3，∴BD＝6.
∵∠CBD＝90°，∴CB⊥BD.
∴S△BCD＝BC·BD＝×4×6＝12.
∴S ABCD＝2S△BCD＝24.
8．【2022乐山】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( B )
A.4 B.3 C. D.2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( A )
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
10．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( C )
A.6 B.15 C.30 D.60
【解析】观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，∴S阴影＝S ABCD.∵BC＝10， BC边上的高为6，∴S ABCD＝10×6＝60，∴S阴影＝×60＝30.故选C.
11．如图， ABCD的周长为20 cm，AB≠AD，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( A )
A．10 cm B．15 cm C．18 cm D．20 cm
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( D )
A．6 B．8 C．2 D．4
【解析】设AC与PQ交于点O，要使对角线PQ长度最小，则OP长度最小即可，当OP⊥AB时，OP取得最小值，∵∠BAC＝45°，∴OP长度的最小值由勾股定理可得为2，∴PQ长度的最小值为4.
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为 cm2.
【答案】12
14．如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为 ．
【答案】6 cm
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为 ．
【答案】50
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．
【答案】
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC＝8，AB＝5，则ED的长为 .
【答案】4－3
三、解答题
18．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，OD＝OB.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD.∴OE＝OF.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(SAS).∴AE＝CF.
19．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF.
(2)【解】∵OE＝OF，OE＝3.5，
∴EF＝2OE＝7.
又∵EF⊥AD，∴S ABCD＝AD·EF＝63.
∴AD＝9.
20．【2022无锡】如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
(1)【证明】∵点O为对角线BD的中点，∴OD＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，∴∠DFE＝∠BEF. ∴△DOF≌△BOE(AAS).
(2)【证明】∵△DOF≌△BOE，∴OF＝OE.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(SAS)，∴DE＝BF.
21．如图，在 ABCD中，AP，BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，已知AD＝5.
(1)求线段AB的长.
(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.
①补全图形；②若BP＝6，求△ABQ的周长.
(1)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA.
∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5.
同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10.
(2)【解】①如图所示.
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP.
又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP.∴AB＝QB＝10.
又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP.
∴在Rt△ABP中，AP＝＝＝8.
∴AQ＝16.∴△ABQ的周长为16＋10＋10＝36.
22．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF；
(2)如图②，在 ABCD中，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)能得到(1)中的结论．证明如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴OE＝OF.
一般性结论是：过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于E，F两点，则OE＝OF.
23．【2022扬州】如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56， EF＝6，求△ABC的面积.
(1)【证明】在 ABCD中，AD∥BC，
∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC.
∴∠ADG＝∠CBE.∴△ADG≌△CBE(ASA).
∴BE＝DG，∠AGD＝∠CEB.
∴∠DGE＝∠BEG.∴BE∥DG.
(2)【解】过点E作EH⊥BC于点H，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EH＝EF＝6.
∵ ABCD的周长为56，∴AB＋BC＝28.
∴S△ABC＝AB·EF＋BC·EH＝EF·(AB＋BC)＝×6×28＝84.
24．如图，已知 ABCD.
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹，不写作法)
【解】(1)(答案不唯一)如图所示：
(2)由上述方法，你能得到什么结论？
【解】过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将该平行四边形分成面积相等的两部分.
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD(如图)，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块地里有一口井P，如图，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
【解】如图所示.
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分
2．【2023成都】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A.AC＝BD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.∠ADC＝∠BCD
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．13 B．17 C．20 D．26
4．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是( )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( )
A．30 B．60 C．65 D.
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有( )
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则平行四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.12 C.20 D.24
8．【2022乐山】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( )
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
10．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( )
A.6 B.15 C.30 D.60
11．如图， ABCD的周长为20 cm，AB≠AD，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
A．10 cm B．15 cm C．18 cm D．20 cm
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )
A．6 B．8 C．2 D．4
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为 cm2.
14．如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为 ．
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为 ．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC＝8，AB＝5，则ED的长为 .
三、解答题
18．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
19．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
20．【2022无锡】如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
21．如图，在 ABCD中，AP，BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，已知AD＝5.
(1)求线段AB的长.
(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.
①补全图形；②若BP＝6，求△ABQ的周长.
22．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF；
(2)如图②，在 ABCD中，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
23．【2022扬州】如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56， EF＝6，求△ABC的面积.
24．如图，已知 ABCD.
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)由上述方法，你能得到什么结论？
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD(如图)，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块地里有一口井P，如图，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
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参考答案
一、选择题
1．下列说法正确的是( D )
A.平行四边形是轴对称图形 B.平行四边形的邻边相等
C.平行四边形的对角线互相垂直 D.平行四边形的对角线互相平分
2．【2023成都】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( B )
A.AC＝BD B.OA＝OC C.AC⊥BD D.∠ADC＝∠BCD
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )
A．13 B．17 C．20 D．26
4．如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是( C )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( B )
A．30 B．60 C．65 D.
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有( A )
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝3，则平行四边形ABCD的面积为( D )
A.6 B.12 C.20 D.24
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BE，S ABCD＝2S△BCD.
∵BE＝3，∴BD＝6.
∵∠CBD＝90°，∴CB⊥BD.
∴S△BCD＝BC·BD＝×4×6＝12.
∴S ABCD＝2S△BCD＝24.
8．【2022乐山】如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为( B )
A.4 B.3 C. D.2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( A )
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
10．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为( C )
A.6 B.15 C.30 D.60
【解析】观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，∴S阴影＝S ABCD.∵BC＝10， BC边上的高为6，∴S ABCD＝10×6＝60，∴S阴影＝×60＝30.故选C.
11．如图， ABCD的周长为20 cm，AB≠AD，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( A )
A．10 cm B．15 cm C．18 cm D．20 cm
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( D )
A．6 B．8 C．2 D．4
【解析】设AC与PQ交于点O，要使对角线PQ长度最小，则OP长度最小即可，当OP⊥AB时，OP取得最小值，∵∠BAC＝45°，∴OP长度的最小值由勾股定理可得为2，∴PQ长度的最小值为4.
二、填空题
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为 cm2.
【答案】12
14．如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为 ．
【答案】6 cm
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为 ．
【答案】50
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H.若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 ．
【答案】
17．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC＝8，AB＝5，则ED的长为 .
【答案】4－3
三、解答题
18．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AE，CF.求证：AE＝CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，OD＝OB.
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD.∴OE＝OF.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(SAS).∴AE＝CF.
19．如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若S ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长.
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF.
(2)【解】∵OE＝OF，OE＝3.5，
∴EF＝2OE＝7.
又∵EF⊥AD，∴S ABCD＝AD·EF＝63.
∴AD＝9.
20．【2022无锡】如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE＝BF.
(1)【证明】∵点O为对角线BD的中点，∴OD＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥EB，∴∠DFE＝∠BEF. ∴△DOF≌△BOE(AAS).
(2)【证明】∵△DOF≌△BOE，∴OF＝OE.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(SAS)，∴DE＝BF.
21．如图，在 ABCD中，AP，BP分别是∠DAB和∠CBA的平分线，已知AD＝5.
(1)求线段AB的长.
(2)延长AP，交BC的延长线于点Q.
①补全图形；②若BP＝6，求△ABQ的周长.
(1)【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝5，AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA.
∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，
∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5.
同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10.
(2)【解】①如图所示.
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP.
又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP.∴AB＝QB＝10.
又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP.
∴在Rt△ABP中，AP＝＝＝8.
∴AQ＝16.∴△ABQ的周长为16＋10＋10＝36.
22．(1)如图①， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF；
(2)如图②，在 ABCD中，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)能得到(1)中的结论．证明如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC.
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△AEO≌△CFO(AAS)．∴OE＝OF.
一般性结论是：过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形相对的两边或其延长线相交于E，F两点，则OE＝OF.
23．【2022扬州】如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56， EF＝6，求△ABC的面积.
(1)【证明】在 ABCD中，AD∥BC，
∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC.
∴∠ADG＝∠CBE.∴△ADG≌△CBE(ASA).
∴BE＝DG，∠AGD＝∠CEB.
∴∠DGE＝∠BEG.∴BE∥DG.
(2)【解】过点E作EH⊥BC于点H，∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EH＝EF＝6.
∵ ABCD的周长为56，∴AB＋BC＝28.
∴S△ABC＝AB·EF＋BC·EH＝EF·(AB＋BC)＝×6×28＝84.
24．如图，已知 ABCD.
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分.(保留作图痕迹，不写作法)
【解】(1)(答案不唯一)如图所示：
(2)由上述方法，你能得到什么结论？
【解】过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将该平行四边形分成面积相等的两部分.
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD(如图)，现要拉一条直线将田地进行平均划分，在这块地里有一口井P，如图，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
【解】如图所示.