18.1.2.1 平行四边形的判定同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 18.1.2.1 平行四边形的判定同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-04 21:53:49 | ||
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文档简介
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
一、选择题
1．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
2．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AD＝BC，AD∥BC
3．在四边形ABCD中，AD∥BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还需要满足( )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠A＋∠C＝180° C．∠B＋∠C＝180° D．∠B＋∠D＝180°
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( )
A．110° B．80° C．70° D．90°
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
6．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(2，2)，C(3，0)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为( )
A．(－1，2) B．(5，2) C．(1，－2) D．(2，－2)
9．四边形的四边长分别是a，b，c，d，其中a，c是对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．四边都相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．平行四边形
10．如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t(s)，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为( )
A．1 s或2 s B．2 s或3 s C．2 s或4 s D．2 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
11．在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，能画出平行四边形的个数为 .
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AE∥CD交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是 .
13．如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 .(填序号)
第13题图 第14题图
14．如图，将等边三角形的三条边分别8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(3，1，4)．
(1)按此方法，则点C的坐标可表示为 ，点D的坐标可表示为 ；
(2)若P点的坐标为(3，m，m－1)，则m＝ ；
(3)在图中以A，B，C，E为顶点构成平行四边形，则E点的坐标为 ．
三、解答题
15．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上， (填序号).求证：BE＝DF.
16．【2023宁夏】如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
17．【2023广安】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
18．【2023杭州】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时，两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形？
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
21．如图，在 ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF，BE相交于点M，连接CE，DF相交于点N.
(1)如图①，求证：四边形EMFN为平行四边形；
(2)如图②，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中以MN为边的所有平行四边形．
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参考答案
一、选择题
1．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ C ）
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
2．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ C ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AD＝BC，AD∥BC
3．在四边形ABCD中，AD∥BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还需要满足( C )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠A＋∠C＝180° C．∠B＋∠C＝180° D．∠B＋∠D＝180°
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( C )
A．110° B．80° C．70° D．90°
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( A )
A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
6．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ B ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(2，2)，C(3，0)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为( D )
A．(－1，2) B．(5，2) C．(1，－2) D．(2，－2)
9．四边形的四边长分别是a，b，c，d，其中a，c是对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是（ D ）
A．任意四边形 B．四边都相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．平行四边形
10．如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t(s)，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为( D )
A．1 s或2 s B．2 s或3 s C．2 s或4 s D．2 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
11．在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，能画出平行四边形的个数为 .
【答案】3
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AE∥CD交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是 .
【答案】3
13．如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 .(填序号)
【答案】①②③
第13题图 第14题图
14．如图，将等边三角形的三条边分别8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(3，1，4)．
(1)按此方法，则点C的坐标可表示为 ，点D的坐标可表示为 ；
(2)若P点的坐标为(3，m，m－1)，则m＝ ；
(3)在图中以A，B，C，E为顶点构成平行四边形，则E点的坐标为 ．
【答案】(1) (3，2，3) (5，3，0)
(2)3
(3) (5，1，2)或(1，1，6)或(1，3，4)
三、解答题
15．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上， (填序号).求证：BE＝DF.
②
【证明】如图，连接BF，DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形.
∴BE＝DF.(答案不唯一)
16．【2023宁夏】如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
【证明】∵EF∥AC，
∴∠EDC＋∠C＝180°.
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°.
∴EB∥DC.
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形.
17．【2023广安】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【证明】∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF.∴AE＝CF.
∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).∴AB＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
18．【2023杭州】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)【解】∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2.
∵EO＝FO，∴△CFO的面积为1.
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)四边形AFCE是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DE＝BF，
∴OD＋DE＝OB＋BF，
即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时，两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形？
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【解】(1)设经过t s四边形ABQP为平行四边形.
根据题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm，则BQ＝(6－2t)cm.
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝6－2t，解得t＝2.
即经过2 s四边形ABQP为平行四边形.
【解】(2)由(1)知，经过2 s四边形ABQP是平行四边形，设经过x s直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP.根据题意，得AP＝x cm，CQ＝2x cm，
则PD＝(9－x)cm.∵AD∥BC，
∴当CQ＝PD时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x＝9－x，解得x＝3.
综上，经过2 s或3 s直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
21．如图，在 ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF，BE相交于点M，连接CE，DF相交于点N.
(1)如图①，求证：四边形EMFN为平行四边形；
(2)如图②，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中以MN为边的所有平行四边形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，∴DE＝BF，
∴四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
(2)以MN为边的所有平行四边形为：平行四边形BMNF、平行四边形EMND、平行四边形AMNE、
平行四边形FMNC.理由如下：
连接EF，如图所示，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
同(1)得四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，
∴AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，
∴四边形AMNE、四边形FMNC、四边形BMNF、四边形EMND是平行四边形．
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
一、选择题
1．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
2．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AD＝BC，AD∥BC
3．在四边形ABCD中，AD∥BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还需要满足( )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠A＋∠C＝180° C．∠B＋∠C＝180° D．∠B＋∠D＝180°
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( )
A．110° B．80° C．70° D．90°
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
6．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(2，2)，C(3，0)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为( )
A．(－1，2) B．(5，2) C．(1，－2) D．(2，－2)
9．四边形的四边长分别是a，b，c，d，其中a，c是对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．四边都相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．平行四边形
10．如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t(s)，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为( )
A．1 s或2 s B．2 s或3 s C．2 s或4 s D．2 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
11．在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，能画出平行四边形的个数为 .
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AE∥CD交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是 .
13．如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 .(填序号)
第13题图 第14题图
14．如图，将等边三角形的三条边分别8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(3，1，4)．
(1)按此方法，则点C的坐标可表示为 ，点D的坐标可表示为 ；
(2)若P点的坐标为(3，m，m－1)，则m＝ ；
(3)在图中以A，B，C，E为顶点构成平行四边形，则E点的坐标为 ．
三、解答题
15．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上， (填序号).求证：BE＝DF.
16．【2023宁夏】如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
17．【2023广安】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
18．【2023杭州】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时，两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形？
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
21．如图，在 ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF，BE相交于点M，连接CE，DF相交于点N.
(1)如图①，求证：四边形EMFN为平行四边形；
(2)如图②，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中以MN为边的所有平行四边形．
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参考答案
一、选择题
1．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ C ）
A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶2
2．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ C ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB＝CD，AB∥CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AD＝BC，AD∥BC
3．在四边形ABCD中，AD∥BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还需要满足( C )
A．∠A＋∠B＝180° B．∠A＋∠C＝180° C．∠B＋∠C＝180° D．∠B＋∠D＝180°
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( C )
A．110° B．80° C．70° D．90°
第4题图 第5题图 第6题图
5．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件后仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是( A )
A．AB＝CD B．AB∥CD C．OB＝OD D．∠ADB＝∠CBD
6．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（ B ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(2，2)，C(3，0)，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为( D )
A．(－1，2) B．(5，2) C．(1，－2) D．(2，－2)
9．四边形的四边长分别是a，b，c，d，其中a，c是对边，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是（ D ）
A．任意四边形 B．四边都相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．平行四边形
10．如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t(s)，当以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为( D )
A．1 s或2 s B．2 s或3 s C．2 s或4 s D．2 s或6 s
第10题图 第11题图 第12题图
二、填空题
11．在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，能画出平行四边形的个数为 .
【答案】3
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，AE∥CD交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是 .
【答案】3
13．如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，①AE∥CF；②BE＝FD；③∠1＝∠2；④AE＝CF，若要添加其中一个条件，使四边形AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 .(填序号)
【答案】①②③
第13题图 第14题图
14．如图，将等边三角形的三条边分别8等分，按顺时针方向(图中箭头方向)标注等分点的序号0，1，2，3，4，5，6，7，8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系，在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始，按顺时针方向)，如点A的坐标可表示为(1，2，5)，点B的坐标可表示为(3，1，4)．
(1)按此方法，则点C的坐标可表示为 ，点D的坐标可表示为 ；
(2)若P点的坐标为(3，m，m－1)，则m＝ ；
(3)在图中以A，B，C，E为顶点构成平行四边形，则E点的坐标为 ．
【答案】(1) (3，2，3) (5，3，0)
(2)3
(3) (5，1，2)或(1，1，6)或(1，3，4)
三、解答题
15．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上， (填序号).求证：BE＝DF.
②
【证明】如图，连接BF，DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形.
∴BE＝DF.(答案不唯一)
16．【2023宁夏】如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形.
【证明】∵EF∥AC，
∴∠EDC＋∠C＝180°.
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠C＝180°.
∴EB∥DC.
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形.
17．【2023广安】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【证明】∵AF＝CE，
∴AF－EF＝CE－EF.∴AE＝CF.
∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA).∴AB＝CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
18．【2023杭州】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积.
(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，∴EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)【解】∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2.
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2.
∵EO＝FO，∴△CFO的面积为1.
19．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE，四边形AFCE是平行四边形吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
(2)四边形AFCE是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DE＝BF，
∴OD＋DE＝OB＋BF，
即OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝6 cm，AD＝9 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时，两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形？
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【解】(1)设经过t s四边形ABQP为平行四边形.
根据题意，得AP＝t cm，CQ＝2t cm，则BQ＝(6－2t)cm.
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝6－2t，解得t＝2.
即经过2 s四边形ABQP为平行四边形.
【解】(2)由(1)知，经过2 s四边形ABQP是平行四边形，设经过x s直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP.根据题意，得AP＝x cm，CQ＝2x cm，
则PD＝(9－x)cm.∵AD∥BC，
∴当CQ＝PD时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x＝9－x，解得x＝3.
综上，经过2 s或3 s直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.
21．如图，在 ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且AE＝CF，连接AF，BE相交于点M，连接CE，DF相交于点N.
(1)如图①，求证：四边形EMFN为平行四边形；
(2)如图②，连接MN，若E是AD的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中以MN为边的所有平行四边形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，∴DE＝BF，
∴四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
(2)以MN为边的所有平行四边形为：平行四边形BMNF、平行四边形EMND、平行四边形AMNE、
平行四边形FMNC.理由如下：
连接EF，如图所示，
∵E是AD的中点，∴AE＝DE，
同(1)得四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF和四边形DEBF都是平行四边形，
∴AM＝FM＝AF，BM＝EM＝BE，EN＝CN＝CE，FN＝DN＝DF，AF∥CE，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF，
∴AM＝EN＝FM＝CN，BM＝FN＝DN＝EM，
∴四边形AMNE、四边形FMNC、四边形BMNF、四边形EMND是平行四边形．