18.1.2.2 三角形的中位线同步练习（含答案）

18.1　平行四边形
18.1.2　平行四边形的判定
第2课时　三角形的中位线
一、选择题
1.【2023云南】如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3m，则AB＝（　　）
A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m
　 　
第1题图　 第2题图 第3题图
2．如图，为了测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是(　　)
A．10 m B．20 m C．40 m D．80 m
3．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．15
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，点F是BC的延长线上一点，∠A＝35°，∠AED＝30°，则∠ACF的度数为(　　)
A．60° B．65° C．70° D．85°
　 　
第4题图　 第5题图 第6题图
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（　　）
A.∠B＝∠F B.∠B＝∠BCF C.AC＝CF D.AD＝CF
6．如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是(　　)
A．6 B．12 C．24 D．48
7．如图，以△ABC的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　 　
第7题图　 第8题图 第9题图
8．东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB＝AC＝12米，BC＝10米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是(　　)
A．22米 B．24米 C．27米 D．32米
9.【2023·泸州】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为(　　)
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
　 　
第10题图　 第11题图 第12题图
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝ ．
12．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝10，AC＝8，BC
＝12，则△DEF的周长为 .
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，点P是对角线AC的中点，点M是AD的中点，点N是BC的中点.若∠PMN＝20°，则∠MPN的度数为 .
　 　
第13题图　 第14题图 第15题图
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE＝16，BF＝12，P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为 ．
15．【202广西】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 .
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求EF的长．
17．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
18．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.
(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；
(2)若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，求四边形DEFB的周长．
19．【2023株洲】如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点.
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度.
20．如图，BD，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG，延长AF，AG，分别与直线BC相交于点M，N.求证：FG＝(AB＋BC＋AC).
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点，连接EF交BD，AC于点P，Q.求证：OP＝OQ.
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参考答案
一、选择题
1.【2023云南】如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3m，则AB＝（　B　）
A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m
　 　
第1题图　 第2题图 第3题图
2．如图，为了测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20 m，则A，B之间的距离是(　C　)
A．10 m B．20 m C．40 m D．80 m
3．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为(　B　)
A．6 B．9 C．12 D．15
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，点F是BC的延长线上一点，∠A＝35°，∠AED＝30°，则∠ACF的度数为(　B　)
A．60° B．65° C．70° D．85°
　 　
第4题图　 第5题图 第6题图
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（　B　）
A.∠B＝∠F B.∠B＝∠BCF C.AC＝CF D.AD＝CF
6．如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是(　B　)
A．6 B．12 C．24 D．48
7．如图，以△ABC的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有(　C　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　 　
第7题图　 第8题图 第9题图
8．东东家有一块等腰三角形的空地ABC，如图，已知E，F分别是边AB，AC的中点，量得AB＝AC＝12米，BC＝10米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是(　C　)
A．22米 B．24米 C．27米 D．32米
9.【2023·泸州】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　A　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为(　A　)
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【解析】延长AF，CB交于点G，
∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，在△ACF和△GCF中，
∴△ACF≌△GCF(ASA)，∴CG＝AC＝7，AF＝FG，∴BG＝CG－CB＝3，∵AE＝EB，AF＝FG，∴EF＝BG＝1.5.
　 　
第10题图　 第11题图 第12题图
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝ ．
【答案】8
12．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝10，AC＝8，BC
＝12，则△DEF的周长为 .
【答案】15
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，点P是对角线AC的中点，点M是AD的中点，点N是BC的中点.若∠PMN＝20°，则∠MPN的度数为 .
【答案】150°
　 　
第13题图　 第14题图 第15题图
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE＝16，BF＝12，P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为 ．
【答案】10
15．【202广西】如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 .
【答案】
三、解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
(2)求EF的长．
解：(1)∠A＝30°.
(2)EF＝2 cm.
17．如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．
证明：∵D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，
∴DF，DE为△ABC的中位线．
∴DF∥BC，DE∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形．
18．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.
(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；
(2)若∠ACB＝90°，AC＝12 cm，DE＝4 cm，求四边形DEFB的周长．
解：(1)证明：∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
又DE∥BF，
∴四边形DEFB是平行四边形．
(2)由(1)得BC＝2DE＝8(cm)，BF＝DE＝4 cm，四边形DEFB是平行四边形，∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12 cm，∴CD＝AC＝6(cm)，
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10(cm)，
∴平行四边形DEFB的周长为2(DE＋BD)＝2×(4＋10)＝28(cm)．
19．【2023株洲】如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G，F分别为BH，CH的中点.
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度.
(1)【证明】∵点D，E分别为AB，AC的中点，点G，F分别为BH，CH的中点，
∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.
∴DE∥BC，DE＝BC，GF∥BC，GF＝BC.
∴DE∥GF，DE＝GF.
∴四边形DEFG为平行四边形.
(2)【解】∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DG＝EF＝2.∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°.
∴BG＝＝＝，
即线段BG的长度为.
20．如图，BD，CE是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG，延长AF，AG，分别与直线BC相交于点M，N.求证：FG＝(AB＋BC＋AC).
【证明】∵BD是∠MBA的平分线，
∴∠ABF＝∠MBF.
∵AF⊥BD，∴∠MFB＝∠AFB＝90°.
∴∠BAF＝∠BMF.∴MB＝AB.∴AF＝MF.
同理可得CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线.
∴FG＝MN＝(MB＋BC＋CN)＝(AB＋BC＋AC).
21．如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点，连接EF交BD，AC于点P，Q.求证：OP＝OQ.
证明：如图，取BC的中点G，连接EG，FG.
∵E，G分别为AB，BC的中点，
∴EG＝AC，EG∥AC，
∴∠FEG＝∠OQP.
同理，可得FG＝BD，FG∥BD，
∴∠EFG＝∠OPQ.
∵AC＝BD，∴EG＝FG，
∴∠FEG＝∠EFG，
∴∠OQP＝∠OPQ，∴OP＝OQ.