数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课件（共26张ppt）

(共26张PPT)
6.1　分类加法与分步乘法计数原理
计数是人类最古老的数学活动之一
人类在探求高效计数方法的过程中
走过了漫长的历史……
结而计之 数而计之 算而计之
（约8.2万年前） （公元前580年） （约公元前220年）
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 （重点）
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题（难点）
1.通过对两个计数原理的学习，培养数学抽象的核心素养；
2.在利用两个计数原理解决简单实际问题的过程中，提升
数学建模、数学运算核心素养。
复习回顾
1. 一般地,有如下分类加法计数原理:
(1)完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m+n 种不同的方法.
(2)推广:如果完成一件事情有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+m2+…+mn 种不同的方法.
2. 一般地,有如下分步乘法计数原理:
(1)完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= m×n 种不同的方法.
(2)推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事共有
N= m1·m2·…·mn 种不同的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系
1.区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么
提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键是看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则就是分步.
2. 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于:
(1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事.
(2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
合作探究 释疑解惑
探究一
分类加法计数原理的应用
【例1】 (1)如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4.若某个焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落导致电路不通的情况有(　　)种.
A.9 B.11
C.13 D.15
解析:按照可能脱落的焊接点的个数分为四类:
第1类:脱落1个,则有(1),(4)共2种情况;
第2类:脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况;
第3类:脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种情况;
第4类:脱落4个,则有(1,2,3,4)共1种情况.
综上,由分类加法计数原理知,共有2+6+4+1=13种情况,故选C.
解:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,
在每一类中满足题目条件的两位数分别有：
8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.
由分类加法计数原理,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).
(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个
个位 十位
1
2,3,4,5,6,7,8,9
2
3,4,5,6,7,8,9
……
……
探究二
分步乘法计数原理的简单应用
【例2】 从-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成多少条不同的抛物线
解:解答本题需分三步完成,
第1步,选系数a(a不能为0),有5种选法;
第2步,选系数b,有5种选法;
第3步,选系数c,有4种选法.
根据乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4=100.
若本例中的二次函数的顶点在第一象限且过原点,此时抛物线的条数为多少
解:分三步:
第1步,c=0,只有1种选法;
第2步,确定a,a从-2,-1中选一个,有2种不同选法;
第3步,确定b,从1,2,3中选一个,有3种不同选法.
根据乘法计数原理得1×2×3=6,故抛物线的条数为6.
【变式训练2】 如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成的通路有(　　)
解析:由题图知,要构成通路,则A处有2种方式,B处有3种方式,
因此可构成的通路有2×3=6条,故选B.
A.8条 B.6条 C.5条 D.3条
探究三
两个计数原理的综合应用
【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,3幅不同的水彩画.
(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法
解:(1)分为三类:
第1类,从国画中选,有5种不同的选法;
第2类,从油画中选,有2种不同的选法;
第3类,从水彩画中选,有3种不同的选法.
根据分类加法计数原理共有5+2+3=10种不同选法.
探究三
两个计数原理的综合应用
【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间,有几种不同的选法
解:(2)分为三步:
国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,
根据分步乘法计数原理,共有5×2×3=30种不同选法.
探究三
两个计数原理的综合应用
【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,3幅不同的水彩画.
(3)从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法
解:(3)分为三类:
第1类是1幅选自国画,1幅选自油画,
由分步乘法计数原理知,有5×2=10种不同选法.
第2类是1幅选自国画,1幅选自水彩画,有5×3=15种不同选法.
第3类是1幅选自油画,1幅选自水彩画,有2×3=6种不同选法.
所以共有10+15+6=31种不同选法.
【变式训练3】 中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有(　　)
A.50种 B.60种 C.70种 D.80种
解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:
甲选择牛,乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有1×2×10=20种不同的选法;
甲选择马或猴,选法有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种,有2×3×10=60种不同的选法.
则一共有20+60=80种不同的选法,故选D.
易错辨析
分不清“分类”还是“分步”致错
【典例】 某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,小李到体育场看比赛,则他进、出体育场的方案有(　　)
A.12种 B.7种 C.14种 D.49种
错解:由题意知,小李进体育场有7种不同方案,出体育场有7种不同的方案,故他进、出体育场共有7+7=14种不同的方案.
答案:C
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:出错的根本原因是没有分清小李完成进、出体育场大门的过程是分类还是分步,实际上小李到体育场看比赛,他进、出体育场大门的过程分两步:第一步进体育场,第二步出体育场.
正解:完成进、出体育场这件事,需要分两步,
第1步,进体育场共有4+3=7种方案;
第2步,出体育场共有4+3=7种方案.
由分步乘法计数原理知,进、出体育场的方案有7×7=49(种).
答案:D
利用两个计数原理解决问题时,应首先弄清是“分类”还是“分步”,其次要做到分类时不重不漏,分步时步骤完整.
【变式训练】 已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,问:
(1)P可表示平面上多少个不同的点
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点
解:(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第1步先确定a的值,共有6种可能情况;第2步确定b的值,也有6种可能情况.根据分步乘法计数原理得到平面上点的个数为6×6=36.
(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第1步确定a,因为a<0,所以有3种可能情况;第2步确定b,因为b>0,所以有2种可能情况.
由分步乘法计数原理得到第二象限的点的个数为3×2=6.
课堂小结
1.区分“完成一件事”是分类还是分步，
(1)“分类”问题,其中各种方法相互独立,都可以做完这件事.
(2)“分步”问题,各步骤中的方法相互依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事；
2.其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性.
注意:混合问题一般是先分步后分类.
作 业
1、课后训练；
2、预习第二课时。
【思考题】 将红、黄、绿、黑4种不同的颜色涂在如图所示的图中,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法