上海南汇中学2008—2009学年度高考模拟卷数学试题

上海南汇中学2008—2009学年度高考模拟卷
数学试题
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．函数的定义域是 .
2．计算： （为虚数单位）.
3．函数的最小正周期 .
4．若集合,且，则实数的取值范围是 ．
5．焦距为4且过点的双曲线的标准方程是 ____________________.
6．的三内角所对边的长分别为，设向量,,若,则角的大小为_________.
7．（理）从4名男生和2名女生中任选3人参加“上海市实验性、示范性高中”区级评估调研座谈会，设随机变量表示所选3人中女生的人数，则的数学期望为 .
（文）已知实数满足，则
的最大值是_____.
8．（理）在极坐标系中，过点且与极轴
垂直的直线的极坐标方程是 .
（文）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都
是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那
么这个几何体的全面积为 .
9． 为迎接2010年世博会召开，营造良好的生活环境，上海市政府致力于城市绿化．现有甲、乙、丙、丁4个工程队承包5个不同的绿化工程，每个工程队至少承包1项工程，那么工程队甲承包两项工程的概率是______.
10．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　　　　　；　　　　　　　　.（答案用数字或的解析式表示）
11．若对任意，（）有唯一确定的与之对应，则称 为关于的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数为关于实数的广义“距离”：
（1）非负性：,当且仅当时取等号；
（2）对称性：；
（3）三角形不等式：对任意的实数均成立．
今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于的广义“距离”的序号： .
①;②;③.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，其它一律得零分.
12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线异面”的 （ ）
A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.
C．充要条件. D．既不充分也不必要条件.
13．若直线平分圆的周长，则 的最小值为 （ ）
A．. B．. C．. D．.
14．将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 （ ）
A． . B．. C．. D．
15．若函数，则对任意的满足，
则有 （ ）
A．）. B．.
C．. D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题写出必要的步骤.
16． (本题满分12分)
已知复数和，求的最大值和最小值．
17． (本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.)
如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线．
（1）请在图（2）的正方体中画出MN、PQ；并求此时MN与PQ所成角的大小；
（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．
（说明：求角与体积时，若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中）
18． (本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
（理）某公司2008年底共有员工200人，当年的生产总值为1600万元．该企业规划从2009年起的10年内每年的总产值比上一年增加100万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录取（名新员工；经测算，这10年内平均每年有5名员工退休．设从2009年起的第x年（2009年为第1年）该企业的人均产值为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）要使该企业的人均产值在10年内每年都有增长，则每年录用的新员工至多为多少人？

（文）为了缓解交通压力，某省在两个城市之间特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车．如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟．火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人．
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．
19． (本题满分16分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分.)
已知，直线，动点到直线l的距离
（1）求动点的轨迹方程；
（2）证明命题：“若直线交动点的轨迹于、两点，如过点，则”为真命题；
（3）写出命题的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由.
20． (本题满分18分，共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.)
设向量， (为正整数)，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足：
．
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3）若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．
参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3．第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4．给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．1；4
8．； 9．
10．41； 11．① 12．B 13．D 14．C 15．B
16．-----12分
17．解：（1）图略，MN与PQ所成角的大小为60；-------8分
（2）四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1∶6．--------14分
18．（理）（1）-------6分
（2）当函数为增函数时，该企业的人均产值在10年内每年都有增长。
所以当时，
解得，因此每年至多招收新员工不超过17人。-------14分
（文）（1）依题意，设，则，
解得， …………4分
∴为所求．(未注明定义域，不扣分) ……6分
（2）该列火车满载时每日的营运人数为 ……………………………………………9分 （当且仅当时取等号） ……………12分 （用二次函数求解的请相应给分）
故这列火车满载时每次应拖挂节车厢才能使每日营运人数最多，最多营运
人数为人． ……………………………………………………………14分
19．（1）-----4分
（2）设过点的直线交抛物线于点(x1,y1)、(x12,y2).-------5分
显然直线的钭率存在,设直线的方程为y=kx+1.
当
得x2－4 kx－4=0,则x1x2=－4.
y=kx+1
又∵y1=x, y2=x,
∴=x1x2+y1y2==－3.------8分
所以， “若直线交动点的轨迹于、两点，如过点，
则”为真命题----9分
(3)逆命题是：设直线交抛物线于、两点,如果,那么该直线过点.该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点、,此时，
直线的方程为 ,而不在直线上.-------16分
说明：由抛物线上的点(x1,y1)、
(x12,y2)满足，可得x1x2=－4.
或x1x2=－12,如果x1x2=－4.,可证得直线过点；
如果x1x2=－12, 可证得直线不过点.
20．(1)证：对称轴， 所以在[0，1]上为增函数--2分
--4分
(2)、解.由，得，
= 两式相减，
得----------------------------------8分
----------------------------------- 10分
(3)由(1)与（2）得
设存在自然数，使对，恒成立-----------------------12分
当时，
当时，，
当时，
当时，，当时， ---------------------------14分
所以存在正整数，使对任意正整数，均有
------------------16分