课件15张PPT。八年级(上册)初中数学2.4 线段、角的对称性（1） 在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考：
线段是轴对称图形吗？ 【做一做】线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 1．如图，在线段AB的垂直平分线l上任意找一点P，连接PA、PB，对折一下，你发现了什么？ 2．像这样的点P还有吗？为什么？ 【想一想】已知：如图，点P在AB的垂直平分线l上.
求证：PA＝PB符号语言
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB ．定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？请你画出图形，试着说明. 解：不相等.
如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB．
∵点Q在AB的垂直平分线上，
∴QA＝QB．
∴ PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
∵ PQ＋QB＞PB，
∴ PA＞PB． 【想一想】还有其他间接结论吗？ 【说一说】 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，则下列结论：①OA=OB，
②∠1=∠2=90°，③PA=PB，
④∠A=∠B，⑤∠APO=∠BPO中，正确的有__________．1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长度为________．【做一做】2．如图，AB垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，AC＝9，AE：EC＝2：1，则点B到点E的距离为___________． 【做一做】3．如图，C、D在线段AB的垂直平分线上，且AC=8，AD=12，则四边形的周长为______． 【做一做】例1 如图，己知DE垂直平分AB交AB、AC于D、E两点．
（1）若AC=12cm，BC=10cm，求△BCE的周长；
（2）若△BCE的周长为23cm，BC＝10cm，
则AC＝_______cm；
（3）若△ABC和△BCE的周长分别为21 cm
和13cm，则BD＝_______cm；
（4）若AB＝AC，AD＝6cm，BC＝4.5cm，
则△BCE的周长为________cm．练习：P52练习已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线m、n相交于O。
求证：点O到△ABC三个顶点的距离相等例2 如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．
（1）若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？
（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在何处？说明理由．
3．青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等．
(1)若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处 公共服务设施(用点P表示)的位置．
(2)若∠BAC=66°，则∠BPC=_________．4．如图，点P是∠AOB内的一点，且点P关于射线OA、OB的对称点为P1、P2，连接P1、P2，交OA于点M，交OB于点N．
（1）根据题意，把图形补充完整．
（2）若P1P2=5cm，求△PMN的周长．
（3）若∠AOB＝35°，求∠P1PP2和∠MPN的度数． 说说你本节课你有什么收获？【课堂小结 】1．线段垂直平分线有哪些性质？我们是怎么证明的？
2．线段垂直平分线有哪些应用？它主要可以用来解决什么样的问题？ 课件12张PPT。八年级(上册)初中数学2.4 线段、角的对称性（2）符号语言
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA＝PB ．定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【复习】线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 在一张薄纸上画一条线段AB．
你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？
这样的点有多少个？ 【做一做】 一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？M【想一想】 已知：如图，PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上.符号语言
∵ PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．1．已知：如图，点D在BC边上．
（1）若AD＝BD，则点A在线段_________的垂直平分线上；
（2）若AC＝CD，则点C在线段_________的垂直平分线上；
（3）若AB＝AC，则AD是线段BC的垂直平分线吗？为什么？ 【做一做】2．如图，AC＝BC，AD＝BD．
求证：直线CD是线段AB的垂直平分线．【做一做】 你能用尺规画出任一条已知线段的垂直
平分线吗？如果能，说说你作图的依据．【试一试】例1 已知：如图，在锐角△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、 l2相交于点O ．
（1）l1与l2 的交点O到点A、B、C的距离相等吗？为什么？
（2）点O在这BC的垂直平分线上吗？
（3）若△ABC为直角三角形、钝角三角形以上结论还成立吗？例2 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
课本P54 练习1、2
课本P57—58 习题2.4，第3、4、6题【做一做 】说说你本节课你有什么收获？【课堂小结 】1．线段垂直平分线性质逆定理；
2．线段垂直平分线的判定；课件16张PPT。八年级(上册)初中数学2.4 线段、角的对称性（3）在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考：
它是轴对称图形吗？ 为什么？【做一做】角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？B角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 1.在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，分别作出点P到OA、OB的距离，对折一下，你发现了什么？【想一想】BCDE 已知：如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB.
求证：PD＝PE.2.像这样的点P还有吗？∵点P在角平分线OC上，
PD⊥OA，PE ⊥OB，
∴PD＝PE ．定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． 下图中PD＝PE吗？在上面的结论中，由条件： (1)OC是∠AOB的平分线，点P在OC上； (2)PD⊥OA，PE⊥OB，才能得出PD=PE，两者缺一不可．还有其他间接结论吗？ 【说一说】 如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，则下列结论：①∠DOP=∠EOP，②∠OPD=∠OPE，③PD=PE，④OD=OE中，正确的有__________． 角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？ 如图，若点P在∠AOB内部， PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE，点P在∠AOB的角平分线上吗？为什么？你能得到什么结论？【想一想】∵ PD⊥OA，PE ⊥OB，
PD＝PE ，
∴点P在角平分线AC上 ．定理 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上．角平分线是到角两边距离相等的点的集合．1．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=5，则P点到OB的距离是_____． 【做一做 】2．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=10，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BD：DC＝2：3，则点D到AC的距离是________． 【做一做 】3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，交AC于点F，若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝_____． 【做一做 】4．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E两点．且DE＝1cm，BD＝2cm．则AC的长为_________cm． 【做一做 】已知∠AOB和C、D两点，请在图中标出一点E，使得点E到OA、OB的距离相等，而且E点到C、D的距离也相等。 E
做一做思考：已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.
已知：在∠ABC中，D是∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC上，且DE=DF.试判断∠BED与∠BFD的关系，并说明理由.变式：说说你本节课你有什么收获？【课堂小结 】课件14张PPT。八年级(上册)初中数学2.4 线段、角的对称性（4）1.垂直平分线的性质定理及逆定理？
2.角平分线的性质定理及逆定理？例1 已知：如图，△ABC的两内角∠B、∠C 的角平分线相交于点P．
（1）交点P到边AC、BC、AB的距离相等吗？为什么？
（2）点P在这∠C的平分线上吗？
（3）若△ABC为直角三角形、钝角三角形以上结论还成立吗？
三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等．1．作图与探究：如图，∠DBC和∠ECB是△ABC的两个外角．
（1）用尺规分别作∠DBC和∠ECB的平分线，设它们相交于点P；
（2）过点P分别画直线AB、AC、BC的垂线段PM、PN、PQ，垂足为 M、N、Q；
（3） PM、PN、PQ相等吗？（直接写出结论，不需说明理由）2．如图，直线a,b,c表示三条相互交叉的公
路，现要建一个货物中转站，要求它到三条
公路的距离相等，可供选择的地址有几处？
如何选？
3．如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N
是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站，
使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N
的距离也相等，用尺规作出货物中转站的位置． 性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 判定定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 线段的垂直平分线性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． 判定定理 角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上．角的平分线利用网格线作图ACB⑴在BC上找一点P,使P到AB和AC的距离相等.P⑵在射线AP上找一点Q,使QB=QC.QACDBO例2 已知：如图，AD是△ABC的角平线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．
（1）DE与DF相等吗？为什么？
（2）点A在∠______的平分线上，为什么？
（3）求证：AD垂直平分EF ．例3．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合）
分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰三角形ACD和
等腰三角形BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都
是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接
BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
试说明： (1)△ACE≌△DCB． (2)∠APC＝∠BPC．课本P56 练习
课本P58—59 习题2.4，第9、10、11题【做一做 】说说你本节课你有什么收获？【课堂小结 】
