2023-2024学年八年级下册数学
第17章勾股定理素养综合检测试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知中，，若，，则的面积是
．( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查了勾股定理，这里不要去分别求，的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．要求的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理得，求出求出的值，进而得到三角形的面积．
【解答】
解：在中，，，
，
，
，
即
，
，
．
故选A．
2.若直角三角形的一个锐角是，斜边长为，则此直角三角形周长是．( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图所示，
中，，，
则，故BC，，
故此三角形的周长是．
故选D．
根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．
熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理．
3.如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查勾股定理、全等三角形以及等边三角形的判定和性质，属中档题．
首先以为边作等边三角形，连接，利用全等三角形的判定证明≌，得到，再根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，以为边作等边，连接，
，
与为等边三角形，
，
在和中，
；；，
≌，
，
，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
．
故选B．
4.如图所示，已知，且，，，则，两点间的距离是．( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题考查了勾股定理．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
先过作，交延长线于，根据图易求，，再利用勾股定理即可求．
【解答】
解：如图所示，过作，交延长线于，
根据题意，，，
在中，．
故选D．
5.下面几组数：，，；，，；，，均为正整数，；，，其中能组成直角三角形三边长的是
．( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
此题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是关键，根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可得到答案．
【解答】
解：，不能构成直角三角形，故错误；
，能构成直角三角形，故正确；
，能构成直角三角形，故正确；
，不能构成直角三角形，故错误；
故选B．
6.如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题可得，，，，
，，，
当时，，
，，
，
故选：．
依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值．
本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
7.如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，，
，
由勾股定理得，，
故选：．
根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的含角的直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8.如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
9.在如图的网格中，每个小正方形的边长为，、、三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D. 点到直线的距离是
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
，故选项A正确；
，
，
，
是直角三角形，，故选项B正确；
，故选项C错误；
作于点，
则，
即，
解得，，
即点到直线的距离是，故选项D正确；
故选：．
根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到、、的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是
( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【答案】B
【解析】略
11.如图，在四边形中，，，，，则．( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题主要考查的是勾股定理的有关知识，先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：，，，
，
，，
．
故选B．
12.如图，圆柱的底面圆直径，高，小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】略
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则 ．
【答案】
【解析】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，能灵活运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行计算和推理是解此题的关键．设小正方形的边长是，连接，根据勾股定理求出、、的长度，得到，，根据勾股定理的逆定理得出，进而求出答案．
【解答】
解：设小正方形的边长是，连接．
，，，
，，
，即是等腰直角三角形，
．
，
，
．
14.命题“如果，那么”的逆命题是 ．
【答案】如果，那么
【解析】
本题考查了原命题与逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．据此解答即可．
【解答】
解：“如果，那么”的逆命题是：如果，那么．
故答案为如果，那么．
15.如图，在中，，，为边上的一点，且，，则的长为 ．
【答案】
【解析】
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，难度适中．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过作于，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出在直角中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，那么，，然后利用即可求解．
【解答】
解：如图，过作于，则，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
．
在直角中，，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
16.如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为 ．
【答案】
【解析】略
17.如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】略
18.如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则 ．
【答案】
【解析】
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键．
在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，则可求．
【解答】
解：，，，
，
，，
，
为直角三角形，
，
故答案为．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在中，．
已知，，求；
已知，，求、．
【答案】解：根据勾股定理可得：
；
为直角三角形，，
，
，
根据勾股定理可得：，即，
解得，则．
【解析】本题考查勾股定理、含度角的直角三角形的性质，难度一般．
根据勾股定理即可直接求出的值；
根据含度角的直角三角形的性质与勾股定理即可求出、的值．
20.本小题分
如图，在中，，，，的垂直平分线与，分别交于点，，求的长．
【答案】解：连接，在中，
，
是直角三角形，且，
垂直平分，
．
设，则．
在直角三角形中，，
即
解得，
即．
答：的长是．
【解析】此题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理的定理和逆定理，解答此题的关键是根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理证出是直角三角形．首先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据线段垂直平分线的性质证得，最后利用勾股定理结合已知条件即可求出的长．
21.本小题分
校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得已知本路段对校车限速是，测得某校车从到匀速行驶用时．
求的长．结果保留根号
问这辆车在本路段是否超速？请说明理由．参考数据：，
【答案】解：作交于，如图所示：
则，
设米，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
解得：，
即米；
这辆车在本路段不超速；
理由如下：
由得：，
米，
校车从到匀速行驶用时秒，
速度为米秒千米小时千米小时，
这辆车在本路段不超速．
【解析】本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质、含角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理的运用，通过作辅助线求出是解决问题的关键．
作交于，则，设米，求出，得出，，证明，由得出方程，解方程即可；
由得：，得出的长，求出校车从到匀速行驶的速度，即可得出结论．
22.本小题分
探究活动：有一圆柱形食品盒，它的高等于，底面直径为，蚂蚁爬行的速度为如果在盒内下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点处的食物，那么它至少需要多少时间盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号？
【答案】解：如图， ，，则蚂蚁走过的最短路径为：，
所用时间为：
【解析】本题考查的是平面展开最短路径问题，勾股定理的有关知识，把圆柱的侧面展开，再利用勾股定理求解即可．
23.本小题分
如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金购买草皮？
【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，即，
，
所以需费用元．
【解析】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
连接，在直角三角形中根据勾股定理求得的长，由、、的长度关系可得三角形为直角三角形，则，代入数值计算即可．
24.本小题分
如图，已知，垂足为点，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．
线段________；求线段的长度．
【答案】解：；
，，
是等边三角形．
，
如图，过点作于点．
，，
在中，，，
，．
在中，由勾股定理得．
【解析】略
25.本小题分
在直线上摆放着三个正方形．
如图所示，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，，斜着放置的正方形的面积______，两个直角三角形的面积和为______均用含，的代数式表示
如图所示，小正方形的面积，斜着放置的正方形的面积，求图中两个钝角三角形的面积和，并给出图中四个三角形的面积关系．
如图所示为由五个正方形所搭成的平面图形，与分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出与的关系式，并利用和的结论说明理由．
【答案】解：；；
；结论：四个三角形的面积相等．
理由略
【解析】略
第2页，共2页
第1页，共1页2023-2024学年八年级下册数学
第17章勾股定理素养综合检测试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知中，，若，，则的面积是
．( )
A. B. C. D.
2.若直角三角形的一个锐角是，斜边长为，则此直角三角形周长是．( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．( )
A. B. C. D.
4.如图所示，已知，且，，，则，两点间的距离是．( )
A. B. C. D.
5.下面几组数：，，；，，；，，均为正整数，；，，其中能组成直角三角形三边长的是
．( )
A. B. C. D.
6.如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
9.在如图的网格中，每个小正方形的边长为，、、三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D. 点到直线的距离是
10.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是
( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
11.如图，在四边形中，，，，，则．( )
A. B. C. D.
12.如图，圆柱的底面圆直径，高，小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，再沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则 ．
14.命题“如果，那么”的逆命题是 ．
15.如图，在中，，，为边上的一点，且，，则的长为 ．
16.如图，在中，，且周长为，点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为 ．
17.如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，，则的长为________．
18.如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则 ．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在中，．
已知，，求；
已知，，求、．
20.本小题分
如图，在中，，，，的垂直平分线与，分别交于点，，求的长．
21.本小题分
校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得已知本路段对校车限速是，测得某校车从到匀速行驶用时．
求的长．结果保留根号
问这辆车在本路段是否超速？请说明理由．参考数据：，
22.本小题分
探究活动：有一圆柱形食品盒，它的高等于，底面直径为，蚂蚁爬行的速度为如果在盒内下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点处的食物，那么它至少需要多少时间盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号？
23.本小题分
如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金购买草皮？
24.本小题分
如图，已知，垂足为点，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，．
线段________；求线段的长度．
25.本小题分
在直线上摆放着三个正方形．
如图所示，已知水平放置的两个正方形的边长依次是，，斜着放置的正方形的面积______，两个直角三角形的面积和为______均用含，的代数式表示
如图所示，小正方形的面积，斜着放置的正方形的面积，求图中两个钝角三角形的面积和，并给出图中四个三角形的面积关系．
如图所示为由五个正方形所搭成的平面图形，与分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出与的关系式，并利用和的结论说明理由．
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