2023-2024学年浙江省杭州市十三中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州十三中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.由个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，，：：，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
4.在中，，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
5.两个相似三角形的相似比是：，则其对应中线之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形( )
A. 三边高线的交点 B. 三个角的平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边中线的交点
7.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形内接于，分别以、、、为直径向外作半圆若，，则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知、抛物线与线段至少有一个交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，为边上一点，连结，以为直径的圆分别交，于，两点，连结，设，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： ______．
12.如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是______．
13.的边，边，的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是______．
14.如图，设、、为的三条高，若，，，则线段的长为______．
15.已知实数，满足，则的最大值为______．
16.如图，已知，是正六边形的两条对角线，点，分别为线段，上的点，且有，，若，，三点共线，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，
若圆锥的母线长为，求圆锥的侧面积．
若圆锥底面圆的半径为，求扇形的半径．
18.本小题分
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
求任意摸出一个球是黑球的概率；
小明从盒子里取出个白球其他颜色球的数量没有改变，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
19.本小题分
在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
求该二次函数的表达式；
当时，求自变量的取值范围．
20.本小题分
如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交，于，求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
求证：是的切线；
若，，求的长．
22.本小题分
小驰同学热爱数学热爱羽毛球，经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：；若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，且当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为；
求，的值；
小驰同学经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少米？并通过计算判断此时选择吊球的方式能否使球过网；
要使球的落地点到点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
23.本小题分
知抛物线
直接写出抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
抛物线是否过定点？若过，请求出定点坐标，若不过，请说明理由；
若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
24.本小题分
在中，已知，于，，，求的长．
如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：∽；
当时．
如图，求的长．
如图，，为直线上两点在点左侧，在点右侧，在中，，，，设，，请求出，之间的关系式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据比例的基本性质可得出的值．
此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的两个内项之积等两个外项之积是解决问题的关键．
2.【答案】
【解析】解：从正面看，会看到，
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：，
，即，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故选：．
由锐角的正弦定义得到，而，求出，由勾股定理即可求出．
本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由锐角的正弦定义汽车的长，由勾股定理即可求出的长．
5.【答案】
【解析】解：两个相似三角形对应边之比：，
两个相似三角形的相似比为：，
它们的对应中线之比是：，
故选：．
根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，
在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点，
故选：．
因为三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，所以在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心为该三角形的内心，即该三角形三个角的平分线的交点，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的内切圆的定义，正确理解“三角形的内心为该三角形三条角平分线的交点”是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，
该正多边形的边数为：，故D正确．
故选：．
根据正多边形的中心角为计算即可．
本题主要考查正多边形的有关知识，掌握正多边形的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，则过点，
在中，，，
，
，
故选：．
根据矩形的性质可求出，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即进行计算即可．
本题考查勾股定理，矩形的性质以及圆形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及圆形面积的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】
【解析】解：根据题意可知，当时，，
即，解得，
当时，，
即，
，
，
，
，
综上分析，抛物线与线段至少有一个交点，则的取值范围是．
故选：．
根据抛物线与线段至少有一个交点可知时，，当时，，从而可求的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接，如图，
是直径，
，
，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，，
．
故选：．
连接，如图，先根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的性质得到，，再证明∽得到，接着利用等线段代换得到，然后根据正弦和余弦的定义得到，，从而得到．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12.【答案】相切
【解析】解：如图所示：作于．
则，
，
，
，即圆心到直线的距离半径，
直线与相切．
故答案为：相切．
作于，则，由题意得出半径，由，即可得出结论．
此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
13.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，，
，
是直角三角形，且斜边长为，
直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，
的外接圆半径为，
故答案为：．
根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握其性质是解决此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，，为的三条高，易知，，，四点共圆，
∽，
，
即，
，
在中，．
故答案为：．
此题考查了直角三角形的性质和锐角三角函数的性质．
本题是一道根据直角三角形的性质结合角的三角函数求解的综合题，要注意圆的性质应用；要注意数形结合思想的应用．
15.【答案】
【解析】解：由题知，
，
则
．
则当时，
有最大值为：．
故答案为：．
用表示，将转化为的二次代数式即可解决问题．
本题考查二次函数的最值，能将转化为的二次代数式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设正六边形中心为，连接交于，连接、，由正六边形的性质可知，直线为正六边形的对称轴，
，，，，
是等边三角形，
设正六边形边长为，
，，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
作于点，
，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
解得负值舍去，
．
故答案为：．
设正六边形中心为，连接交于，连接、，由正六边形的性质可知，直线为正六边形的对称轴，由正多边形性质可得是等边三角形，设正六边形边长为，由正多边形的性质及勾股定理得，作于点，然后由相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是正多边形与圆、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
17.【答案】解：圆锥的母线长为，
扇形的半径为，
扇形面积为：，
圆锥的侧面积为；
设扇形的半径为，
圆锥底面圆的半径为，
圆锥底面圆的周长为，
扇形弧长为，
则，
解得：，
答：扇形的半径为．
【解析】根据扇形面积公式计算；
根据弧长公式计算．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键．
18.【答案】解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：个，
故盒子中黑球的个数为：个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：；
任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出个，
．
【解析】直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数；
直接利用概率公式的意义分析得出答案；
利用概率公式计算得出符合题意的方法．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
19.【答案】解：根据表中可知：点和点关于对称轴对称，
即对称轴是直线，
设二次函数的表达式是，
把点和点代入得：，
解得：，，
，
所以该二次函数的表达式是；
当时，，
解得：或，
，
抛物算开口向上，
对称轴是直线，
当时，自变量的取值范围是．
【解析】根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是，把点的坐标代入求出即可；
求出时对应的的值，再根据二次函数的性质得出即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
20.【答案】证明：，
∽，
．
解：，
∽，
，
由知，
，
，
，，
，
或舍，
．
【解析】根据三角形相似即可得证；
由得∽，进而可知，由知，从而得出，代入即可求得．
本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
21.【答案】证明：连接交于点，
，
，
垂直平分，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：是的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
的长是．
【解析】连接交于点，由，得，则垂直平分，因为，所以，即可证明是的切线；
由，求得，因为，，所以，则，求得，由，，根据三角形的中位线定理得．
此题重点考查垂径定理、平行线的性质、切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：羽毛球的水平距离为时，飞行高度为，则，
解得，
那么一次函数关系：，当，，则点，
，
解得，
故，；
选择扣球，一次函数：，且，
则，
那么球网的高度为；
选择吊球，二次函数关系：，
那么选择吊球的方式也刚好能使球过网；
选择吊球．理由如下：
令，，
解得，舍去，
，
解得，
，，
，
，，
选择吊球，使球的落地点到点的距离更近．
【解析】根据一次函数解析式和过点解得，再求得点，代入二次函数求得；
选择扣球，利用一次函数求得网高；选择吊球，结合，利用二次函数求得值与网高进行判断即可；
令，分别解得对应函数的水平距离，再与做差比较大小即可知选择吊球，球的落地点到点的距离更近．
本题主要考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式、实数大小比较和函数平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移．
23.【答案】解：抛物线，
抛物线的顶点坐标为；
，
抛物线过定点，；
存在实数，使得恒成立，
，抛物线的顶点坐标为，
抛物线开口向下，
，
如图，当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
当，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
时，，
综上，存在实数，使得恒成立，的取值范围为．
【解析】将抛物线化为顶点式，即可求解；
可知，抛物线过定点，；
由可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线，结合图象求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24.【答案】证明：如图，作，交于，，
，，
，
，
，
，，
∽；
解：如图，作，交于，，
，，
，
，，
，，
，，，
，，
∽，
，
，
，舍去，
即的长为；
在中，，，，
，
，，
，
如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于，
，，，
，，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解；
由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明∽，可得，即可求解；
由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证≌，可得，，通过证明∽，可求，，由勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
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