5.1.2 数列中的递推
【学习目标】
1.了解数列递推公式的概念,知道递推公式是给出数列的一种方法.(数学抽象)
2.能根据数列的递推公式写出数列.(逻辑推理)
3.会应用数列的前n项和公式求数列的通项公式.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.什么是数列的递推公式
【答案】 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式.
2.由数列的递推公式能否写出数列的任意项
【答案】 能.根据数列的首项(或前几项)以及递推关系,可以求出这个数列中的每一项.
3.什么是数列a1,a2,…,an的和
【答案】 把a1+a2+…+an称为数列{an}的前n项和.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法. ( )
(2)所有的数列都有递推公式. ( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1,n∈N+. ( )
(4)若数列{an}的前n项和为Sn,则a1=S1. ( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.数列1,,,,…的递推公式可以是( ).
A.an=(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+)
D.an+1=2an(n∈N+)
【答案】 C
【解析】 由题意可知C选项符合题意,故选C.
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则a2= .
【答案】 3
【解析】 a2=S2-S1=4-1=3.
4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项.
【解析】 由题意得a3=a2+2a1=4,a4=a3+2a2=8,a5=a4+2a3=16,
故该数列的前5项依次为1,2,4,8,16.
【合作探究】
探究1 数列的递推关系
2022年2月12日,冬奥会中国体育代表团开幕式旗手高亭宇以34秒32的成绩打破速度滑冰男子500米项目的奥运纪录,夺得金牌.已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.
问题1:写出前五排的座位数.
【答案】 20,22,24,26,28.
问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系
【答案】 第n+1排比第n排多2个座位.
问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗
【答案】 能,an+1=an+2.
问题4:仅由数列{an}的关系式an+1=an+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗
【答案】 不能.数列的递推公式是由首项和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无首项,那么这个数列是不能确定的.
新知生成
若已知数列的 首项 (或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式 来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
注意:数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
新知运用
一、递推关系
例1 请分别用通项公式法、递推公式法、列表法表示数列2,4,6,8,10,12,….
【解析】 ①通项公式法:an=2n.
②递推公式法:
③列表法:
n 1 2 3 … k …
an 2 4 6 … 2k …
二、根据递推关系求数列中的项
例2 在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),写出数列{an}的前五项.
【解析】 a1=1;a2=a1+=;
a3=a2+=;a4=a3+=;
a5=a4+=.
三、数列的递推公式与通项公式的关系
例3 设数列{an}是首项为1的正项数列,且an+1=an(n∈N+),求数列的通项公式.
【解析】 (法一:归纳猜想法)因为an+1=an,a1=1,所以a2=×1=,a3=×=,a4=×=,…,猜想an=.
(法二:迭代法)因为an+1=an,
所以an=an-1=·an-2=…=··…·a1,从而an=.
(法三:转化法)因为an+1=an,所以=1,
故数列{nan}是常数列,nan=a1=1,所以an=.
四、周期性数列
例4 已知数列{an}满足an+1·(1-an)=1,且a1=-,则a2023=( ).
A.3 B.- C. D.
【答案】 B
【解析】 ∵an+1·(1-an)=1,且a1=-,∴a2=,a3=3,a4=-,…,∴数列{an}的周期T=3,∵2022=674×3,∴a2023=a1=-.
【方法总结】 递推公式一般可以通过观察数列的前n项的变化规律得到,利用递推公式可以求解数列中的其他项.
1.数列1,3,6,10,15,…的一个递推公式是( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 将数列前n项分别代入四个选项验证,可知B选项符合.
2.在数列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8=( ).
A.-2 B.- C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 由a1=1,an·an+1=-2可得,a2=-2,a3=1,a4=-2,所以数列{an}的周期为2,所以a8=-2.
3.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则a503=( ).
A.-1 B. C.+1 D.2
【答案】 A
【解析】 ∵a1=>1,∴a2=a1-1=-1∈(0,1),∴a3==+1>1,∴a4=a3-1=>1,∴a5=a4-1=-1∈(0,1),…,
依此类推,可知数列是周期为3 的周期数列,∴a503=a3×167+2=a2=-1.
探究2 an与Sn的关系及应用
在对数列的研究中,求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
问题:若前n-1项和Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),写出an与Sn和Sn-1的关系.
【答案】 an=Sn-Sn-1(n≥2).
新知生成
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的前n项和公式.
我们有an=
新知运用
例5 已知Sn是数列{an}的前n项和,且log3(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为 .
方法指导 先求Sn,再利用an=求an.
【答案】 an=
【解析】 由log3(Sn+1)=n+1,得Sn+1=3n+1.
当n=1 时,a1=S1=8;
当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2·3n .
所以数列{an}的通项公式为an=
【方法总结】 任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系:an=若a1适合Sn-Sn-1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示.
已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
【解析】 (1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)]
=(-1)n+1·(2n-1).
当n=1时,a1=1也适合上式,
所以an=(-1)n+1·(2n-1).
(2)当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.
当n=1时,a1=6不适合上式,
所以an=
探究3 斐波那契数列
意大利数学家斐波那契在十三世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题:假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子,且从第3个月起每个月都生1对小兔子,兔子均不死亡.由1对新生的小兔子开始,记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}.
问题1:试写出F1,F2,F3,F4,F5,F6.
【答案】 根据题意可知,前2个月内,小兔子都还没有长成大兔子,因此F1=F2=1.
第3个月时,第1个月的那对小兔子会生1对小兔子,因此F3=1+1=2.
第4个月时,第1个月的那对小兔子还会再生1对小兔子,因此F4=2+1=3.
第5个月时,前3个月的兔子会生2对小兔子,因此F5=3+2=5.
第6个月时,前4个月的兔子会生3对小兔子,因此F6=5+3=8.
问题2:当n≥3时,第n个月的兔子对数是多少
【答案】 一般地,当n≥3时,第n个月的兔子对数Fn应该等于第n-1个月的兔子对数Fn-1加上新生的兔子对数,又因为第n-2个月的那对兔子到了第n个月都能生1对兔子,因此有Fn=Fn-1+Fn-2.
新知生成
一般地,若数列{Fn} 满足递推关系则称数列{Fn} 为斐波那契数列.
新知运用
例6 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N+),此数列在很多领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2023项的和为( ).
A.2020 B.1348 C.1349 D.672
方法指导 根据“兔子数列”的特征,先确定数列{an},然后判断该数列是周期为3的周期数列,由此可解得【答案】.
【答案】 C
【解析】 由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数,可得一个新数列{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,∴{an}是周期为3的周期数列,且一个周期中三项的和为1+1+0=2,
∵2023=674×3+1,∴数列{an}的前2023项的和为674×2+1=1349.
“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字常被人们称为“神奇数”,具体数列为1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契”数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S2021=m,则a2023=( ).
A.2m B.m2-1 C.m+1 D.m-1
【答案】 C
【解析】 ∵an+2=an+an+1=an+an-1+an=an+an-1+an-2+an-1=an+an-1+an-2+an-3+an-2=…=an+an-1+an-2+an-3+…+a2+a1+a2=Sn+1,∴a2023=S2021+1=m+1.
【随堂检测】
1.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,通项公式an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),则该数列的第5项为( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】 C
【解析】 ∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),
∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式为( ).
A.an=6n-5
B.an=
C.an=6n+1
D.an=
【答案】 B
【解析】 当n=1时,a1=S1=3-2+1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5. (*)
又当n=1时,不满足(*)式,
∴an=故选B.
3.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,则a100= .
【答案】 5050
【解析】 由(n-1)an=(n+1)an-1,得=,
则a100=a1···…·=1×××…××=5050.
4.斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为 .
【答案】 55
【解析】 根据斐波那契数列的定义知,从第3项起,每一项均为前2项的数字之和,8+13=21,13+21=34,21+34=55,则该数列的第10项为55.
25.1.2 数列中的递推
【学习目标】
1.了解数列递推公式的概念,知道递推公式是给出数列的一种方法.(数学抽象)
2.能根据数列的递推公式写出数列.(逻辑推理)
3.会应用数列的前n项和公式求数列的通项公式.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.什么是数列的递推公式
2.由数列的递推公式能否写出数列的任意项
3.什么是数列a1,a2,…,an的和
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)递推公式是表示数列的一种方法. ( )
(2)所有的数列都有递推公式. ( )
(3)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1,n∈N+. ( )
(4)若数列{an}的前n项和为Sn,则a1=S1. ( )
2.数列1,,,,…的递推公式可以是( ).
A.an=(n∈N+)
B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+)
D.an+1=2an(n∈N+)
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则a2= .
4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项.
【合作探究】
探究1 数列的递推关系
2022年2月12日,冬奥会中国体育代表团开幕式旗手高亭宇以34秒32的成绩打破速度滑冰男子500米项目的奥运纪录,夺得金牌.已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.
问题1:写出前五排的座位数.
问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系
问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗
问题4:仅由数列{an}的关系式an+1=an+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗
新知生成
若已知数列的 首项 (或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式 来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
注意:数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
新知运用
一、递推关系
例1 请分别用通项公式法、递推公式法、列表法表示数列2,4,6,8,10,12,….
二、根据递推关系求数列中的项
例2 在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2,n∈N+),写出数列{an}的前五项.
三、数列的递推公式与通项公式的关系
例3 设数列{an}是首项为1的正项数列,且an+1=an(n∈N+),求数列的通项公式.
四、周期性数列
例4 已知数列{an}满足an+1·(1-an)=1,且a1=-,则a2023=( ).
A.3 B.- C. D.
【方法总结】 递推公式一般可以通过观察数列的前n项的变化规律得到,利用递推公式可以求解数列中的其他项.
1.数列1,3,6,10,15,…的一个递推公式是( ).
A.
B.
C.
D.
2.在数列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8=( ).
A.-2 B.- C.1 D.2
3.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则a503=( ).
A.-1 B. C.+1 D.2
探究2 an与Sn的关系及应用
在对数列的研究中,求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
问题:若前n-1项和Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),写出an与Sn和Sn-1的关系.
新知生成
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的前n项和公式.
我们有an=
新知运用
例5 已知Sn是数列{an}的前n项和,且log3(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为 .
方法指导 先求Sn,再利用an=求an.
【方法总结】 任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系:an=若a1适合Sn-Sn-1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示.
已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
探究3 斐波那契数列
意大利数学家斐波那契在十三世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题:假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子,且从第3个月起每个月都生1对小兔子,兔子均不死亡.由1对新生的小兔子开始,记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}.
问题1:试写出F1,F2,F3,F4,F5,F6.
问题2:当n≥3时,第n个月的兔子对数是多少
新知生成
一般地,若数列{Fn} 满足递推关系则称数列{Fn} 为斐波那契数列.
新知运用
例6 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N+),此数列在很多领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2023项的和为( ).
A.2020 B.1348 C.1349 D.672
方法指导 根据“兔子数列”的特征,先确定数列{an},然后判断该数列是周期为3的周期数列,由此可解得【答案】.
“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的,数列中的一系列数字常被人们称为“神奇数”,具体数列为1,1,2,3,5,8,…,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{an}为“斐波那契”数列,Sn为数列{an}的前n项和,若S2021=m,则a2023=( ).
A.2m B.m2-1 C.m+1 D.m-1
【随堂检测】
1.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,通项公式an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),则该数列的第5项为( ).
A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式为( ).
A.an=6n-5
B.an=
C.an=6n+1
D.an=
3.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N+),且a1=1,则a100= .
4.斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为 .
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