5.2.2 课时2 等差数列前n项和公式的应用
【学习目标】
1.构造等差数列求和模型,解决实际问题.(数学建模、数学运算)
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.等差数列的前n项和是关于n的什么函数 有什么特点
2.我们已经知道当公差d≠0时,等差数列的前n项和可看成是二次函数f(x)=x2+a1-x在x=n时的函数值,类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值 何时有最小值
1.(多选题)等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,则下列结论正确的是( ).
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小
D.当Sn>0时,n的最小值为8
2.若等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则其最小值为 .
3.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,则该数列前 项的和最大.
4.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式.
【合作探究】
探究1 含绝对值的数列的和
例1 (2023·安徽卓越第二次月考)已知数列{an}的前n 项和Sn=n2-14n+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n 项和Tn .
【方法总结】 求解数列{|an|}的前n项和,应先判断数列{an}各项的正负,然后去掉绝对值符号,转化为等差数列的求和问题.
已知数列{an} 是递增的等差数列,且a1+a6=-6,a3·a4=8.
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)求数列{|an|} 的前n 项和Tn .
探究2 等差数列前n项和的最值
例2 (1)在等差数列{an}中,a2=2008,a2008=a2004-16,则当其前n项和Sn取最大值时n的值为( ).
A.503 B.504
C.503或504 D.505
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d<0,S5=S42,则当Sn取得最大值时,n的值为( ).
A.22 B.23
C.24 D.23或24
【方法总结】 1.将Sn=na1+d=n2+n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数的单调性来解决.
2.邻项变号法
当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值.
当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,则当Sn取得最大值时n的值为( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
探究3 等差数列前n项和的实际应用
例3 某人用分期付款的方式购买了一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱 全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱
【方法总结】 应用等差数列解决实际问题的一般思路
已知甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇
【随堂检测】
1.若在等差数列中,a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是( ).
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
2.若在数列{an}中,an=43-3n,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时,n=( ).
A.13 B.14
C.15 D.14或15
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知等差数列{an}满足a1=32,a2+a3=40,则{|an|}的前12项和为 .
5.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20辆同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线
25.2.2 课时2 等差数列前n项和公式的应用
【学习目标】
1.构造等差数列求和模型,解决实际问题.(数学建模、数学运算)
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.等差数列的前n项和是关于n的什么函数 有什么特点
【答案】 当d≠0时,等差数列的前n项和可看成是二次函数f(x)=x2+a1-x在x=n时的函数值,其特点是不含常数项.
2.我们已经知道当公差d≠0时,等差数列的前n项和可看成是二次函数f(x)=x2+a1-x在x=n时的函数值,类比二次函数的最值情况,等差数列的Sn何时有最大值 何时有最小值
【答案】 由二次函数的性质可以得出,当a1<0,d>0时,Sn先减后增,有最小值;当a1>0,d<0时,Sn先增后减,有最大值;且当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取得最值.
1.(多选题)等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,则下列结论正确的是( ).
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小
D.当Sn>0时,n的最小值为8
【答案】 ABD
【解析】 设等差数列{an}的公差为d.
因为a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.
又由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,则a1<0,故A,B正确.
因为Sn=n2+n=n2-n,
所以由n=-=可知,当n=3或4时Sn最小,故C错误.
令Sn=n2-n>0,解得n<0(舍去)或n>7,即当Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.
故选ABD.
2.若等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则其最小值为 .
【答案】 -2
【解析】 由Sn=n2-3n=-,可知当n=1或n=2时,Sn的最小值为-2.
3.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,则该数列前 项的和最大.
【答案】 10或11
【解析】 令an≥0得-n2+10n+11≥0,
即n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.
∵n∈N+,∴该数列前10项为正,第11项为0.
∴该数列前10或11项的和最大.
4.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式.
【解析】 当n=1时,a1=S1=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.
经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5(n∈N+).
【合作探究】
探究1 含绝对值的数列的和
例1 (2023·安徽卓越第二次月考)已知数列{an}的前n 项和Sn=n2-14n+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n 项和Tn .
【解析】 (1)当n=1 时,S1=1-14+2=-11,即a1=-11;
当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-14n+2-[(n-1)2-14(n-1)+2]=2n-15.
当n=1 时,a1=-13,不适合上式,
所以an=
(2)由an≤0 得n≤,而n∈N+,所以当1≤n≤7 时,an<0;当n≥8 时,an>0.
当1≤n≤7 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+14n-2;
当n≥8 时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a7|+|a8|+…+|an|=-(a1+a2+…+a7)+a8+…+an=-S7+(Sn-S7) =Sn-2S7 =n2-14n+96.
所以Tn=
【方法总结】 求解数列{|an|}的前n项和,应先判断数列{an}各项的正负,然后去掉绝对值符号,转化为等差数列的求和问题.
已知数列{an} 是递增的等差数列,且a1+a6=-6,a3·a4=8.
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)求数列{|an|} 的前n 项和Tn .
【解析】 (1)设递增的等差数列{an} 的公差为d,则d>0,
因为a1+a6=-6,a3·a4=8,
所以
解得或(舍去)
所以an=-8+2(n-1)=2n-10.
(2)设Sn=a1+a2+…+an,则Sn==n2-9n.
由an≤0,得2n-10≤0,解得n≤5.
当1≤n≤5,n∈N+ 时,Tn=-a1-a2-…-an=-Sn=9n-n2;
当n≥6,n∈N+ 时,Tn=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an
=-2(a1+a2+…+a5)+a1+a2+…+a5+a6+a7+…+an
=-2S5+Sn=-2×(52-5×9)+n2-9n=n2-9n+40.
故Tn=
探究2 等差数列前n项和的最值
例2 (1)在等差数列{an}中,a2=2008,a2008=a2004-16,则当其前n项和Sn取最大值时n的值为( ).
A.503 B.504
C.503或504 D.505
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d<0,S5=S42,则当Sn取得最大值时,n的值为( ).
A.22 B.23
C.24 D.23或24
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)由于数列{an}为等差数列,所以解得故an=-4n+2016,当an≥0时,解得n≤504,故当n=503或504时,Sn取得最大值.故选C.
(2)设Sn=An2+Bn,则A=<0,又S5=S42,所以函数y=Ax2+Bx图象的对称轴为直线x=-,即-==,画出二次函数y=Ax2+Bx的图象可得当n=23或n=24时,Sn取得最大值.
【方法总结】 1.将Sn=na1+d=n2+n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数的单调性来解决.
2.邻项变号法
当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值.
当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,则当Sn取得最大值时n的值为( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】 D
【解析】 由题意,等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,
根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式,
可得a6+a8=2a7=6,S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3,
解得a7=3,a8=1,
则d=a8-a7=-2,
可求得数列的通项公式为an=17-2n,
令an≥0,即17-2n≥0,解得n≤.
又由n∈N+,可得等差数列{an}中,当1≤n≤8,n∈N+时,an>0,当n≥9,n∈N+时,an<0,
所以Sn取得最大值时n的值为8,故选D.
探究3 等差数列前n项和的实际应用
例3 某人用分期付款的方式购买了一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱 全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱
【解析】 设每次交款数额依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1000×1%=60,
a2=50+(1000-50)×1%=59.5,
…
a10=50+(1000-9×50)×1%=55.5,
即第10个月应付款55.5元.
所以数列{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,
所以S20=×20=1105,
即全部付清后实际付款1105+150=1255(元).
【方法总结】 应用等差数列解决实际问题的一般思路
已知甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇
【解析】 (1)设n分钟后相遇,依题意,有2n++5n=70,
整理得n2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去).
故相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇,依题意,有2n++5n=3×70,
整理得n2+13n-420=0,解得n=15或n=-28(舍去).
故第2次相遇是在开始运动后15分钟.
【随堂检测】
1.若在等差数列中,a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是( ).
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
【答案】 D
【解析】 因为数列{an}是等差数列,所以a4+a10=2a7,
由a4+a10<0,得a7<0,又a8>0,
所以等差数列{an}的公差d>0,即等差数列{an}是递增数列,且前7项均是负数,
所以前n项和Sn中最小的是S7.
2.若在数列{an}中,an=43-3n,则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时,n=( ).
A.13 B.14
C.15 D.14或15
【答案】 B
【解析】 当n≥2,n∈N+时,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,所以数列{an}是以40为首项,-3为公差的等差数列,故Sn==-n2+n=-n-2+,当n=14时,Sn取得最大值.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 C
【解析】 因为S4=2(a2+a3)≥10,所以a2+a3≥5.又S5=5a3≤15,所以a3≤3.而a4=3a3-(a2+a3),故a4≤4,当且仅当a2=2,a3=3时等号成立,所以a4的最大值为4.故选C.
4.已知等差数列{an}满足a1=32,a2+a3=40,则{|an|}的前12项和为 .
【答案】 304
【解析】 因为a1=32,a2+a3=2a1+3d=64+3d=40,所以d=-8,所以an=a1+(n-1)d=40-8n,所以|an|=|40-8n|=所以数列{|an|}的前12项和为+=80+224=304.
5.某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20辆同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线
【解析】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.
由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.
25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.
2
