5.3.1 课时1 等比数列的定义及通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等比数列的定义,掌握公比的概念,熟练掌握等比数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握等比数列的通项公式及其应用,能用递推公式求通项公式.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.阅读教材第29页3个案例中的数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
2.等比数列的定义是什么
3.等比数列的公比q能否为零
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,则数列{an}是等比数列. ( )
(2)在等比数列{an}中,an=a1qn,n∈N+. ( )
(3)常数列一定是等比数列. ( )
(4)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列. ( )
2.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为( ).
A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1
C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1
3.下列数列为等比数列的是( ).
A.2,22,3×22,… B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,… D.0,0,0,…
4.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q= .
【合作探究】
探究1 等比数列的定义
(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何 ”
(2)《算学宝鉴》中有这样一个问题:“一文(钱)日增一倍,倍至三十日,问计几何 ”
(3)“诸葛统兵”问题:“诸葛统领八员将,每将又分八个营.每营里面排八阵,每阵先锋有八人.每人旗头俱八个,每个旗头八队成.每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”
问题1:分别写出这三个问题所涉及的数组.
问题2:观察这三个问题,你能发现它们的共同特点吗
新知生成
一般地,如果数列{an}从第 2 项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即 =q 恒成立,则称数列{an}为等比数列,其中 q 称为等比数列的公比.
新知运用
例1 判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
【方法总结】 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参数的数列则需要分类讨论.
(多选题)下列各组数中,不是等比数列的是( ).
A.,, B.2,-2,4
C.a2,a4,a8 D.lg 2,lg 4,lg 8
探究2 等比数列的通项公式
问题1:类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式
问题2:在数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是什么
新知生成
1.若数列{an}是等比数列,则其通项公式为an=a1qn-1或an=amqn-m(m,n∈N+,m≤n,q≠0).当n-m为大于1的奇数时,q用an,am表示为q=;当n-m为正偶数时,q=±.
2.an=a1qn-1可变形为an=Aqn,其中A=;点(n,an)是曲线y=·qx上一群孤立的点.
(1)当q>1,a1>0或0
(2)当q>1,a1<0或00时,数列{an}是递减数列.
(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列.
新知运用
一、等比数列基本量的求解
例2 在等比数列{an}中,
(1)若a4=2,a7=8,求an;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
方法指导 (1)根据等比数列的通项公式列出方程组,求得a1和q,从而求出an;(2)根据等比数列的通项公式列出方程组,求得a1和q,再根据an=1确定n的值.
【方法总结】 由等比数列的第m项与第n项的关系可求出公比q的值,进而求出首项a1及数列{an}的通项公式.
二、等比数列的单调性
例3 设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【方法总结】 等比数列的单调性由首项a1的正负与公比q的范围两个共同决定,注意当q=1和q<0时,等比数列不具有单调性.
1.(1)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .
(2)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和为21,则该数列的通项公式为an= .
(2)由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=4n-1.
2.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( ).
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
探究3 等比中项
关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,因此各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23,…,263.
问题1:观察上面这个数列,这个数列的任意连续三项之间有什么样的关系
问题2:我们知道,任意两个实数都有等差中项,那么,对任意两个不为零的数,是否一定都有等比中项 若有,是否唯一
新知生成
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,且G2=ab或G=±.
新知运用
例4 (1)2与8的等比中项为 ;
(2)-9和-4的等比中项为 .
【方法总结】 (1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,a,b异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
若1,a,5成等差数列,1,b,9成等比数列,则a+b= .
探究4 等比数列的判定与证明
问题1:利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
问题2:在数列{an}中,若an+1=2an,则数列{an}是等比数列吗
问题3:若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1,q为非零常数,n∈N+).反之,能说明数列{an}是等比数列吗
问题4:如何证明数列{an+1}是等比数列
新知生成
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N+,q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列.
(4)构造法:在条件中出现an+1=kan+b关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
新知运用
例5 (2023·安徽卓越第二次月考)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1(n≥2).
(1)若bn=an-2,求证:数列{bn}为等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【方法总结】 判断一个数列{an}是等比数列的方法:(1)定义法:若 =q(q为常数且不为零)或 =q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列;(2)等比中项法:若=an·an+2,且an≠0,则数列{an}是等比数列;(3)通项公式法:若an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列;(4)构造法.
在数列{an}中,a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N+).
(1)求证:数列{an-1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【随堂检测】
1.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为( ).
A.16 B.27 C.36 D.81
2.若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是( ).
A.405 B.-405 C.135 D.-135
3.一个直角三角形的三边长成等比数列,则较小锐角的正弦值是 .
4.已知数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).
(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
25.3.1 课时1 等比数列的定义及通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等比数列的定义,掌握公比的概念,熟练掌握等比数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握等比数列的通项公式及其应用,能用递推公式求通项公式.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.阅读教材第29页3个案例中的数列,类比等差数列的研究,你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
【答案】 通过除法运算发现:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一常数.
2.等比数列的定义是什么
【答案】 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个不为0的常数,那么这个数列就叫作等比数列.
3.等比数列的公比q能否为零
【答案】 不能.根据等比数列的定义,公比为每一项与前一项的比,即=q,若q=0,则an=0,所以数列中每一项都为零,所以an-1=0,这样比值无意义,所以q≠0.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,则数列{an}是等比数列. ( )
(2)在等比数列{an}中,an=a1qn,n∈N+. ( )
(3)常数列一定是等比数列. ( )
(4)存在一个数列既是等差数列,又是等比数列. ( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为( ).
A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1
C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1
【答案】 C
【解析】 由已知可得a1=2,q=3,
则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1.
3.下列数列为等比数列的是( ).
A.2,22,3×22,… B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,… D.0,0,0,…
【答案】 B
【解析】 结合等比数列的定义可知选项B正确.
4.已知数列{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q= .
【答案】
【解析】 ∵a2=a1q=2, ①
a5=a1q4=, ②
∴②÷①得q3=,∴q=.
【合作探究】
探究1 等比数列的定义
(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题:“今有出门,望见九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九毛,毛有九色,问各几何 ”
(2)《算学宝鉴》中有这样一个问题:“一文(钱)日增一倍,倍至三十日,问计几何 ”
(3)“诸葛统兵”问题:“诸葛统领八员将,每将又分八个营.每营里面排八阵,每阵先锋有八人.每人旗头俱八个,每个旗头八队成.每队更该八个甲,每个甲头八个兵.”
问题1:分别写出这三个问题所涉及的数组.
【答案】 (1)9,92,93,94,95,96,97,98.
(2)2,22,23,…,230.
(3)8,82,83,84,85,86,87,88.
问题2:观察这三个问题,你能发现它们的共同特点吗
【答案】 对于数列(1),从第2项起,每一项与前一项的比都等于9;对于数列(2),从第2项起,每一项与前一项的比都等于2;对于数列(3),从第2项起,每一项与前一项的比都等于8.
也就是说,这些数列有一个共同的特点:从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数.
新知生成
一般地,如果数列{an}从第 2 项起,每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q,即 =q 恒成立,则称数列{an}为等比数列,其中 q 称为等比数列的公比.
新知运用
例1 判断下列数列是否是等比数列,如果是,写出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
【解析】 (1)不是等比数列;(2)是等比数列,且公比为1;(3)是等比数列,且公比为;(4)不是等比数列;(5)是等比数列,且公比为-4.
【方法总结】 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,对于含参数的数列则需要分类讨论.
(多选题)下列各组数中,不是等比数列的是( ).
A.,, B.2,-2,4
C.a2,a4,a8 D.lg 2,lg 4,lg 8
【答案】 ACD
【解析】 对于A选项,,,不是等比数列.
对于B选项,2,-2,4是公比为-的等比数列.
对于C选项,a2,a4,a8,当a=0时,是等差数列;当a=1时,既是等差数列,又是等比数列;当a≠0,1时,既不是等差数列,也不是等比数列.
对于D选项,lg 2,lg 4,lg 8,即lg 2,2lg 2,3lg 2,是公差为lg 2的等差数列.
探究2 等比数列的通项公式
问题1:类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式
【答案】 (1)累乘法:
设在等比数列{an}中,=q(n∈N+,n≥2,q为非零常数),则=q,=q,…,=q,
将以上这(n-1)个等式相乘,得··…·=qn-1,
整理得an=a1qn-1,
当n=1时,上面的式子也成立,
所以等比数列的通项公式为an=a1qn-1.
(2)归纳法:
若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则据其定义可得,
a2÷a1=q,即a2=a1·q,
a3÷a2=q,即a3=a2·q=a1·q2,
a4÷a3=q,即a4=a3·q=a1·q3,
…,
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.
问题2:在数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是什么
【答案】 当n≥2时,an=···…···a1=···…·××1=,
显然当n=1时,a1=1也满足上式,
∴an=,n∈N+.
新知生成
1.若数列{an}是等比数列,则其通项公式为an=a1qn-1或an=amqn-m(m,n∈N+,m≤n,q≠0).当n-m为大于1的奇数时,q用an,am表示为q=;当n-m为正偶数时,q=±.
2.an=a1qn-1可变形为an=Aqn,其中A=;点(n,an)是曲线y=·qx上一群孤立的点.
(1)当q>1,a1>0或0(2)当q>1,a1<0或00时,数列{an}是递减数列.
(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列.
新知运用
一、等比数列基本量的求解
例2 在等比数列{an}中,
(1)若a4=2,a7=8,求an;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
方法指导 (1)根据等比数列的通项公式列出方程组,求得a1和q,从而求出an;(2)根据等比数列的通项公式列出方程组,求得a1和q,再根据an=1确定n的值.
【解析】 (1)因为所以
由得q3=4,从而q=,
而a1q3=2,于是a1==,
所以an=a1qn-1=.
(2)因为
所以由得q=,从而a1=32.
又an=1,所以32×=1,
所以n=6.
【方法总结】 由等比数列的第m项与第n项的关系可求出公比q的值,进而求出首项a1及数列{an}的通项公式.
二、等比数列的单调性
例3 设{an}是等比数列,则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,则由a10,解得或此时数列{an}不一定是递增数列;
若数列{an}是递增数列,必得a1所以“a1【方法总结】 等比数列的单调性由首项a1的正负与公比q的范围两个共同决定,注意当q=1和q<0时,等比数列不具有单调性.
1.(1)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 .
(2)在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之和为21,则该数列的通项公式为an= .
【答案】 (1)4 (2)4n-1
【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),由a8=a6+2a4,得a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(负值舍去).又a2=1,所以a6=a2q4=4.
(2)由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=4n-1.
2.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( ).
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立;
当“数列{an}是递增数列”时,可能是a1<0,0所以“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.
探究3 等比中项
关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,因此各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23,…,263.
问题1:观察上面这个数列,这个数列的任意连续三项之间有什么样的关系
【答案】 前一项与后一项的积是中间项的平方.
问题2:我们知道,任意两个实数都有等差中项,那么,对任意两个不为零的数,是否一定都有等比中项 若有,是否唯一
【答案】 不一定,只有当两个数同号,即两个数之积大于零时,这两个数才有等比中项且有两个等比中项,它们互为相反数.
新知生成
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫作a与b的等比中项,且G2=ab或G=±.
新知运用
例4 (1)2与8的等比中项为 ;
(2)-9和-4的等比中项为 .
【答案】 (1)±4 (2)±6
【解析】 (1)由题意得,2与8的等比中项为±=±4.
(2)-9和-4的等比中项为±=±6.
【方法总结】 (1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,a,b异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
若1,a,5成等差数列,1,b,9成等比数列,则a+b= .
【答案】 0或6
【解析】 因为1,a,5成等差数列,1,b,9成等比数列,
所以a==3,b=±=±3,
所以a+b的值为0或6.
探究4 等比数列的判定与证明
问题1:利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
【答案】 关键是能够证明(n∈N+)是一个非零常数.
问题2:在数列{an}中,若an+1=2an,则数列{an}是等比数列吗
【答案】 不一定.当an≠0时,数列{an}是等比数列;当an=0时,数列{an}不是等比数列.
问题3:若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1,q为非零常数,n∈N+).反之,能说明数列{an}是等比数列吗
【答案】 能.根据等比数列的定义可以判断.
问题4:如何证明数列{an+1}是等比数列
【答案】 证明=q(q≠0)即可.
新知生成
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N+,q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列.
(4)构造法:在条件中出现an+1=kan+b关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可.
新知运用
例5 (2023·安徽卓越第二次月考)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+1(n≥2).
(1)若bn=an-2,求证:数列{bn}为等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】 (1)因为a1=1,an=an-1+1(n≥2),所以an-2=(an-1-2)(n≥2),即bn=bn-1(n≥2),
所以数列{bn}是首项为a1-2=-1,公比为的等比数列.
(2)由(1)得bn=-,所以an-2=-,即an=2-.
【方法总结】 判断一个数列{an}是等比数列的方法:(1)定义法:若 =q(q为常数且不为零)或 =q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列;(2)等比中项法:若=an·an+2,且an≠0,则数列{an}是等比数列;(3)通项公式法:若an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列;(4)构造法.
在数列{an}中,a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N+).
(1)求证:数列{an-1}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】 (1)因为a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N+),
所以an-1=4(an-1-1)(n≥2,n∈N+),
所以数列{an-1}是首项为a1-1=1,公比为4 的等比数列.
(2)由(1)得an-1=1×4n-1,所以an=4n-1+1.
【随堂检测】
1.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为( ).
A.16 B.27 C.36 D.81
【答案】 B
【解析】 由已知得a1+a2=1,a3+a4=9,∴q2=9,
∴q=3或q=-3(舍去),∴a4+a5=(a3+a4)q=27.
2.若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是( ).
A.405 B.-405 C.135 D.-135
【答案】 A
【解析】 ∵a5=a1q4,而a1=5,q==-3,
∴a5=405.
3.一个直角三角形的三边长成等比数列,则较小锐角的正弦值是 .
【答案】
【解析】 设三边长分别为a,aq,aq2 (q>1),
则(aq2)2=(aq)2+a2,∴q2=(负值舍去),
记较小的锐角为θ,则sin θ===.
4.已知数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).
(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解析】 (1)a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
=
==3(n=1,2,3,…).
又∵a1-1=-2,∴an-n=(-2)·3n-1(n∈N+),故数列{an-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)知an-n=(-2)·3n-1,∴an=n-2·3n-1(n∈N+).
2