5.3.2 课时1 等比数列的前n项和公式、性质及应用
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式与应用.(逻辑推理、数学运算)
2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.公比为1的等比数列的前n项和Sn如何计算
2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn
3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n项和要注意什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. ( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. ( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列. ( )
2.在等比数列{an}中,a1=1,q=2,则S5= .
3.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,则从今年起5年内,该厂的总产值为 .
【合作探究】
探究1 等比数列前n项和公式
问题1:等比数列前n项和公式的推导除了教材中用的错位相减法,还有其他的方法吗
问题2:类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数,如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
新知生成
等比数列的前n项和
已知量 首项a1、公比 q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an 与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q=1
求和公式 Sn= Sn= Sn=na1
新知运用
例1 在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
【方法总结】 1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.
(1)若an=2n,求S6;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
探究2 等比数列前n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
问题1:当q≠1时,从函数的角度分析Sn关于n的【解析】式对应的函数模型是什么
问题2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
问题3:Sm,Sn,Sm+n之间有什么等量关系 利用等比数列求和公式进行推导.
问题4:S奇,S偶分别是多少 两者之间具有什么关系 对n进行分类讨论.
新知生成
1.若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),则数列{an}是等比数列.
2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成等比数列,且公比为 qn .
3.若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qnSm.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则当等比数列的项数为偶数时,=q;当等比数列的项数为奇数时,=q.
新知运用
例2 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3= ;
(2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= .
方法指导 (1)根据等比数列前n项和的性质,利用等差中项的性质建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值;(2)根据奇、偶数项之和与奇、偶数项之比建立方程组,利用q=即可求得公比q的值.
【方法总结】 熟练掌握等比数列前n项和的性质是解题的关键,且有助于减少运算量.
例3 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.
【方法总结】 (1)已知Sn,可通过an=求an的通项公式,注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( ).
A.2 B. C. D.3
2.若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k等于 .
【随堂检测】
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ).
A. B.- C. D.-
2.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( ).
A.31 B.33 C.35 D.37
3.已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和.若a2·a4=16,S3=7,则a8= .
4.已知Sn 为数列{an}的前n项和,Sn+2=2an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=求数列{bn}的前12项和.
25.3.2 课时1 等比数列的前n项和公式、性质及应用
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式与应用.(逻辑推理、数学运算)
2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.公比为1的等比数列的前n项和Sn如何计算
【答案】 当q=1时,a1=a2=…=an,
所以Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.
2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn
【答案】 利用公式Sn=计算.
3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n项和要注意什么
【答案】 若等比数列的公比为字母,应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1,分情况选取合适的公式来解答.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. ( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. ( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列. ( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2.在等比数列{an}中,a1=1,q=2,则S5= .
【答案】 31
【解析】 S5===31.
3.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,则从今年起5年内,该厂的总产值为 .
【答案】 11a(1.15-1)
【解析】 去年产值为a,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1).
【合作探究】
探究1 等比数列前n项和公式
问题1:等比数列前n项和公式的推导除了教材中用的错位相减法,还有其他的方法吗
【答案】 有.当q=1时,Sn=na1.当q≠1时,根据等比数列的定义,可知===…==q,
所以a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q,即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,
所以=q,即=q,
所以Sn=.
把an=a1qn-1代入Sn=,可得Sn=.
问题2:类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数,如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
【答案】 当q≠1时,Sn==-qn+,即等比数列{an}的前n项和可以写成Sn=Aqn-A(q≠1,q≠0,A≠0)的形式,所以可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数.
新知生成
等比数列的前n项和
已知量 首项a1、公比 q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an 与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q=1
求和公式 Sn= Sn= Sn=na1
新知运用
例1 在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
【解析】 (1)由题意知解得或
所以Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)(法一)由题意知解得所以S5==.
(法二)由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,所以q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,所以S5==.
(3)因为a2an-1=a1an=128,a1+an=66,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根.
得或
又Sn==126,所以q=2或q=.
【方法总结】 1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.
在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比.
(1)若an=2n,求S6;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
【解析】 设数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)∵an=2n=2×2n-1,∴a1=2,q=2.
∴S6==126.
(2)(法一)由Sn=,an=a1qn-1及已知条件,得
解得
(法二)由公式Sn=及已知条件,
得189=,解得a1=3.
又由an=a1qn-1,
得96=3×2n-1,解得n=6.
探究2 等比数列前n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
问题1:当q≠1时,从函数的角度分析Sn关于n的【解析】式对应的函数模型是什么
【答案】 若q≠1,则Sn==qn-=Aqn-A,其中A=.
故等比数列Sn关于n的【解析】式对应的函数模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
问题2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
【答案】 当q=-1时,例如an=(-1)n,当k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k都等于零,不能构成等比数列.
当q≠-1时,Sn≠0,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k构成等比数列,
因为S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk,
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k,
所以==qk,所以Sk,S2k-Sk,S3k-S2k构成等比数列.
问题3:Sm,Sn,Sm+n之间有什么等量关系 利用等比数列求和公式进行推导.
【答案】 当公比q=1时,有Sn=na1,Sm=ma1,Sm+n=(m+n)a1,所以Sn+qnSm=na1+1n·m=(m+n)·a1,所以Sm+n=Sn+qnSm;当公比q≠1时,有Sn=(1-qn),Sm=(1-qm),Sm+n=(1-qn+m),所以Sn+qnSm=(1-qn)+qn·(1-qm)=(1-qn+qn-qm+n)=·(1-qn+m),所以Sm+n=Sn+qnSm.
综上可得,Sm+n=Sn+qnSm.
问题4:S奇,S偶分别是多少 两者之间具有什么关系 对n进行分类讨论.
【答案】 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n(n∈N+).若项数为2n(n∈N+),则===q;若项数为2n+1(n∈N+),则===q.
新知生成
1.若数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),则数列{an}是等比数列.
2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0),则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成等比数列,且公比为 qn .
3.若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qnSm.若等比数列{an}的前n项和为Sn,则当等比数列的项数为偶数时,=q;当等比数列的项数为奇数时,=q.
新知运用
例2 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S6∶S3=1∶2,则S9∶S3= ;
(2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= .
方法指导 (1)根据等比数列前n项和的性质,利用等差中项的性质建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值;(2)根据奇、偶数项之和与奇、偶数项之比建立方程组,利用q=即可求得公比q的值.
【答案】 (1)3∶4 (2)2
【解析】 (1)由等比数列的性质得S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),不妨令S3=2,则S6=1,代入解得S9=,故S9∶S3=3∶4.
(2)由题意知
解得
故公比q===2.
【方法总结】 熟练掌握等比数列前n项和的性质是解题的关键,且有助于减少运算量.
例3 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.
【解析】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1.
当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.
∴an=
(法一)易知a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列.
(法二)当等比数列{bn}的公比q≠1时,其前n项和Sn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,1≠-2,故{an}不是等比数列.
【方法总结】 (1)已知Sn,可通过an=求an的通项公式,注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( ).
A.2 B. C. D.3
【答案】 B
【解析】 设公比为q(q≠0),由题意知q≠-1,根据等比数列前n项和的性质,得==1+q3=3,解得q3=2.于是===.
2.若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-3k,则实数k等于 .
【答案】 1
【解析】 ∵Sn=3n+1-3k=3×3n-3k,∴3=3k,即k=1.
【随堂检测】
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ).
A. B.- C. D.-
【答案】 C
【解析】 由题知公比q≠1,则S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,则a1=,故选C.
2.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( ).
A.31 B.33 C.35 D.37
【答案】 B
【解析】 根据等比数列的性质得=q5,
∴=25,∴S10=33.
3.已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和.若a2·a4=16,S3=7,则a8= .
【答案】 128
【解析】 ∵a2·a4==16,
∴a3=4或a3=-4(舍去).
∵a3=a1q2=4,S3=7,∴q≠1,
∴S2===3,
∴3q2-4q-4=0,解得q=-(舍去)或q=2.
∴a1=1,∴a8=27=128.
4.已知Sn 为数列{an}的前n项和,Sn+2=2an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=求数列{bn}的前12项和.
【解析】 (1)因为Sn+2=2an,
所以当n=1 时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,
当n≥2 时,Sn+2=2an,Sn-1+2=2an-1,所以an=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以数列{an}是首项为a1=2,公比为2的等比数列,
所以数列{an}的通项公式为an=2n .
(2)由(1)知an=2n,所以bn=
记数列{bn}的前12项和为T12,
所以T12=(21+23+25+27+29+211)+(2+4+6+8+10+12)=+ =+42=2772.
2
