5.4 数列的应用
【学习目标】
1.正确理解分期还款的两种计算方式.(数据分析)
2.掌握政府支出的“乘数”效应的相关知识.(数学抽象、逻辑推理)
3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题.(数学运算)
4.借助数列的递推关系解决数列问题.(数学运算、数学建模)
【自主预习】
我国现代都市人的消费观念正在改变——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生,许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活,贷款购物,分期付款已深入我们生活,在当前的市场环境中,分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段,为迎合消费心理,商家各尽其能,但面对商家和银行提供的各种分期还款服务,究竟选择什么样的方式好呢
阅读教材并结合上述情境回答下列问题:
1.什么是“等额本金还款法”
2.什么是“等额本息还款法”
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“等额本金还款法”中,每一期还款数构成一个等差数列. ( )
(2)“等额本息还款法”中,每一期还款数构成一个等比数列. ( )
(3)如果政府的支出增加,那么经济就会产生“乘数”效应. ( )
2.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后成本为a,则现在的成本是( ).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
3.自主创业的大学生张华向银行贷款200000元作为创业资金,贷款的年利率为5%,若他按照“等额本金还款法”分10年进行还款,则其第二年应还 元;若他按照“等额本息还款法”分10年进行还款,则其每年还款约 元.(1.0510≈1.62889)
4.今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革,大胆创新,以后每年投入的资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金 万元.
【合作探究】
探究1 等差、等比数列的应用
我校今年招生1000名高一新生,为扩大办学规模,从今年开始的五年内,计划每年比上一年多招生100名,则这5年中我校总共招收多少名学生
问题1:这是函数模型吗
问题2:这个函数的定义域是什么
问题3:如何解决这个问题
新知生成
解决数列应用题的思路和方法
(1)认真审题准确理解题意,明确问题是属于等差数列问题还是等比数列问题,要确定a1与项数n的实际意义,同时要搞清是求an还是求Sn.
(2)抓住题目中的主要数量关系,联想数学知识和方法,恰当引入参数变量,将文字语言转化为数学语言,将数量关系用数学式子表达出来.
(3)将已知和所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.
新知运用
例1 一航模小组进行飞机模型实验,飞机模型在第一分钟时间里上升了15米.
(1)若通过动力控制系统,使得飞机模型在以后的每一分钟里,上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米,达到最大高度后保持飞行,问飞机模型上升的最大高度是多少
(2)若通过动力控制系统,使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%,那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗 请说明理由.
【方法总结】 利用等差、等比数列解决实际问题的一般步骤:(1)阅读题目,确定数列类型;(2)寻找已知量;(3)确定未知量;(4)利用等差、等比数列的相关公式建立等式求解.
张先生在2018年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车,为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召,买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明:轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳,林木每生长1立方米,平均可吸收1.8吨二氧化碳.
(1)若张先生第一年(即2019年)会用车1.2万公里,以后逐年増加1000公里,则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨
(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米,以后每年以10%的生长速度递增,问林木至少生长多少年,吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量 (参考数据:1.114≈3.7975,1.115≈4.1772,1.116≈4.5950)
探究2 分期还款中的数列问题
一对夫妇为5年后能够购买一辆车,准备每年到银行去存一笔等额的钱.假设银行储蓄年利率为5%,按复利计算,为了使本利和共有10万元,请你算一算他们每年约需存多少钱 (精确到1元)
问题1:利用什么模型可以解决这个问题
问题2:请你解决这个问题.
新知生成
分期还款与数列
(1)等额本金还款法:将本金平均分配到每一期进行偿还,每期还款金额=+(贷款本金-已还本金总额)×利率.
(2)等额本息还款法:将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.每期还款金额=,其中A0为贷款时的资金,r为银行贷款月利率,m为还款总期数(单位:月).
新知运用
例2 某企业进行技术改造,有两种方案:
甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获得利润1万元,以后每年比上年增加30%的利润;
乙方案:每年贷款1万元,第一年可获得利润1万元,以后每年比前一年多获利5000元.
两种方案的期限都是10年,到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息10%计算,试比较两个方案哪个获得纯利润更多 (计算精确到千元,参考数据:1.110≈2.594,1.310≈13.786)
【方法总结】 解决数列的实际应用问题,关键是读懂题意,从实际问题中提炼出问题的实质,转化为数学问题解决.价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模,从而归纳转化为数列问题去解决.
小华准备购买一部售价为5000元的手机,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,估计小华每期的付款金额.(参考数据:1.0082≈1.016,1.00812≈1.100)
【随堂检测】
1.某空调制造厂用若干台效率相同的机械组装空调,若所用机械同时开动,则需24 小时完成一项任务;若一台接一台地开动,每相邻两台启动时间间隔都相同,则到完成该项任务时,第一台的工作时间是最后一台的7倍,则最后一台机械工作的时间是( ).
A.2小时 B.4小时 C.6小时 D.8小时
2.私家车具有申请报废制度.若一车主购买车辆时花费15万,每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元,每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列,第一年维修费为3000元,则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是第( )年.
A.6 B.8 C.9 D.10
3.某市在2023年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:
(1)该市在2030年应该投入多少辆电力型公交车
(2)到哪一年年底,该市电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 (lg 657≈2.82,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
25.4 数列的应用
【学习目标】
1.正确理解分期还款的两种计算方式.(数据分析)
2.掌握政府支出的“乘数”效应的相关知识.(数学抽象、逻辑推理)
3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题.(数学运算)
4.借助数列的递推关系解决数列问题.(数学运算、数学建模)
【自主预习】
我国现代都市人的消费观念正在改变——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生,许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活,贷款购物,分期付款已深入我们生活,在当前的市场环境中,分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段,为迎合消费心理,商家各尽其能,但面对商家和银行提供的各种分期还款服务,究竟选择什么样的方式好呢
阅读教材并结合上述情境回答下列问题:
1.什么是“等额本金还款法”
【答案】 将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.
2.什么是“等额本息还款法”
【答案】 将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“等额本金还款法”中,每一期还款数构成一个等差数列. ( )
(2)“等额本息还款法”中,每一期还款数构成一个等比数列. ( )
(3)如果政府的支出增加,那么经济就会产生“乘数”效应. ( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
2.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后成本为a,则现在的成本是( ).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
【答案】 C
【解析】 设现在的成本为x,则x(1-q%)3=a,故x=.
3.自主创业的大学生张华向银行贷款200000元作为创业资金,贷款的年利率为5%,若他按照“等额本金还款法”分10年进行还款,则其第二年应还 元;若他按照“等额本息还款法”分10年进行还款,则其每年还款约 元.(1.0510≈1.62889)
【答案】 29000 25901
【解析】 若采用“等额本金还款法”,则第二年应还20000+(200000-20000)×5%=29000(元).若采用“等额本息还款法”,则每年应还≈25901(元).
4.今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革,大胆创新,以后每年投入的资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金 万元.
【答案】 (1.37-1)
【解析】 设第n年投入资金an万元,由题意可知an+1=an(1+30%)=1.3an.
∴{an}为首项a1=500,公比为1.3的等比数列,
∴7年后该公司共投入资金S7==(1.37-1).
【合作探究】
探究1 等差、等比数列的应用
我校今年招生1000名高一新生,为扩大办学规模,从今年开始的五年内,计划每年比上一年多招生100名,则这5年中我校总共招收多少名学生
问题1:这是函数模型吗
【答案】 是特殊的函数模型.
问题2:这个函数的定义域是什么
【答案】 其定义域是{1,2,3,4,5}.
问题3:如何解决这个问题
【答案】 建立等差数列模型.
根据题意,学校每年的招生人数为等差数列{an},a1=1000,d=100,n=5,
所以这5年中我校总共招收S5=1000×5+×100=6000名学生.
新知生成
解决数列应用题的思路和方法
(1)认真审题准确理解题意,明确问题是属于等差数列问题还是等比数列问题,要确定a1与项数n的实际意义,同时要搞清是求an还是求Sn.
(2)抓住题目中的主要数量关系,联想数学知识和方法,恰当引入参数变量,将文字语言转化为数学语言,将数量关系用数学式子表达出来.
(3)将已知和所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.
新知运用
例1 一航模小组进行飞机模型实验,飞机模型在第一分钟时间里上升了15米.
(1)若通过动力控制系统,使得飞机模型在以后的每一分钟里,上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米,达到最大高度后保持飞行,问飞机模型上升的最大高度是多少
(2)若通过动力控制系统,使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%,那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗 请说明理由.
【解析】 (1)由题意知,飞机模型每分钟上升的高度构成a1=15,d=-2的等差数列,
则Sn=na1+d=15n+·(-2)=-n2+16n.
当n=8时,(Sn)max=S8=64.
即飞机模型在第8分钟上升到最大高度,最大高度为64米.
(2)不能超过.理由如下:
由题意知,飞机模型每分钟上升的高度构成b1=15,q=0.8的等比数列,
则Sn===75(1-0.8n)<75.
所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米.
【方法总结】 利用等差、等比数列解决实际问题的一般步骤:(1)阅读题目,确定数列类型;(2)寻找已知量;(3)确定未知量;(4)利用等差、等比数列的相关公式建立等式求解.
张先生在2018年年底购买了一辆1.6 L排量的小轿车,为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召,买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明:轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳,林木每生长1立方米,平均可吸收1.8吨二氧化碳.
(1)若张先生第一年(即2019年)会用车1.2万公里,以后逐年増加1000公里,则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨
(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米,以后每年以10%的生长速度递增,问林木至少生长多少年,吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量 (参考数据:1.114≈3.7975,1.115≈4.1772,1.116≈4.5950)
【解析】 (1)设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为an(n∈N+),
则a1==4,a2==,a3==,…,
显然其构成首项a1=4,公差d=a2-a1=的等差数列,
记其前n项和为Sn,则S10=10×4+×=55,
所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.
(2)记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为bn(n∈N+),
则b1=1×1.8,b2=1×(1+10%)×1.8,b3=1×(1+10%)2×1.8,…,
显然其构成首项为b1=1.8,公比为q=1.1的等比数列,
记其前n项和为Tn,
由题意,得Tn==18×(1.1n-1)≥55,解得n≥15,
所以林木至少生长15年,其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.
探究2 分期还款中的数列问题
一对夫妇为5年后能够购买一辆车,准备每年到银行去存一笔等额的钱.假设银行储蓄年利率为5%,按复利计算,为了使本利和共有10万元,请你算一算他们每年约需存多少钱 (精确到1元)
问题1:利用什么模型可以解决这个问题
【答案】 等比数列模型.
问题2:请你解决这个问题.
【答案】 设每年他们存入x元,一年后存的本利和为x(1+5%),
两年后的本利和为x(1+5%)+x(1+5%)2,
以此类推,5年后的本利和为x(1+5%)+x(1+5%)2+…+x(1+5%)5,
依题意,列方程得x(1+5%)+x(1+5%)2+…+x(1+5%)5=100000,
即1.05x×=100000,解得x≈17236.
所以每年约需存入17236元.
新知生成
分期还款与数列
(1)等额本金还款法:将本金平均分配到每一期进行偿还,每期还款金额=+(贷款本金-已还本金总额)×利率.
(2)等额本息还款法:将本金和利息平均分配到每一期进行偿还.每期还款金额=,其中A0为贷款时的资金,r为银行贷款月利率,m为还款总期数(单位:月).
新知运用
例2 某企业进行技术改造,有两种方案:
甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获得利润1万元,以后每年比上年增加30%的利润;
乙方案:每年贷款1万元,第一年可获得利润1万元,以后每年比前一年多获利5000元.
两种方案的期限都是10年,到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息10%计算,试比较两个方案哪个获得纯利润更多 (计算精确到千元,参考数据:1.110≈2.594,1.310≈13.786)
【解析】 根据题意,分析可得甲方案是等比数列,乙方案是等差数列.
甲方案获利1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9 =≈42.62(万),
而银行的利息成本为10(1+0.1)10=25.94万元,
那么甲方案的纯利润为42.62-25.94≈16.7万元.
乙方案逐年获利成等差数列,前10年共获利1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) ==32.50(万元),
贷款的本利和为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]≈17.53(万元),
所以乙方案扣除本利后的纯利润为32.50-17.53≈15.0(万元).
所以甲方案的获利更多.
【方法总结】 解决数列的实际应用问题,关键是读懂题意,从实际问题中提炼出问题的实质,转化为数学问题解决.价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模,从而归纳转化为数列问题去解决.
小华准备购买一部售价为5000元的手机,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,估计小华每期的付款金额.(参考数据:1.0082≈1.016,1.00812≈1.100)
【解析】 设小华每期付款x元,到第k个月时已付款及利息为Ak元,则:
A2=x;
A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082);
A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084);
…;
A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).
∵年底付清欠款,∴A12=5000×1.00812,
即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
∴x=
=≈880.
故小华每期付款金额约为880元.
【随堂检测】
1.某空调制造厂用若干台效率相同的机械组装空调,若所用机械同时开动,则需24 小时完成一项任务;若一台接一台地开动,每相邻两台启动时间间隔都相同,则到完成该项任务时,第一台的工作时间是最后一台的7倍,则最后一台机械工作的时间是( ).
A.2小时 B.4小时 C.6小时 D.8小时
【答案】 C
【解析】 设有n台机械,每相邻两台启动时间间隔为d小时,最后一台工作时间为t小时,由题意得化简得解得t=6,即最后一台机械工作的时间为6小时.故选C.
2.私家车具有申请报废制度.若一车主购买车辆时花费15万,每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元,每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列,第一年维修费为3000元,则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是第( )年.
A.6 B.8 C.9 D.10
【答案】 D
【解析】 设这辆汽车报废的最佳年限为第n年,第n年的费用为an,则an=1.5+0.3n.前n年的总费用为Sn=15+1.5n+(0.3+0.3n)=0.15n2+1.65n+15,年平均费用为=0.15n++1.65≥2+1.65=4.65,当且仅当0.15n=,即n=10时,年平均费用取得最小值,所以这辆汽车报废的最佳年限是第10年.
3.某市在2023年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:
(1)该市在2030年应该投入多少辆电力型公交车
(2)到哪一年年底,该市电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 (lg 657≈2.82,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
【解析】 (1)设该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},其中首项a1=128,公比q=1.5,则在2030年应该投入的电力型公交车的数量为a7=a1·q6=1458(辆).
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和,根据题意,得>,所以Sn=>5000,即1.5n>,两边同时取常用对数,可得nlg 1.5>lg,即n(lg 3-lg 2)>lg 657-5lg 2,所以n>≈7.3.
又n∈N+,所以n≥8,所以到2031年年底,该市电力型公交车的数量开始超过公交车总量的.
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