5.3.2课时2 等比数列前n项和公式的综合应用
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和公式在几何中的应用.(逻辑推理、直观想象)
2.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题.(逻辑推理、数学建模)
3.能够利用递推公式解决一些实际问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
1.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后成本为a,则现在的成本是( ).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
2.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2027年元旦可取( )元.
A.a(1+x)5 B.a(1+x)6
C.a(1+x)4 D.a(1+x5)
3.数列{2n-1}的前n项和为 .
4.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)….
则第5个图形的边长为 ;第n个图形的周长为 .
【合作探究】
探究1 等比数列前n项和公式在平面几何中的应用
例1 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗 设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn,则( ).
A.Sn无限大
B.Sn<3m(3+)
C.Sn=3m(3+)
D.Sn可以取100m
【方法总结】 此类几何问题可以转化为等比数列模型,利用等比数列的有关知识解决,要注意步骤的规范性.
如图,正方形ABCD的边长为2,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,则得到第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,则得到第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去,则第4个正方形的面积是 .从正方形ABCD开始,连续8个正方形面积之和是 .
探究2 等比数列前n项和公式在实际问题中的应用
例2 去年某地产生生活垃圾20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an},每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从今年起,n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).(参考数据1.054≈1.216,1.055≈1.276,1.056≈1.340)
【方法总结】 解答数列应用题的步骤:
(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学(数列)问题,弄清该数列的结构和特征.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
注意:判断数列类型的两个关键词:“平均变化量是常数”→等差数列;“平均变化率是常数”→等比数列.
某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式.
探究3 递推公式在实际问题中的应用
例3 (多选题)某牧场2023年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2023年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,其中n∈N+,则下列结论正确的是( ).(附:1.25≈2.4883,1.26≈2.9860,1.27≈3.5832,1.210≈6.1917)
A.c2=540
B.cn+1与cn的递推公式为cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2029年年初存栏数首次突破1000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,则S10≈8192(精确到整数)
【方法总结】 求解较复杂的与数列模型相关问题时,一般需要对数列模型进行分析,利用递推公式或等式两边同加或者同减某数,凑配出我们熟悉的数列模型.
某公司从2023年初开始生产某种高科技产品,初始投入资金为1000万元,到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同,但每年年底公司要扣除消费资金x万元,余下的资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为an万元.
(1)用x表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若企业希望经过5年后,使企业剩余资金达3000万元,试确定每年年底扣除的消费资金x的值(精确到万元).
【随堂检测】
1.某小镇在今年年底统计有20万人,预计人数年平均增长率为1%,则五年后这个小镇有( )万人.
A.20×(1.01)5 B.20×(1.01)4
C.20× D.20×
2.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),连接△ABC 的各边中点得到△A1B1C1,连接△A1B1C1 的各边中点得到△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,….则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数( ).
A. B.5 C.10 D.15
3.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以此类推,每人都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出 万元资金奖励科研人员(参考数据:210=1024,211=2048).
4.有边长为1的正方形,取其对角线的一半作边,构成新的正方形,再取新正方形对角线的一半作边,构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.
(1)从原始的正方形开始计数,到第2次构成新正方形时,共有3个正方形,则第3个正方形的边长为 ;
(2)将这一过程延续下去,记前n个正方形面积的和为Sn.若 n∈N+,Sn25.3.2课时2 等比数列前n项和公式的综合应用
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和公式在几何中的应用.(逻辑推理、直观想象)
2.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题.(逻辑推理、数学建模)
3.能够利用递推公式解决一些实际问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
1.某件产品计划每年成本降低q%,若三年后成本为a,则现在的成本是( ).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
2.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2027年元旦可取( )元.
A.a(1+x)5 B.a(1+x)6
C.a(1+x)4 D.a(1+x5)
3.数列{2n-1}的前n项和为 .
4.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)….
则第5个图形的边长为 ;第n个图形的周长为 .
【合作探究】
探究1 等比数列前n项和公式在平面几何中的应用
例1 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗 设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn,则( ).
A.Sn无限大
B.Sn<3m(3+)
C.Sn=3m(3+)
D.Sn可以取100m
【方法总结】 此类几何问题可以转化为等比数列模型,利用等比数列的有关知识解决,要注意步骤的规范性.
如图,正方形ABCD的边长为2,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,则得到第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,则得到第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去,则第4个正方形的面积是 .从正方形ABCD开始,连续8个正方形面积之和是 .
探究2 等比数列前n项和公式在实际问题中的应用
例2 去年某地产生生活垃圾20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an},每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)为了确定处理生活垃圾的预算,请求出从今年起,n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).(参考数据1.054≈1.216,1.055≈1.276,1.056≈1.340)
【方法总结】 解答数列应用题的步骤:
(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学(数列)问题,弄清该数列的结构和特征.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
注意:判断数列类型的两个关键词:“平均变化量是常数”→等差数列;“平均变化率是常数”→等比数列.
某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业有促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增长.设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式.
探究3 递推公式在实际问题中的应用
例3 (多选题)某牧场2023年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2023年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,其中n∈N+,则下列结论正确的是( ).(附:1.25≈2.4883,1.26≈2.9860,1.27≈3.5832,1.210≈6.1917)
A.c2=540
B.cn+1与cn的递推公式为cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2029年年初存栏数首次突破1000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,则S10≈8192(精确到整数)
【方法总结】 求解较复杂的与数列模型相关问题时,一般需要对数列模型进行分析,利用递推公式或等式两边同加或者同减某数,凑配出我们熟悉的数列模型.
某公司从2023年初开始生产某种高科技产品,初始投入资金为1000万元,到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同,但每年年底公司要扣除消费资金x万元,余下的资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为an万元.
(1)用x表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若企业希望经过5年后,使企业剩余资金达3000万元,试确定每年年底扣除的消费资金x的值(精确到万元).
【随堂检测】
1.某小镇在今年年底统计有20万人,预计人数年平均增长率为1%,则五年后这个小镇有( )万人.
A.20×(1.01)5 B.20×(1.01)4
C.20× D.20×
2.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),连接△ABC 的各边中点得到△A1B1C1,连接△A1B1C1 的各边中点得到△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,….则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数( ).
A. B.5 C.10 D.15
3.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以此类推,每人都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出 万元资金奖励科研人员(参考数据:210=1024,211=2048).
4.有边长为1的正方形,取其对角线的一半作边,构成新的正方形,再取新正方形对角线的一半作边,构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.
(1)从原始的正方形开始计数,到第2次构成新正方形时,共有3个正方形,则第3个正方形的边长为 ;
(2)将这一过程延续下去,记前n个正方形面积的和为Sn.若 n∈N+,Sn2
