6.1.2 导数及其几何意义
【学习目标】
1.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义.(数学建模、逻辑推理)
2.了解导数概念的实际背景,了解导数与割线斜率之间的关系,能利用导数的定义求函数的导数,能结合具体情境,感受导数的实际应用.(数学运算)
3.理解曲线的切线的概念,理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(数学运算)
【自主预习】
1.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s,求枪弹从枪口射出时的瞬时速度.
【答案】 位移公式为s=at2,
∴Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2,
∴=at0+aΔt,∴ =at0+aΔt=at0.
∵a=5.0×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,
∴at0=800 m/s.
故枪弹从枪口射出时的瞬时速度为800 m/s.
2.已知抛物线f(x)=x2上的点P0(1,1),点P(1+Δx,(1+Δx)2),如何求割线P0P的斜率呢
【答案】 割线P0P的斜率k===Δx+2.
3.抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有什么内在联系
【答案】 当横坐标间隔|Δx|无限变小时,点P无限趋近于点P0,于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0.因此,切线P0T的斜率k0=2.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=c(c为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率为0. ( )
(2)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况. ( )
(3)函数y=f(x)在某点处的导数是一个变量. ( )
(4)若函数y=f(x)在某点处可导,则在该点处一定有切线,反之也成立. ( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( ).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
【答案】 C
【解析】 因为f'(x0)=
==(a+bΔx)=a,
所以选C.
3.设f(x)=2x+1,则f'(1)= .
【答案】 2
【解析】 f'(1)=
==2.
4.抛物线f(x)=x2-2在点(3,7)处的切线斜率为 .
【答案】 6
【解析】 ===6+Δx,当Δx→0时,→6,即抛物线f(x)=x2-2在点(3,7)处的切线斜率为6.
【合作探究】
探究1 瞬时变化率
我们经常看到在道路旁立着许多交通标志,如图,该限速标志表示允许行驶的最大速度是80 km/h.
问题:你知道这个数据表达的物理意义吗
【答案】 不超过80 km/h,即汽车的速度每时每刻都不超过这个数据,而不是指一段时间内的平均速度不超过这个数据,所以物理意义是瞬时速度.
新知生成
1.瞬时变化率
一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率 = 无限接近于一个常数k,那么称 常数k 为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.简记为:当Δx→0时,→k或=k.
2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的实质与作用
(1)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(2)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.
3.“Δx无限趋近于0”的含义
Δx与0要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且Δx始终不等于0.
新知运用
例1 已知某物体的运动方程为s=3t2+2t.
(1)求物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;
(2)求物体在t0时的瞬时速度.
【解析】 (1)物体在t0到t0+Δt这段时间内位移的变化量Δs=3(t0+Δt)2+2(t0+Δt)-3-2t0=6t0Δt+3Δt2+2Δt,
故平均速度===6t0+3Δt+2.
(2)物体在t0时的瞬时速度
v==(6t0+3Δt+2)=6t0+2.
【方法总结】 平均速度即Δt时间内物体位移与时间的比值,当Δt无限趋近于0时,平均速度趋近于瞬时速度.
质点M按规律s(t)=2t2+3(位移单位:cm,时间单位:s)做直线运动,求质点M在t=2 s时的瞬时速度.
【解析】 v=
==(2Δt+8)=8(cm/s).
探究2 导数的概念及导数运算
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行加热和冷却,如果第x h时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).
问题:计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
【答案】 在第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6),
根据导数的定义,知=
=
=Δx-3,
所以f'(2)==(Δx-3)=-3.
同理可得f'(6)=5.
在第2 h和第6 h时,
原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,
说明在第2 h附近,原油温度大约以3 ℃/h的速率下降;
在第6 h附近,原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
新知生成
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)= =.
新知运用
例2 已知函数f(x)=2x2+3x-1,试求f'(2).
方法指导 先求Δy,然后求,再求.
【解析】 因为Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+3(2+Δx)-1-(2×22+3×2-1)=2(Δx)2+11Δx,
所以==2Δx+11,
所以f'(2)==(2Δx+11)=11.
【方法总结】 用导数的定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
已知某物体的位移s与时间t存在关系s(t)=10t+5t2(s的单位是m,t的单位是s).
(1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值;
(2)求当t=20时的速度.
【解析】 (1)当t=20,Δt=0.1时,
Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-(10×20+5×202)
=1+20+5×0.01=21.05(m).
∴==210.5(m/s).
(2)由导数的定义知,t=20时的速度
v=
=
=
=(5Δt+10+10×20)
=210(m/s).
探究3 导数的几何意义
如果一个函数是路程关于时间的函数,那么该函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义.
问题:从函数的图象上来考查函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢
【答案】 设函数y=f(x)的图象如图所示,AB是过点A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是=.当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的极限位置为直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A处的切线.于是,当Δx→0时,割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=f'(x0)= .
新知生成
1.导数的几何意义
(1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn无限接近于点P时,割线PPn无限接近于通过点P的一条直线,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个,与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
新知运用
例3 求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【解析】 因为y'|x=1
=
= =2,
所以所求切线的斜率为2,
因此,所求的切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.
【方法总结】 过曲线上一点求切线方程的三个步骤
求函数y=3x2的图象在点(1,3)处的切线方程.
【解析】 因为 y'|x=1== (6+3Δx)=6,
所以所求切线的斜率为6,
因此,所求的切线方程为y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
【随堂检测】
1.一质点的运动方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( ).
A.-3 B.3 C.6 D.-6
【答案】 D
【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知,v=s'(1)=(-3Δt-6)=-6.
2.函数f(x)=在x=3处的导数是( ).
A.- B.- C.- D.-
【答案】 C
【解析】 Δy=f(3+Δx)-f(3)=-=,所以=,于是f(x)在x=3处的导数为f'(3)==-.
3.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为 .
【答案】 (3,30)
【解析】 设点P(x0,2+4x0),
则f'(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴点P的坐标为(3,30).
4.一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
【解析】 质点M在t=2时的瞬时速度即函数在t=2处的瞬时变化率.
∵质点M在t=2附近的平均速度为
==
=4a+aΔt,
∴ =4a=8,即a=2.∴常数a的值为2.
26.1.2 导数及其几何意义
【学习目标】
1.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义.(数学建模、逻辑推理)
2.了解导数概念的实际背景,了解导数与割线斜率之间的关系,能利用导数的定义求函数的导数,能结合具体情境,感受导数的实际应用.(数学运算)
3.理解曲线的切线的概念,理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(数学运算)
【自主预习】
1.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105 m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3 s,求枪弹从枪口射出时的瞬时速度.
2.已知抛物线f(x)=x2上的点P0(1,1),点P(1+Δx,(1+Δx)2),如何求割线P0P的斜率呢
3.抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有什么内在联系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=c(c为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率为0. ( )
(2)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况. ( )
(3)函数y=f(x)在某点处的导数是一个变量. ( )
(4)若函数y=f(x)在某点处可导,则在该点处一定有切线,反之也成立. ( )
2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( ).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
3.设f(x)=2x+1,则f'(1)= .
4.抛物线f(x)=x2-2在点(3,7)处的切线斜率为 .
【合作探究】
探究1 瞬时变化率
我们经常看到在道路旁立着许多交通标志,如图,该限速标志表示允许行驶的最大速度是80 km/h.
问题:你知道这个数据表达的物理意义吗
新知生成
1.瞬时变化率
一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率 = 无限接近于一个常数k,那么称 常数k 为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.简记为:当Δx→0时,→k或=k.
2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的实质与作用
(1)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(2)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.
3.“Δx无限趋近于0”的含义
Δx与0要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且Δx始终不等于0.
新知运用
例1 已知某物体的运动方程为s=3t2+2t.
(1)求物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度;
(2)求物体在t0时的瞬时速度.
【方法总结】 平均速度即Δt时间内物体位移与时间的比值,当Δt无限趋近于0时,平均速度趋近于瞬时速度.
质点M按规律s(t)=2t2+3(位移单位:cm,时间单位:s)做直线运动,求质点M在t=2 s时的瞬时速度.
探究2 导数的概念及导数运算
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行加热和冷却,如果第x h时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).
问题:计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
新知生成
一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)= =.
新知运用
例2 已知函数f(x)=2x2+3x-1,试求f'(2).
方法指导 先求Δy,然后求,再求.
【方法总结】 用导数的定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)求极限.
已知某物体的位移s与时间t存在关系s(t)=10t+5t2(s的单位是m,t的单位是s).
(1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值;
(2)求当t=20时的速度.
探究3 导数的几何意义
如果一个函数是路程关于时间的函数,那么该函数在某点处的导数就是瞬时速度,这是函数的实际意义.
问题:从函数的图象上来考查函数在某点处的导数,它具有怎样的几何意义呢
新知生成
1.导数的几何意义
(1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn无限接近于点P时,割线PPn无限接近于通过点P的一条直线,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个,与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
新知运用
例3 求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
【方法总结】 过曲线上一点求切线方程的三个步骤
求函数y=3x2的图象在点(1,3)处的切线方程.
【随堂检测】
1.一质点的运动方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( ).
A.-3 B.3 C.6 D.-6
2.函数f(x)=在x=3处的导数是( ).
A.- B.- C.- D.-
3.已知曲线f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为 .
4.一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
2
