6.1.3 基本初等函数的导数
【学习目标】
1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=,y=的导数.(数学运算)
2.结合实际例子,掌握几个常见函数的导数.(数学运算)
3.能利用所给基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.回顾之前所学的内容,你学过哪些基本初等函数
【答案】 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数.
2.如何用定义求函数y=f(x)的导数f'(x)
【答案】 定义法求导数的步骤:(1)求出Δy,;(2)f'(x)=.
故f'(x)=y'=.
3.f'(x)与f'(x0)的区别是什么
【答案】 f'(x0)是一个确定的数,f'(x)是函数f(x)的导数.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. ( )
(2)若y=,则y'=×2=1. ( )
(3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. ( )
(4)若y=,则y'=. ( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.给出下列结论:
①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'=-;
③若y=2x,则y'=2xln 2;④若y=log2x,则y'=.
其中正确结论的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 对于①,y'=0,故①错误;显然②③④正确.故选C.
3.若函数f(x)=10x,则f'(1)=( ).
A. B.10 C.10ln 10 D.
【答案】 C
【解析】 ∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为 .
【答案】 y=e2(x-1)
【解析】 ∵y'=ex,∴当x=2时,y'=e2,
∴在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1).
【合作探究】
探究1 利用导数公式计算导数
在科学研究和工程计算中,经常会使用到一些基本初等函数的导数.
问题1:你知道f(x)=sin x,f(x)=cos x的导数公式吗
【答案】 f'(x)=cos x,f'(x)=-sin x.
问题2:你知道f(x)=ax,f(x)=loga x的导数公式吗
【答案】 f'(x)=axln a(a>0,且a≠1),f'(x)=(a>0,且a≠1).
新知生成
1.一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都 可导 ,那么称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是,在f(x)的定义域内, f'(x) 是一个函数,称其为函数y=f(x)的导函数.记作f'(x)(或y',y'x),即f'(x)=y'=y'x= .
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)= 0
f(x)=xα(α≠0) f'(x)= αxα-1
f(x)=sin x f'(x)= cos x
f(x)=cos x f'(x)= -sin x
f(x)=ax f'(x)= axln a (a>0,且a≠1)
f(x)=ex f'(x)= ex
f(x)=logax f'(x)=(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x f'(x)=
新知运用
例1 求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【解析】 (1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(2)y'=(log3x)'=.
(3)y'=()'=()'=.
(4)因为y=-2sin
=2sin=2sin cos =sin x,
所以y'=(sin x)'=cos x.
(5)因为y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x,
所以y'=(ln x)'=.
【方法总结】 利用导数公式求解,必要时进行合理变形、化简,再求导.
求下列函数的导数.
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
【解析】 (1)y'=(x14)'=14x13.
(2)y'='=ln=-ln 3.
(3)y'=(x-2)'=-2x-3=-.
(4)∵y==cos x,
∴y'=-sin x.
(5)∵y=e0=1,∴y'=0.
探究2 f'(x)与f'(x0)的区别与联系
新知生成
f'(x)表示函数y=f(x)的导数,而f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的导数.f'(x)是一个函数,是y=f(x)的导数值关于x的函数,而f'(x0)是一个具体的数值,是函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线斜率.
新知运用
例2 求函数f(x)=的导数f'(x)及f'(1).
【解析】 因为f(x)=,所以f'(x)=,所以f'(1)=.
【方法总结】 求函数在某点(点在函数图象上)处的导数的步骤:(1)先求函数的导函数;(2)再把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
求函数f(x)=x的导数f'(x)及f'(4).
【解析】 因为f(x)=x,所以f'(x)=(x)'=()'==.故f'(4)=×=3.
探究3 导数公式的实际应用
例3 已知某质点的运动方程是s=sin t.
(1)求该质点在t=时的速度;
(2)求该质点运动的加速度方程.
【解析】 (1)∵v(t)=s'(t)=cos t,
∴v=cos =,
即质点在t=时的速度为.
(2)∵v(t)=cos t,
∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
【方法总结】 由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的瞬时变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价,假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01元/年,参考数据:1.0510≈1.63,1.0511≈1.71,ln 1.05≈0.05)
【解析】 根据基本初等函数的导数公式表,有p'(t)=1.05tln 1.05,
所以p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08.
所以在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
探究4 利用导数公式解决曲线的切线问题
问题1:导数的几何意义是什么
【答案】 函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率k,即k=f'(x0).
问题2:利用导数的几何意义解决切线问题有哪两种情况
【答案】 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线的斜率就是该点处的导数;
(2)若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
新知生成
1.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
新知运用
例4 (2023·广西西部第二次联考)已知函数f(x)=x2,l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(3,5).
(1)判断(3,5)是否是曲线y=f(x)上的点;
(2)求l的方程.
【解析】 (1)因为f(x)=x2,所以f(3)=32=9≠5,所以(3,5)不是曲线y=f(x)上的点.
(2)由f(x)=x2,得f'(x)=2x,
设切点为(x0,),则f'(x0)=2x0,所以曲线y=f(x)在点(x0,)处的切线方程为y-=2x0(x-x0),因为切线l经过点(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,所以切线方程为y-1=2(x-1)或 y-25=10(x-5),
即l的方程为2x-y-1=0或 10x-y-25=0.
【方法总结】 求过点P与曲线相切的切点坐标的步骤:(1)设切点坐标为(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过原点且与曲线y=ln x相切;
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
【解析】 (1)y'=(x>0),
设切点为(m,ln m),切线方程为y=kx,所以k=,y=x.
因为切点为(m,ln m),所以ln m=·m=1,所以m=e,
所以切线方程为y=x.
(2)y'=ex,因为切线斜率为e,所以y'=ex=e,所以x=1,
则切点为(1,e),所以切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
【随堂检测】
1.若y=cos,则y'=( ).
A.0 B. C.- D.1
【答案】 A
【解析】 常数函数的导数为0.
2.(多选题)下列曲线的切线中,不存在互相垂直的切线的曲线是( ).
A.f(x)=ex B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x
【答案】 ABC
【解析】 若存在互相垂直的切线,则其斜率之积为-1,或一条切线的斜率不存在,另一条切线的斜率为0.对于A,f'(x)=ex>0,对于B,f'(x)=3x2≥0,对于C,f'(x)=>0(x>0),故A,B,C均不存在互相垂直的切线方程.对于D,f'(x)=cos x,其可正可负,一定存在使cos x1·cos x2=-1的情形,故选ABC.
3.已知f(x)=xn且f'(-1)=-4,则n= .
【答案】 4
【解析】 ∵f'(x)=nxn-1,∴f'(-1)=n(-1)n-1=-4.若(-1)n-1=-1,则n=4,此时满足(-1)n-1=-1;若(-1)n-1=1,则n=-4,此时不满足(-1)n-1=1.∴n=4.
4.求下列函数的导数.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
【解析】 (1)y'=15x14.
(2)y'=-3x-4.
(3)y'=.
(4)因为y==,所以y'=-=-.
26.1.3 基本初等函数的导数
【学习目标】
1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=,y=的导数.(数学运算)
2.结合实际例子,掌握几个常见函数的导数.(数学运算)
3.能利用所给基本初等函数的导数公式,求简单函数的导数.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.回顾之前所学的内容,你学过哪些基本初等函数
2.如何用定义求函数y=f(x)的导数f'(x)
3.f'(x)与f'(x0)的区别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. ( )
(2)若y=,则y'=×2=1. ( )
(3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. ( )
(4)若y=,则y'=. ( )
2.给出下列结论:
①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'=-;
③若y=2x,则y'=2xln 2;④若y=log2x,则y'=.
其中正确结论的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函数f(x)=10x,则f'(1)=( ).
A. B.10 C.10ln 10 D.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为 .
【合作探究】
探究1 利用导数公式计算导数
在科学研究和工程计算中,经常会使用到一些基本初等函数的导数.
问题1:你知道f(x)=sin x,f(x)=cos x的导数公式吗
问题2:你知道f(x)=ax,f(x)=loga x的导数公式吗
新知生成
1.一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都 可导 ,那么称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是,在f(x)的定义域内, f'(x) 是一个函数,称其为函数y=f(x)的导函数.记作f'(x)(或y',y'x),即f'(x)=y'=y'x= .
2.基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)= 0
f(x)=xα(α≠0) f'(x)= αxα-1
f(x)=sin x f'(x)= cos x
f(x)=cos x f'(x)= -sin x
f(x)=ax f'(x)= axln a (a>0,且a≠1)
f(x)=ex f'(x)= ex
f(x)=logax f'(x)=(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x f'(x)=
新知运用
例1 求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【方法总结】 利用导数公式求解,必要时进行合理变形、化简,再求导.
求下列函数的导数.
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
探究2 f'(x)与f'(x0)的区别与联系
新知生成
f'(x)表示函数y=f(x)的导数,而f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的导数.f'(x)是一个函数,是y=f(x)的导数值关于x的函数,而f'(x0)是一个具体的数值,是函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线斜率.
新知运用
例2 求函数f(x)=的导数f'(x)及f'(1).
【方法总结】 求函数在某点(点在函数图象上)处的导数的步骤:(1)先求函数的导函数;(2)再把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
求函数f(x)=x的导数f'(x)及f'(4).
探究3 导数公式的实际应用
例3 已知某质点的运动方程是s=sin t.
(1)求该质点在t=时的速度;
(2)求该质点运动的加速度方程.
【方法总结】 由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的瞬时变化速度,就是求相关函数在某点处的导数.
假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价,假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少 (精确到0.01元/年,参考数据:1.0510≈1.63,1.0511≈1.71,ln 1.05≈0.05)
探究4 利用导数公式解决曲线的切线问题
问题1:导数的几何意义是什么
问题2:利用导数的几何意义解决切线问题有哪两种情况
新知生成
1.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
新知运用
例4 (2023·广西西部第二次联考)已知函数f(x)=x2,l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(3,5).
(1)判断(3,5)是否是曲线y=f(x)上的点;
(2)求l的方程.
【方法总结】 求过点P与曲线相切的切点坐标的步骤:(1)设切点坐标为(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过原点且与曲线y=ln x相切;
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
【随堂检测】
1.若y=cos,则y'=( ).
A.0 B. C.- D.1
2.(多选题)下列曲线的切线中,不存在互相垂直的切线的曲线是( ).
A.f(x)=ex B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x
3.已知f(x)=xn且f'(-1)=-4,则n= .
4.求下列函数的导数.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
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