6.2.2 课时1 导数与函数的极值
【学习目标】
1.了解函数极值的概念,会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
已知y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.
1.函数f(x)在(a,x0),(x0,b)上的单调性与导数的符号有何特点
【答案】 f(x)在(a,x0)上单调递增,其导数值大于零,在(x0,b)上单调递减,其导数值小于零.
2.观察y=f(x)的图象,在区间(a,b)内,函数值f(x0)有何特点 它是极大值吗
【答案】 f(x0)在(a,b)内值最大,是.
3.函数值f(x0)在定义域内是最大的吗
【答案】 不一定.
4.函数y=g(x)在(a,b)上有极大值、极小值吗
【答案】 y=g(x)在(a,b)上有极小值g(x0),无极大值.
5.结合教材的实例思考:函数的极大值一定大于极小值吗 在同一区间内极值点唯一吗
【答案】 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)x=0是函数y=x3的极值点. ( )
(2)可导函数一定存在极值. ( )
(3)若f'(x0)=0,则x=x0是函数y=f(x)的极值点. ( )
(4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点,则f'(x0)=0. ( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 由导函数的图象可知,f'(x)在(a,b)上与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零,故x=0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,故极大值点有2个.
3.设函数f(x)=xex,则( ).
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
【答案】 D
【解析】 对f(x)求导得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),令f'(x)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.
4.已知函数f(x)=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为 .
【答案】 8
【解析】 f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1,经判断知x=1是极大值点,故f(1)=2+m=10,解得m=8.
【合作探究】
探究1 函数的极值
在必修课程中,我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近,也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题.
观察下列图象,回答问题.
问题1:函数y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系
【答案】 以x=d,e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小,函数y=f(x)在点x=e处的函数值f(e)比它在点x=e附近其他点的函数值都大.
问题2:y=f(x)在点x=d,e处的导数值是多少
【答案】 0.
问题3:在点x=d,e附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律
【答案】 在点x=d附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.类似地,在点x=e附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.
新知生成
1.函数的极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,若对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)f(x)(2)f(x)>f(x0),则称 x0 为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取 极小 值.
极大值点 与 极小值点 都称为极值点, 极大值 与 极小值 都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
注意:极值是一个局部性概念,故极大值与极小值之间无法确定大小关系.
2.函数的导数与极值
一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有 f'(x)>0 ,对于x0右侧附近的任意x,都有 f'(x)<0 ,那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x,都有 f'(x)<0 ,对于x0右侧附近的任意x,都有 f'(x)>0 ,那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为 正号 (或均为 负号 ),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
注意:“f'(x0)=0”是“x0是y=f(x)的极值点”的必要不充分条件.如f(x)=x3,由f'(x)=0得x=0,但0不是f(x)=x3的极值点.
新知运用
例1 求函数y=3x3-x+1的极值.
【解析】 y'=9x2-1,令y'=0,解得x1=,x2=-.
当x变化时,y'和y的变化情况如表所示:
x -
y' + 0 - 0 +
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此,当x=-时,y有极大值,极大值为;
当x=时,y有极小值,极小值为.
【方法总结】 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域,求导数f'(x);
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左、右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左、右符号相同,那么f(x)在这个根处无极值.
求下列函数的极值:
(1)f(x)=x2e-x;
(2)f(x)=.
【解析】 (1)函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2xe-x+x2·e-x·(-x)'=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.
令f'(x)=0,得x(2-x)e-x=0,解得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ 4e-2 ↘
因此,当x=0时,f(x)取得极小值,且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,且极大值为f(2)=4e-2=.
(2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=,
令f'(x)=0,解得x=e.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示:
x (0,e) e (e,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
故当x=e时,函数f(x)取得极大值,且极大值为f(e)=.
探究2 求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
【解析】 ∵f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,
∴f'(x)=48x2-40ax+8a2=8(6x2-5ax+a2)=8(2x-a)(3x-a),a≠0,
令f'(x)=0,得x1=,x2=.
①当a>0时,<,则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x -∞, , ,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ ↘ 0 ↗
∴当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=;
当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=0.
②当a<0时,<,则随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x -∞, , ,+∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 0 ↘ ↗
∴当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f=0;
当x=时,函数f(x)取得极小值,极小值为f=.
综上所述,当a>0时,函数f(x)在x=处取得极大值,在x=处取得极小值0;
当a<0时,函数f(x)在x=处取得极大值0,在x=处取得极小值.
【方法总结】 求【解析】式中含有参数的函数极值时,有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种:一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论.
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
【解析】 由f'(x)=1-=(x>0)知,
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a,
又当x∈(0,a)时,f'(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
探究3 由极值求参数的值或取值范围
一、由极值求参数的值
例3 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)试确定常数a,b的值;
(2)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值.
【解析】 (1)f'(x)=3ax2+2bx-3,
依题意,f'(1)=f'(-1)=0,
即解得
(2)由(1)可知,f(x)=x3-3x,
f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
若x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞),则f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增.
若x∈(-1,1),则f'(x)<0,故f(x)在(-1,1)上单调递减.
因此f(-1)=2是函数f(x)的极大值,f(1)=-2是函数f(x)的极小值.
【方法总结】 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点:
(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值为零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
二、由极值求参数的取值范围
例4 若函数g(x)=2ln(x+2)-x2-x+b在区间[-1,1]上恰有两个不同的零点,求实数b的取值范围.
【解析】 由题意知函数g(x)的定义域为(-2,+∞),
且g'(x)=-2x-1=-(x>-2).
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x (-2,0) 0 (0,+∞)
g'(x) + 0 -
g(x) ↗ 极大值 ↘
由上表可知,函数g(x)在x=0处取得极大值,极大值为g(0)=2ln2+b.
结合图象(图略)可知,要使g(x)=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根,
只需即
所以-2ln2故实数b的取值范围是(-2ln2,2-2ln3].
【方法总结】 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
1.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数(x)的极小值.
【解析】 (1)f'(x)=3ax2+2bx.
由题意知即解得
(2)由(1)知f(x)=-6x3+9x2,
所以f'(x)=-18x2+18x=-18x(x-1),
令f'(x)=0,解得x1=1,x2=0,
所以当x<0时,f'(x)<0;当00;当x>1时,f'(x)<0.
所以当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为0.
2.若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求实数k的取值范围.
【解析】 f(x)=2x3-6x+k,则f'(x)=6x2-6,
令f'(x)=0,得x=-1或x=1,
可知f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增.
所以f(x)的极大值为f(-1)=4+k,极小值为f(1)=-4+k.
要使函数f(x)只有一个零点,
只需4+k<0或-4+k>0(如图所示),
即k<-4或k>4.
所以实数k的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞).
【随堂检测】
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是( ).
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.当x=2时,f(x)取得极大值
D.当x=4时,f(x)取得极大值
【答案】 C
【解析】 由y=f'(x)的图象可得y=f(x)的大致图象,如图所示.
由图可知,A,B,D均错误.故选C.
2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为( ).
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
【答案】 B
【解析】 由已知得,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x-=,令f'(x)=0,得x=或x=-(舍去).当x>时,f'(x)>0;当03.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m= .
【答案】 -19
【解析】 y'=-3x2+12x=-3x(x-4),
由y'=0,得x=0或x=4,
当x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y'<0;
当x∈(0,4)时,y'>0.
∴当x=4时,函数取得极大值.
故-64+96+m=13,解得m=-19.
4.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
【解析】 (1)∵f(x)=aln x+bx2+x,
∴f'(x)=+2bx+1.
由极值点的必要条件可知,f'(1)=f'(2)=0,
∴a+2b+1=0,+4b+1=0,
解得a=-,b=-.
(2)由(1)知f(x)=-ln x-x2+x,定义域是(0,+∞),
∴f'(x)=-x-1-x+1=-.
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0.
∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.
26.2.2 课时1 导数与函数的极值
【学习目标】
1.了解函数极值的概念,会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.(数学抽象、逻辑推理、直观想象)
2.掌握函数极值的判定及求法.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
已知y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.
1.函数f(x)在(a,x0),(x0,b)上的单调性与导数的符号有何特点
2.观察y=f(x)的图象,在区间(a,b)内,函数值f(x0)有何特点 它是极大值吗
3.函数值f(x0)在定义域内是最大的吗
4.函数y=g(x)在(a,b)上有极大值、极小值吗
5.结合教材的实例思考:函数的极大值一定大于极小值吗 在同一区间内极值点唯一吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)x=0是函数y=x3的极值点. ( )
(2)可导函数一定存在极值. ( )
(3)若f'(x0)=0,则x=x0是函数y=f(x)的极值点. ( )
(4)若x=x0是函数y=f(x)的极值点,则f'(x0)=0. ( )
2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设函数f(x)=xex,则( ).
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
4.已知函数f(x)=3x-x3+m的极大值为10,则m的值为 .
【合作探究】
探究1 函数的极值
在必修课程中,我们已经研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近,也存在着哪一点的函数值大、哪一点的函数值小的问题,如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题.
观察下列图象,回答问题.
问题1:函数y=f(x)在x=d,e,f,g,h,i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系
问题2:y=f(x)在点x=d,e处的导数值是多少
问题3:在点x=d,e附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律
新知生成
1.函数的极值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,若对于x0附近的任意不同于x0的x,都有
(1)f(x)(2)f(x)>f(x0),则称 x0 为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取 极小 值.
极大值点 与 极小值点 都称为极值点, 极大值 与 极小值 都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.
注意:极值是一个局部性概念,故极大值与极小值之间无法确定大小关系.
2.函数的导数与极值
一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f'(x0)=0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有 f'(x)>0 ,对于x0右侧附近的任意x,都有 f'(x)<0 ,那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x,都有 f'(x)<0 ,对于x0右侧附近的任意x,都有 f'(x)>0 ,那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为 正号 (或均为 负号 ),则x0一定不是y=f(x)的极值点.
注意:“f'(x0)=0”是“x0是y=f(x)的极值点”的必要不充分条件.如f(x)=x3,由f'(x)=0得x=0,但0不是f(x)=x3的极值点.
新知运用
例1 求函数y=3x3-x+1的极值.
【方法总结】 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域,求导数f'(x);
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'(x)在方程根左、右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左、右符号相同,那么f(x)在这个根处无极值.
求下列函数的极值:
(1)f(x)=x2e-x;
(2)f(x)=.
探究2 求含参函数的极值
例2 已知函数f(x)=16x3-20ax2+8a2x-a3,其中a≠0,求f(x)的极值.
【方法总结】 求【解析】式中含有参数的函数极值时,有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种:一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论.
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
探究3 由极值求参数的值或取值范围
一、由极值求参数的值
例3 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)试确定常数a,b的值;
(2)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值.
【方法总结】 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点:
(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值为零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
二、由极值求参数的取值范围
例4 若函数g(x)=2ln(x+2)-x2-x+b在区间[-1,1]上恰有两个不同的零点,求实数b的取值范围.
【方法总结】 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
1.已知函数f(x)=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数(x)的极小值.
2.若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求实数k的取值范围.
【随堂检测】
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列判断正确的是( ).
A.在(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.当x=2时,f(x)取得极大值
D.当x=4时,f(x)取得极大值
2.函数f(x)=x2-ln x的极值点为( ).
A.0,1,-1 B.
C.- D.,-
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m= .
4.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
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