6.3 利用导数解决实际问题
【学习目标】
1.通过实际例子,体会导数在解决最优问题中的应用.(逻辑推理、数学运算)
2.通过分析实际问题,体会导数在研究实际问题中的作用.(数据分析、数学运算)
3.将实际问题转化为数学问题,能建立函数模型.(数学建模)
【自主预习】
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/小时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8(0阅读教材,结合上述情境回答下列问题.
1.当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升
【答案】 当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了2.5小时,共耗油2.5×=17.5(升).
因此,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油17.5升.
2.当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升
【答案】 当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=·=x2+-(0当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(80,120]时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升).
易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
1.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为 时容器的容积最大.
【答案】 1.2 m
【解析】 设容器底面短边长为x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为[14.8-4x-4(x+0.5)]=(3.2-2x) m.
由3.2-2x>0及x>0,得0设容器的容积为y m3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0由y'=0及00,当1所以y在(0,1)上单调递增,在(1,1.6)上单调递减,
因此当x=1时,y取得最大值,且ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),此时高为1.2 m.
2.某科研小组研究发现,一棵水果树的产量ω(x)(单位:百千克)与肥料费用x(单位:百元)满足如下关系:ω(x)=此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).
(1)求L(x)的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大 最大利润是多少
【解析】 (1)L(x)=16ω(x)-2x-x
=
(2)当0≤x≤2时,L'(x)=16x-3,令L'(x)=0,得x=,当0≤x<时,L'(x)<0,则L(x)单调递减,当0,则L(x)单调递增.而L(0)=16,L(2)=42,所以L(x)max=42(百元).
当20,则L(x)单调递增;当3故当投入的肥料费用为300元时,种植该水果树获得的利润最大,最大利润是4300元.
【合作探究】
探究1 利润最大化问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3问题1:求a的值.
【答案】 因为当x=5时,y=11,
所以+10=11,得a=2.
问题2:若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】 由问题1可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)
=2+10(x-3)(x-6)2(3从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
新知生成
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润=收入-成本.
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
新知运用
例1 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内
(2)若年销售量关于x的函数为y=3240-x2+2x+,则当x为何值时,本年度的年利润最大 最大利润是多少
【解析】 (1)由题意得上年度的利润为(13-10)×5000=15000(万元).
本年度每辆车的投入成本为10×(1+x),每辆车的出厂价为13×(1+0.7x),年销售量为5000×(1+0.4x),
因此本年度的年利润为f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)=-1800x2+1500x+15000(0由-1800x2+1500x+15000>15000,得0故当0(2)由题意得本年度的年利润为f(x)=(3-0.9x)×3240×=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则f'(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),
令f'(x)=0,得x=或x=3(舍去),
当x∈时,f'(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈时,f'(x)<0,f(x)是减函数.
故当x=时,f(x)取得极大值f=20000.
又函数f(x)在(0,1)上只有一个极大值,即为最大值,
所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.
【方法总结】 根据题意,建立目标函数关系式,再利用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.
某市举办购物节促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在购物节的销售量p(单位:万件)与广告费用 x(单位:万元)满足p=3-(其中 0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品 p万件还需投入成本(10+2p)万元(不含广告费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.
(1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为广告费用x(单位:万元)的函数;
(2)问广告费用投入多少万元时,厂商的利润最大
【解析】 (1)由题意知,y=p-x-(10+2p),将p=3-代入化简得y=16--x(0≤x≤a).
(2)y'=-1-==-=-.
若a≥1,当x∈(0,1)时,y'>0,所以函数y=16-x-在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,a)时,y'<0,所以函数y=16--x在(1,a)上单调递减.
所以广告费用投入 1万元时,厂家的利润最大.
若a<1,因为函数y=16--x在(0,1)上单调递增,所以y=16--x在[0,a]上单调递增.
所以当x=a时,函数有最大值,即广告费用投入a万元时,厂家的利润最大.
综上所述,当 a≥1时,广告费用投入 1万元,厂家的利润最大;当a<1时,广告费用投入a万元,厂家的利润最大.
探究2 几何中的最值问题
将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆.
问题:如何截可使正方形与圆面积之和最小
【答案】 设弯成圆的一段长为x cm(0令S'=0,则x=.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点,问题中面积之和最小值显然存在,故当x= cm时,面积之和最小.
故当截得弯成圆的一段长为 cm时,两种图形面积之和最小.
新知生成
利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,再转化为用导数求最值.若在定义域内只有一个极值点,则这个极值便为最值.
新知运用
例2 请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】 设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm,则a=x,h=(30-x),0(1)根据题意有S=4×x×(30-x)=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0所以当x=15 cm时,包装盒侧面积S最大.
(2)根据题意有V=(x)2×(30-x)=2x2·(30-x)(0所以V'=6x(20-x).
当00,V单调递增;当20所以当x=20 cm时,V取得极大值,也是最大值.
此时,包装盒的高与底面边长的比值为=.
即当x=20 cm时,包装盒容积V(cm3)最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为.
【方法总结】 几何中最值问题的求解思路:
面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.
如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么体积的最大值为( ).
A.π B.π
C.π D. π
【答案】 A
【解析】 设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,
∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3,则V'=lπr-6πr2.
令V'=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的极值点.
故当r=时,V取得最大值,最大值为π.
探究3 用料、费用最省问题
一艘轮船在航行时每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.
问题:此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小
【答案】 设轮船速度为x(x>0)千米/小时时每小时的燃料费用为Q元,则Q=kx3.由6=k×103,可得k=.∴Q=x3.
∴每千米的总费用y==x2+.
∴y'=-,令y'=0,得x=20.
∴当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减;
当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增.
∴当x=20时,y取得最小值,
∴此轮船以20千米/小时的速度行驶时,每千米的费用总和最小.
新知生成
费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
新知运用
例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场每平方米建筑的平均建设费用(单位:元)与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)=800来表示.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场
【解析】 设应建x个球场,则1≤x≤10,x∈N+,球场每平方米的购地费用为=元.因为球场每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)=8001+ln x来表示,所以球场每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+=800+160ln x+,所以g'(x)=.
令g'(x)=0,则x=8,
当08时,g'(x)>0.
所以x=8时,函数取得极小值,且为最小值.
故应建8个球场,此时球场每平方米的综合费用最省.
【方法总结】 利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
某地需修建一条通过120公里宽沙漠地带的大型输油管道,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两输油站之间铺设输油管道和等距离x公里修建增压站.经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里输油管道费用为(x3+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小
【解析】 (1)设需要修建k个增压站,则(k+1)x=120,即k=-1.
∴y=432k+(k+1)(x3+x)=432+(x3+x)=+120x2-312.
∵x表示相邻两增压站之间的距离,则0(2)设f(x)=+120x2-312(0则f'(x)=-+240x=(x3-216).
由f'(x)>0,得x3>216.又0∴f(x)在区间(6,120]上单调递增,在区间[0,6)上单调递减.
∴当x=6时,f(x)取得最小值,
此时k=-1=-1=19.
故需要修建19个增压站才能使y最小.
【随堂检测】
1.有长和宽分别为8和5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,要使小盒的容积最大,则剪去的小正方形的边长应为( ).
A.18 B.10 C.8 D.1
【答案】 D
【解析】 设正方形的边长为x,则
V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x),
所以V'=4(3x2-13x+10),
令V'=0,得x=1,
所以当x=1时,容积V取得最大值,最大值为18.
2.某银行准备设置一项新的定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(0A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
【答案】 A
【解析】 依题意知,存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,银行应获得的利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3,故y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去).因为k>0,所以当00;当0.0323.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元/件,销量为Q,销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元/件)有如下关系Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为( ).(毛利润=销售收入-进货支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
【答案】 D
【解析】 设毛利润为L(P)元,由题意知,
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以L'(P)=-3P2-300P+11700.
令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000(元).
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
4.如图,有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形状的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少
【解析】 设截下的小正方形的边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,
则V(x)=(a-2x)2x,
即V(x)=4x3-4ax2+a2x,
∴V'(x)=12x2-8ax+a2.
令V'(x)=0,得12x2-8ax+a2=0,
解得x1=,x2=(舍去).
∴当00;
当因此在区间内,x=是唯一的极值点,且是V(x)的最大值点.
因此当截下的小正方形的边长为时,容积最大.
26.3 利用导数解决实际问题
【学习目标】
1.通过实际例子,体会导数在解决最优问题中的应用.(逻辑推理、数学运算)
2.通过分析实际问题,体会导数在研究实际问题中的作用.(数据分析、数学运算)
3.将实际问题转化为数学问题,能建立函数模型.(数学建模)
【自主预习】
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/小时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8(0阅读教材,结合上述情境回答下列问题.
1.当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升
2.当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升
1.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为 时容器的容积最大.
2.某科研小组研究发现,一棵水果树的产量ω(x)(单位:百千克)与肥料费用x(单位:百元)满足如下关系:ω(x)=此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).
(1)求L(x)的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,该水果树获得的利润最大 最大利润是多少
【合作探究】
探究1 利润最大化问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3问题1:求a的值.
问题2:若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
新知生成
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润=收入-成本.
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
新知运用
例1 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内
(2)若年销售量关于x的函数为y=3240-x2+2x+,则当x为何值时,本年度的年利润最大 最大利润是多少
【方法总结】 根据题意,建立目标函数关系式,再利用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.
某市举办购物节促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在购物节的销售量p(单位:万件)与广告费用 x(单位:万元)满足p=3-(其中 0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品 p万件还需投入成本(10+2p)万元(不含广告费用),产品的销售价格定为元/件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.
(1)将该产品的利润y(单位:万元)表示为广告费用x(单位:万元)的函数;
(2)问广告费用投入多少万元时,厂商的利润最大
探究2 几何中的最值问题
将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆.
问题:如何截可使正方形与圆面积之和最小
新知生成
利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,再转化为用导数求最值.若在定义域内只有一个极值点,则这个极值便为最值.
新知运用
例2 请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【方法总结】 几何中最值问题的求解思路:
面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.
如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么体积的最大值为( ).
A.π B.π
C.π D. π
探究3 用料、费用最省问题
一艘轮船在航行时每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.
问题:此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小
新知生成
费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
新知运用
例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场每平方米建筑的平均建设费用(单位:元)与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)=800来表示.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场
【方法总结】 利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大(小)值.
某地需修建一条通过120公里宽沙漠地带的大型输油管道,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两输油站之间铺设输油管道和等距离x公里修建增压站.经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里输油管道费用为(x3+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小
【随堂检测】
1.有长和宽分别为8和5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,要使小盒的容积最大,则剪去的小正方形的边长应为( ).
A.18 B.10 C.8 D.1
2.某银行准备设置一项新的定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(0A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元/件,销量为Q,销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元/件)有如下关系Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为( ).(毛利润=销售收入-进货支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
4.如图,有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形状的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少
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