6.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
【学习目标】
1.通过情景,让学生经历和体验数学建模的过程.(数学建模)
2.通过本节学习,让学生体验数学建模和研究方法.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
用数学的眼光观察世界,用数学的语言描述世界,用数学的思维思考世界,用数学的模型把握世界.为了更好地了解世界,人们用数学模型来描述某种特定的现象,生活中处处可见数学模型.远到医学CT层析仪、电视数字化、讯飞翻译机,近到我们的脉搏率.
1.如何测量脉搏率
2.通过一个数学模型,你只要告诉我体重,我就可以算出脉搏率,将这样一个生活问题数学化,可以实现吗
【合作探究】
一、模型建立
1.实验研究
下表给出了一些动物体重W与脉搏率f对应的数据.
动物 体重W/克 脉搏率f/(次/分)
田鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 205
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
马 450000 38
师:图1是动物体重与脉搏率的散点图,从图中我们可以发现什么
生:从图中可以看出,体重越轻的动物脉搏率越高.
师:如果想要用体重预测脉搏率,可以如何操作
学生活动:讨论得出可以建立体重和脉搏率的函数模型.
师:图2是用MATLAB软件拟合的函数模型f=1831.5W-0.302,记为模型1.
师生活动:验证模型.
师:图2与给定数据拟合得很好,对我们的研究具有一定的指导意义,一定程度上体现了体重与脉搏率的数量的关系,但缺少了对问题本质的研究,这是我们第一阶段的实验研究,接下来我们如果要继续深入,需要研究文献,了解相应的生物背景知识.
2.文献研究
学生活动:阅读学习相关生物背景知识.
问题的提出:
生物学家认为,睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量,主要是为了保持体温.研究表明,消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比.根据生物学常识知道,体温主要通过身体表面散失,动物的体重与体积成正比.
(1)请根据生物学常识,给出血流量Q与体重W之间关系的数学模型.
(2)从表中可以看出,体重越轻的动物脉搏率越高.请根据上面提供的数据寻求数量之间的比例关系,建立脉搏率f与体重W关系的数学模型.
(3)根据表格,作出动物的体重W和脉搏率f的散点图,验证建立的数学模型.
师:在必修第一册的学习中,我们曾学习过指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型,它们都是我们对现实研究后提炼抽象出的数学模型,它们比原型简化,是“最简单”的.现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,如果我们对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以我们要充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化.根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,即抓住主要矛盾.用精确的语言做出假设,是建模至关重要的一步.
学生活动讨论:汇总再剔除影响因素,得出模型假设.
模型假设:
(1)假设恒温动物处于睡眠状态,其消耗的能量全部转化为热量,全部热量都用来维持体温;
(2)假设外界环境是保持恒定的,不会出现使体温变化很大的环境因素.
符号说明:
S:动物的身体表面积.
V:动物的体积.
W:动物的体重.
f:动物的脉搏率.
Q:动物每分心输出量.
q:动物心脏每搏输出量.
E:动物消耗的能量.
3.机理研究
学生活动讨论:问题中有哪些量 它们有什么关系 如何得到每分心输出量Q与体重W的关系
设计亮点:长方体的引入不仅帮助学生清晰地理顺量与量之间的关系,而且对表面积与体积的量化关系也提供了一个类比思路,可谓“一体双用”.
4.模型求解
学生活动:成果演示.
体重W与每分心输出量Q:Q=n·.
体重W与脉搏率f:f=k·.
教师提炼出比例模型.
经由MATLAB软件拟合,我们得到模型2.
二、模型分析
师:两个模型对原始数据拟合情况都比较满意,模型1的曲线单纯从数据角度拟合,效果较好,给出的模型也较贴近,是“形似”,模型2经过数学推理,有了生物和数学的背景,则是“神似”,那模型2的预测效果如何呢
三、模型检验
师生共同分析模型误差原因,指出可以用人体数据来拟合模型,实际上西医检测仪器芯片是科学家通过数学模型设计制造的.教师抛砖引玉,激励学生进一步改进模型.
四、模型应用
根据模型,结合体重对脉搏率的影响,给出形成健康的生活方式的建议.这一过程体现了数学生活化.
五、总结提升
模型准备:了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征.
模型假设:针对问题特点和建模目的,做出合理的、简化的设计,在合理与简化之间折中.
模型建立:用数学的语言、符号描述问题,尽量采用简单的数学工具.
模型求解:各种数学方法、软件和计算机技术.
模型分析:如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.
模型检验:与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、适用性.
模型应用:模型适用情况.
26.4 数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
【学习目标】
1.通过情景,让学生经历和体验数学建模的过程.(数学建模)
2.通过本节学习,让学生体验数学建模和研究方法.(数学建模、数学运算)
【自主预习】
用数学的眼光观察世界,用数学的语言描述世界,用数学的思维思考世界,用数学的模型把握世界.为了更好地了解世界,人们用数学模型来描述某种特定的现象,生活中处处可见数学模型.远到医学CT层析仪、电视数字化、讯飞翻译机,近到我们的脉搏率.
1.如何测量脉搏率
【答案】 中医的“望闻问切”,西医的仪器辅助.
2.通过一个数学模型,你只要告诉我体重,我就可以算出脉搏率,将这样一个生活问题数学化,可以实现吗
【答案】 可以.一方面我们可以通过实验研究,收集动物体重和脉搏率的数据,对其进行分析研究;另一方面可以通过研究文献,科学地认识生物学背景知识,再通过数学机理研究,给出体重和脉搏率的量化关系.
【合作探究】
一、模型建立
1.实验研究
下表给出了一些动物体重W与脉搏率f对应的数据.
动物 体重W/克 脉搏率f/(次/分)
田鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 205
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
马 450000 38
师:图1是动物体重与脉搏率的散点图,从图中我们可以发现什么
生:从图中可以看出,体重越轻的动物脉搏率越高.
师:如果想要用体重预测脉搏率,可以如何操作
学生活动:讨论得出可以建立体重和脉搏率的函数模型.
师:图2是用MATLAB软件拟合的函数模型f=1831.5W-0.302,记为模型1.
师生活动:验证模型.
师:图2与给定数据拟合得很好,对我们的研究具有一定的指导意义,一定程度上体现了体重与脉搏率的数量的关系,但缺少了对问题本质的研究,这是我们第一阶段的实验研究,接下来我们如果要继续深入,需要研究文献,了解相应的生物背景知识.
2.文献研究
学生活动:阅读学习相关生物背景知识.
问题的提出:
生物学家认为,睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量,主要是为了保持体温.研究表明,消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比.根据生物学常识知道,体温主要通过身体表面散失,动物的体重与体积成正比.
(1)请根据生物学常识,给出血流量Q与体重W之间关系的数学模型.
(2)从表中可以看出,体重越轻的动物脉搏率越高.请根据上面提供的数据寻求数量之间的比例关系,建立脉搏率f与体重W关系的数学模型.
(3)根据表格,作出动物的体重W和脉搏率f的散点图,验证建立的数学模型.
师:在必修第一册的学习中,我们曾学习过指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型,它们都是我们对现实研究后提炼抽象出的数学模型,它们比原型简化,是“最简单”的.现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统,如果我们对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以我们要充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化.根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,即抓住主要矛盾.用精确的语言做出假设,是建模至关重要的一步.
学生活动讨论:汇总再剔除影响因素,得出模型假设.
模型假设:
(1)假设恒温动物处于睡眠状态,其消耗的能量全部转化为热量,全部热量都用来维持体温;
(2)假设外界环境是保持恒定的,不会出现使体温变化很大的环境因素.
符号说明:
S:动物的身体表面积.
V:动物的体积.
W:动物的体重.
f:动物的脉搏率.
Q:动物每分心输出量.
q:动物心脏每搏输出量.
E:动物消耗的能量.
3.机理研究
学生活动讨论:问题中有哪些量 它们有什么关系 如何得到每分心输出量Q与体重W的关系
设计亮点:长方体的引入不仅帮助学生清晰地理顺量与量之间的关系,而且对表面积与体积的量化关系也提供了一个类比思路,可谓“一体双用”.
4.模型求解
学生活动:成果演示.
体重W与每分心输出量Q:Q=n·.
体重W与脉搏率f:f=k·.
教师提炼出比例模型.
经由MATLAB软件拟合,我们得到模型2.
二、模型分析
师:两个模型对原始数据拟合情况都比较满意,模型1的曲线单纯从数据角度拟合,效果较好,给出的模型也较贴近,是“形似”,模型2经过数学推理,有了生物和数学的背景,则是“神似”,那模型2的预测效果如何呢
三、模型检验
师生共同分析模型误差原因,指出可以用人体数据来拟合模型,实际上西医检测仪器芯片是科学家通过数学模型设计制造的.教师抛砖引玉,激励学生进一步改进模型.
四、模型应用
根据模型,结合体重对脉搏率的影响,给出形成健康的生活方式的建议.这一过程体现了数学生活化.
五、总结提升
模型准备:了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征.
模型假设:针对问题特点和建模目的,做出合理的、简化的设计,在合理与简化之间折中.
模型建立:用数学的语言、符号描述问题,尽量采用简单的数学工具.
模型求解:各种数学方法、软件和计算机技术.
模型分析:如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.
模型检验:与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、适用性.
模型应用:模型适用情况.
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