第六章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 导数的运算问题
例1 求下列函数的导数.
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指导 利用导数公式、导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则求解即可.
【方法总结】 函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,设中间变量,确定复合过程,然后求导.
题型2 导数的几何意义
例2 (1)(2022年全国新高考Ⅰ卷,T15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
(2)(2022年全国新高考Ⅱ卷,T14)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
【方法总结】 导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)(x0-x1). ①
又已知y1=f(x1). ②
由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
题型3 利用导数研究函数的单调性
例3 设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0,讨论f(x)的单调性.
【方法总结】 函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法.
题型4 利用导数求函数的极(最)值
例4 (1)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=( ).
A.-1 B.- C. D.1
(2)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点,若x1
【方法总结】 (1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和f(x)的单调性,对于常见的连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不做判断,只需要直接与端点的函数值比较即可.解题过程渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
题型5 利用导数解决函数的零点或方程根的问题
例5 (2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
【方法总结】 讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某条直线的交点个数、处理不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与极(最)值求出,然后借助单调性和极(最)值情况,画出函数图象的草图,数形结合求解.解题过程渗透直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型6 利用导数证明不等式
例6 (2022年北京卷)已知函数f(x)=exln(1+x).
(1)求曲线y=f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程;
(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x) 在[0,+∞) 上的单调性;
(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
【方法总结】 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x),x∈(a,b).若h'(x)>0在区间(a,b)上成立,则h(x)在(a,b)上单调递增,同时h(a)>0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0在区间(a,b)上成立,则h(x)在(a,b)上单调递减,同时h(b)>0,即f(x)>g(x).本题考查了逻辑推理和数学运算的素养.
题型7 利用导数解决恒成立问题
例7 已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
【方法总结】 解决恒成立问题的方法:(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m.(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具.本题考查了逻辑推理、数学运算的素养.
【拓展延伸】
中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等概念的想法都没有什么突破.中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念此时趋于成熟.在积分方面,1615年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积.而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)认为一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成.这些想法都是积分法的前驱.
在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破.费马(Fermat)在一封给罗贝瓦尔(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用的“设函数导数为零,然后求出函数极值点”的方法.另外,巴罗(Barrow)也已经懂得通过“微分三角形”(相当于以dx,dy,ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的.由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领.
然而,直至十七世纪中叶,人类仍然认为微分和积分是两个独立的概念.就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,通过“微积分基本定理”和“牛顿-莱布尼茨公式”联系起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆.这是微积分理论中的基石,是微积分发展的一个重要里程碑.
微积分诞生以后,逐渐发挥出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此迎刃而解.微积分的发展迅速,使人来不及检查和巩固微积分的理论基础.十九世纪,许多迫切的问题基本上已经解决,数学家于是转向微积分理论的基础重建,人类也终于首次给出极限、微分和积分等概念的严格定义.
1816年,波尔查诺(Bolzano)在人类历史上首次给出连续函数的近代定义.继而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后来在1823年的《概要》中他改写为d方法,把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算转化为一系列不等式的推算,这就是所谓极限概念的“算术化”.后来魏尔斯特拉斯(Weierstrass)将e和d联系起来,完成了e-d方法,这就是现代极限的严格定义.
有了极限的严格定义,数学家便开始尝试严格定义导数和积分.在柯西之前,数学家通常以微分为微积分的基本概念,并把导数视作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把导数定义作微分的商并不严谨.于是柯西在《概要》中直接定义导数为差商的极限,这就是现代导数的严格定义,是为现代微分学的基础.
2第六章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 导数的运算问题
例1 求下列函数的导数.
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指导 利用导数公式、导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则求解即可.
【解析】 (1)∵y=+=,∴y'=.
(2)∵y=xsincos=x·sin(4x+π)=-xsin 4x,
∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(3)y'='
=
=
=
=.
【方法总结】 函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,设中间变量,确定复合过程,然后求导.
题型2 导数的几何意义
例2 (1)(2022年全国新高考Ⅰ卷,T15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
(2)(2022年全国新高考Ⅱ卷,T14)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
【答案】 (1)(-∞,-4)∪(0,+∞) (2)y= y=-
【解析】 (1)易得曲线不过原点,设切点为(x0,(x0+a)), 则切线的斜率为f'(x0)=(x0+a+1),可得切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).由切线过原点,可得-(x0+a)=-x0(x0+a+1),化简得+ax0-a=0, (※)
又切线有两条,所以方程(※)有两个不相等的实根,则判别式Δ=a2+4a>0,得a<-4或a>0.
(2)当x>0时,点(x1, ln x1)(x1>0)处的切线为y-ln x1=(x-x1),若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,故此时切线方程为y=;当x<0时,点(x2, ln(-x2))(x2<0)处的切线为y-ln(-x2)=(x-x2),若该切线经过原点,则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,故此时切线方程为y=-.
【方法总结】 导数几何意义的应用主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点,常见类型有两种:一种是求“在某点处的切线方程”,此点一定为切点,先求导,再求斜率,进而求出切线方程;另一种是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)(x0-x1). ①
又已知y1=f(x1). ②
由①②求出x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.
题型3 利用导数研究函数的单调性
例3 设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0,讨论f(x)的单调性.
【解析】 由题意知,函数的定义域为(0,+∞),
f'(x)=,
因为a>0,x>0,所以2ax+3>0,
当0时,f'(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为0,,单调递增区间为,+∞.
【方法总结】 函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法.
题型4 利用导数求函数的极(最)值
例4 (1)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=( ).
A.-1 B.- C. D.1
(2)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点,若x1【答案】 (1)B (2),1
【解析】 (1)由题意得f(1)=b=-2,则f(x)=aln x-(x>0),
则f'(x)=+=,
因为当x=1时函数f(x)取得最值,所以x=1也是函数f(x)的一个极值点,
所以f'(1)=a+2=0,即a=-2,
所以f'(x)=,
所以f'(2)==-.
故选B.
(2)f'(x)=2ln a·ax-2ex,
因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,
所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,
所以当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0.
若a>1,则当x<0时,2ln a·ax>0,2ex<0,此时f'(x)>0,与函数f(x)有两个极值点矛盾,故a>1不符合题意.
若0即函数g(x)=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点.
因为0又ln a<0,所以g(x)=ln a·ax的图象是由指数函数y=ax的图象向下关于x轴作对称变换,然后将图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a|倍得到的,如图所示.
设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,ln a·),
则切线的斜率为g'(x0)=(ln a)2·,
故切线方程为y-ln a·=(ln a)2·(x-x0),
因为切线过原点,
则有-ln a·=-x0(ln a)2·,解得x0=,
所以切线的斜率为(ln a)2·=e(ln a)2.
因为函数g(x)=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,
所以e(ln a)2又0综上所述,a的取值范围为,1.
【方法总结】 (1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和f(x)的单调性,对于常见的连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不做判断,只需要直接与端点的函数值比较即可.解题过程渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
题型5 利用导数解决函数的零点或方程根的问题
例5 (2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
【解析】 (1)当a=0时,f(x)=--ln x,x>0,则f'(x)=-=,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)max=f(1)=-1.
(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,则f'(x)=a+-=,
当a≤0时,ax-1<0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此时函数无零点,不符合题意;
当01,在(0,1)和,+∞上,f'(x)>0,f(x)单调递增,在1,上,f'(x)<0,f(x)单调递减.又f(1)=a-1<0,
由(1)得+ln x≥1,即ln≥1-x,所以ln x当x>1时,f(x)=ax--(a+1)ln x>ax--2(a+1)>ax-(2a+3),
则存在m=+22>,使得f(m)>0,
所以f(x)仅在,+∞上有唯一零点,符合题意;
当a=1时,f'(x)=≥0,所以f(x)单调递增,又f(1)=a-1=0,
所以f(x)有唯一零点,符合题意;
当a>1时,<1,在0,,(1,+∞)上f'(x)>0,f(x)单调递增,在,1上f'(x)<0,f(x)单调递减.此时f(1)=a-1>0,
由(1)得,当01-,ln>1-,所以ln x>21-,
此时f(x)=ax--(a+1)ln x存在n=<,使得f(n)<0,
所以f(x)在0,上有一个零点,在,+∞上无零点,
所以f(x)有唯一零点,符合题意.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
【方法总结】 讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某条直线的交点个数、处理不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与极(最)值求出,然后借助单调性和极(最)值情况,画出函数图象的草图,数形结合求解.解题过程渗透直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型6 利用导数证明不等式
例6 (2022年北京卷)已知函数f(x)=exln(1+x).
(1)求曲线y=f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程;
(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x) 在[0,+∞) 上的单调性;
(3)证明:对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
【解析】 (1)∵f(x)=exln(1+x),∴f(0)=0,即切点坐标为(0,0),
又f'(x)=exln(1+x)+,∴切线斜率k=f'(0)=1,∴切线方程为y=x.
(2)∵g(x)=f'(x)=exln(1+x)+,
∴g'(x)=exln(1+x)+-.
令h(x)=ln(1+x)+-,
则h'(x)=-+=>0,
∴h(x) 在[0,+∞) 上单调递增,∴h(x)≥h(0)=1>0,
∴g'(x)>0 在[0,+∞) 上恒成立,∴g(x)在[0,+∞) 上单调递增.
(3)原不等式等价于f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).
令m(x)=f(x+t)-f(x)(x>0,t>0),即证明m(x)>m(0),
∵m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x),
m'(x)=ex+tln(1+x+t)+-exln(1+x)-=g(x+t)-g(x),
由(2)知,g(x)=f'(x)=exln(1+x)+ 在[0,+∞)上单调递增,且t>0,得x+t>x,
∴g(x+t)>g(x),∴m'(x)>0,
∴m(x) 在(0,+∞) 上单调递增,又x,t>0,∴m(x)>m(0),即f(s+t)>f(s)+f(t).
【方法总结】 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x),x∈(a,b).若h'(x)>0在区间(a,b)上成立,则h(x)在(a,b)上单调递增,同时h(a)>0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0在区间(a,b)上成立,则h(x)在(a,b)上单调递减,同时h(b)>0,即f(x)>g(x).本题考查了逻辑推理和数学运算的素养.
题型7 利用导数解决恒成立问题
例7 已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
【解析】 (1)∵f(x)=ex-ln x+1,∴f'(x)=ex-,
∴切线斜率k=f'(1)=e-1.
∵f(1)=e+1,∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2,
∴切线与坐标轴的交点坐标分别为(0,2),,0,
∴所求三角形的面积为×2×=.
(2)(法一)由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1,即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x,而ln x+x=eln x+ln x,∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x.
令h(m)=em+m,则h'(m)=em+1>0,
∴h(m)在R上单调递增.
由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x,得h(ln a+x-1)≥h(ln x),∴ln a+x-1≥ln x,∴ln a≥(ln x-x+1)max.
令F(x)=ln x-x+1(x>0),则F'(x)=-1=.
∴当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减.
∴F(x)max=F(1)=0,则ln a≥0,即a≥1.
∴a的取值范围为[1,+∞).
(法二)由题意知a>0,x>0,令aex-1=t,
∴ln a+x-1=ln t,∴ln a=ln t-x+1.
∴f(x)=aex-1-ln x+ln a=t-ln x+ln t-x+1.
∵f(x)≥1,即t-ln x+ln t-x+1≥1,∴t+ln t≥x+ln x,而y=x+ln x在(0,+∞)上为增函数,故t≥x,即aex-1≥x,分离参数后有a≥.
令g(x)=,∴g'(x)===.
当00,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
∴当x=1时,g(x)=取得最大值,最大值为g(1)=1.
∴a的取值范围为[1,+∞).
【方法总结】 解决恒成立问题的方法:(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m.(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具.本题考查了逻辑推理、数学运算的素养.
【拓展延伸】
中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等概念的想法都没有什么突破.中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念此时趋于成熟.在积分方面,1615年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积.而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)认为一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成.这些想法都是积分法的前驱.
在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破.费马(Fermat)在一封给罗贝瓦尔(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用的“设函数导数为零,然后求出函数极值点”的方法.另外,巴罗(Barrow)也已经懂得通过“微分三角形”(相当于以dx,dy,ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的.由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领.
然而,直至十七世纪中叶,人类仍然认为微分和积分是两个独立的概念.就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,通过“微积分基本定理”和“牛顿-莱布尼茨公式”联系起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆.这是微积分理论中的基石,是微积分发展的一个重要里程碑.
微积分诞生以后,逐渐发挥出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此迎刃而解.微积分的发展迅速,使人来不及检查和巩固微积分的理论基础.十九世纪,许多迫切的问题基本上已经解决,数学家于是转向微积分理论的基础重建,人类也终于首次给出极限、微分和积分等概念的严格定义.
1816年,波尔查诺(Bolzano)在人类历史上首次给出连续函数的近代定义.继而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后来在1823年的《概要》中他改写为d方法,把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算转化为一系列不等式的推算,这就是所谓极限概念的“算术化”.后来魏尔斯特拉斯(Weierstrass)将e和d联系起来,完成了e-d方法,这就是现代极限的严格定义.
有了极限的严格定义,数学家便开始尝试严格定义导数和积分.在柯西之前,数学家通常以微分为微积分的基本概念,并把导数视作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把导数定义作微分的商并不严谨.于是柯西在《概要》中直接定义导数为差商的极限,这就是现代导数的严格定义,是为现代微分学的基础.
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