(共18张PPT)
7.1.2 探索直线平行的条件
用内错角相等、同旁内角
互补判定两直线平行
知识点1 内错角
1.如图，∠4的内错角是( D )
A.∠1 B.∠2
C.∠3 D.∠5
D
2.下列图形中，∠1与∠2是内错角的是( A )
A
知识点2 同旁内角
3.如图，∠1和∠2不是同旁内角的是( D )
D
4.同学们可仿照示意图用双手表示“三线八角”图形(两大拇
指代表被截直线，食指代表截线).下面三幅图依次表示( B )
A.同位角、同旁内角、内错角
B.同位角、内错角、同旁内角
C.同位角、对顶角、同旁内角
D.同位角、内错角、对顶角
B
知识点3 由“内错角相等”判定两直线平行
5.[2023·山西实验中学月考]下列图形中，由∠1＝∠2能得到
AB∥CD的是( B )
【点拨】
在运用内错角相等判定两直线平行时，一定要搞清
楚 这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成的 .
B
在运用内错角相等判定两直线平行时，一定要搞清
楚 这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成的 .
6.如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图中所有平行的直线
是( D )
A.AB∥CD∥EF
B.CD∥EF
C.AB∥EF
D.AB∥CD∥EF，BC∥DE
(第6题)
D
【点拨】
因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
所以AB∥CD，BC∥DE，
CD∥EF.所以AB∥CD∥EF.
知识点4 由“同旁内角互补”判定两直线平行
7.(母题：教材P10练一练T3) 如图，下列条件不能判定
AB∥CD的是( B )
A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠E
C.∠B＋∠E＝180° D.∠BAF＝∠C
(第7题)
B
【点拨】
∠2＝∠E可判定AD∥BE，无法判定AB∥CD，故选B.
8.[2023·武汉外国语学校月考]如图，给出下面的推理：
(第8题)
①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF；
②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD；
③因为∠DCE＋∠AEF＝180°，所以AB∥EF；
④因为∠A＋∠AEF＝180°，所以AB∥EF.
其中正确的推理是( B )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
B
【点拨】
①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF，正确；
②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD，正确；
③因为∠DCE＋∠AEF＝180°，所以CD∥EF，错误；
④因为∠A＋∠AEF＝180°，所以AB∥EF，正确.
综上所述，正确的推理是①②④.
易错点 不能准确识别截线与被截线，误判平行线
9.如图，直线a，b被直线c，d所截，下列条件能判定a∥b的
是( D )
A.∠1＝∠3
B.∠2＋∠4＝180°
D
【点拨】
本题易找错截线与被截线而误选A，B，C，而A，B，C选项均判定的是c∥d.
C.∠4＝∠5
D.∠1＝∠2
利用“内错角相等、同旁内角互补”说明两直
线平行
10.(母题：教材P9例2) 在下面的括号内填上理由.
已知：如图，直线NF与直线HB，CD分别交于点E，F，
直线AM与直线HB交于点A，且
∠1＝∠4＝105°，∠2＝75°.
试说明AM∥NF，AB∥CD.
解：因为∠2＝∠3( )，
∠2＝75°(已知)，
所以∠3＝75°.
因为∠1＝105°(已知)，
所以∠MAB＝75°.所以∠MAB＝∠3.
所以AM∥NF( ).
因为∠3＝75°，∠4＝105°，
所以∠3＋∠4＝180°.
所以AB∥CD( ).
对顶角相等
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
利用平行线的判定方法说明两直线平行
11.如图，AB⊥AC，∠1与∠B互余.
(1)AD与BC平行吗？为什么？
【解】AD∥BC.理由如下：
因为AB⊥AC，
所以∠BAC＝90°.
因为∠1与∠B互余，所以∠1＋∠B＝90°.
所以∠1＋∠BAC＋∠B＝180°，即∠BAD＋∠B＝180°，
所以AD∥BC.
【解】AB∥CD.理由如下：
由(1)可知∠B＋∠BAD＝180°.因为∠B＝∠D，
所以∠D＋∠BAD＝180°，所以AB∥CD.
(2)若∠B＝∠D，则AB与CD平行吗？为什么？
12.[新考法条件探究法]直线AB和CD被直线MN所截，分别
交AB，CD于点E，F.
(1)如图①，EG平分∠BEF，FH平分∠DFE(平分的是一对
同旁内角)，则∠1与∠2满足 时AB∥CD；
∠1＋∠2＝90°
【点拨】
因为EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，所以∠BEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.
因为∠1＋∠2＝90°，所以∠BEF＋∠DFE＝180°，所以AB∥CD.
(2)如图②，EG平分∠MEB，FH平分∠DFE(平分的是一对
同位角)，则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；
【点拨】
∠1＝∠2
因为EG平分∠BEM，FH平分∠DFE，所以∠BEM＝2∠1，∠DFE＝2∠2.因为∠1＝∠2，所以∠BEM＝
∠DFE，所以AB∥CD.
(3)如图③，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE(平分的是一对
内错角)，则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD？为什么？
【解】∠1＝∠2时，AB∥CD.
理由：因为EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，
所以∠AEF＝2∠1，∠DFE＝2∠2.
因为∠1＝∠2，所以∠AEF＝∠DFE.
所以AB∥CD.(共19张PPT)
7.2 探索平行线的性质
知识点1 两直线平行，同位角相等
1.[2023·锦州]如图，将一个含45°角的直角三角尺按如图所示
的位置摆放在直尺上.若∠1＝28°，则∠2的度数为( C )
A.152° B.135°
C.107° D.73°
(第1题)
C
2.[2022·长沙]如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则
∠DCF的度数为( C )
A.65° B.70°
C.75° D.105°
(第2题)
C
3.(母题：教材P15练一练T1) 阅读下列材料，①～④步中数
学依据错误的是( B )
如图，已知直线b∥c，a⊥b，试说明：a⊥c.
解：因为a⊥b(已知)，
①所以∠1＝90°(垂直的定义).
又因为b∥c(已知)，
②所以∠1＝∠2(同位角相等，两直线平行).
③所以∠2＝∠1＝90°(等量代换).
④所以a⊥c(垂直的定义).
B
A.① B.②
C.③ D.④
【点拨】
因为a⊥b(已知)，
①所以∠1＝90°(垂直的定义).
又因为b∥c(已知)，
②所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
③所以∠2＝∠1＝90°(等量代换).
④所以a⊥c(垂直的定义).
所以错误的是②.
知识点2 两直线平行，内错角相等
4. (2023·广东母题·教材P12习题17)如图，街道AB与CD平
行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝( D )
A.43°
B.53°
C.107°
D.137°
D
5.[2023·岳阳]如图，已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，
G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的
度数是( C )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
(第5题)
C
【点拨】
因为∠AEF＝40°，∠FEG＝90°，所以∠BEG＝180°－
∠AEF－∠FEG＝50°.因为AB∥CD，所以∠EGF＝∠BEG
＝50°.
知识点3 两直线平行，同旁内角互补
6.[2023·重庆]如图，AB∥CD，AD⊥AC，若∠1＝55°，则
∠2的度数为( A )
A.35° B.45°
C.50° D.55°
(第6题)
A
7.[2023·陕西]如图，l∥AB，∠A＝2∠B.若∠1＝108°，则∠2
的度数为( A )
A.36° B.46°
C.72° D.82°
(第7题)
A
【点拨】
如图，
因为∠1＝108°，
所以∠3＝∠1＝108°.
因为l∥AB，
所以∠3＋∠A＝180°，∠2＝∠B，
所以∠A＝180°－∠3＝72°.因为∠A＝2∠B，
所以∠B＝36°，所以∠2＝36°.
8.[2023·绥化]将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一组平
行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为( C )
A.55° B.65°
C.70° D.75°
(第8题)
C
易错点 利用平行线的性质时易忽视“两直线平行”这一前
提而出错
9.已知∠1与∠2是同旁内角.若∠1＝50°，则∠2的度数是
( D )
A.50° B.130°
C.50°或130° D.不能确定
D
利用平行线的性质求角
10.如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线
AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝
90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数.
【解】因为在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，
所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.因为GE平分∠FGD，
所以∠EGD＝∠EGF＝55°.
因为AB∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°.
因为∠EHB＋∠AHE＝180°，
∠EFB＋∠E＋∠AHE＝180°，所以∠EHB＝∠EFB＋∠E，
所以∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.
利用平行线的性质说明两角互补
11.(母题：教材P17习题T5) 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，
∠1＝∠2.
(1)试说明EF∥AD；
【解】因为AD⊥BC，EF⊥BC，
所以∠BFE＝∠ADB＝90°，所以EF∥AD.
(2)试说明∠BAC＋∠AGD＝180°.
【解】因为EF∥AD，所以∠1＝∠BAD.
又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠BAD，
所以DG∥BA，所以∠BAC＋∠AGD＝180°.
利用平行线的性质说明角的关系
12.如图，已知AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝
∠3.AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由.
【解】AD是∠BAC的平分线.理由如下：
因为AD⊥BC，EG⊥BC，
所以∠ADC＝∠EGC＝90°，所以AD∥EG.
所以∠3＝∠1，∠E＝∠2.
又因为∠E＝∠3，
所以∠1＝∠2，即AD是∠BAC的平分线.
利用平行线的判定和性质求角的度数
13.[2023·金华]如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度
数是( C )
A.120° B.125°
C.130° D.135°
C
如图，因为∠1＝∠3＝50°，
所以a∥b.
所以∠5＋∠2＝180°.因为∠2＝50°，所以∠5＝130°.
所以∠4＝∠5＝130°.故选C.
【点拨】(共20张PPT)
7.3 图形的平移
知识点1 平移的定义
1.在下列生活现象中，不是平移的是( A )
A.小亮荡秋千的运动
B.拉开抽屉的运动
C.站在运行的电梯上的人的运动
D.坐在直线行驶的列车上的乘客的运动
A
2.[2023·郴州]下列图形中，能由图形a通过平移得到的是
( B )
B
3.(母题：教材P18图7－16)如图，三角形ABC经过平移之后
成为三角形DEF，那么：
(1)点A的对应点是点 ；
(2)线段AB的对应线段是线段 ；
(3)∠A的对应角是 .
D
DE
∠D
知识点2 平移的性质
4.[2023·怀化]如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线
EF所截，∠1＝60°，则∠2的度数为( B )
A.30° B.60°
C.100° D. 120°
(第4题)
B
【点拨】
如图，因为平移直线AB至CD，
所以AB∥CD，所以
∠BMF＝∠2.
因为∠BMF＝∠1＝60°，
所以∠2＝60°.
5.[2023·南充]如图，将三角形ABC沿BC向右平移得到三角形
DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是( A )
A.2 B.2.5 C.3 D.5
(第5题)
A
6.[2023·苏州]如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都
在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结
论中，正确的是( B )
A.连接AB，则AB∥PQ
B.连接BC，则BC∥PQ
C.连接BD，则BD⊥PQ
D.连接AD，则AD⊥PQ
(第6题)
B
【点拨】
连接AB，将点A平移到点P，即为向上平移3个单位
长度，将点B向上平移3个单位长度后，点B不在直线PQ
上，所以AB与PQ不平行，选项A错误；连接BC，将点B
平移到点P，即为向上平移4个单位长度，再向右平移1个
单位长度，将点C按点B的平移方式平移后，点C在直线
PQ上，所以BC∥PQ，选项B正确；连接BD，AD并反向延长，与直线PQ相交，易知BD，AD与PQ不垂直，选项C，D错误，故选B.
7.如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝ 3 cm，将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF.若AE＝8 cm，DB＝2 cm.
(1)则AD的长为 .
3 cm
(2)则四边形AEFC的周长为 .
18 cm
【点拨】
因为将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形DEF，
所以AD＝BE＝CF，EF＝BC＝3 cm.
因为AD＋DB＋BE＝AE，
所以CF＝AD＝(AE－DB)＝×(8－2)＝3(cm).
所以四边形AEFC的周长＝AC＋CF＋EF＋AE＝4＋3＋3＋8
＝18(cm).
知识点3 平移作图
8.(母题：教材P21习题T1)如图，从图形B到图形A的变化过
程中，下列描述正确的是( B )
A.向上平移2格，向左平移4格
B.向上平移1格，向左平移4格
C.向上平移2格，向左平移5格
D.向上平移1格，向左平移5格
B
9.如图，将三角形ABC平移到三角形DEF的位置，则下
列结论：
①AB∥DE，AD＝CF＝BE；
②∠ACB＝∠DEF；
③平移的方向是点C到点E的方向；
④平移的距离为线段BE的长.
其中正确的有( B )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
【点拨】
由平移的性质可知①④正确，②∠ACB＝∠DFE，故错
误；③平移的方向是点C到点F的方向，故错误.
易错点 因对平移的实际距离理解不透彻而出错
10.小明乘电梯从一楼到六楼，向上平移了15米，若每层楼的
高度相同，则他乘电梯从十三楼到一楼，会( D )
A.向下平移28.8米 B.向下平移33米
C.向下平移26.4米 D.向下平移36米
【点拨】
本题易弄错楼层数，一楼到六楼间隔5层楼，十三楼到一楼间隔12层楼，15÷5×12＝36(米).
D
利用平移作图说明平移方向和距离
11.(母题：教材P20练一练T1)如图的4个小三角形都是等边三
角形，边长为1 cm，你能通过平移三角形ABC得到其他三
角形吗？若能，请说出平移的方向和距离.
【解】将三角形ABC沿着射线BA的方向平移1 cm得到三角形FAE；将三角形ABC沿着射线BC的
方向平移1 cm得到三角形ECD；将三角形ABC
平移不能得到三角形AEC.
利用图形的平移变换在网格中作图
12.[2022·哈尔滨节选]如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的顶点均在小正方形的顶点上.请在方格纸中将三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到三角形MNP(点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P)，请画出三角形MNP.
【解】如图，三角形MNP即为所作.
利用图形平移的特征说明平移的位置变化规律
13.如图，在方格纸中平移三角形ABC，使点A移到点M，点B，C应移到什么位置？再将点A由点M移到点N，分别画出两次平移后的三角形.如果直接平移三角
形ABC，使点A移到点N，它和前面先移到点M后移到点N的位置相同吗？
【解】如图，点B，C分别移到点B'，C'的位置.两次平移后的三角形分别为三角形MB'C'和三角形NB″C″，如图所示.如果直接平移三角形ABC，使点A移到点N，它和前面先移到点M后移到点N的位置相同.(共21张PPT)
7.4.1 认识三角形
三角形及三边关系
知识点1 三角形及其相关概念
1.如图，下列说法错误的是( C )
A.∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角
B.∠BCD是与∠ACB相邻的外角
C.∠BCD＋∠A＝180°
D.△ABC的三条边分别是AB，BC，AC
(第1题)
C
2.如图，图中共有 个三角形，∠ADB是
△ 和△ 的外角.
(第2题)
5
ADC(DFC)
DFC(ADC)
知识点2 三角形的分类
3.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角
形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它
们之间关系的是( A )
A
知识点3 三角形的三边关系
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是
( C )
A.1，3，4 B.2，2，7
C.4，5，7 D.3，3，6
C
5.[2023·福建]若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值
可以是( B )
A.1 B.5 C.7 D.9
B
6.[2022·天大附中月考]已知三角形的两边长分别为1和5，第
三边长为整数，则该三角形的周长为( C )
A.7 B.8 C.11 D.12
【点拨】
设第三边长为x.根据三角形的三边关系，得5－1＜x
＜5＋1，即4＜x＜6.
因为x为整数，所以x的值为5.
所以三角形的周长为1＋5＋5＝11.
C
7.[2022·德阳]八一中学九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校
的直线距离分别是5 km和3 km，那么杨冲、李锐两家的直
线距离不可能是( A )
A.1 km B.2 km
C.3 km D.8 km
A
在一条直线上时，
设杨冲、李锐两家的直线距离为x km，
根据三角形的三边关系，得5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.
所以杨冲、李锐两家的直线距离可能为2 km，8 km，3 km，不可能是1 km.
【点拨】
当杨冲家、李锐家和学校在一条直线上时，杨冲、李锐
两家的直线距离为2 km或8 km .当杨冲家、李锐家和学校不
8.[2022·十堰]木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长
度分别为30 cm和32 cm的木条，需要将其中一根木条分为
两段与另一根组成一个三角形，如果不考虑损耗和接头部
分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段( B )
A.长为30 cm的木条 B.长为32 cm的木条
C.两根都可以 D.两根都不行
B
【点拨】
由三角形两边之和大于第三边，可知两根长度分别为 30 cm和32 cm的木条做一个三角形的框架，需要把长度为32 cm
的木条分为两段.
9.[2022·河北]平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，首
尾顺次相接组成凸五边形(如图)，则d可能是( C )
A.1 B.2
C.7 D.8
【点拨】
C
因为平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，首尾
顺次相接组成凸五边形，
所以1＋d＋1＋1＞5且1＋5＋1＋1＞d，
所以d的取值范围为2＜d＜8，
所以d可能是7.
易错点 忽视组成三角形的不同情况而漏解
10.[2022·广安]若(a－3)2＋｜b－5｜＝0，则以a，b为边长的
等腰三角形的周长为 .
【点拨】
因为(a－3)2＋｜b－5｜＝0，(a－3)2≥0，｜b－5｜≥0，
所以a－3＝0，b－5＝0，所以a＝3，b＝5.设三角形的第三边
长为c，当c＝a＝3时，三角形的周长＝a＋b＋c＝3＋5＋3＝
11，当c＝b＝5时，三角形的周长＝a＋b＋c＝3＋5＋5＝13.
11或13
故以a，b为边长的等腰三角形的周长为11或13.
利用三角形的定义确定三角形
11.(母题：教材P26习题T1)如图.
(1)图中共有多少个三角形？把它们写出来；
(2)线段AE是哪些三角形的边？
(3)∠B是哪些三角形的角？
【解】(1)题图中共有6个三角形，它们分别是△ABD，
△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC.
(2)线段AE是△ABE，△ADE，△AEC的边.
(3)∠B是△ABD，△ABE，△ABC的角.
利用三角形三边关系说明三角形的特征
12.下列说法正确的是( D )
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边
都不相等的三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等.
D
A.①②③ B.②③
C.①③ D.③
【点拨】
等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； 三角形按
边分类可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形 ，故
②错误；等腰三角形至少有两条边相等，故③正确.
等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； 三角形按
边分类可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形 ，故②错
误；等腰三角形至少有两条边相等，故③正确.
13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)若a，b，c满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC的
形状；
【解】因为(a－b)2＋(b－c)2＝0，(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，
所以a－b＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，
所以△ABC是等边三角形.
(2)若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及
最小值.
【解】由三角形三边关系可知5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，
因为c为整数，所以c最大值＝6，c最小值＝4，
所以△ABC的周长的最大值为5＋2＋6＝13，最小值为
5＋2＋4＝11.
利用按序计数法探究三角形的个数
14.［新考法 特殊到一般的思想］如图，第1个图形是一个三
角形，分别连接这个三角形三条边的中点得到第2个图
形，再分别连接第2个图形中间的小三角形三条边的中点
得到第3个图形……按此方法继续下去，请你根据每个图
形中三角形的个数的规律，完成下列问题：
(1)将下表填写完整：
图形序号 1 2 3 4 5 …
三角形的个数 1 5 9 13 17 …
13
17
(2)第n个图形中有 个三角形(用含n的式子表示).
(4n－3)
【点拨】
分析图形，知第2个图形在第1个图形的基础上增加了 4个三角形，第3个图形在第2个图形的基础上又增加了4个 三角形，以此类推，每操作一次，增加4个三角形，因此第 4个图形比第3个图形多4个三角形，即9＋4＝13(个)；第 5个图形比第4个图形多4个三角形，即13＋4＝17(个)；第 n个图形比第1个图形多4(n－1)个三角形，即第n个图形中
有4(n－1)＋1＝4n－3(个)三角形.(共22张PPT)
7.4.2 认识三角形
三角形的中线、角平分线和高线
知识点1 三角形的中线
1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是( D )
A.AD⊥BC B.∠BAD＝∠CAD
C.AB＝AC D.BD＝CD
(第1题)
D
2.(母题：教材P27习题T7(1))如图，已知点P是△ABC的重心
(三角形三边中线的交点)，连接AP并延长，交BC于点D，
若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为( A )
A.10 B.8 C.6 D.5
(第2题)
A
【点拨】
因为点P是△ABC的重心，所以AD是△ABC的中线.所以
△ADC的面积等于△ABC面积的一半.又因为△ABC的面积为
20，所以△ADC的面积为10.
3. ［2022·常州 新考法 等面积法］如图，在△ABC中，点E
是中线AD的中点，若△AEC的面积是1，则△ABD的面
积是 .
2
(第3题)
【点拨】
因为点E是AD的中点，所以CE是△ACD的
中线，所以S△ACD＝2S△AEC.
因为△AEC的面积是1，所以S△ACD＝2.
因为AD是△ABC的中线，所以S△ABD＝S△ACD＝2.
知识点2 三角形的角平分线
4.(母题：教材P25想一想T1)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下
列结论中错误的是( D )
A.BD是△ABC的角平分线
B.CE是△BCD的角平分线
C.∠3＝∠ACB
D.CE是△ABC的角平分线
(第4题)
D
【点拨】
因为∠1＝∠2，所以BD是△ABC的角平分线，A正确；因为∠3＝∠4，所以CE是△BCD的角平分线，∠3＝
∠ACB，B，C正确，D不正确.
5.如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线.
若∠BAC＝80°，则∠EAD＝( C )
A.30° B.45°
C.20° D.60°
(第5题)
C
【点拨】
因为AE是△ABC的角平分线，所以∠CAE＝∠BAC＝
40°.因为AD是△AEC的角平分线，所以∠EAD＝∠CAE＝
20°.
知识点3 三角形的高线
6.[2022·杭州]如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则
( B )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
(第6题)
B
7.[2022·玉林]请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，
下列最接近的是( D )
A.0.5 cm B.0.7 cm
C.1.5 cm D.2 cm
(第7题)
D
8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平
分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝
( A )
A.75° B.80°
C.85° D.90°
(第8题)
A
【点拨】
依据AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，即可得到∠BAD
＝30°.依据∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，即可得到∠BAE
＝25°，则∠EAD＝5°.又可知∠ACD＝180°－∠ABC－
∠BAC＝70°，所以∠EAD＋∠ACD＝75°.
易错点 不理解三角形高的定义导致出错
9.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为
三角形“高”的线段有( D )
A.1条 B.2条
C.3条 D.5条
【点拨】
可以作为三角形“高”的线段有AC，BC，AD，CD，BD共5条.
D
利用三角形的中线求面积
10.如图，点D是△ABC的边BC上一点，且BD∶CD＝2∶3，
点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为
20 cm2.求：
(1)△CDE的面积；
【解】因为△ABD和△ADC等高不等底，
BD∶CD＝2∶3，所以S△ABD＝S△ABC＝
×20＝8(cm2)，所以S△ADC＝20－8＝12(cm2).因为点E是线段AD的中点，所以S△CDE＝S△ADC＝×12＝6(cm2).
【解】因为点E是线段AD的中点，
所以S△BDE＝S△ABD＝×8＝4(cm2).由(1)知，
S△CDE＝6 cm2，所以S△BCE＝S△BDE＋S△CDE＝4＋6＝10(cm2).因为点F是线段CE的中点，所以S△BEF＝S△BCE＝×10＝5(cm2).故阴影部分的面积为5 cm2.
(2)阴影部分的面积.
利用三角形高、中线求线段长
11.[新考法 等面积法]如图，已知AD，AE分别是△ABC的
高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，
∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长；
【解】因为∠BAC＝90°，AD是BC边
上的高，所以S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，所以AD＝＝＝4.8(cm)，即AD的长为4.8 cm.
(2)△ABE的面积；
【解】因为AE是△ABC的中线，所以BE＝BC＝5 cm，由(1)知AD＝4.8 cm，
所以S△ABE＝BE·AD＝×5×4.8＝12(cm2).
【解】因为BE＝CE，
所以△ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB＋AE＋BE)＝AC－AB＝
8－6＝2(cm)，
即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.
(3)△ACE和△ABE的周长的差.
利用高、角平分线的定义探求角的度数
12.［新考法 推理探究法］如图，在△ABC中，AD⊥BC，
AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)∠BAE＝ ，∠DAE＝ .(填度数)
【点拨】
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝40°.
因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°.
因为∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，
所以∠BAD＝180°－90°－70°＝20°，
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
40°
20°
(2)探究：小明认为如果把条件“∠B＝70°，∠C＝30°”改成
“∠B－∠C＝40°”，也能得出∠DAE的度数.你认为能
吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.
【解】能.因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，所以∠BAC＝
180°－∠B－∠C.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC
＝(180°－∠B－∠C)＝90°－(∠B＋∠C).因为AD⊥BC，所
以∠ADB＝90°.因为∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，所以
∠BAD＝180°－90°－∠B＝90°－∠B，所以∠DAE＝∠BAE
－∠BAD＝90°－(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝(∠B－∠C).因
为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝×40°＝20°.(共22张PPT)
7.5.1 多边形的内角和与外角和
三角形的内角和
知识点1 三角形内角和定理
1.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于( A )
A.32° B.36°
C.40° D.128°
【点拨】
因为在△ABC中，∠A＝20°，所以∠B＋∠C＝160°.又因为∠B＝4∠C，所以5∠C＝160°，所以∠C＝32°.
A
2.[2023·聊城]如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若
∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB的度数为( B )
A.65° B.75°
C. 85° D.95°
(第2题)
B
【点拨】
因为AD∥BE，所以∠ADC＝∠EBC＝80°.因为∠CAD
＋∠ADC＋∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，所以∠ACB＝180°
－25°－80°＝75°，故选B.
3.[2022·西藏]如图，l1∥l2，∠1＝38°，∠2＝46°，则∠3的度
数为( C )
A.46° B.90°
C.96° D.134°
(第3题)
【点拨】
C
如图，因为l1∥l2，所以∠1＝∠4.因为∠2＋∠3
＋∠4＝180°，∠1＝38°，∠2＝46°，
所以∠3＝96°.
4.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将
其折叠使点A落在BC边上的点A'处，折痕为CD，则∠A'DC
＝( D )
A.10° B.30°
C.65° D.85°
(第4题)
D
【点拨】
由折叠的性质可知∠CA'D＝∠A＝50°，∠A'CD＝
∠ACD＝45°，所以∠A'DC＝180°－50°－45°＝85°.
5.[2023·遂宁]若三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，则这个
三角形是 三角形.
【点拨】
设这个三角形最小的内角度数是x°，则另外两个内角的
度数分别为2x°，3x°，
根据题意得x＋2x＋3x＝180，解得
x＝30，所以3x°＝3×30°＝90°，
所以这个三角形是直角三角形.
直角
6.[2023·十堰]一副三角尺按如图所示放置，点A在DE上，点
F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝ .
(第6题)
100°
【点拨】
如图，
由题意得∠BAC＝60°，∠C＝30°，
∠D＝45°.
因为∠EAB＝35°，
所以∠CAD＝180°－∠EAB－∠BAC＝85°，
所以∠AGD＝180°－∠D－∠CAD＝50°，
所以∠CGF＝∠AGD＝50°，
所以∠DFC＝180°－∠C－∠CGF＝100°.
知识点2 直角三角形的性质
7.[2022·贺州]如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B
＝56°，则∠A的度数为( A )
A.34° B.44°
C.124° D.134°
(第7题)
A
8. 《周礼·考工记》中记载：“……半矩谓之
宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是：“……直
角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”，即：1宣
＝矩，1欘＝1宣(其中，1矩＝90°).
(第8题)
问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部
分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C
＝ °.
22.5
因为1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，
所以∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，
所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－90°－67.5°＝22.5°.
【点拨】
【解】因为∠B＝∠A＋10°，∠ACB＝∠A＋20°，
所以∠A＋∠A＋10°＋∠A＋20°＝180°，
所以∠A＝50°.因为CD⊥AB，
所以∠ADC＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ADC－∠A＝40°.
9.(母题：教材P29练一练T1)如图，在△ABC中，∠B＝
∠A＋10°，∠ACB＝∠A＋20°，CD⊥AB于点D，求
∠ACD的度数.
易错点 忽视高的位置情况而漏解
10.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD
＝20°，则∠BAC是 °.
80或40
所以∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－30°－90°＝60°，
所以∠BAC＝∠BAD－∠CAD＝60°－20°＝40°.
综上所述，∠BAC＝80°或40°.
【点拨】
当高AD在△ABC内部时，如图①，∠ADB＝90°，所以
∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－30°－90°＝60°，
所以∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋20°＝80°；
当高AD在△ABC外部时，如图②，∠ADB＝90°，
利用构造180°角法说明三角形内角和定理
11.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝40°，∠C＝57°.
(1)分别求∠DAB，∠EAC及∠BAC的度数；
【解】因为DE∥BC，
所以∠DAB＝∠B＝40°，∠EAC＝∠C＝57°.
因为直线DE经过点A，所以∠DAE＝180°，
即∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°，
所以∠BAC＝180°－40°－57°＝83°.
(2)你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？
【解】因为DE∥BC，所以∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.
因为∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°，
所以∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
即三角形的内角和为180°.
利用直角三角形的性质探求相等的角
12.［新考法 动点位置探究法］(1)如图①，在直角三角形
ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相
等的角吗？为什么？
【解】有.
理由：因为CD⊥AB，所以∠B＋∠BCD＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠B＋∠A＝90°.所以∠BCD＝∠A.
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于
点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
【解】有.
理由：因为ED⊥AB，所以∠B＋∠BED＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠B＋∠A＝90°.所以∠BED＝∠A.
(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的
延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
【解】有.
理由：因为ED⊥AB，所以∠B＋∠E＝90°.
因为∠ACB＝90°，
所以∠B＋∠A＝90°.所以∠E＝∠A.
利用三角形内角和解与平行线相关问题
13.[2022·武汉]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝
80°.
(1)求∠BAD的度数；
【解】因为AD∥BC，
所以∠B＋∠BAD＝180°.
因为∠B＝80°，所以∠BAD＝100°.
(2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.试说明：AE∥DC.
【解】因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝∠BAD＝50°.
所以∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝50°.
因为∠BCD＝50°，所以∠AEB＝∠BCD，
所以AE∥DC.(共17张PPT)
7.5.2 多边形的内角和与外角和
多边形的内角和
知识点1 多边形的内角和
1.[2023·湘西]一个七边形的内角和是( B )
A.1 080° B.900°
C.720° D.540°
B
2.[2023·永州]下列多边形中，内角和等于360°的是( B )
B
3. (2022·通辽 母题·教材P32练一练T3)一个多边形的每个内
角为108°，则它的边数是( D )
A.4 B.6
C.7 D.5
【点拨】
设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列
方程求解即可.
D
4.[2023·云南]五边形的内角和是 度.
540
5. (2022·资阳 新视角·条件开放题)小张同学家要装修，准备
购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面，现已选
定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以
是 .(填一种即可)
4(答案不唯一)
6.如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线与∠BCD的平
分线交于点P.若∠P＝105°，则∠A＋∠D的度数为 .
【点拨】
210°
因为∠P＝105°，所以∠PBC＋∠PCB＝
180°－∠P＝75°.由角平分线的性质可得
∠ABC＋∠BCD＝2(∠PBC＋∠PCB)＝150°.
所以∠A＋∠D＝360°－(∠ABC＋∠BCD)＝210°.
7.(母题：教材P30图7－32)如果从某多边形的一个顶点出
发，可以作4条对角线，那么这个多边形的内角和
是 °.
【点拨】
根据从一个顶点出发可引出(n－3)条对角线，求出n的
值，再根据内角和公式求解即可.
900
知识点2 多边形的截角
8.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为
720°，则原多边形的边数是 .
【点拨】
所得多边形的内角和为720°，则所得多边形为六边形，一个多边形过顶点剪去一个角后得到一个六边形，则原多边
形为六边形或七边形，即原多边形的边数为6或7.
6或7
9.如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多
边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可
能是( C )
A.360° B.540°
C.630° D.720°
C
【点拨】
一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形，每一个多
边形的内角和都是180°的倍数，都能被180°整除，所以两个
多边形的内角和的和也能被180°整除.分析四个选项，只有
630°不能被180°整除，所以a＋b不可能是630°.
10.如图，在五边形ABCDE中，点M，N分别在AB，AE的边
上，∠1＋∠2＝120°，则∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ .
480°
易错点 考虑问题不全面产生漏解
11. ［新考法 分类讨论法］一个多边形切去一个角后，形成
的新多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为
( D )
A.7 B.7或8
C.8或9 D.7或8或9
【点拨】
因为新多边形的内角和为1 080°，所以这个新多边形是八边形，则原多边形的边数为7或8或9，注意与第8题进行区分.
D
利用多边形内角和公式求角的度数
12. (母题：教材P31例3)在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D
＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
【解】因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝
(4－2)×180°＝360°，∠B＝∠C，∠A＝140°，
∠D＝80°，所以∠C＝＝70°.
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，
试求出∠C的度数.
【解】因为BE∥AD，∠D＝80°，∠A＝140°，
所以∠BEC＝∠D＝80°，
∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又因为BE平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABE＝40°.
所以∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.
利用多边形的内角和求边数
13.(1)一个n边形，除了一个内角，其余(n－1)个内角的和为 2 770°，求这个内角的度数；
【解】设这个内角的度数为x，
则(n－2)×180°－x＝2 770°，
即180°·n＝3 130°＋x.
因为n为正整数，0°＜x＜180°，所以n＝18.
所以这个内角的度数为180°×(18－2)－2 770°＝110°.
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一
个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的边数
n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？
【解】设多加的这个内角度数为α，则(n－2)·180°＝
1 380°－α，即180°·n＝1 740°－α.因为n为正整数，
0°＜α＜180°，所以n＝9，所以α＝1 740°－180°×9＝120°.
答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角度数是
120°.(共21张PPT)
7.5.3 多边形的内角和与外角和
多边形的外角和
知识点1 多边形的外角和
1.[2023·北京]正十二边形的外角和为( C )
A.30° B.150°
C.360° D.1 800°
C
2.[2023·南京外国语学校月考]若某多边形的边数增加1，则这
个多边形的外角和( D )
A.增加180° B.增加360°
C.减少180° D.不变
D
3.(母题：教材P33做一做T2)如图，在四边形ABCD中，∠1，
∠2，∠3分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD的邻补角.下列等
式一定成立的是( A )
A
A.∠1＋∠2＋∠3＝∠ADC＋180°
B.∠1＋∠2＋∠ADC＝∠3＋180°
C.∠1＋∠3＋∠ADC＝∠2＋180°
D.∠2＋∠3＋∠ADC＝∠1＋180°
(第3题)
【点拨】
如图.由多边形的外角和为360°，得∠1＋∠2＋∠3＋
∠4＝360°，而∠4＝180°－∠ADC，所以∠1＋∠2＋∠3
＋180°－∠ADC＝360°，所以∠1＋∠2＋∠3＝∠ADC
＋180°.故选A.
4.[2022·河北]如图，将三角形纸片剪掉一角得到四边形，设
△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正
确的是( A )
(第4题)
A
B.α－β＜0°
C.α－β＞0°
D.无法比较α与β的大小
A.α－β＝0°
【点拨】
因为任意多边形的外角和为360°，所以α＝β＝360°.所以
α－β＝0°.
5. (母题：教材P35习题T12) 如图，小明从点A出发沿直线前
进10米到达点B，向左转45°后沿直线前进10米到达点C，
再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下
去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为( B )
A.100米 B.80米
C.60米 D.40米
(第5题)
B
【点拨】
因为小明每次都是沿直线前进10米后向左转45°，所以
他走过的图形是正多边形.所以边数n＝360°÷45°＝8.所以他
第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80(米).故选B.
6.[2022·株洲]如图，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的
顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO
＝ °.
48
(第6题)
【点拨】
根据正五边形的外角和为360°，且每个外角的度数相
等，可求出∠OAE的度数，根据三角形的内角和等于180°，
即可得到答案.
知识点2 多边形外角和与内角和的关系
7.(母题：教材P35习题T10)一个多边形的内角和是外角和的4
倍，则这个多边形是( C )
A.八边形 B.九边形
C.十边形 D.十二边形
【点拨】
一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的内角和是360°×4＝1 440°，这个多边形的边数＝1 440°÷180°＋
2＝10，即这个多边形是十边形.
C
8.[2022·烟台]一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比
为3∶1，则这个正多边形是( C )
A.正方形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十边形
【点拨】
设这个正多边形的外角是x°，则内角是3x°，根据内角与
它相邻的外角互补列出方程，求出外角的度数，根据多边形
的外角和是360°即可求解.
C
易错点 不会用内、外角和的关系求边数而出错
9.[2023·武汉十一中模拟]小范将几块六边形纸片分别剪掉了
一部分(虚线部分)，得到了四个新多边形.若新多边形的内
角和是其外角和的2倍，则对应的图形是( B )
A
B
C
D
B
【点拨】
由新多边形的内角和是其外角和的2倍，可得内角和为360°×2＝720°，进而得到新多边形的边数为6，对照各选项进行判断即可.
利用多边形内、外角的关系求角的度数
10.在四边形ABCD中，已知∠A＋∠C＝160°，BE，DF分别
为四边形ABCD的外角∠CBN，∠MDC的平分线.
(1)如图①，若BE∥DF，则∠C的度数为 ；
80°
【点拨】
如图①，过点C作CH∥DF.因为BE∥DF，
所以BE∥DF∥CH，所以∠FDC＝∠DCH，
∠BCH＝∠EBC.所以∠DCB＝∠DCH
＋∠BCH＝∠FDC＋∠EBC.
因为BE，DF分别为四边形ABCD的外角∠CBN，∠MDC的
平分线，
所以∠FDC＝∠MDC，∠EBC＝∠CBN，
所以∠DCB＝(∠MDC＋∠CBN).
因为∠A＋∠BCD＝160°，
所以∠ADC＋∠ABC＝360°－160°＝200°，
所以∠MDC＋∠CBN＝2×180°－(∠ADC＋∠ABC)＝160°，
所以∠DCB＝×160°＝80°.
(2)如图②，若BE，DF交于点G，且BE∥AD，DF∥AB，求
∠C的度数.
【解】如图②，连接GC并延长.
由(1)可得∠MDC＋∠CBN＝160°，∠FDC＋∠EBC＝80°，所以∠MDF＋∠NBG＝160°－80°＝80°.因为BE∥AD，DF∥AB，所以∠A＝∠NBG＝∠DGB＝∠MDF＝80°÷2＝40°.因为∠A＋∠BCD＝160°，所以∠BCD＝160°－40°＝120°.
利用多边形的内、外角的关系求多边形的边数
及内角和
11.在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外
角的3倍还大20°.
(1)求这个多边形的边数；
【解】设这个多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角
等于3α＋20°，
由题意，得(3α＋20°)＋α＝180°，解得α＝40°.
即这个多边形的每个外角为40°.
又因为多边形的外角和为360°，
所以这个多边形的边数为＝9.
【解】剪去一个角后，多边形的边数可能减少1，可能不变，也可能增加1.若剪去一个角后边数减少1，即变成八边形，则内角和为(8－2)×180°＝1080°；若剪去一个角后边数不变，仍为九边形，则内角和为(9－2)×180°＝1260°；若剪去一个角后边数增加1，即变成十边形，则内角和为(10－2)×180°＝1440°.
答：若将这个多边形剪去一个角，则新多边形的内角和是
1080°或1260°或1440°.
(2)若将这个多边形剪去一个角，则新多边形的内角和是
多少？
12.多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
(1)求此多边形的边数；
【解】设此多边形的边数为n，这个外角为x°，则0＜x＜180.根据题意，得(n－2)·180°＋x°＝1 350°，所以n＝9＋.
因为n为正整数，且0＜x＜180，
所以90°－x°＝0°，即x＝90，则n＝9.
即此多边形的边数为9.
(2)此多边形有一个内角的度数是确定的，为多少度？
此多边形确定的内角的度数为180°－90°＝90°.(共27张PPT)
测素质 平行线的判定与性质
一、选择题(每题4分，共32分)
1.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是( B )
B
2.[2023·抚顺]如图，直线AB，CD被直线EF所截，
AB∥CD，∠1＝122°，则∠2的度数为( B )
A.48° B.58°
C.68° D.78°
(第2题)
B
3.[2022·新疆]如图，AB与CD相交于点O，若∠A＝∠B＝
30°，∠C＝50°，则∠D＝( D )
A.20° B.30°
C.40° D.50°
(第3题)
【点拨】
D
因为∠A＝∠B＝30°，所以AC∥DB.所以∠C＝∠D.
因为∠C＝50°，所以∠D＝50°.
4.[2023·唐山二模]下列推理正确的是( A )
A.因为∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠2
B.因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠3＝90°
C.在同一平面内，因为a⊥b，b⊥c，所以a⊥c
D.因为＝2，所以a＝2，b＝1
A
因为∠1＋∠3＝90°，∠3＋∠2＝90°，所以∠1＝∠2，
A正确；因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝
∠3，B错误；在同一平面内，因为a⊥b，b⊥c，所以a∥c，
C错误；因为＝2，所以a＝2b，D错误.故选A.
【点拨】
5.[2023·北京交通大学附中期中]如图，某人骑自行车自A处
沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改为南偏东75°，若
行驶到C处仍按正东方向行驶，则他在C处的实际拐弯方向
为( B )
A.左拐75° B.左拐15°
C.右拐15° D.右拐75°
(第5题)
B
【点拨】
过点C作CE∥AB，如图所示，因为某人骑自行车自A处沿
正东方向前进，至B处后，行驶方向改为南偏东75°，
所以∠1＝90°－75°＝15°.
因为CE∥AB，
所以∠2＝∠1＝15°，
所以若行驶到C处仍按正东方向行驶，则他在C处的实际拐
弯方向为左拐15°.
6.(母题：教材P15例题)如图，给出下列条件：
(第6题)
①∠AEC＝∠C；②∠C＝∠BFD；③∠BEC＋∠C＝180°.其
中能判定AB∥CD的是( B )
A.①②③ B.①③
C.②③ D.①
B
【点拨】
①由“内错角相等，两直线平行”知，根据∠AEC＝
∠C能判定AB∥CD.
②由“同位角相等，两直线平行”知，根据∠C＝∠BFD能
判定EC∥BF，但不能判定AB∥CD.
③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据∠BEC＋∠C
＝180°能判定AB∥CD.
故选B.
7. (2023·济宁母题·教材P16习题T12)如图，a，b是直尺的两
边，a∥b，把三角尺的直角顶点放在直尺的b边上，若∠1
＝35°，则∠2的度数是( B )
A.65° B.55°
C.45° D.35°
(第7题)
B
【点拨】
如图，由题意知∠BEF＝90°，∠CED是平角，∠1＝
35°.因为a∥b，所以∠1＝∠3＝35°，∠2＝∠BEC.
所以∠BEC＝180°－∠BEF－∠3＝180°－90°－35°＝55°.所
以∠2＝55°.
8. ［新考法构造基础图形法］如图，AB∥EF，BC⊥CD，
则∠α，∠β，∠γ之间的关系是( C )
A.∠β＝∠α＋∠γ
B.∠α＋∠β＋∠γ＝180°
C.∠α＋∠β－∠γ＝90°
D.∠β＋∠γ－∠α＝90°
(第8题)
C
【点拨】
如图，分别过点C，D作AB的平行线CM和DN.因为
AB∥EF，CM∥AB，DN∥AB，所以AB∥CM∥DN∥EF，
所以∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ，
所以∠α＋∠β＝∠BCM＋∠CDN＋∠NDE＝∠BCM＋
∠MCD＋∠γ＝∠BCD＋∠γ.
又因为BC⊥CD，所以∠BCD＝90°，
所以∠α＋∠β＝90°＋∠γ，
即∠α＋∠β－∠γ＝90°.
二、填空题(每题4分，共24分)
9. (母题：教材P15练一练T3)如图，请添加一个合适的条
件 ，使AB∥CD.
(第9题)
∠DCE＝∠ABC(答案不唯一)
10.[2023·烟台]一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1
＝102°，则∠2的度数为 .
(第10题)
78°
11.[2023·长春师大附中模拟]如图，直线AB∥CD∥EF，则
∠α＋∠β－∠ ＝ .
(第11题)
【点拨】
180°
如图，延长CD到点H.
因为AB∥CD∥EF，所以∠α＋∠2＝180°，
∠1＝∠γ.所以∠α＋∠β－∠γ＝
∠α＋∠2＋∠1－∠γ＝∠α＋∠2＝180°.
12.(母题：教材P12习题T10)如图，点E在AC的延长线上，对
于下列给出的四个条件：
(第12题)
①∠3＝∠4；②∠1＝∠2；
③∠A＝∠DCE；④∠D＋∠ABD＝180°.
能判定AB∥CD的有 (填序号).
②③④
①因为∠3＝∠4，所以BD∥AC.
②因为∠1＝∠2，所以AB∥CD.
③因为∠A＝∠DCE，所以AB∥CD.
④因为∠D＋∠ABD＝180°，所以AB∥CD.
故能判定AB∥CD的有②③④.
【点拨】
13.如图，已知a∥b，小华把含45°角的三角尺的直角顶点放
在直线b上.若∠1＝40°，则∠2的度数为 .
130°
【点拨】
如图，由题意得∠3＝90°，所以∠4＝180°－∠1－∠3＝
180°－40°－90°＝50°.因为a∥b，所以∠2＋∠4＝180°.所以
∠2＝130°.
【点方法】
解这类题的关键是结合三角尺中的特殊角和已知条件，根据平行线的性质进行角度的计算。
14.如图为某校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初
始状态时，篮球架的横梁EF平行于AB，主柱AD垂直于地
面，EF与上拉杆CF形成的角为∠F，且∠F＝150°，这个篮
球架可以通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度.
在调整EF的高度时，为使EF和AB平行，需要改变∠EFC和
∠C的度数，调整EF使其上升到GH的位置，此
时，GH与AB平行，∠CDB＝35°，并且点H，D，
B在同一直线上，则∠H为 °.
115
【点拨】
如图，过点D作DI∥EF，
所以∠F＋∠FDI＝180°.
因为∠F＝150°，
所以∠FDI＝180°－∠F＝30°.
又因为∠FDH＝∠CDB＝35°，
所以∠IDH＝∠FDI＋∠FDH＝30°＋35°＝65°.
因为EF∥AB，GH∥AB，DI∥EF，
所以DI∥GH.所以∠H＋∠IDH＝180°.
所以∠H＝180°－∠IDH＝180°－65°＝115°.
三、解答题(共44分)
15.(12分)如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分
∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3.试证明：AB∥DC.请根据
条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由.
解：因为BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
所以∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC( ).
因为∠ABC＝∠ADC(已知)，
所以∠ ＝∠ (等量代换).
因为∠1＝∠3(已知)，
所以∠2＝∠ ( ).
所以AB∥DC( ).
角平分线的定义
1
2
3
等量代换
内错角相等，两直线平行
16. (16分)如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝
∠AGF，∠1＝∠2＝35°.
(1)求∠GFC的度数；
【解】因为BD⊥AC，EF⊥AC，
所以BD∥EF，∠EFC＝90°.
所以∠GFE＝∠1＝35°.
所以∠GFC＝∠GFE＋∠EFC＝35°＋90°＝125°.
(2)试说明MD∥BC.
【解】因为∠1＝∠GFE，∠1＝∠2，
所以∠GFE＝∠2.所以GF∥BC.
因为∠AMD＝∠AGF，所以MD∥GF.
所以MD∥BC.(共30张PPT)
测素质 三角形与多边形
一、选择题(每题4分，共32分)
1. “水是生命之源，滋润着世间万物.”国家节水标志(如图)由水滴、手掌和地球变形而成.寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是( C )
C
2.如图，CM是△ABC的中线，AB＝10 cm，则BM的长为
( C )
A.7 cm B.6 cm
C.5 cm D.4 cm
(第2题)
C
3.若一个三角形的三个内角度数的比是2∶7∶4，则这个三角
形是( C )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
C
4.[2022·湖州]如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到
△A'B'C'.若B'C＝2 cm，则BC'的长是( C )
A.2 cm B.3 cm
C.4 cm D.5 cm
(第4题)
C
5.[2023·金华]在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm
的两条线段围成一个三角形的是( C )
A.1 cm B.2 cm
C.13 cm D.14 cm
【点拨】
首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系
可得x的范围，然后可得答案.
C
6.如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2－∠1的
值为( A )
A.60°
B.80°
C.108°
D.120°
A
【点拨】
如图，延长AB交l2于点G.
因为六边形ABCDEF为正
六边形，所以∠GBC＝360°÷6＝60°.
因为l1∥l2，所以∠1＝∠BGE.
因为∠2＝180°－∠3＝∠BGE＋∠GBC，
所以∠2－∠1＝∠GBC＝60°.
7.［新考法 翻折对称法］如图，在四边形纸片ABCD中，
∠A＝80°，∠B＝70°，将纸片折叠，使点C，D落在AB边
上的点C'，D'处，折痕为EF，则∠1＋∠2＝( D )
A.40° B.50°
C.70° D.60°
(第7题)
D
【点拨】
由折叠可得∠CFE＝∠C'FE，∠DEF＝∠D'EF，所以
∠CFC'＝2∠CFE，∠DED'＝2∠DEF.因为∠CFE＋∠DEF
＝360°－(∠C＋∠D)＝∠A＋∠B＝80°＋70°＝150°，所以
∠1＋∠2＝180°－2∠DEF＋180°－2∠CFE＝360°－
2(∠CFE＋∠DEF)＝360°－2×150°＝60°，故选D.
8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF⊥AD于点P，交
BC的延长线于点M.已知∠ACB＝70°，∠B＝40°，则∠M
的度数为( B )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
(第8题)
B
【点拨】
由∠ACB＝70°，∠B＝40°可求出∠BAC＝70°，再由角
平分线的性质可得∠PAF＝∠BAC＝35°.又由EF⊥AD可求
得∠AFP＝∠CFM＝55°，进而由∠ACB＝180°－∠FCM＝
∠M＋∠CFM，可求得∠M＝∠ACB－∠CFM＝15°.
二、填空题(每题4分，共24分)
9.十边形的内角和是 度.
1 440
10.(母题：教材P40复习题T5)若三角形三条边的长度分别是
2，a，4，且a为偶数，则a的值为 .
4
11.［新考法 平移法］如图，某住宅小区内有一长方形地块，
长为18 m，宽为12 m.想在长方形地块内修筑同样宽的路
(图中阴影部分)，余下部分绿化，道路的宽为2 m，则绿化
的面积为 m2.
160
(第11题)
12.[2023·安徽]清初数学家梅文鼎在其著作《平三角举要》
中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三
斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程创造性地
设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三
角形ABC的高，则BD＝(BC＋).当AB＝7，BC＝
6，AC＝5时，CD＝ .
1
(第12题)
【点拨】
因为AB＝7，BC＝6，AC＝5，
所以BD＝＝×(6＋)＝5，
所以CD＝BC－BD＝6－5＝1.
13.如图，已知∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝310°，则∠DOC的度
数为 °.
(第13题)
130
【点拨】
如图，连接CD，
在四边形ABCD中，
因为∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°，∠A＋∠B＋
∠BCO＋∠ADO＝310°，
所以∠OCD＋∠CDO＝50°，
所以∠DOC＝180°－(∠OCD＋∠CDO)
＝180°－50°＝130°.
14. (母题：教材P35习题T12) 如果机器人在平地上按如图所
示的程序框图规定的路线行走，那么机器人结束程序后行走
的路程是 .
30米
根据多边形的外角和等于360°，可知机器人回到点A
处时，恰好沿着360°÷24°＝15边形的边走了一圈，即可
求得路程.
【点拨】
三、解答题(共44分)
15.(10分)(1)若一个多边形的内角和为1620°，求此多边形的
边数；
【解】设此多边形的边数为n.
则(n－2)·180°＝1620°，解得n＝11.
故此多边形的边数为11.
【解】设n边形的一个内角的度数为5x°，
则相邻外角的度数为x°.
依题意，得5x°＋x°＝180°，解得x＝30.
360°÷30°＝12.
故n的值为12.
(2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的每一个内角与
相邻外角的度数之比为5∶1，求n的值.
16.(10分)如图，将△ABC沿射线AB的方向平移2cm到△DEF
的位置.连接CF.
(1)写出图中所有平行的直线；
【解】因为将△ABC沿射线AB的方向平移2 cm到
△DEF的位置，
所以AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF.
【解】因为将△ABC沿射线AB的方向平移2 cm到△DEF的
位置，所以AD＝CF＝BE＝2 cm.
(2)写出图中与AD相等的线段，并直接写出其长度；
(3)若∠ABC＝65°，求∠EFC的度数.
【解】因为AE∥CF，∠ABC＝65°，
所以∠BCF＝∠ABC＝65°.
因为BC∥EF，所以∠EFC＋∠BCF＝180°，
所以∠EFC＝180°－65°＝115°.
17.(12分)如图，在△ABC中，过点A作BC边上的高AE，垂足
为点E.
(1)若∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD是中线，BD＝5，
则AE的长为 ；
因为S△ABC＝AB·AC＝BC·AE，
所以×8×6＝×10·AE，解得AE＝，
所以AE的长为.
【点拨】
由中线的性质可得BC＝2BD＝10，
(2)若∠B＝40°，∠CAE＝20°，AD是角平分线，求∠DAE的
度数.
【解】因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°，
所以∠C＝180°－∠CAE－∠AEC＝70°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝70°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠DAC＝∠BAC＝35°，
所以∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝15°，
所以∠DAE的度数为15°.
18.(12分)直线MN∥GH，另一直线AB交GH于点A，交MN于
点B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为
直线MN上一动点，且∠GCD＝50°.
(1)如图①，当点C在点A右侧且点D在点B左侧时，∠DBA
的平分线交∠DCA的平分线于点P，则∠BPC的度数
为 ；
65°
