2023-2024学年苏教版数学五年级下册易错知识点精讲练
专题03 因数和倍数
(新知回顾精讲+易错笔记点拨+易错真题拔高卷）
知识点01：因数和倍数
1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.
2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）
3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）
4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
知识点02：质数和合数
1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类
①只有自己本身一个因数的 1
②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。
③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。
按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.
2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ）
①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5
②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1
③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
知识点03：质因数和分解质因数
1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。
知识点04：2 、5、3的倍数的特征
2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。
5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。
3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。
知识点05：和与积的奇偶性
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
5、1既不是质数，也不是合数。
6.、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、2是唯一的一个偶质数。
8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
11、几个数的公倍数的个数是无限的。
12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：较难
一、精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5题，每题1分，共5分）
1．（1分）（2024五下·东莞月考）下列说法中，有（ ）个是正确的。
①一个数的最小的倍数是它本身。
②0是最小的自然数。
③一个数至少有两个因数。
④一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【规范解答】解：①一个数的最小的倍数是它本身，正确；
②0是最小的自然数，正确；
③ 一个数至少有两个因数 ，错误；
④各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，正确。
所以有3个是正确的。
故答案为：C。
【思路点拨】①一个数的最小的倍数是它本身，如3的最小倍数是3；
②0是最小的自然数；
③一个数至少有两个因数，1只有1个因数，0没有因数；
④各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，如33是3的倍数，3+3=6，6也是3的倍数。
2．（1分）（2024五下·巴中月考）下面说法正确的是（ ）。
A．任何一个偶数都能被2整除，但不能被3整除
B．一个自然数的个位上是3的倍数，这个自然数一定能被3整除
C．7是一个自然数，它既是质数也是奇数
D．如果m是一个不为零的自然数，那么3+m一定是奇数
【答案】C
【规范解答】解：A：例如24是偶数，但它也能被3整除，所以该选项错误。
B：例如26是自然数，个位数字是6，是3的倍数，26÷3＝8......2，即这个自然数不能被3整除，所以该选项错误。
C： 根据自然数、质数、奇数的定义可知，7是一个自然数，它既是质数也是奇数，所以该选项正确.
D： 如果m=3，3+3=6，而6是偶数，所以该选项错误。
故答案为：C。
【思路点拨】A：偶数是能被2整除的整数；3的倍数是各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
B：3的倍数是各个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数
C： 自然数是包括0和所有的正整数 ；质数是只有1和它本身两个因数的数；奇数是不能被2整除的整数 。
D：奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数。
3．（1分）在四位数21□0的□里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有（ ）种填法。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【规范解答】解：21□0的个位是0，则它是2、5的倍数，要求是3的倍数，则
（2+1+□）的和是3的倍数，可以填0、3、6、9。
故答案为：C。
【思路点拨】同时是2、3、5的倍数的数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，个位是0。
4．（1分）四个相邻的偶数的平均数是13，其中最大的一个偶数是（ ）。
A．10 B．12 C．16
【答案】C
【规范解答】解：13+1+2=16
故答案为：C。
【思路点拨】相邻两个偶数的差是2，四个相邻的偶数的平均数是中间的两个偶数之间的奇数，因此用这个奇数加上1，再加上2就是最大的那个偶数。
5．（1分）（2021五下·闽侯期末）一个长方形的长和宽分别是12cm和9cm，至少要（ ）个这样的长方形才能拼成个正方形。
A．6 B．9 C．12 D．24
【答案】C
【规范解答】解：
12和9的最小公倍数是3×4×3
=12×3
=36
（36÷12）×（36÷9）
=3×4
=12（个）
故答案为：C。
【思路点拨】先用短除法求出12和9的最小公倍数是36，也就是说拼成正方形的边长是36厘米，需要长方形的个数=（正方形的边长÷长方形的长）×（正方形的边长÷长方形的宽）。
二、用心看题，精准判断(共5题；每题1分，共5分)
6．（1分）（2024五下·东莞月考）两个质数相乘的积一定是合数。（ ）
【答案】正确
【规范解答】解： 两个质数相乘的积的因数有：1、两个质数、积本身，所以两个质数相乘的积一定是合数 ，原题说法正确。
故答案为：正确。
【思路点拨】质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除了1和它本身只有还有其他因数的数。
7．（1分）（2023五上·榕城期中）两个质数的乘积一定是合数
【答案】正确
【规范解答】两个质数的乘积一定是合数，此题说法正确.
故答案为：正确.
【思路点拨】因为质数是只有1和它本身两个因数的数，两个质数的积至少会有3个因数：1和它本身；还有两个质数的乘积，所以说两个质数的积一定是合数.
8．（1分）（2023五下·扶沟期末）一个不为0的自然数的个位数是0，这个数一定是偶数，并且既是2的倍数又是5的倍数。（ ）
【答案】正确
【规范解答】解：这个数一定是偶数，并且既是2的倍数又是5的倍数。
故答案为：正确。
【思路点拨】偶数是指是2的倍数的数；
2的倍数的数字特征：这个数的末尾数字是0、2、4、6、8的数；
5的倍数的数字特征：这个数的末尾数字是0或5。
9．（1分）（2023五下·延川期末）个位是5的倍数的最小三位数与2的最小倍数的积是200。（ ）
【答案】正确
【规范解答】100×2=200，原题说法正确。
故答案为：正确。
【思路点拨】5的倍数的特征是：个位数是0或5的数一定是5的倍数；个位是5的倍数的最小三位数，个位是0，要使这个三位数最小，则百位是1，十位也是0，最小的三位数是100；2的最小倍数是2，据此计算并判断。
10．（1分）（2023五下·平昌期末）任意一个偶数加上最小的质数后都能被2整除。（ ）
【答案】正确
【规范解答】解：任意一个偶数加上最小的质数后都能被2整除，原题说法正确。
故答案为：正确。
【思路点拨】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数，最小的质数是2。
能被2整除的数是偶数，任意一个偶数加上2仍然是偶数，本题据此进行解答。
三、细心读题，准确填空（共8题，共21分）
11．（2分）（2024五下·东莞月考）妈妈网购一个吹风机，花了9□元，若这个两位数既是5的倍数又含有因数2，□里应该填 。买冰箱花了68□元，若这个三位数既是偶数又是3的倍数，□里应该填 。
【答案】0；4
【规范解答】解： 9□这个两位数既是5的倍数又含有因数2 ，那这个两位的个位上的数一定是0，所以 □里应该填0；
68□元，这个三位数既是偶数又是3的倍数，那这个两位的各位上的数字之和是3的倍数，且个位上的数字是0、2、4、6或8，6+8+4=18，18÷3=6是3的倍数且个位上是4，所以□里应该填 4.
故答案为：0；4。
【思路点拨】个位上的数字是0的数，那这个数既是2的倍数，又是5的倍数；各个数位上的数字之和是3的倍数，且个位上的数字是0、2、4、6或8的数，那这个数既是2的倍数又是3的倍数。
12．（5分）（2024五下·东莞月考）按要求组数。
（1）（2分）两位数中最大的奇数 ，三位数中最大的偶数 。
（2）（3分）选出三个数字，按要求组成三位数。3的倍数中最大的是 。5的倍数中最大的是 。同时是2、3、5的倍数有 。
【答案】（1）53；540
（2）543；540；540、450
【规范解答】解： (1)、两位数中最大的奇数53，三位数中最大的偶数540；
（2）3的倍数中最大的是 543； 5的倍数中最大的是 540； 同时是2、3、5的倍数有 540、450。
故答案为：（1）53；540；
（2）543；540；540，450。【思路点拨】（1）奇数是个位上的数字是1、3、5、7、9的数，在3、0、4、5四个数字中组成两位数中最大的奇数，十位上要选最大的5，个位上只能选择3，所以在3、0、4、5四个数字中组成两位数中最大的奇数是53；
（2）3的倍数是各位上的数字之和是3的倍数的数，3+4+5=12，12是3的倍数，所以3、4、5组成的三位数都是3的倍数，组成的数有345、354、435、453、534、543，6个数其中最大数是543，所以3的倍数中最大的是 543；
5的倍数是个位上的数字是0或5的数，在3、0、4、5四个数字中要组成三位数且是 5的倍数中最大的数，百位上的数字要尽可能的大，所以要选择最大的数字5，要保证这个三位数是5的倍数，个位要选择0，十位上的数字要选3、4中较大的4，所以在3、0、4、5四个数字中要组成三位数且是 5的倍数中最大的数是540；
2、3、5的倍数是各位上的数字之和是3的倍数且个位上的数字是0的数，4+5+0=9，9是3的倍数，所以0、4、5组成三位数只要是个位上的数字是0数都是2、3、5的倍数，组成的三位数且个位上的数字是0的数有540、450。
13．（2分）（2024五下·巴中月考）五年级学生在操场上排队做操，已知人数在90~110之间，若排成3列则不多也不少，若排成5列则少2人，若排成7列则少4人。五年级共有学生 人。
【答案】108
【规范解答】解：3、5和7的最小公倍数是：3×5×7＝105（人），105+3＝108（人）。
故答案为：108。
【思路点拨】 如果排成3列不多也不少，说明人数是3的倍数；如果排成5列则少2人，就可以说明比5的倍数少2，或是比5的倍数多3；如果排成7列则少4人，说明比7的倍数少4，或是比7的倍数多3；那么这个数就同时具备这样几个条件：90至110之间，是3的倍数，比5、7的倍数多3，那么就可以先求3、5、7的最小公倍数，再看他是不是在90-110之间，然后再加3即可。
14．（4分）A和B的最大公因数是1，最小公倍数是18，A、B可能是 和 ，或者是 和 。
【答案】1；18；2；9
【规范解答】A和B的最大公因数是1，最小公倍数是18，A、B可能是1和18，或者是2和9。
故答案为：1；18；2；9。
【思路点拨】两个数的最大公因数是1，说明两个数是互质数。两个数的最小公倍数是18，说明两个数的积是18，由此判断积是18且只有公因数1的两个数就是A、B可能的值。
15．（2分）（2023五下·永善月考）一个三位数，同时为2、3、5的倍数，这个数最小是 。
【答案】120
【规范解答】解：2×3×5=30，30的倍数的最小三位数是120。
故答案为：120。
【思路点拨】一个三位数同时是2，3，5的倍数，说明了此数能被2，3，5整除，必须具备：个位上的数是0，各个数位上的数的和能够被3整除；要求最小的三位数，个位上的数是0，百位上的数是1，再找出十位上的数即可。
16．（2分）（2020五下·杭州期末）一个长方形的周长是30厘米，如果长和宽的厘米数都是合数，那么它的面积是 平方厘米。
【答案】54
【规范解答】解：30÷2=15（厘米）
6＋9=15（厘米）
9×6=54（平方厘米）。
故答案为：54。
【思路点拨】长方形的面积=长×宽；其中，长＋宽=周长÷2=15，并且长和宽的厘米数都是合数，15=9＋6，则长是9厘米，宽是6厘米。
17．（2分）（2023五下·仙居期末）一个长方体，它的棱长总和是40dm，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是 dm3。
【答案】30
【规范解答】解：长宽高的和：40÷4=10（分米）
因为2、3、5都是质数，且2+3+5=10（分米），
所以长、宽、高分别是2厘米、3厘米、5厘米，
长方体的体积：2×3×5=30（立方分米）
故答案为：30。
【思路点拨】长方体的棱长和÷4=长宽高的和；长、宽、高都是质数且和是10，据此判断长宽高是2、3、5；长方体的体积=长×宽×高。
18．（2分）（2022五下·洛龙期末）“六一”儿童节，实验小学邀请了70多位家长到校参加亲子活动。家长可以分成6人一组做游戏，也可以分成9人一组做游戏，都正好分完。学校一共邀请了 位家长参加亲子活动。
【答案】72
【规范解答】解：6=2×3；
9=3×3；
6和9的最小公倍数是3×2×3=18，18×4=72。
故答案为：72。
【思路点拨】此题主要考查了最小公倍数的应用，用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数，先把每个数分别分解质因数，把这两个数公有的质因数和各自独有的质因数相乘，它们的乘积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
四、细心谨慎，认真计算(共1题；共8分)
19．（8分）（2023五下·期末）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
14和8 15和45 27和18 11和7
【答案】解：
14和8的最大公因数是2，最小公倍数是：2×7×4
=14×4
=56；
15和45的最大公因数是15，最小公倍数是45；
27和18的最大公因数是3×3=9，最小公倍数是：3×3×3×2
=9×3×2
=27×2
=54；
11和7的最大公因数是1，最小公倍数是：11×7=77。
【思路点拨】当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数，较大的数是两个数的最小公倍数；当两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积；当两个数不是以上关系时，用短除法求出两个数的最大公因数和最小公倍数。
五、联系生活，实际应用(共6题；共26分)
20．（4分）（2024五下·东莞月考）渡轮最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返（往返算2次）。
（1）（2分）渡轮行驶11次后在南岸还是在北岸，为什么
（2）（2分）小芳说行驶100次后，渡轮在北岸，她的说法对吗 为什么
【答案】（1）北岸，因为是11是奇数，所以渡轮行驶11次后在北岸。
（2）不对，因为100是偶数，渡轮行驶100次后在南岸，所以她的说法不对。
【思路点拨】小船最初在南岸，第1次到达北岸是奇数，第二次到达南岸是偶数，如此循环，则奇数次在北岸，偶数次在南岸。
21．（4分）（2024五下·东莞月考）有一张边长是12dm的正方形纸，要把它裁剪成若干个大小相同、边长是整分米数且小于12dm的小正方形。正方形的边长最大的是多少？请你在图上画一面。（每个小方格的边长表示1dm）
可以裁剪出小正方形的边长最大是_________dm，可以裁出_________个这样的小正方形。
【答案】解：如图：
可以裁剪出小正方形的边长最大是6dm，可以裁出4个这样的小正方形。
【规范解答】解：12=1×12=2×6=3×4，12的因数有1、2、3、4、6、12，除了12以外最大的因数是6。所以 可以裁剪出小正方形的边长最大是6dm ，可以裁处（12÷6）×（12÷6）=4（个）这样的小正方形。
故答案为：6，4。
【思路点拨】先找出12的所有因数，再找出小于12的最大因数，这个最大因数就是正方形的最大边长；可以裁处的小正方形数量=（12÷小于12的最大因数）×12÷小于12的最大因数），将数值代入进行计算即可。
22．（4分）（2024五下·巴中月考）冬天快到了，小松鼠想把采集到的松果分成几份储存起来。如果每5个分一份，最后一份多3个；如果每7个分一份，最后一份也多3个。小松鼠最少采集了多少个松果
【答案】解：5×7=35
35+3=38（个）
答：小松鼠最少采了38个松果。
【思路点拨】 因为每5个分一份，最后一份多3个；如果每7个分一份，最后一份也多3个；所以只需要求出5和7的最小公倍数，再加上3即可求出小松鼠最少采集了多少个松果。
23．（4分）（2024五下·巴中月考）某市1路、2路和8路公交车都从南站出发，1路公交车每10分发车一次，2路公每交车每12分发车一次，8路公交车每15分发车一次。当这三路车在7：30同时发车后，下一次同时发车在什么时候
【答案】解：10=2×5
12＝2×2×3
15=3×5
2×2×3×5
=4×3×5
=60(分钟)
60分钟＝1时
7时30分+1时＝8时30分
答： 下一次同时发车在8：30。
【思路点拨】几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
下一次同时发车的隔间时间就是1路公交车 、2路公交车 、8路公交车发车的间隔时间的最小公倍数，然后再加7时30分，得出答案。
24．（5分）（2024五下·武昌期末）小区里有一条长30米的长廊，在它的一侧从头到尾摆了一排花。原来每2米摆一盆，现在是每3米摆一盆，除了第一盆花不用动，还有几盆花是不用移动位置的？写出你的思考过程。
【答案】解：[2，3]＝2×3＝6
30÷6＝5（盆）
答：还有5盆花是不用移动位置的。
【思路点拨】先求出2和3的最小公倍数，然后用长廊的长度除以这个最小公倍数，就是不用移动的盆数。
25．（5分）（模型意识）有大小两座寺院敲晨钟来报时，大寺院每3分钟敲一下 ，小寺院每4分钟敲一下，两座寺院各敲12下，居住在两座寺院中间的人能听到多少声钟声？（第1下同时敲）
【答案】解：12×2- 3
=24-3
=21(声)
答：居住在两座寺院中间的人能听到21声钟声。
【思路点拨】根据题意，第一下同时敲，是一次合声，只能听到一声钟声，以后要听到合声，需要经过的时间一定是3和4的公倍数，大寺院每3分钟敲一下 ，敲12下需要经过3×（12-1）=33分钟，所以合声只有出现在第一次同时敲响时，第12分钟、第24分钟的3声，总次数-合声的次数=一共听到的钟声数量。
六、能力拔高，综合提升(共5题；共35分)
26．（5分）（2023五下·期末）
（1）（2分）上图中的点A表示的数是 。
（2）（3分）点B用小数表示是 ，用分数表示是 ，再添上 个这样的分数单位是最小的质数。
【答案】（1）0.9
（2）1.8；；1
【规范解答】解：（1）上图中的点A表示的数是0.9；
（2）点B用小数表示是1.8，用分数表示是，再添上1个这样的分数单位是最小的质数。
故答案为：（1）0.9；（2）1.8；；1。
【思路点拨】（1）0~1之间平均分成了10份，在9份的地方用小数表示是0.9；
（2）1~2之间平均分成是5份，B点在1后面4份的地方，用分数表示是，最小的质数是2，再添上1个这样的分数单位是最小的质数。
27．（6分）（2023五下·汝州期中）用下面的数字组数
（1）（2分）最大的偶数：
（2）（2分）最大的奇数：
（3）（2分）同时是2、3、5的倍数的三位数：
【答案】（1）8510
（2）8501
（3）810、180、510、150
【规范解答】解：（1）最大的偶数：8510；
（2）最大的奇数：8501；
（3）同时是2、3、5的倍数的三位数： 810、180、510、150 。
故答案为：（1）8510；（2）8501；（3） 810、180、510、150 。
【思路点拨】（1）个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；
（2）个位上是1、3、5、7、9的数是奇数；
（3）同时是2、3、5的倍数的数的特征是这个数个位上的数字是0，所有数位上的数字之和是3的倍数。
28．（10分）（2023五下·萧山期中）按要求填空（共9分）
（1）（3分）三个连续奇数的和是219，这三个奇数分别是有 、 、 。
（2）（3分）三个连续的质数的和是偶数，这三个数分别是 、 、 。
（3）（2分）大于70小于80的数中，既是奇数又是合数的是有 、有 。
（4）（2分）小明家的门牌号码是个四位数，最高位的数字只有1个因数，个位是最小的合数，百位上的数字最大因数是8，十位上比9最小的倍数少9。小明家的门牌是 。
【答案】（1）71；73；75
（2）2；3；5
（3）75；77
（4）1804
【规范解答】解：（1）219÷3=73
73-2=71
73＋2=75；
（2）2＋3＋5
=5＋5
=10；
（3）大于70小于80的数中，既是奇数又是合数的是有75、有77；
（4）小明家的门牌是1804。
故答案为（1）71；73；75；（2）2；3；5；（3）75；77；（4）1804。
【思路点拨】（1）相邻的奇数相差2，中间一个奇数=三个连续奇数的和÷3；另外两个奇数分别=73-2与73＋2；
（2）、（3）依据100以内的质数表填空；
（4）最高位的数字只有1个因数，则这个数是1，个位是最小的合数是4，百位上的数字最大因数是8，则这个数是8，十位上的数=9-9=0，那么小明家的门牌是1804。
29．（4分）（2023五下·六盘水期末）我们知道“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？举个例子，324是由3个百、2个十、4个一组成的，324=3×100+2×10+4。100和10不是3的倍数，但是99和9都是3的倍数。根据乘法分配律：
324= 3× 100+2×10+4
=3×（99+1）+2×（9+1） +4
= 3×99+3+2×9+2+4
= 3×99+2×9+（3+2+4）
如图，其中3×99和2×9都是3的倍数括号中的3、2、4正好是324这个数各个数位上的数，所以只要各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（1）（2分）根据3的倍数特征的探究方法，请探索下面各数是不是9的倍数，是的在括号里打“√" ，不是的在括号里打“×”。
903（ ）
693（ ）
239（ ）
990（ ）
（2）（2分）9的倍数特征： ，这个数就是9的倍数。
【答案】（1）903（√）
693（√）
239（×）
990（√）
（2）一个数各位上的数的和是9的倍数
【规范解答】解：（2）9的倍数特征：一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
故答案为：（2）一个数各位上的数的和是9的倍数。
【思路点拨】（1）根据3的倍数的判断方法作答即可；
（2）126=1×100+2×10+6
=1×（99+1）+2×（9+1）+6
=1×99+2×9+（1+2+6）
1×99和2×9都是3的倍数，括号中的1、2、6正好是126这个数各个数位上的数，所以只要各个数位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
30．（10分）（2023五下·江都期中）有标着1 ～100号关闭状态的照明灯，现有1～100号共100个小朋友依次去按照明灯的开关按钮。首先1号小朋友将是编号是1倍数的照明灯按钮都按了一次，此时所有灯都亮了。第二次由2号小朋友将编号是2倍数的照明灯按钮都按了一次，此时编号是2倍数的灯被按了两次，全部灭了。就这样，3号小朋友将编号是3倍数的照明灯按钮都按了一次，接着4号小朋友，5号……一直到100号小朋友将编号是100倍数灯的开关按钮按了一次。
（1）（4分）20号小朋友按了编号是20、40、60、80、100灯的按钮，编号是20号的照明灯被1、2、4、5、10、20号小朋友按了一次。25号小朋友按了编号为 灯的按钮；编号14号的灯按钮被 号小朋友按过。
（2）（6分）最终，编号9的灯被按了3次开关按钮，结果灯亮着。编号16的灯被按5次开关按钮，结果亮着。你知道被按了 次数开关按钮的灯结果是亮着的（填奇数或偶数）。你还知道有哪些编号的灯是亮着的？ 、 （填两个）。
【答案】（1）25、50、75、100；1、2、7、14
（2）奇数；1号；4号
【规范解答】解：（1）25号小朋友按了编号为25、50、75、100灯的按钮；编号14号的灯按钮被1、2、7、14号小朋友按过；
（2）被按了奇数次数开关按钮的灯结果是亮着的。编号1号、4号的灯是亮着的。
故答案为：（1）25、50、75、100；1、2、7、14；（2）奇数；1号、4号。
【思路点拨】（1）25号小朋友按的编号都是100以内25的倍数；编号14号的灯按钮被是14的因数的编号小朋友按过；
（2）第一问：3是奇数，5也是奇数，被按了奇数次数开关按钮的灯结果是亮着的；
第二问，还知道有哪些编号的灯是亮着的，简单的说，由于最开始灯是灭的，那么只有经过奇数次改变开关状态的灯是亮的，相对应的数学解释就是灯的编号有奇数个不同的约数，
显而易见，只有平方数满足这种情况，
例如：1的约数为1
4的约数为1、2、4
9的约数为1、3、9
……
所以最后亮的灯编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100......。2023-2024学年苏教版数学五年级下册易错知识点精讲练
专题03 因数和倍数
(新知回顾精讲+易错笔记点拨+易错真题拔高卷）
知识点01：因数和倍数
1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.
2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）
3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）
4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
知识点02：质数和合数
1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类
①只有自己本身一个因数的 1
②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。
③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。
按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0.
2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ）
①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5
②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1
③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
知识点03：质因数和分解质因数
1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。
知识点04：2 、5、3的倍数的特征
2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。
5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。
3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。
知识点05：和与积的奇偶性
偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数
偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
5、1既不是质数，也不是合数。
6.、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、2是唯一的一个偶质数。
8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
11、几个数的公倍数的个数是无限的。
12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：较难
一、精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5题，每题1分，共5分）
1．（1分）（2024五下·东莞月考）下列说法中，有（ ）个是正确的。
①一个数的最小的倍数是它本身。
②0是最小的自然数。
③一个数至少有两个因数。
④一个数各个数位上数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（1分）（2024五下·巴中月考）下面说法正确的是（ ）。
A．任何一个偶数都能被2整除，但不能被3整除
B．一个自然数的个位上是3的倍数，这个自然数一定能被3整除
C．7是一个自然数，它既是质数也是奇数
D．如果m是一个不为零的自然数，那么3+m一定是奇数
3．（1分）在四位数21□0的□里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有（ ）种填法。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（1分）四个相邻的偶数的平均数是13，其中最大的一个偶数是（ ）。
A．10 B．12 C．16
5．（1分）（2021五下·闽侯期末）一个长方形的长和宽分别是12cm和9cm，至少要（ ）个这样的长方形才能拼成个正方形。
A．6 B．9 C．12 D．24
二、用心看题，精准判断(共5题；每题1分，共5分)
6．（1分）（2024五下·东莞月考）两个质数相乘的积一定是合数。（ ）
7．（1分）（2023五上·榕城期中）两个质数的乘积一定是合数
8．（1分）（2023五下·扶沟期末）一个不为0的自然数的个位数是0，这个数一定是偶数，并且既是2的倍数又是5的倍数。（ ）
9．（1分）（2023五下·延川期末）个位是5的倍数的最小三位数与2的最小倍数的积是200。（ ）
10．（1分）（2023五下·平昌期末）任意一个偶数加上最小的质数后都能被2整除。（ ）
三、细心读题，准确填空（共8题，共21分）
11．（2分）（2024五下·东莞月考）妈妈网购一个吹风机，花了9□元，若这个两位数既是5的倍数又含有因数2，□里应该填 。买冰箱花了68□元，若这个三位数既是偶数又是3的倍数，□里应该填 。
12．（5分）（2024五下·东莞月考）按要求组数。
（1）（2分）两位数中最大的奇数 ，三位数中最大的偶数 。
（2）（3分）选出三个数字，按要求组成三位数。3的倍数中最大的是 。5的倍数中最大的是 。同时是2、3、5的倍数有 。
13．（2分）（2024五下·巴中月考）五年级学生在操场上排队做操，已知人数在90~110之间，若排成3列则不多也不少，若排成5列则少2人，若排成7列则少4人。五年级共有学生 人。
14．（4分）A和B的最大公因数是1，最小公倍数是18，A、B可能是 和 ，或者是 和 。
15．（2分）（2023五下·永善月考）一个三位数，同时为2、3、5的倍数，这个数最小是 。
16．（2分）（2020五下·杭州期末）一个长方形的周长是30厘米，如果长和宽的厘米数都是合数，那么它的面积是 平方厘米。
17．（2分）（2023五下·仙居期末）一个长方体，它的棱长总和是40dm，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是 dm3。
18．（2分）（2022五下·洛龙期末）“六一”儿童节，实验小学邀请了70多位家长到校参加亲子活动。家长可以分成6人一组做游戏，也可以分成9人一组做游戏，都正好分完。学校一共邀请了 位家长参加亲子活动。
四、细心谨慎，认真计算(共1题；共8分)
19．（8分）（2023五下·期末）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
14和8 15和45
27和18 11和7
五、联系生活，实际应用(共6题；共26分)
20．（4分）（2024五下·东莞月考）渡轮最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返（往返算2次）。
（1）（2分）渡轮行驶11次后在南岸还是在北岸，为什么
（2）（2分）小芳说行驶100次后，渡轮在北岸，她的说法对吗 为什么
21．（4分）（2024五下·东莞月考）有一张边长是12dm的正方形纸，要把它裁剪成若干个大小相同、边长是整分米数且小于12dm的小正方形。正方形的边长最大的是多少？请你在图上画一面。（每个小方格的边长表示1dm）
可以裁剪出小正方形的边长最大是_________dm，可以裁出_________个这样的小正方形。
22．（4分）（2024五下·巴中月考）冬天快到了，小松鼠想把采集到的松果分成几份储存起来。如果每5个分一份，最后一份多3个；如果每7个分一份，最后一份也多3个。小松鼠最少采集了多少个松果
23．（4分）（2024五下·巴中月考）某市1路、2路和8路公交车都从南站出发，1路公交车每10分发车一次，2路公每交车每12分发车一次，8路公交车每15分发车一次。当这三路车在7：30同时发车后，下一次同时发车在什么时候
24．（5分）（2024五下·武昌期末）小区里有一条长30米的长廊，在它的一侧从头到尾摆了一排花。原来每2米摆一盆，现在是每3米摆一盆，除了第一盆花不用动，还有几盆花是不用移动位置的？写出你的思考过程。
（5分）（模型意识）有大小两座寺院敲晨钟来报时，大寺院每3分钟敲一下 ，小寺院每4分钟敲一下，两座寺院各敲12下，居住在两座寺院中间的人能听到多少声钟声？（第1下同时敲）
六、能力拔高，综合提升(共5题；共35分)
26．（5分）（2023五下·期末）
（1）（2分）上图中的点A表示的数是 。
（2）（3分）点B用小数表示是 ，用分数表示是 ，再添上 个这样的分数单位是最小的质数。
27．（6分）（2023五下·汝州期中）用下面的数字组数
（1）（2分）最大的偶数：
（2）（2分）最大的奇数：
（3）（2分）同时是2、3、5的倍数的三位数：
28．（10分）（2023五下·萧山期中）按要求填空（共9分）
（1）（3分）三个连续奇数的和是219，这三个奇数分别是有 、 、 。
（2）（3分）三个连续的质数的和是偶数，这三个数分别是 、 、 。
（3）（2分）大于70小于80的数中，既是奇数又是合数的是有 、有 。
（4）（2分）小明家的门牌号码是个四位数，最高位的数字只有1个因数，个位是最小的合数，百位上的数字最大因数是8，十位上比9最小的倍数少9。小明家的门牌是 。
29．（4分）（2023五下·六盘水期末）我们知道“一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？举个例子，324是由3个百、2个十、4个一组成的，324=3×100+2×10+4。100和10不是3的倍数，但是99和9都是3的倍数。根据乘法分配律：
324= 3× 100+2×10+4
=3×（99+1）+2×（9+1） +4
= 3×99+3+2×9+2+4
= 3×99+2×9+（3+2+4）
如图，其中3×99和2×9都是3的倍数括号中的3、2、4正好是324这个数各个数位上的数，所以只要各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（1）（2分）根据3的倍数特征的探究方法，请探索下面各数是不是9的倍数，是的在括号里打“√" ，不是的在括号里打“×”。
903（ ）
693（ ）
239（ ）
990（ ）
（2分）9的倍数特征： ，这个数就是9的倍数。
30．（10分）（2023五下·江都期中）有标着1 ～100号关闭状态的照明灯，现有1～100号共100个小朋友依次去按照明灯的开关按钮。首先1号小朋友将是编号是1倍数的照明灯按钮都按了一次，此时所有灯都亮了。第二次由2号小朋友将编号是2倍数的照明灯按钮都按了一次，此时编号是2倍数的灯被按了两次，全部灭了。就这样，3号小朋友将编号是3倍数的照明灯按钮都按了一次，接着4号小朋友，5号……一直到100号小朋友将编号是100倍数灯的开关按钮按了一次。
（1）（4分）20号小朋友按了编号是20、40、60、80、100灯的按钮，编号是20号的照明灯被1、2、4、5、10、20号小朋友按了一次。25号小朋友按了编号为 灯的按钮；编号14号的灯按钮被 号小朋友按过。
（2）（6分）最终，编号9的灯被按了3次开关按钮，结果灯亮着。编号16的灯被按5次开关按钮，结果亮着。你知道被按了 次数开关按钮的灯结果是亮着的（填奇数或偶数）。你还知道有哪些编号的灯是亮着的？ 、 （填两个）。
