2023-2024学年苏教版数学五年级下册易错知识点精讲练
专题07 解决问题的策略
(新知回顾精讲+易错笔记点拨+易错真题拔高卷）
转化的策略是指把一个有待解决的问题转化成一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。应用转化的策略能够使问题化繁为简，化未知为已知。
知识点01：用转化的策略解决图形问题
1.有些不规则图形可以转化成熟悉的简单的规则图形。
2.图形转化时可以运用平移、旋转等方法。
3.转化后的图形与转化前相比，形状变了，大小没有变。
4、在进行面积公式推导时，可以把图形转化成已经学过的图形面积来计算。例如把三角形转化成平行四边形，把圆转化成长方形。
5、运用转化的策略，从不同的角度灵活的思路分析问题，可以使复杂的问题简单化。
知识点02：用转化的策略解决特殊的计算问题
1.计算异分母分数相加、减时，把异分母分数转化成同分母分数。
计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法。
2.有些复杂的算式可以根据算式中数的特点，把原算式转化成简单的算式。
3.画图可以帮助找到转化的方法。
4.运用转化的策略，借助数形结合从不同的角度灵活地思路分析问题，可以使复杂的计算简单化。
1. 用转化法解决求复杂图形周长和面积的问题。
把复杂的图形通过切割、拼接、平移、旋转等方法转化成简单规则的图形。
2. 用转化法解决特殊的计算问题。
借助数形结合从不同的角度灵活地分析问题，使复杂的计算简单化。
3. 在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1”。
4. 特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相互抵消，最后形成几个数值进行计算。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：较难
一、精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5题，每题2分，共10分）
1．（2分）（2023秋 厦门期末）不计算，用发现的规律得到最后一道题的商是（ ）
17÷99＝0.1717……
18÷99＝0.1818……
……
20÷99＝？
A．0.2020 B．0.1919…… C．0.2121…… D．0.2020……
【思路点拨】观察题中算式可知，除数都是99，商是循环小数，循环节是被除数，由此解答本题。
【规范解答】解：由分析可知，20÷99＝0.2020……
故选：D。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
2．（2分）（2023秋 沙坡头区期末）太极图被称为“中华第一图”，如图所示的正方形内是太极图，已知正方形的边长为2cm，则正方形面积与涂黑色部分的面积比为（ ）。
A．4：1 B．4：π C．π：1 D．8：π
【思路点拨】依据题意结合图示可知，正方形的边长等于圆的直径，涂黑色部分的面积等于圆的面积的一半，利用正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径×半径，计算正方形面积与涂黑色部分的面积比。
【规范解答】解：圆的半径：2÷2＝1（厘米）
正方形的面积：2×2＝4（平方厘米），涂黑色部分的面积：π×1×1÷2＝π（平方厘米）
正方形面积与涂黑色部分的面积比为：4：π＝8：π
故选：D。
【考点评析】本题考查的是组合图形的面积的应用。
3．（2分）（2023 湖里区）下列各图中的正方形面积相等，图（ ）的阴影面积与另外三图不同．
A． B． C． D．
【思路点拨】从图中可以看出阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆的面积．观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积是相等；A、C、D三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【规范解答】解：由图可知：从左到右A、C、D的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，
根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选：B．
【考点评析】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解题的常用方法．
4．（2分）（2023秋 汉阴县月考）乐乐用计算器算出了999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，……。按照这样的规律，999×5＝（ ）
A．3995 B．4995 C．5995 D．6995
【思路点拨】依据题中算式可知，一个乘数是999，另一个乘数依次增加（不超过10），积是四位数，千位上数字从1依次增加，百位和十位上数字都是9，个位上数字从8依次减少，由此解答本题。
【规范解答】解：由分析可知，999×5＝4995。
故选：B。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
5．（2分）（2011秋 宝应县期末）已知11×99＝1089，111×999＝110889，1111×9999＝11108889，那么111111×999999＝（ ）
A．11108889 B．1111088889
C．111110888889 D．11111108888889
【思路点拨】根据已知的算式可得积的规律：固定数字不变的是0、9；如果第一个因数中1的个数有n个，那么数字“0”的前面就排n﹣1个1；如果第二个因数中9的个数是n个，那么在数字“0”和“9”的之间就排n﹣1个8；据此解答．
【规范解答】解：根据分析可得，
111111×999999＝111110888889；
故选：C．
【考点评析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
二、细心读题，准确填空（共8题，每题2分，共16分）
6．（2分）（2023秋 鹤城区期末）不计算，根据规律写一写。
108÷9＝12；
1107÷9＝123；
11106÷9＝1234；
111105÷9＝ 12345 ；
……
111111102 ÷9＝12345678。
【思路点拨】除数是9，被除数十位上是0，0前面数位上的数都是1，个位上不是0和9，各个数位上的数字之和等于9，则商的位数比被除数的位数少1，商的最高位上是1，相邻数位上的数，后面数位上的数比前面数位上的数多1；据此即可解答。
【规范解答】解：108÷9＝12
1107÷9＝123
11106÷9＝1234
111105÷9＝12345
……
111111102÷9＝12345678
故答案为：12345；111111102。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
7．（2分）（2023秋 香洲区期末）已知81÷9＝9，88.2÷9＝9.8，88.83÷9＝9.87，88.884÷9＝9.876；那么88.8885÷9＝ 9.8765 ，88.88886÷9＝ 9.87654 。
【思路点拨】81÷9＝9
88.2÷9＝9.8
88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876
仔细观察以上四个算式自上而下：被除数都是两位整数，8的个数依次增加1个、2个、3个…末位数分别是1、2、3…；除数都是9；商都是一位整数9，依次是9、9.8、9.87…；据此即可直接写出各式的答案。
【规范解答】解：找规律，直接写出答案：
81÷9＝9
88.2÷9＝9.8
88.83÷9＝9.87
88.884÷9＝9.876
88.8885÷9＝9.8765
88.88886÷9＝9.87654
故答案为：9.8765，9.87654。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
8．（2分）（2023秋 鹤城区期末）不计算，根据规律填一填：
3×0.5＝1.5
3.3×3.5＝11.55
3.33×33.5＝111.555
3.333×333.5＝1111.5555
……
3.33333×33333.5 ＝111111.555555
【思路点拨】观察已知的乘法算式发现规律：两个因数中整数部分一共有几个数位，积的整数部分就有几个1；两个因数中小数部分一共有几个数位，积的小数部分就有几个5；据此规律解答。
【规范解答】解：由分析可知，3.33333×33333.5＝111111.555555
故答案为：3.33333×33333.5。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
9．（2分）（2022秋 西山区期末）先观察前面的两道算式。再按规律填一填。
123456789×9＝1111111101
123456789×18＝2222222202
123456789×36＝ 4444444404
123456789× 63 ＝7777777707
【思路点拨】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除几（0除外），积也乘几或除几（0除外）；如果两个因数都乘同一个数（0除外），积就乘两次这个数；两个因数都除以几（0除外），积就除以两次这个数。
根据题意，前两个乘法算式进行对比，第二个因数由9变为18，乘了2，积也乘了2，所以第三个式子和第一个式子对比，第二个因数由9变为36，乘了4，所以积1111111101也要乘4，也就是4444444404；最后一个式子和第一个式子比较，积由1111111101变为7777777707，乘了7，所以因数9也要乘7，即9×7＝63，据此解答。
【规范解答】解：123456789×9＝1111111101；
123456789×18＝2222222202；
123456789×36＝4444444404；
123456789×63＝7777777707
故答案为：4444444404；63。
【考点评析】本题考查积的变化规律，解答本题的关键根据给出的式子的规律，找到要求式子的规律，解答即可。
10．（2分）（2021秋 泉港区期末）观察下面图形，找一找有什么规律，填一填。
1
1+3
1+2×3
1+3×3
1+4×3
【思路点拨】①中有1个四边形，
②中有4个四边形，4＝1+3，
③中有7个四边形，7＝1+2×3，
④中有10个四边形，10＝1+3×3，
⑤中四边形的个数为：1+4×3。
【规范解答】解：根据分析可知，⑤中四边形的个数为：1+4×3。
故答案为：1+4×3。
【考点评析】解决本题的关键是发现每多1个图形就多3个四边形，培养学生的观察总结能力。
11．（2分）（2011秋 河东区期末）如图，已知阴影部分的周长是13.42cm，则阴影部分的面积是 2.28 cm2．（π取3.14）．
【思路点拨】我们先求出半圆的直径，因为阴影部分的周长是13.42cm，也就是半圆的周长加上半径是R的圆的周长的就等于13.42厘米，然后用半径是R的圆的面积的减去底是R，高是R的三角形的面积，就是阴影部分的面积，列式解答即可．
【规范解答】解：设半圆的直径是R：
3.14×R÷2+R+3.14×2R×＝13.42，
3.14×R+R+3.14×R＝13.42，
（1.57+1+0.785）×R＝13.42，
3.355×R＝13.42，
3.355R÷3.355＝13.42÷3.355，
R＝4；
阴影部分的面积：
3.14×42×﹣4×（4×）÷2，
＝3.14×2﹣4，
＝2.18（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是2.18平方厘米．
【考点评析】本题运用圆的面积公式及三角形的面积公式进行解答即可．
12．（2分）（2011秋 罗江县期中）如图，图中阴影部分的面积是 8π﹣16 平方厘米（用含π的代数式表示）．
【思路点拨】求阴影部分的面积，先用直径为4厘米的半圆的面积减去底为4厘米、高为（4÷2）厘米的三角形的面积，然后乘4即可．
【规范解答】解：[π×（4÷2）2÷2﹣4×（4÷2）÷2]×4
＝[2π﹣4]×4
＝8π﹣16（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是 8π﹣16平方厘米；
故答案为：8π﹣16．
【考点评析】此题考查了组合图形的面积，应明确：圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2，是解答此题的关键．
13．（2分）（2010 武汉模拟）图中，直角三角形ABC的周长为24厘米，它的三条边的长度之比为3：4：5，则阴影部分的周长是 21.936 厘米、面积是 5.9136 平方厘米．
【思路点拨】先利用按比例分配的方法求出三条边的长度，进而判定出这个三角形的两条直角边的长度，再利用三角形的面积公式即可求出斜边上的高，也就是圆的半径，进而根据阴影部分周长＝圆的周长+三角形的斜边+（AC﹣半径）+（BC﹣圆的半径）计算阴影部分周长；再利用三角形的面积﹣圆的面积即可求出阴影部分面积．
【规范解答】解：24×＝6（厘米）；
24×＝8（厘米）；
24﹣6﹣8＝10（厘米）；
圆的半径为：6×8÷10＝4.8（厘米）；
则阴影部分的周长为：
×3.14×4.8×2+（8﹣4.8）+（6﹣4.8）+10，
＝7.536+3.2+1.2+10，
＝21.936（厘米）；
面积为：6×8÷2﹣×3.14×4.82，
＝24﹣18.0864，
＝5.9136（平方厘米）．
答：阴影部分的周长是21.936厘米，面积是5.9136平方厘米．
故答案为：21.936；5.9136．
【考点评析】解答此题的主要依据是：直角三角形中，斜边最长，以及三角形的面积和圆的面积的计算方法的灵活应用．
三、用心看题，精准判断(共5题；每题2分，共10分)
14．（2分）（2020 辉县市）如果正方形、长方形、圆的周长相等，那么正方形的面积最大． × （判断对错）
【思路点拨】正方形的周长＝4a，长方形的周长＝2（a+b），圆的周长＝2πr，再设它们的周长为c，推导出各边与周长的关系来利用面积公式判断大小．
【规范解答】解：C＝4a，可得a＝，
正方形的面积＝×＝，
长方形的周长＝2（a+b），可得a+b＝，
长方形的面积＝ab，
圆的周长＝2πr，可得r＝，
圆的面积＝π×＝＝，
由此可知圆的面积＞正方形的面积，
又知正方形是特殊的长方形，周长相同，正方形的面积大于长方形的面积，
如周长为16时，正方形边长为4，面积＝4×4＝16平方厘米，
长方形长、宽可能是1、7，2、6，3、5，长与宽越接近面积越大，当长宽一样时就成了正方形．长方形最大的面积3×5＝15平方厘米，
所以正方形的面积大于长方形的面积，
所以圆的面积最大，
故如果正方形、长方形、圆的周长相等，那么正方形的面积最大．是错误的．
故答案为：×．
【考点评析】此题主要考查了正方形、长方形、圆的周长与面积计算公式的运用，及它们之间的关系．
15．（2分）（2011秋 富顺县期末）如果一个长方形和一个一般平行四边形的周长相等，那么，它们的面积也相等． × ．
【思路点拨】根据题意，长方形的面积＝长×宽，平行四边形的面积＝底×高，可假设长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的一条斜边，那么长方形的宽一定大于平行四边形的高，所以长方形的面积大于平行四边形的面积；据此判断．
【规范解答】解：如图所示：
长方形的面积＝长×宽，
平行四边形的面积＝底×高，
可假设长方形的长＝平行四边形的底，
长方形的宽＝平行四边形的一条斜边，
那么长方形的宽＞平行四边形的高，
所以长×宽＞底×高，
则长方形的面积＞平行四边形的面积，
故答案为：×．
【考点评析】此题主要考查的是长方形的面积公式和平行四边形的面积公式的灵活应用．
16．（2分）（2023秋 嵩县期末）由1÷11＝0.0909……，2÷11＝0.1818……，能推出3÷11＝0.8181……。 × （判断对错）
【思路点拨】依据题意可知，利用除法的计算方法计算（3÷11）的商，由此解答本题。
【规范解答】解：1÷11＝0.090909……
2÷11＝0.181818……
3÷11＝0.272727……，本题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】本题从题中算式可知，被除数是几，商的小数部分就是被除数的9倍。
17．（2分）（2017秋 雁江区期末）周长相等的圆、正方形、长方形，长方形的面积最小。 √ （判断对错）
【思路点拨】周长相等的正方形、长方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小．
【规范解答】解：为了便于理解，假设正方形、长方形和圆形的周长都是16，
则圆的面积为：＝≈20.38；
正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16；
长方形长宽越接近面积越大，就取长为5宽为3，面积为：5×3＝15，
当长方形的长和宽最接近时面积也小于16；
所以周长相等的长方形、正方形和圆形，长方形的面积最小．
故答案为：√．
【考点评析】此题主要考查长方形、正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这三种图形面积的大小．
18．（2分）（2015 如皋市模拟）一个正方形和一个圆的周长相等，圆面积一定大于正方形面积． √ ．（判断对错）
【思路点拨】要比较周长相等的正方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这两种图形的周长是多少，再利用这二种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这二种图形面积的大小．
【规范解答】解：假设圆和正方形形的周长都是16，
则圆的半径为：16÷π÷2＝，面积为：π××＝≈20.38，
正方形的边长为：16÷4＝4，面积为：4×4＝16；
所以圆的面积大于正方形的面积．
故答案为：√．
【考点评析】此题主要考查正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这图形的周长是多少，再利用图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较面积的大小．
四、细心谨慎，认真计算(共4题；共16分)
19．（3分）（2021春 都安县期中）求如图图形阴影部分的面积。（单位：cm）
【思路点拨】根据题意，阴影部分的面积＝半径为5厘米的圆面积的﹣空白正方形的面积，圆面积＝πr2，正方形的面积＝对角线的平方÷2，据此解答。
【规范解答】解：3.14×52×﹣5×5÷2
＝19.625﹣12.5
＝7.125（平方厘米）
答：阴影部分的面积是7.125平方厘米。
【考点评析】认真观察图形，找出阴影部分的图形与整个图形的关系，从中找出解题思路是关键。
20．（3分）（2022 永济市）求如图中阴影部分的面积（单位：厘米）
【思路点拨】先用扇形的面积减三角形一半的面积得出阴影部分的面积，依此即可求解。
【规范解答】解：[3.14×（4÷2）2÷2﹣4×4÷2÷2]÷
＝（3.14×4÷2﹣4）÷
＝（6.28﹣4）÷
＝2.28÷
＝3.42（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.42平方厘米。
【考点评析】本题主要考查了组合图形的面积，注意半圆的面积为圆面积的。
21．（6分）（2023秋 巴林左旗期末）先计算前三个数的结果，再按规律直接写出后三个算式的得数。
①11×11＝ ②111×111＝ ③1111×1111＝
④11111×11111＝ ⑥1111111×1111111＝ ⑥111111111×111111111＝
【思路点拨】先计算前三个算式，依据计算结果可知，算式中两个相乘的乘数相同，且各个数位上都是1，乘数中1有几个，积的中间数字就是几，左边从1开始依次递增，右边依次递减到1，由此解答本题即可。
【规范解答】解：
①11×11＝121 ②111×111＝12321 ③1111×1111＝1234321
④11111×11111＝123454321 ⑥1111111×1111111＝1234567654321 ⑥111111111×111111111＝12345678987654321
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
22．（4分）（2020秋 福田区校级期中）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，AB＝20厘米，圆弧GD、HD的圆心分别在A、B两点，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【思路点拨】把右侧扇形部分旋转平移与把左侧扇形部分补在一起，那么阴影部分的面积＝直径为20厘米的半圆的面积一直角边为10厘米的等腰三角形的面积；据此解答即可。
【规范解答】解：20÷2＝10（厘米）
3.14×102÷2﹣10×10÷2
＝157﹣50
＝107（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是107平方厘米。
【考点评析】这种求组合图形的面积的问题，常常通过割、补、平移、旋转，把面积相等的图形补到另一个图形上，使不规则的图形变成规则的图形，以此来达到简算的目的。
五、联系生活，实际应用(共9题；共48分)
23．（5分）（2023秋 永城市期中）兴华小学的运动场如图1，两端是半圆形，中间整体是一个正方形，运动场的周长是205.6m。
（1）中间正方形的边长是多少米？
（2）学校计划在此运动场内部修建一条宽是4m的塑胶跑道（图2中涂色部分），每平方米塑胶跑道的造价是50元，一共需要多少元？
【思路点拨】（1）设运动场两端半圆的半径为r米，则正方形的边长为2r米，利用圆的周长＝π×半径×2，可知运动场周长＝半径为r米的圆的周长+2条正方形的边长，由此计算正方形的边长；
（2）跑道两端是两个半径差为4米的圆环的面积，跑道上下直道的面积等于长是正方形的边长，宽是4米的长方形的面积的2倍，由此计算出跑道的面积，然后计算需要的钱数。
【规范解答】解：（1）设运动场两端半圆的半径为r米，由题意得：
3.14×2×r+2r×2＝205.6
10.28r＝205.6
r＝20
20×2＝40（米）
答：中间正方形的边长是40米。
（2）3.14×20×20﹣3.14×（20﹣4）×（20﹣4）
＝3.14×144
＝452.16（平方米）
40×4×2＝320（平方米）
452.16+320＝772.16（平方米）
772.16×50＝38608（元）
答：一共需要38608元。
【考点评析】本题考查的是圆的面积和长方形的面积的应用。
24．（5分）（2023秋 应城市期末）在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积
是多少平方厘米？
【思路点拨】在圆形上剪的最大正方形的对角线，就是圆的直径，并且正方形的对角线互相垂直，所以就把正方形分成了四个小的直角三角形；小的直角三角形的直角边相等都是圆的半径，所以可求出正方形的面积；用圆的面积减去正方形的面积，就是剩下的面积。
【规范解答】解：10÷2＝5（厘米）
3.14×52＝78.5（平方厘米）
5×5÷2×4
＝25÷2×4
＝12.5×4
＝50（平方厘米）
78.5﹣50＝28.5（平方厘米）
答：剩下阴影部分的面积是28.5平方厘米。
【考点评析】此题考查圆的面积与正方形的面积公式的实际应用，理解圆中剪出一个最大的正方形，圆的直径是正方形的对角线是关键。
25．（5分）（2023秋 潜山市期末）城市街心花园要靠墙新建一个由长方形和半圆形组成的花圃，种植新花卉。
（1）要沿花圃的一周修一圈栅栏，需要多长的栅栏？
（2）要给这个花圃上铺上特殊的花土，花圃的面积是多少？
【思路点拨】（1）根据题意可知，栅栏的长等于长方形的两条宽加上直径是20米的圆周长的一半，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
（2）根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出长方形与半圆的面积和即可。
【规范解答】解：（1）10×2+3.14×20÷2
＝20+31.4
＝51.4（米）
答：栅栏的长是51.4米。
（2）20×10+3.14×（20÷2）2÷2
＝200+3.14×100÷2
＝200+157
＝357（平方米）
答：花圃的面积是357平方米。
【考点评析】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式、圆的周长、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．（4分）（2023 临西县）求阴影部分的面积。
【思路点拨】依据题意结合图示可知，阴影部分的面积等于边长为（10÷2）厘米的正方形的面积的一半，由此列式计算即可。
【规范解答】解：10÷2＝5（厘米）
5×5÷2＝12.5（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12.5平方厘米。
【考点评析】本题考查的是组合图形的面积的应用。
27．（8分）（2023秋 盐田区期末）阅读下面一段文字，回答下面的问题。
淘气告诉笑笑：“我知道数字中有回文数，像1056501这样的数就是回文数。”笑笑说：“不止有回文数，还有回文算式呢!”她写出四个两位数和三位数相乘的回文算式让淘气观察。
23×352＝253×32
35×583＝385×53
81×198＝891×18
36×693＝396×63
认真观察上面四个回文算式，然后按规律把后三个回文算式写完整（每个横线里只填一个数字），并把思考过程写在下面。
（1）12×231＝ 132 × 21
（2）43× 374 ＝473× 34
（3） 52 ×2 7 5＝5 7 2× 25
【思路点拨】观察算式可知，回文算式等号左边的第一个乘数的个位上数字与十位上的数字相加的和是第二个乘数的十位上的数字，第二个乘数的个位上的数字与百位上的数字是第一个乘数十位上和个位上的数字。等号右边的三位数的百位、十位、个位的数字分别是左边三位数从右往左的数字，两位数的数字是左边两位数字的个位与十位的交换，由此解答本题。
【规范解答】解：由分析可知。（1）12×231＝132×21
（2）43×374＝473×34
（3）52×275＝572×25
故答案为：（1）132，21；（2）374，34；（3）52，7，7，25。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
28．（5分）（2023 如东县）先阅读理解，再解决问题。
有这样一组有规律的算式：
第1层：1+2＝3；
第2层：4+5+6＝7+8；
第3层：9+10+11+12＝13+14+15；
第4层：16+17+18+19+20＝21+22+23+24；
第5层：25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35；
……
（1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于 层数的平方 ，像第7层的第1个数是 49 。
（2）我发现：每层右边的数的个数等于 层数 ，如第7层右边一共有 7 个数。
（3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。
【思路点拨】（1）观察题中算式可知，每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，由此解答本题；
（2）每层右边的数的个数等于层数，左边的数的个数减1层数，由此解答本题；
（3）依据（1）（2）去解答。
【规范解答】解：（1）每一层的第1个数，都正好等于层数的平方，像第7层的第1个数是：7×7＝49；
（2）每层右边的数的个数等于层数，如第7层右边一共有7个数；
（3）49+50+51+52+53+54+55+56＝57+58+59+60+61+62+63＝420，第7层等号左边数的和是420。
故答案为：层数的平方，49；层数，7。
【考点评析】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。
29．（6分）（2023秋 上城区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，AO为圆的半径，BC为圆的直径，且AO垂直于BC，AB＝6cm。
（1）求平行四边形ABCD的面积。
（2）求圆的面积。
（3）求阴影部分的面积。
【思路点拨】假设圆的半径为r，依据题意结合图示可知，r×r+r×r＝62，三角形ABC是一个等腰直角三角形，且AC＝AB。
（1）平行四边形ABCD的面积＝2×三角形ACB的面积，利用三角形的面积＝底×高÷2，列式计算即可；
（2）利用圆的面积＝3.14×半径×半径，结合题中数据计算即可；
（3）阴影部分的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣三角形ACB的面积的一半﹣圆的面积÷4，由此列式计算。
【规范解答】解：假设圆的半径为r，依据题意结合图示可知，r×r+r×r＝62，即r×r＝18（平方厘米）。
（1）6×6÷2×2＝36（平方厘米）
答：平行四边形ABCD的面积是36平方厘米。
（2）3.14×18＝56.52（平方厘米）
答：圆的面积是56.52平方厘米。
（3）36﹣6×6÷2÷2﹣56.52÷4
＝36﹣9﹣14.13
＝12.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是12.87平方厘米。
【考点评析】本题考查的是三角形，圆的面积公式的应用。
30．（4分）（2020秋 苍溪县期末）计算下面各题，发现规律。
32×101＝3232 54×101＝5454 78×101＝7878 89×101＝8989
我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写 2 遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的 乘积 。请你再写出两个这样的算式，并按规律直接写出结果。
【思路点拨】根据题干中的样例，找出规律，然后再进一步解答即可。
【规范解答】解：根据题干中的样例，我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写2遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的乘积。
答案不唯一。
25×101＝2525
36×101＝3636
故答案为：2，乘积。
【考点评析】关键是根据题干中的样例，得出一个两位数与101相乘的规律，然后再进一步解答。
31．（6分）（2022 钱塘区）数学思考
如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）
【思路点拨】连接PB，P点为半圆周的中点，作出三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10+10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。
【规范解答】解：作辅助线如图：
10×15÷2＝75（平方厘米）
5×5÷2＝12.5（平方厘米）
75+12.5＝87.5（平方厘米）
答：空白部分的面积是87.5平方厘米。
【考点评析】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键2023-2024学年苏教版数学五年级下册易错知识点精讲练
专题07 解决问题的策略
(新知回顾精讲+易错笔记点拨+易错真题拔高卷）
转化的策略是指把一个有待解决的问题转化成一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。应用转化的策略能够使问题化繁为简，化未知为已知。
知识点01：用转化的策略解决图形问题
1.有些不规则图形可以转化成熟悉的简单的规则图形。
2.图形转化时可以运用平移、旋转等方法。
3.转化后的图形与转化前相比，形状变了，大小没有变。
4、在进行面积公式推导时，可以把图形转化成已经学过的图形面积来计算。例如把三角形转化成平行四边形，把圆转化成长方形。
5、运用转化的策略，从不同的角度灵活的思路分析问题，可以使复杂的问题简单化。
知识点02：用转化的策略解决特殊的计算问题
1.计算异分母分数相加、减时，把异分母分数转化成同分母分数。
计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法。
2.有些复杂的算式可以根据算式中数的特点，把原算式转化成简单的算式。
3.画图可以帮助找到转化的方法。
4.运用转化的策略，借助数形结合从不同的角度灵活地思路分析问题，可以使复杂的计算简单化。
1. 用转化法解决求复杂图形周长和面积的问题。
把复杂的图形通过切割、拼接、平移、旋转等方法转化成简单规则的图形。
2. 用转化法解决特殊的计算问题。
借助数形结合从不同的角度灵活地分析问题，使复杂的计算简单化。
3. 在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1”。
4. 特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相互抵消，最后形成几个数值进行计算。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：较难
一、精挑细选，慎重选择.（括号里填入正确答案的序号）（共5题，每题2分，共10分）
1．（2分）（2023秋 厦门期末）不计算，用发现的规律得到最后一道题的商是（ ）
17÷99＝0.1717……
18÷99＝0.1818……
……
20÷99＝？
A．0.2020 B．0.1919…… C．0.2121…… D．0.2020……
2．（2分）（2023秋 沙坡头区期末）太极图被称为“中华第一图”，如图所示的正方形内是太极图，已知正方形的边长为2cm，则正方形面积与涂黑色部分的面积比为（ ）。
A．4：1 B．4：π C．π：1 D．8：π
3．（2分）（2023 湖里区）下列各图中的正方形面积相等，图（ ）的阴影面积与另外三图不同．
A． B． C． D．
4．（2分）（2023秋 汉阴县月考）乐乐用计算器算出了999×2＝1998，999×3＝2997，999×4＝3996，……。按照这样的规律，999×5＝（ ）
A．3995 B．4995 C．5995 D．6995
5．（2分）（2011秋 宝应县期末）已知11×99＝1089，111×999＝110889，1111×9999＝11108889，那么111111×999999＝（ ）
A．11108889 B．1111088889
C．111110888889 D．11111108888889
二、细心读题，准确填空（共8题，每题2分，共16分）
6．（2分）（2023秋 鹤城区期末）不计算，根据规律写一写。
108÷9＝12；
1107÷9＝123；
11106÷9＝1234；
111105÷9＝ ；
……
÷9＝12345678。
7．（2分）（2023秋 香洲区期末）已知81÷9＝9，88.2÷9＝9.8，88.83÷9＝9.87，88.884÷9＝9.876；那么88.8885÷9＝ ，88.88886÷9＝ 。
8．（2分）（2023秋 鹤城区期末）不计算，根据规律填一填：
3×0.5＝1.5
3.3×3.5＝11.55
3.33×33.5＝111.555
3.333×333.5＝1111.5555
……
＝111111.555555
9．（2分）（2022秋 西山区期末）先观察前面的两道算式。再按规律填一填。
123456789×9＝1111111101
123456789×18＝2222222202
123456789×36＝
123456789× ＝7777777707
10．（2分）（2021秋 泉港区期末）观察下面图形，找一找有什么规律，填一填。
1
1+3
1+2×3
1+3×3
11．（2分）（2011秋 河东区期末）如图，已知阴影部分的周长是13.42cm，则阴影部分的面积是 cm2．（π取3.14）．
12．（2分）（2011秋 罗江县期中）如图，图中阴影部分的面积是 平方厘米（用含π的代数式表示）．
13．（2分）（2010 武汉模拟）图中，直角三角形ABC的周长为24厘米，它的三条边的长度之比为3：4：5，则阴影部分的周长是 厘米、面积是 平方厘米．
三、用心看题，精准判断(共5题；每题2分，共10分)
14．（2分）（2020 辉县市）如果正方形、长方形、圆的周长相等，那么正方形的面积最大． （判断对错）
15．（2分）（2011秋 富顺县期末）如果一个长方形和一个一般平行四边形的周长相等，那么，它们的面积也相等． ．
16．（2分）（2023秋 嵩县期末）由1÷11＝0.0909……，2÷11＝0.1818……，能推出3÷11＝0.8181……。 （判断对错）
17．（2分）（2017秋 雁江区期末）周长相等的圆、正方形、长方形，长方形的面积最小。 （判断对错）
18．（2分）（2015 如皋市模拟）一个正方形和一个圆的周长相等，圆面积一定大于正方形面积． ．（判断对错）
四、细心谨慎，认真计算(共4题；共16分)
19．（3分）（2021春 都安县期中）求如图图形阴影部分的面积。（单位：cm）
20．（3分）（2022 永济市）求如图中阴影部分的面积（单位：厘米）
21．（6分）（2023秋 巴林左旗期末）先计算前三个数的结果，再按规律直接写出后三个算式的得数。
①11×11＝ ②111×111＝ ③1111×1111＝
④11111×11111＝ ⑥1111111×1111111＝ ⑥111111111×111111111＝
22．（4分）（2020秋 福田区校级期中）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB为直角，D是AB的中点，AB＝20厘米，圆弧GD、HD的圆心分别在A、B两点，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
五、联系生活，实际应用(共9题；共48分)
23．（5分）（2023秋 永城市期中）兴华小学的运动场如图1，两端是半圆形，中间整体是一个正方形，运动场的周长是205.6m。
（1）中间正方形的边长是多少米？
（2）学校计划在此运动场内部修建一条宽是4m的塑胶跑道（图2中涂色部分），每平方米塑胶跑道的造价是50元，一共需要多少元？
24．（5分）（2023秋 应城市期末）在一张直径是10厘米的圆中剪下一个最大的正方形（如图所示），剩下阴影部分的面积
是多少平方厘米？
25．（5分）（2023秋 潜山市期末）城市街心花园要靠墙新建一个由长方形和半圆形组成的花圃，种植新花卉。
（1）要沿花圃的一周修一圈栅栏，需要多长的栅栏？
（2）要给这个花圃上铺上特殊的花土，花圃的面积是多少？
26．（4分）（2023 临西县）求阴影部分的面积。
27．（8分）（2023秋 盐田区期末）阅读下面一段文字，回答下面的问题。
淘气告诉笑笑：“我知道数字中有回文数，像1056501这样的数就是回文数。”笑笑说：“不止有回文数，还有回文算式呢!”她写出四个两位数和三位数相乘的回文算式让淘气观察。
23×352＝253×32
35×583＝385×53
81×198＝891×18
36×693＝396×63
认真观察上面四个回文算式，然后按规律把后三个回文算式写完整（每个横线里只填一个数字），并把思考过程写在下面。
（1）12×231＝ ×
（2）43× ＝473×
（3） ×2 5＝5 2×
28．（5分）（2023 如东县）先阅读理解，再解决问题。
有这样一组有规律的算式：
第1层：1+2＝3；
第2层：4+5+6＝7+8；
第3层：9+10+11+12＝13+14+15；
第4层：16+17+18+19+20＝21+22+23+24；
第5层：25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35；
……
（1）我发现：每一层的第1个数，都正好等于 ，像第7层的第1个数是 。
（2）我发现：每层右边的数的个数等于 ，如第7层右边一共有 个数。
（3）请你列式计算出第7层等号左边数的和。
29．（6分）（2023秋 上城区期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，AO为圆的半径，BC为圆的直径，且AO垂直于BC，AB＝6cm。
（1）求平行四边形ABCD的面积。
（2）求圆的面积。
（3）求阴影部分的面积。
30．（4分）（2020秋 苍溪县期末）计算下面各题，发现规律。
32×101＝3232 54×101＝5454 78×101＝7878 89×101＝8989
我发现：一个两位数与101相乘，只要把这个两位数连续写 遍，得出的一个四位数就是这个两位数与101的 。请你再写出两个这样的算式，并按规律直接写出结果。
31．（6分）（2022 钱塘区）数学思考
如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米）
