台州中学2008-2009学年第二学期第三次统练高三 数学（文科）

台州中学2008-2009学年第二学期第三次统练
高三 数学（文科）
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式

球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱台的体积公式
其中R表示球的半径
棱锥的体积公式 其中分别表示棱台的上、下底面积，
表示棱台的高
其中S表示棱锥的底面积，表示棱台的高
如果事件A，B互斥，那么
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、若将复数表示为的形式，则的值为（ ）
A、-2 B、 C、2 D、
2、若数列是公差为2的等差数列，则数列是（ ）
A、公比为4的等比数列 B、公比为的等比数列
C、公比为的等比数列 D、公比为的等比数列函数
3、甲盒子中装有2个编号分别为1，2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，从甲、乙个盒子中各随机取一个小球，则取出两小球编号之和为奇数的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）
…
…
…
A、 B、 C、 D、
5、下列说法正确的是（ ）
A、“”是“”的充分不必要条件
B、“”是“”的必要不充分条件．
C、命题“使得”的否定是：“ 均有”．
D、命题“若，则”的逆否命题为真命题．
6、设表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A、⊥，若⊥，则∥
B、β，是在内的射影，若⊥，则⊥
C、β，若⊥则⊥
D、，，若∥，则∥
7、如图,是函数的部分图像,则（ ）
A、 B、 C、 D、
8、右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数，若当时，，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分．
11、某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么n=_________
12、如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，
俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是
13、设都是单位向量，且与的夹角为，则
14、若圆（a为常数）被y轴截得弦所对圆心角为，则实数
15、函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其
中，则的最小值为__ ;
16、平面几何中有结论：“正三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值，大小为边长的倍”，请你写出此结论在立体几何中类比的结论：
17、如图，已知直线之间的。一定点，并且A到之间的距离分别为3和2，B是直线上一动点，作且使AC与直线交于点C，则的面积的最小值是 .
三、解答题：本大题共5小题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
18、（本小题满分14分）
已知的三个内角A，B，C所对的边饭分别为，向量
（1）求角B；
（2）若，判断的形状.
19、（本小题满分14分）已知递增的等比数列满足，且的等差中项
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，是数列的前项和，求使成立的的最小值
20、（本小题满分14分）如图，在Rt中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当点为线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求四棱锥体积的最大值.

21、（本小题满分15分）已知抛物线：的准线与轴交于点，为抛物线的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点．
（1）若，求的值；
（2）是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
22、（本小题满分15分）
已知函数，，其中.
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
台州中学2008-2009学年第二学期第三次统练
高三 数学（文科）答案
一、AABCD；CACDC；
二、11、36 12、 13、 14、 15、4
16、正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值，大小是棱长的倍 17、6
18、解：（1）
7分
（2）

当时，此时，为直角三角形；
当时，为直角三角形。……………………7分
19、（I）设等比数列的公比为，依题意有，（1）
又，将（1）代入得
于是有
解得
又是递增的，故
所以 ………………………………7分
（Ⅱ）
故由题意可得，解得或
所以满足条件的的最小值为13 ………………………………7分
20、（本小题满分14分）
证明:（Ⅰ）证明：在Rt中，，
∴.
∴.
又∵，
∴平面. ………………………………………2分

又∵平面，
∴.
………………5分
（Ⅱ）解法一：过点作交于，连结.
∵平面，平面，
∴.
∵，∴平面.
∴是在平面内的射影.
∴是与平面所成的角.
………………………………………6分
∵点为线段的中点，，
∴.
∵，
∴是二面角的平面角.
………………………………………8分
∵二面角的大小为，
∴.
在Rt△中，.
∴.
在Rt△中，.
∴在Rt△中，.
∴与平面所成角的正弦值为. ……10分

解法二：如图，以为原点建立空间直角坐标系．
∵点为线段的中点，，
∴.
∵，
∴是二面角的平面角.
∵二面角的大小为，
∴.
……………6分
可得，.
则，且平面的法向量n.
∴.
∴与平面所成角的正弦值为. ……10分
（Ⅲ）设，则.同（Ⅱ）可求得.
在等腰直角三角形中，，
∴.
∴. …………12分
设，，
则，由得.
当时，单调递增；当时，单调递减.
∴当时，四棱锥体积取最大值为.…………14分
21、（1）记A点到准线距离为，直线的倾斜角为，
由抛物线的定义知，………………………2分
∴，
∴………………………5分
（2）设，，
由得，………………………2分
由得且
，同理……………………2分
由得，…………………………2分
即：，
∴，…………………………2分
，得且，
由且得，
的取值范围为…………………………2分
22、（1）解法1：∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，
∴，即， ∵，∴．
经检验，当时，=1是函数的极值点，
∴． ? …………………………5分
解法2：∵，其定义域为，
∴．
令，即，整理得，．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：
—
0
＋
极小值
依题意，，即， ∵，∴．
（2）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的
都有≥． ……………………2分
当时，．
∴函数在上是增函数.
∴． ………………………2分
∵，且，，
①当且时，，
∴函数在上是增函数.
∴.
由≥，得≥， 又，∴不合题意． …………2分
②当1≤≤时，
若1≤，则，
若≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数.
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且时，，
∴函数在上是减函数.
∴. 由≥，得≥，
又，∴． ………………2分
综上所述，的取值范围为．