6.3.1 二项式定理
【题型1 二项式定理的正用逆用】
1．（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】二项式，.故选：B
2．（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.故选：B
3．（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期末）设，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
故，故选：B.
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）化简的结果为（ ）
A．x4 B． C． D．
【答案】A
【解析】
,故选：A.
5．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
则，即.故选：B
【题型2 二项展开式中的特定项】
1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，的二项展开式的通项为，，
所以，第3项为.故选：A.
2．（22-23高二下·北京通州·期末）二项式的展开式的第3项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二项式的展开式的第3项为.故选：C
3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C．250 D．240
【答案】D
【解析】由题意得二项式的通项公式为
，
令，则常数项为，故选：D
4．（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】二项式的展开式的通项为，
令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为.故选：C
5．（22-23高二下·北京海淀·期中）对于二项式，四位同学作出了四种判断：
①在展开式中没有常数项； ②在展开式中存在常数项；
③在展开式中没有x的一次项； ④在展开式中存在的一次项
上述判断中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【解析】根据二项式定理得
因为，所以为，故在展开式中没有常数项，①正确、②错误；
当时，展开式中的x为一次项，③错误，④正确.故选：D.
【题型3 三项展开式中的特定项】
1．（22-23高二下·吉林·期末）的展开式中，的系数为 ．
【答案】
【解析】可以看作5个盒子，每个盒子中有三个元素，
现从每个盒子中取出一个元素，最后相乘即可，
所以展开式中含的项为，
所以的系数为.
2．（2024·河南·模拟预测）的展开式中的系数为 ．
【答案】
【解析】的通项公式为，
当时，，
中，含项的系数为，
所以展开式中的系数为.
3．（22-23高二下·黑龙江大兴安岭地·月考）展开式中含项的系数为 .
【答案】30
【解析】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为30.
4．（22-23高二下·江苏苏州·月考）展开式中的系数为 （用数字作答）．
【答案】
【解析】由于表示5个因式的乘积，
故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项，
故展开式中的系数为.
5．（22-23高二下·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为 .
【答案】360
【解析】把的展开式看成是5个因式的乘积形式，
展开式中，含项的系数可以按如下步骤得到：
第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取，有种取法；
第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取，有种取法；
第三步，把剩余的1个因式中取，有种取法；
根据分步相乘原理，得；含项的系数是
【题型4 多项积展开式中的特定项】
1．（22-23高二下·山东青岛·期末）若的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】，
的展开式的通项公式为，
令，解得，则的展开式的常数项为；
令，解得，则的展开式的常数项为，
因为的展开式中常数项是10，
所以，解得，故选：D
2．（23-24高二下·甘肃天水·开学考试）展开式的常数项为 ．
【答案】
【解析】因为展开式的通项公式为，
当1乘以时，令，解得，常数项为；
当乘以时，令，解得，常数项为；
所以的展开式中的常数项为.
3．（22-23高三上·江苏·月考）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由二项式定理：
观察可知的系数为.故选：B.
4．（23-24高三上·河南·期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
【答案】B
【解析】，
而展开式的通项为，
所以当时，的系数为，
当时，的系数为，
所以的系数为，故选：B
5．（22-23高二下·江苏连云港·期中）展开式中的项数为（ ）
A．11 B．12 C．22 D．
【答案】B
【解析】因为
所以
则
共有12项，故选：B．6.3.1 二项式定理
【题型1 二项式定理的正用逆用】
1．（22-23高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二上·辽宁葫芦岛·期末）设，化简（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）化简的结果为（ ）
A．x4 B． C． D．
5．（22-23高三上·江苏南京·期末）若，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【题型2 二项展开式中的特定项】
1．（22-23高二下·上海杨浦·期中）在的二项展开式中，第3项为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·北京通州·期末）二项式的展开式的第3项为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北襄阳·模拟预测）的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C．250 D．240
4．（2023·四川泸州·二模）已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．（22-23高二下·北京海淀·期中）对于二项式，四位同学作出了四种判断：
①在展开式中没有常数项； ②在展开式中存在常数项；
③在展开式中没有x的一次项； ④在展开式中存在的一次项
上述判断中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【题型3 三项展开式中的特定项】
1．（22-23高二下·吉林·期末）的展开式中，的系数为 ．
2．（2024·河南·模拟预测）的展开式中的系数为 ．
3．（22-23高二下·黑龙江大兴安岭地·月考）展开式中含项的系数为 .
4．（22-23高二下·江苏苏州·月考）展开式中的系数为 （用数字作答）．
5．（22-23高二下·山东青岛·期末）在的展开式中，含的系数为 .
【题型4 多项积展开式中的特定项】
1．（22-23高二下·山东青岛·期末）若的展开式中常数项是10，则m＝（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．（23-24高二下·甘肃天水·开学考试）展开式的常数项为 ．
3．（22-23高三上·江苏·月考）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河南·期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
5．（22-23高二下·江苏连云港·期中）展开式中的项数为（ ）
A．11 B．12 C．22 D．
