上海市世外教育集团附属崇明学校2023-2024学年九年级下学期月考数学试题(含答案)

2023学年第二学期学校初三数学大练习（三）
（满分150分，考试时间100分钟）（2024．3）
同学们请注意：
1．本次大练习含三个大题，共25题；请按照由易到难的顺序答题，遇到难题可暂时跳过；
2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
3．除第一、二大题外，其余各题都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上。】
1．下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．0的相反数是0 B．0的倒数是0 C．0的绝对值是0 D．0的立方根是0
2．下列关于x的方程中，一定有实数根的方程是（ ）
A． B． C． D．（a、b均为实数）
3．如图所示的4个选项中的曲线，不属于函数图像的是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两位同学相约打乒乓球现有款式完全相同的4个乒乓球拍，分别记为A、B、C、D，如果甲同学先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，那么乙同学选中C号球拍的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能够判断有一组对边平行的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦 B．平分弧的直径经过圆心
C．平分弦的直线垂直于弦 D．垂直于半径的弦过圆心
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．计算：_________．
8．分解因式： _________．
9．如果不等式组的解集是，那么实数m的取值范围是_________．
10．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为_________．
11．函数的定义域为_________．
12．一次函数的图像与y轴的交点坐标为_________．
13．点在一个二次项系数为1的二次函数的图像上，试写出一个符合题意的二次函数的解析式：_________．
14．如图所示，已知，E在AB上，点G在CD上，，如果，如果用含的代数式表示，那么_________．
15．如图，点O是等边三角形ABC的重心，，那么向量可以表示为_________（用向量、的线性组合表示）．
16．将反比例函数的图像向左平移2个单位长后，所得的图像与y轴的交点坐标为_________．
17．研究一类几何图形，我们首先需要给出这类图形的定义．如图，有这样一类凸四边形ABCD，满足，，这时，我们习惯上将这样的图形称为筝形．请你用文字语言给筝形下个定义：_________．
18．已知四边形ABCD是矩形，且．如果该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角形，那么的正切值为_________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分）
解方程组
21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米．
（1）请在图所示的直线MN上画出表示这个圆形物体影长的线段；
（2）求这个圆形物体的半径长．
22．（本题满分10分，其中第（1）小题满分4分，第（2）（3）小题满分各3分）
一种水杯，甲、乙、丙三家商场的定价都是25元/每个，但是优惠方式不同：
甲商场：每买4个送1个；乙商场：全场八五折；丙商场：每满200元减50元．
（1）如果买7个水杯，从最优惠的角度思考，如何购买？请设计一个购买方案；
（2）如果用1200元钱，去哪家商场购买的水杯最多（只去其中的一家商场购买）？为什么？
（3）在保持商场的盈利不变的前提下，你还能够帮助这三家商场分别再设计出一个新的广告用语吗？
23．（本题满分12分，每小题满分6分）
如图所示，已知的三边分别为a，b，c，
（1）如果，求证：；
（2）如果，求证：．
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式：
（2）如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交BC于点E，联结BD，求的面积：
（3）如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围．
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
已知：AB、AC是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦AB、AC上，且，联结OM、ON．
图1 图2 备用图
（1）求证：；
（2）当是锐角时，如果，求证：四边形AMON是等腰梯形．
（3）过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：．
2023学年第二学期学校初三数学大练习（三）参考答案
请各个阅卷小组在此基础上制定评分细则
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.B；2. A；3.C；4.C；5. C；6.B.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.（只要满足即可）；14.；15.；16. ；17.有一条对角线为对称轴的四边形是筝形；18.或.
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19. （本题满分10分）
解： 8+2分
20．（本题满分10分）
解：原方程组可以化为：或. 4分
解方程组，得. 2分
解方程组，得. 2分
∴原方程组的解为，. 2分
21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
解：（1）如图所示，找到圆心，画出过点的切线，且说明线段为表示影长的线段，可以得4分.说明：如果学生表示影长的线段描述为图中的线段，可以得2分.
（2）分别过作、、的垂线，垂足分别为、、，如图所示.
易得：， 1分
进而可证，.
进而可得，，
，设， ……1分
在中，；……1分
在中，；……1分
依据题意，得：.…………1分
解得 .
答：该圆形物体的半径长为米. 1分
22.（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）（3）小题各3分）
解：（1）在甲商场用100元购买4个水杯，可以得到5个水杯，另外在甲商场再支付50元可以购买2个水杯，即在甲商场购买7个水杯，需要支付150元。 1分
在乙商场购买7个水杯，需要支付元； 1分
在丙商场够买7个水杯，需要支付元；
现在甲商场用100元购买4个水杯，可以得到5个水杯；另外再在乙商场购买2个水杯，需要消费元，累计需要142.5元. 1分
因此，购买7个水杯，可以先在甲商场购买4个水杯，得到5个水杯，然后再到乙商场购买2个水杯最优惠。
（2）设在甲商场用1200元可以购买个水杯，依据题意得：.
即 ，. 1分
设在乙商场用1200元可以购买个水杯，依据题意得：.
即 ，因此，用在乙商场用1200元可以购买56个水杯. 1分
在丙商场消费满200元，可以节省50元；因此，在丙商场用150元可以购买8个水杯。
所以在丙商场消费1200元可以购买（个）。 1分
（3）甲商场：购买5个水杯可以打八折；或满125元减25元或充1000送250元；1分
乙商场：消费100元立减15元，消费1000元立减150元； 1分
丙商场：每购买8个水杯可以打七五折或者充2000元送600元等等。 1分
23.（本题满分12分，每小题满分6分）
证明：（1）延长至，使得，联结.
容易证明：.……………………………………3分
∴.∴.……………………………………2分
进而可得.………………………………………1分
（2）辅助线同第（1）小题.
∵ ，∴，，即. 1分
∴. 1分
又∵是公共角，∴. 1分
∴. 1分
又由可得. 1分
∴. 1分
24. （本题满分12分，每小题满分各4分）
解：（1）抛物线的对称轴为直线. 1分
又 ，依据抛物线的对称性，易得、. 2分
将代入，可得.
故，该抛物线的表达式为. 1分
（2）由题意可得 ，设直线的表达式为.
将、代入，得，解得.
即直线的表达式为. 1分
抛物线的顶点坐标为. 1分
∵与轴平行，∴点横坐标与点的横坐标相等，
将代入，可得.故. 1分
∴的面积为. 1分
（3）∵ 、在抛物线上，
∴=. 3分
又 ∵，∴=. 1分
25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
解：（1）联结、，易得，. 1分
∵，，，
∴.
∴. 1分
又∵，∴.
又∵，，
∴. 1分
∴. 1分
（2）∵，∴.
又∵，∴. 1分
∴. 1分
又∵，∴.
∴. 1分
又∵与不平行，∴四边形是梯形. 1分
又∵，∴.
又∵，∴梯形是等腰梯形. 1分
（3）分别过作，交于；过点作，交于.
过点作，过点作垂足分别为、.
又 ∵，∴. 1分
又 ∵，∴.
∴. 1分
∵，
∴四边形是矩形，∴，. 1分
同理 ，.
∴.
又∵，∴. 1分
∴.
又∵，∴，∴. 1分