2009年高考信息题（全国卷）数学理 （共3套）

数学学科
综合练习（一）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合，则等于
A． B．M C． D．Z
2．复数的虚部为
A．1 B． C．2 D．
3．设，且，则角的正切值为
A． B． C． D．
4．在等差数列中，已知，则等于
A．40 B．42 C．43 D．45
5．已知定义在R上的函数的值域为，则函数的值域为
A． B． C． D．不确定
6．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，若这些斜线与平面成等角，有如下命题：
（1）斜足可能构成正三角形； （2）锤足是斜足构成的三角形的内心；
（3）垂足是斜足构成的三角形的外心； （4）斜足不能构成直角三角形
A．（1）（3） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（1）（2）
7．在数字1，2，3与符号“，”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是
A．6 B．12 C．18 D．24
8．已知数列的通项公式为，其中均为正数，那么与的大小是
A． B．
C． D．与的取值有关
二、填空题：把答案填在题中横线上。
9．设函数，则的定义域是_____________；的最小值是_____________。
10．高三某班50名学生参加某次数学模拟考试，所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出的频率分布直方图如右图，则该班得120分以上的同学共有__________人。
11．在平面内，两条直线相交于点，对于平面内任意一点，若分别为点到直线的距离，则称为点的“距离坐标”，根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有_______个。
12．如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为50，摩天轮做匀速逆时针转动。摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度（单位：m），则在摩天轮转动一圈的过程中，点的高度在距地面70以上的时间将持续__________min。
13．若，且，则_____，实数的值为___________
14．下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是__________________（写出所有符合要求的图形的序号）。
（1） （2） （3） （4）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知在中，角A，B，C的对边为向量，
，且
（I）求角的大小。
（Ⅱ）若，求的值
16．如图，A，B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量。
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为，当时，则保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；
（Ⅱ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望。
17．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上
一点，且。
（I）求证：直线平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
18．已知函数是R上的奇函数，当时，取得极值-2。
（I）求函数的解析式；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围。
19．已知椭圆，直线交椭圆于两点，向量且，以为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线交于点。
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的离心率为，求的解析式，并求它的定义域和值域。
参考答案
综合练习（一）
一、选择题
1．D 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A
二、填空题
9． 2 10．15 11．4 12．4 13．1，1或-3 14．（1）（2）
三、解答题
15．解：（I）由得，即；
整理得
解得（舍）或
因为，所以
（Ⅱ）因为
由正弦定理和余弦定理可得
代入上式得

又因为故
所以
16．解：（I）选择三条网线使信息通过总量的情况有。
；
；
线路信息畅通的概率为
（Ⅱ）线路通过信息量的可能取值为4，5，6，7，8，9。

故线路通过信息量的数学期望
答：（I）线路信息畅通的概率是，（Ⅱ）线路通过信息量的数学期望是6.5
17．解：（I），又，
四边形是平行四边形， 。
又平面，平面，
直线平面
（Ⅱ）过作于，连结
平面，，
是二面角的平面角。
，
是的中点，。
在中，

，即二面角的大小为60°
（Ⅲ）过作于，
平面，平面平面，
平面且为点到平面的距离。
，
。
18．解：（I）由是R上的奇函数，有，所以
因此
对函数求导得 由题意得
所以 解得
因此
（Ⅱ）
令，解得或；令，解得，
因此的单调区间为和；的单调减区间为。
（Ⅲ）令，得或
当变化时，、的变化如下表：
1
（1，3）
3
0
0
18
从上表可知，在区间上的最大值是18。
原命题等价于大于在上的最大值，所以。
故的取值范围是
19．（I）由，则为的中点
设，则，
且在椭圆上
两式相减得
故
故，于是，所以椭圆离心率。
（Ⅱ）设椭圆的右准线为，过作于
由

由题意设代入椭圆方程，消去得
，解得
由，解得；
故的定义域为
又，故值域。
综合练习（二）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则等于
A． B． C．或} D．
2．设向量的模为则的值为
A． B． C． D．
3．设等比数列的前项和为，，则的值为
A．3 B．2 C．1 D．
4．两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内
A．一定存在与直线平行的直线 B．一定不存在与直线平行的直线
C．一定存在与直线垂直的直线 D．不一定存在与直线垂直的直线
5．函数的单调递增区间为
A． B．
C． D．
6．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦等于
A． B． C． D．
7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
8．曲线与直线有两个交点，则的取值范围是
A．或 B．
C．或 D．
二、填空题：把答案填在题中横线上。
9．已知角的终边上有一点，则的值为_________。
10．若实数满足，则的最小值为__________。
11．设函数把的图象按向量平移后的图象恰好为的图象，则的最小值为__________。
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________。
13．若椭圆的一条准线方程为，则_________；此时，定点与椭圆上动点距离的最小值为______________。
14．已知函数 且，则等于_____________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知函数
（I）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对都成立，求实数的最大值。
16．一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个。
（I）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；
（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；
（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率。
17．如图，已知四棱锥，平面，底面为直角梯形，且。
（I）点在线段上运动，且设，问当为何值时，平面？并证明你的结论；
（Ⅱ）若二面角为45°，求二面角的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求点到平面的距离。
18．已知一次函数的图象关于直线对称的图象为，且，
若点在曲线上，并有
（I）求曲线的方程；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，若恒成立，求实数的取值范围。
19．已知函数在区间（0，1）内是增函数。
（I）求实数的取值范围
（Ⅱ）若数列满足，证明；
（Ⅲ）若数列满足，，问数列是否单调？若单调，试给出证明，若不单调，请说明理由。
综合练习（二）
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8．A
二、填空题
9． 10．2 11． 12．14 13．1， 14．100
三、解答题
15．解：（I）因为

由
得
所以的单调增区间是
（Ⅱ）因为所以
所以
所以
故，即的最大值为1。
16．解：由已知袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球。
（I）标有数字3的小球共有3个，
取出标有数字3的小球的概率为
（Ⅱ）标有偶数数字的小球共有2+4=6个，
取出的3个小球全标有偶数数字的概率为
故任意取出3个小球中至少有1个标有奇数数字的概率为

（Ⅲ）2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）
故所求概率为
17．解：（I）当时，平面。
证明：取中点则
且又且，
四边形为平行四边形。
又平面平面，
平面
（Ⅱ）平面
即是二面角的平面角
为等腰直角三角形，，
平面 又，平面平面，
平面平面，即二面角的大小为90°
（Ⅲ）在平面内作于点，由平面平面且平面平面
平面，
在中，，
在中，，将代入得
，即点到平面的距离为
又平面，∴点到平面的距离为。
18．解：（I）设，则曲线的方程为
由得；①
又点在曲线上，故即（2，1）在曲线上。
得到； ②
由①②得，所以曲线方程为
（Ⅱ）点在曲线上，故，而，
所以，故
（Ⅲ）
所以关于单调增，故
故使恒成立，则
19．解：（I），由于在内是增函数，
故在时恒成立。
即恒成立，而时，
故即为所求。
（Ⅱ）由题意知当时，，假设当时，有，
则当时有且
（由（I）知在（0，1）上是增函数）
所以时命题成立，故
又因为，所以
（Ⅲ）数列不具有单调性。
令则
所以又因为，所以
又，由此表明数列没有单调性。
综合练习（二）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，则等于
A． B． C．或} D．
2．设向量的模为则的值为
A． B． C． D．
3．设等比数列的前项和为，，则的值为
A．3 B．2 C．1 D．
4．两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内
A．一定存在与直线平行的直线 B．一定不存在与直线平行的直线
C．一定存在与直线垂直的直线 D．不一定存在与直线垂直的直线
5．函数的单调递增区间为
A． B．
C． D．
6．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦等于
A． B． C． D．
7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率等于
A． B． C． D．
8．曲线与直线有两个交点，则的取值范围是
A．或 B．
C．或 D．
二、填空题：把答案填在题中横线上。
9．已知角的终边上有一点，则的值为_________。
10．若实数满足，则的最小值为__________。
11．设函数把的图象按向量平移后的图象恰好为的图象，则的最小值为__________。
12．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________。
13．若椭圆的一条准线方程为，则_________；此时，定点与椭圆上动点距离的最小值为______________。
14．已知函数 且，则等于_____________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知函数
（I）求的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对都成立，求实数的最大值。
16．一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个。
（I）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；
（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；
（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率。
17．如图，已知四棱锥，平面，底面为直角梯形，且。
（I）点在线段上运动，且设，问当为何值时，平面？并证明你的结论；
（Ⅱ）若二面角为45°，求二面角的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求点到平面的距离。
18．已知一次函数的图象关于直线对称的图象为，且，
若点在曲线上，并有
（I）求曲线的方程；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，若恒成立，求实数的取值范围。
19．已知函数在区间（0，1）内是增函数。
（I）求实数的取值范围
（Ⅱ）若数列满足，证明；
（Ⅲ）若数列满足，，问数列是否单调？若单调，试给出证明，若不单调，请说明理由。
综合练习（二）
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．C 8．A
二、填空题
9． 10．2 11． 12．14 13．1， 14．100
三、解答题
15．解：（I）因为

由
得
所以的单调增区间是
（Ⅱ）因为所以
所以
所以
故，即的最大值为1。
16．解：由已知袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球。
（I）标有数字3的小球共有3个，
取出标有数字3的小球的概率为
（Ⅱ）标有偶数数字的小球共有2+4=6个，
取出的3个小球全标有偶数数字的概率为
故任意取出3个小球中至少有1个标有奇数数字的概率为

（Ⅲ）2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）
故所求概率为
17．解：（I）当时，平面。
证明：取中点则
且又且，
四边形为平行四边形。
又平面平面，
平面
（Ⅱ）平面
即是二面角的平面角
为等腰直角三角形，，
平面 又，平面平面，
平面平面，即二面角的大小为90°
（Ⅲ）在平面内作于点，由平面平面且平面平面
平面，
在中，，
在中，，将代入得
，即点到平面的距离为
又平面，∴点到平面的距离为。
18．解：（I）设，则曲线的方程为
由得；①
又点在曲线上，故即（2，1）在曲线上。
得到； ②
由①②得，所以曲线方程为
（Ⅱ）点在曲线上，故，而，
所以，故
（Ⅲ）
所以关于单调增，故
故使恒成立，则
19．解：（I），由于在内是增函数，
故在时恒成立。
即恒成立，而时，
故即为所求。
（Ⅱ）由题意知当时，，假设当时，有，
则当时有且
（由（I）知在（0，1）上是增函数）
所以时命题成立，故
又因为，所以
（Ⅲ）数列不具有单调性。
令则
所以又因为，所以
又，由此表明数列没有单调性。
综合练习（三）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．满足条件的所有集合的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．不等式的解集是
A． B．或
C． D．或
3．已知为数列的前项和，若，则的值为
A． B．16 C．32 D．
4．若函数的部分图象如图所示，则和的取值是
A． B．
C． D．
5．将正方形沿对角线折成四面体，则直线与平面所成的角
不可能为
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．已知随机变量服从正态分布，则的值为
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
7．若，则正常数的关系是
A． B． C． D．的大小关系不能确定
8．已知函数图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在上，则的最小正周期是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：把答案填在题中横线上。
9．把函数的图象按向量平移，得到的图象的解析式为_____。
10．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有___________种。
11．已知函数的最小正周期为则二项式展开后所有项的系数之和为___________。
12．已知椭圆的焦点是和，离心率，若点在椭圆上，且，则的面积为____________。
13．在中，，当的面积等于时，的值为________。
14．对于任意，直线与曲线恒有交点，则实数的取值范围是____________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．已知且
（I）求的值；
（Ⅱ）求的值。
16．如图，已知长方体，连结，过点作
的垂线交于，交于。
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。
17．已知等差数列的前项和为
（I）求的值；
（Ⅱ）若与的等差中项为18，数列满足,求数列的前项和。
18．已知函数
（I）若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数在[0，2]上是增函数，是方程的一个根，求证：。
19．已知为坐标原点，点的坐标分别为，动点满足，
为的中点，点在线段上，。
（I）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）点在轨迹上，直线交轨迹于点，且，若，求实数的范围。
综合练习（三）
一、选择题
1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D
二、填空题
9． 10．96 11．64 12． 13． 14．
三、解答题
15．解：（I）由，得，故
（Ⅱ）由得
所以
16．解法一：（I）连结，由底面为正方形，得。
是在平面内的射影，
又平面，
且在平面内的射影，
，又
平面
（Ⅱ）连结

平面
即为直线与平面所成的角
由条件
可知



解法二：（I）如图以为原点，建立空间直角坐标系，则
，即
平面
（Ⅱ）设平面的一个法向量为
则
令，得，又
设与所成角为，则。
直线与平面所成角的正弦值为。
17．（I）解：当时，，
当时，
由是等差数列，得
解得
（Ⅱ）解：由，得
又，于是，解得，所以
又得
所以，故是等比数列
所以数列的前项和
18．解：（I）当时，，令得
由于，所以函数的图象不能总在直线的下方
（Ⅱ）因为函数在上是增函数，于是有在区间上恒成立，即在区间上恒成立，故
又由得，而，由得
19．解：（I）由为的中点，且，
故垂直平分，又点在线段上，
又
又，故点的轨迹是以为焦点的椭圆，且
半长轴，半焦距 所以
故点的轨迹的方程为
（Ⅱ）设由于
所以 即
由点均在椭圆上，
故意 消去并整理，得
由于， 得，解得。